概率论第三章参考答案

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1

一、 设随机变量),(YX的密度函数为

。yxkeyxfyx其他,0.0,0,),(43

(1) 求常数k;

(2) 求分布函数),(yxF

(3) 求20,10YXP

解:（1）00430043),(1dyedxekdxdykedxdyyxfyxyx

12)10)(10(12)4()3(120043kkydexdekyx

知12k

（2）。yxeedudveyxFxyyxvu其他00,01112),(004343

（3）

118310001202120,10eee），F（），F（），F（），F（YXP二、设二维随机变量),(YX的概率密度为

),()1)(1(),(22yxyxCyxf

求（1）常数C；

（2）10,10YXP；

（3）分布函数),(yxF。

解：（1）dyydxxCdxdyyxC22221111)1)(1(

220002021,1224|arctan|arctan411114CCCyxCdyydxxC

（2）161)1)(1(110,101022210dxdyyxYXP

（3）dyydxxdxdyyxyxFyxxy22222211111)1)(1(11),(

21arctan121arctan1yx),(yx

二、 设随机变量X和Y有联合概率密度

。xyxyxf其他,0,6),(2

求边缘概率密度

解：其他010)66),()(22xxXxx（xdydyyxfxf

其他010)66),()(yyYyyy（dydxyxfyf

三、 已知随机变量),(YX的联合分布函数为

)2)(arctan2(arctan1),(2yxyxF),(yx （1，1） 2xy

注意：))(arctan(arctan1),(2yxyxF错误，因为

1)2)(2(1),(2F

求联合概率密度),(yxf。

解：)1)(1(1)2)(arctan2(arctan1),(),(222222yxyxyxyxyxFyxf

),(yx

§3.2

一、 设),(YX分布律为

Y X 0 1 2 3 4 5

0

1

2

3 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08

0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06

0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05

求(1)X,Y的边缘分布律;

(2)X=3条件下,Y的条件分布律;

(3)Y=1条件下,X的条件分布律.

解:(1) X,Y的边缘分布律为

X 0 1 2 3 4 5

.iP 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28

Y 0

1 2 3

.iP 0.25 0.26 0.25 0.24

(2)由)3,2,1,0(3,33|kXPkYXPXkYP

有

Y 0 1 2 3

3|XjYP 215 215 215 216

同理有

X 0 1 2 3 4 5

1|YiXP 261 262 264 265 266 268

二、 已知X的概率函数为)1.0()7.0()3.0(1kkXPkk，且在X=0及X=1的条件下关于Y的条件分布如下表所示：

（1） 二元随机变量（X，Y）的联合分布律；

（2） 关于Y的边缘分布律；

（3） 在3Y的条件下关于X条件分布律。

Y 1 2 3

0|XYP 71 72 74

1|XYP 21 31 61

解：(1)1.0717.00|1011XYPXPP

2.0727.00|2012XYPXPP

4.0747.00|3013XYPXPP

15.0213.01|1121XYPXPP

1.0313.01|2122XYPXPP

05.0613.01|3123XYPXPP

则联合分布为

X Y 1 2 3 .iP

0

1 0.1 0. 2 0.4

0.15 0.1 0.05 0.7

0.3

jP. 0.25 0.3 0.45 1

(2)

Y 1 2 3

iYP 0.25 0.3 0.45

(3)0,30,10,20.33050|331310.455511PXYPXYPXYPXYPYPY

1,31,11,20.252551|331310.455511PXYPXYPXYPXYPYPY

X 0 1

3|YXP 116 115

§3.3

一、 二元随机变量（X，Y）的概率密度为

)1(1),(22222yxyxyxf

其中,,yx试确定X，Y是否独立。

解:dyyxdyyxyxxfX)1)(1(1)1(1)(22222222

|arctan)1(122yx)1(1)1()2(2222xx

dxyxdxyxyxyfY)1)(1(1)1(1)(22222222

|arctan)1(122xy)1(1)1()2(2222yy

因而有

)()(),(yfxfyxfYX

所以X，Y相互独立.

二、 已知（X，Y）的分布律为

（X，Y） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1）（2，2）（2，3）

ijP 61 91

181 31  

（1） 求X，Y的边缘分布；

（2） 问，取何值时，X，Y 相互独立。

解:(1) X，Y的边缘分布为

X Y 1 2 3 .iP

1

2

61 91

181

31 

 31

31++

jP.

21 91 181 1

由18131)181(知91,由9131)91(知92

容易验证:3,2,1;2,1..jiPPPjiij

成立,所以当92,91时, X，Y 相互独立.

§3.4

一、 设X，Y 是相互独立的随机变量，各在（0，1）上服从均匀分布，求X+Y的概率密度。

解:依题意知其他，x，xfX0101)(,其他，y，yfY0101)(

又X，Y 是相互独立的,所以

。yxyxf其他,010,10,1),(

于是 z 的分布函数zyxZdxdyyxf（z）F.),(

(1) 当0z时, 0（z）FZ;

(2) 当2Z时，;1)(xFZ

(3) 当10Z时，如图

2020000021|)21()(|)(zxzxdxxzdxydydxzFzzzxzzxzZ（4）当10Z时，如图

1221)(21101101010zzdydxzdydxdydxzFzxzzxzzZ

故 zyx 1yx

zyx 2yx

1yx 1z

2,121,12210,20,0)(22zzzzzzzzFZ

因此有

。zzzzzFzfZz其他,021,210,)()('

二、 设X，Y是相到独立的随机变量，分别服从二项分布)(),(21pnBpnB，求Z=X+Y的分布律。

解：Z之可能值为0，1，2，…,21nn,

ikYPiXPikYiXPkYXPkZPkiki00,

knnkknniknkiinknnkknnkiknkiinppCCCppppCC212121212121)1()1()1(00

(因为有knniknkiinCCC21210)

则Z～),(21pnnb

三、 设随机变量X，Y分别服从1和2为参数的泊松分布，且X，Y是相互独立的，求Z=X+Y的分布.

解: ikYPiXPikYiXPkYXPkZPkiki00,

=)(21021)(021212121!)()!(!!!1)!(!ekikikekeeikikkiikikiiki (),2,1,0k

所以Z～)(21P