概率论第三章习题及答案

《概率论》计算与证明题

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第三章 随机变量与分布函数

1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p或p1向右或向左移动一格，若该质点在时刻0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以nS表示时间n时质点的位置）。

2、设为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求的概率分布。

3、c应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(NkNckf（2）,,2,1,!)(kkckfk

0。

4、证明函数)(21)(||xexfx是一个密度函数。

5、若的分布函数为N（10，4），求落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。

6、若的分布函数为N（5，4），求a使：（1）90.0}{aP；（2）01.0}|5{|aP。

7、设}{)(xPxF，试证)(xF具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(F 1)(F。

8、试证：若1}{,1}{12xPxP，则)(1}{21xxP。

9、设随机变量取值于[0，1]，若}{yxP只与长度xy有关（对一切10yx），试证服从[0，1]均匀分布。

10、若存在上的实值函数)(Q及)(D以及)(xT及)(xS，使

)}()()()(exp{)(xSDxTQxf，

则称},{f是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20mN，已知0m，关于参数；（2）正态分布),(200mN，已知0，关于参数m；（3）普阿松分布),(kp关于都是一个单参数的指数族。

一、选择题

1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ）

A． 110

B．

310

C．

12 D． 710

2．如图所示，已知圆1C和2C的半径都为2，且1223CC，若在圆1C或2C中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）

A．233533 B．233533 C．2331033 D．2331033

3．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）

A．2764 B．916 C．81256 D．716

4．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）

A．13 B．49 C．59 D．23

5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ）

A．435 B．635 C．1235 D．1835 6．已知边长为2的正方形ABCD，在正方形ABCD内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点ABCD，，，的距离都大于1的概率为（ ）

A．16

B．4

C．3224 D．14

7．如图，过球心的平面和球面的交线称为球的大圆.球面几何中，球O的三个大圆两两相交所得三段劣弧AB，BC，CA构成的图形称为球面三角形ABC. AB与AC所成的角称为球面角A，它可用二面角BOAC的大小度量.若球面角3A，2B，2C，则在球面上任取一点P，P落在球面三角形ABC内的概率为（ ）

习题3-1

1.

已知随机变量X1和X2的概率分布分别为

X1 -1 0 1

P 14 12 14

X2 0 1

P 12 12

而且12{0}1PXX. 求X1和X2的联合分布律.

解 由12{0}1PXX知12{0}0PXX. 因此X1和X2的联合分布必形如

X2

X1 0 1 pi·

-1 P11 0 14

0 P21 P22 12

1 P31 0 14

p·j 12 12 1

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律

X2

X1 0 1 pi·

-1 14 0 14

0 0 12 21

1 14 0 14 p·j 12 12

1

(2) 注意到12{0,0}0PXX, 而121{0}{0}04PXPX, 所以X1和X2不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到红球的只数. 求X和Y的联合分布律.

解 从7只球中取4球只有3547C种取法. 在4只球中, 黑球有i只, 红

球有j只(余下为白球4ij只)的取法为

4322ijijCCC,0,1,2,3,0,1,2,ijij≤4.

于是有

0223221{0,2}3535PXYCCC,1113226{1,1}3535PXYCCC,

1213226{1,2}3535PXYCCC,2023223{2,0}3535PXYCCC,

21132212{2,1}3535PXYCCC,2203223{2,2}3535PXYCCC,

3013222{3,0}3535PXYCCC, 3103222{3,1}3535PXYCCC,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0PXYPXYPXYPXY.

1 习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

1 0 131113C2228 23111C3/8222 0

3 18 0 0 11112228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

0 1 2 3

0 0 0 223247CC3C35 313247CC2C35

1 0 11232247CCC6C35 21132247CCC12C35 313247CC2C35

2 P(0黑,2红,2白)=

2242271CC/C35 12132247CCC6C35 223247CC3C35 0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=.,020,20,sinsin其他ππyxyx

求二维随机变量（X，Y）在长方形域36,40πππyx内的概率.

【解】如图πππ{0,}(3.2)463PXY公式

ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636FFFF

X

Y

X

Y

2 ππππππsinsinsinsinsin0sinsin0sin4346362(31).4

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=.,0,0,0,)43(其他yxAyxe

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由-(34)00(,)ddedd112xyAfxyxyAxy