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概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

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30 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：





若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X





若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=362512101210

P (X=0, Y=1 )=3651221210 P (X=1, Y=0 )=3651210122 P (X=1, Y=1 )=361122122 或写成 X Y 0 1

0 3625 36

5

1 365 36

1

（2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=66451191210

P {X=0, Y=1 }=66101121210 31

P {X=1, Y=0 }=66101110122 P {X=1, Y=1 }=661111122 或写成 X Y 0 1

0 6645 66

10

1 6610 66

1

3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X Y 0 1 2 3

0 0 0 353 35

2

1 0 356 3512 35

2

2 351 356 353 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=351472222CCC

P {X=1, Y=1 }=35647221213CCCC P {X=1, Y=2 }=35647122213CCCC P {X=2, Y=0 }=353472223CCC P {X=2, Y=1 }=351247121223CCCC 32

P {X=2, Y=2 }=353472223CCC P {X=3, Y=0 }=352471233CCC P {X=3, Y=1 }=352471233CCC P {X=3, Y=2 }=0 5.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf （1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3} （3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=oDGGdydxyxfdydxyxf),(),(再化为累次积分，其

中42,20),(yxyxDo 解：（1）∵2012)6(),(1dydxyxkdydxyxf，∴81k （2）83)6(81)3,1(3210dyyxdxYXP （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10dyyxdxYXPXP （4）32)6(81)4(4020dyyxdxYXPx 6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题） X Y 0 1

0 3625 36

5

1 365 36

1

x o

x+y=4 2 y 1 33

边缘分布律为 X 0 1 Y 0 1

Pi· 65 61 P·j 65 61

② 不放回抽样（第1题） X Y 0 1

0 6645 66

10

1 6610 66

1

边缘分布为 X 0 1 Y 0 1

Pi· 65 61 P·j 65 61

（2）（X，Y ）的联合分布律如下

解： X的边缘分布律 Y的边缘分布律 X 0 1 2 3 Y 1 3

Pi· 81 83 83 81 P·j 86 82

7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为





其它求边缘概率密度0.0,10)2(8.4),(xyxxy

yxf

解：其它010)2(4.2)2(8.4),()(02xxxdyxydyyxfxfxX





其它010)43(4.2)2(8.4),()(12yyyydxxy

dxyxfyfyY

8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

X Y 0 1 2 3

0 0 83 83 0 3 81 0 0 8

1 34





.,00,),(其它yxe

yxfy

求边缘概率密度。

解:0,00,),()(xxedyedyyxfxfxxyX





,0,0,0,),()(0yyyedxe

dxyxfyf

yyy

Y

9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf （1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=42121432),(1025210ccdyycydxcxdydxdyyxfyy





其它,011),1(821421)(~42122xxxydyxxfXxX





其它01027421)(~252yyydxdyfY

y

yY

15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =3625

P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=365 P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=365 P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=361 在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况： P {X=0, Y=0 } =66451191210

x o

x=y y

x o y y=x2 35

P {X=0}=651210 P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=6511101121191210 P {X=0}·P {Y=0} =36256565 P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} ∴ X和Y不独立 16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y

的概率密度为.0,00,21)(2yyeyfyY （1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X的概率密度为其它,0)1,0(,1)(xxfX Y的概率密度为





.0,00,21)(2yyeyf

y

Y且知X, Y相互独立，

于是（X，Y）的联合密度为





其它00,1021)()(),(2yxeyfxfyxf

y

YX

（2）由于a有实跟根，从而判别式0442YX 即：2XY 记}0,10|),{(2xyxyxD

dxededxdyedxdxdyyxfXYPxxyyDx101020221002222121),()(

1 y=x2 x o

y D

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2
{
2
}
------------------------------------------------------------------------------2．设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A，B，C 中至少有一个发生； （4）A，B，C 都发生； （5）A，B，C 都不发生； （6）A，B，C 中不多于一个发生； （7）A，B，C 中不多于两个发生； （8）A，B，C 中至少有两个发生。 解 此题关键词： “与， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的联合运算。 （1） ABC 。
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概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

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概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)第一章习题解答1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；（4）Ω=｛（x,y）｝。

2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。

3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。

223由题设可知样本点总数，。

2C52C411所以；7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。

表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。

则样本空间，事件所以8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。