【教育资料】17.1第3课时勾股定理作图与计算学习专用

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第2课时 勾股定理在实际生活中的应用知识要点分类练 夯实基础

知识点 勾股定理的实际应用

1．如果梯子的底端离一幢楼5米，那么13米长的梯子可以达到该楼的高度是( )

A．12米 B．13米 C．14米 D．15米

2．如图17－1－14是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走( )

A．140米 B．120米 C．100米 D．90米

图17－1－14 图17－1－15

3．由于受台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图17－1－15)，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是( )

A．8 m B．10 m C．16 m D．18 m

4．[2019·湘潭]《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图17－1－16所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．若设AC＝x，则可列方程为________________________．

图17－1－16

5．如图17－1－17，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求在直线l上距离点D多远的C处开挖．(2≈1.414，结果精确到1米)

图17－1－17教育资源

教育资源 6．如图17－1－18，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50 m．若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过70 km/h，则这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1 m/s＝3.6 km/h)

图17－1－18

7．如图17－1－19①，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②，测得梯子底端外移的长BD为0.5米，梯子顶端下滑的高度也是0.5米吗？用你所学的知识解释你的结论．

图17－1－19

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8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面后还多1 m，当他把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )

A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m

9．[2019·绍兴]如图17－1－20，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )

图17－1－20

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

10．如图17－1－21，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，则AB的长为________．

图17－1－21

11．如图17－1－22是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，由图中的尺寸(单位：mm)得两圆孔中心A和B的距离为________mm.

图17－1－22 图17－1－23

12．如图17－1－23，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行________米．

13．有一根长为7 cm的木棒，要将其放进长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的长方体木箱中，________(填“能”或“不能”)放进去．

14．[2019·黄冈]如图17－1－24，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为________cm.(杯壁厚度不计)

图17－1－24

15．[2019·庐阳区一模]《九章算术》中“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？教育资源

教育资源 16．如图17－1－25所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地点A出发，沿北偏东60°的方向走了100 3 km到达点B，然后再沿北偏西30°的方向走了100 km到达目的地点C，求出A，C两点之间的距离．

图17－1－25

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17．如图17－1－26，某地方政府决定在相距50 km的A，B两站之间的公路旁点E处修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30 km，CB＝20 km，则基地E应建在离A站多少千米的地方？

图17－1－26教育资源

教育资源 教师详解详析

1．A

2．C [解析] 因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离．根据长方形的对边相等，得BC＝AD＝80米，再根据勾股定理，得AC＝602＋802＝100(米)．

3．C [解析] 如图，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(m)，所以AC＋AB＝6＋10＝16(m)，所以这棵树在折断前(不包括树根)的高度是16 m．故选C.

4．x2＋32＝(10－x)2 [解析] 设AC＝x，∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.

5．解：∵CD⊥AC，

∴∠ACD＝90°.

∵∠ABD＝135°，

∴∠DBC＝45°，

∴∠BDC＝45°，

∴BC＝CD.

在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，

即2CD2＝8002，

而CD的长为正值，

∴CD＝400 2≈566(米)．

答：在直线l上距离点D约566米的C处开挖．

6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 m，AB＝50 m，

根据勾股定理可得：BC＝AB2－AC2＝502－302＝40(m)，

∴小汽车的速度v＝402＝20(m/s)＝20×3.6(km/h)＝72(km/h)．

∵72 km/h＞70 km/h，

∴这辆小汽车超速了．

7．解：梯子顶端下滑的高度也是0.5米．理由如下：

在Rt△ABC中，AB＝2.5 米，BC＝1.5 米，∴AC＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝2(米)．

在Rt△DCE中，DE＝AB＝2.5 米，CD＝BC＋BD＝1.5＋0.5＝2(米)，

∴CE＝DE2－CD2＝2.52－22＝1.5(米)，

∴AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5(米)，

故梯子顶端下滑的高度也是0.5米．教育资源

教育资源 8．B [解析] 如图所示，设旗杆的高AB＝x m，则AC＝(x＋1)m.

在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋1)2＝x2＋42，解得x＝7.5.

9．C [解析] 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，

∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2＋A′D2＝A′B2，

∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25.

∵BD＞0，∴BD＝1.5(米)，∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(米)．故选C.

10．2 5 [解析] ∵△ABC各顶点的坐标分别为A(1，2)，C(5，2)，B(5，4)，

∴AC⊥BC，AC＝5－1＝4，BC＝4－2＝2.

根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝42＋22＝2 5.

11．150 [解析] 由已知可得AC＝90 mm，BC＝120 mm，根据勾股定理，得AB＝150 mm.

12．10 [解析] 如图，大树高为AB＝12 米，小树高为CD＝6 米．

过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，则EB＝6 米，EC＝8 米，AE＝AB－EB＝12－6＝6(米)．在Rt△AEC中，AC＝62＋82＝10(米)．故小鸟至少飞行10 米．

13．能 [解析] 如图，在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2，在Rt△HBD中，BH2＝BD2＋DH2，所以BH2＝AD2＋AB2＋DH2＝32＋42＋52＝50，50 cm＞7 cm，故能放进去．教育资源

教育资源 14．20 [解析] 如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，EB的长即为蚂蚁爬行的最短路程．过点B作BC⊥AE于点C，则Rt△EBC中，BC＝32÷2＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，所以EB＝EC2＋BC2＝20 cm.

15．解：设二人行走的时间为x，他们在B处相遇，则甲走了7x步，乙走了3x步．

∵AC＝10步，∴BC＝(7x－10)步．

又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2＋AB2，

∴(7x－10)2＝102＋(3x)2，

解得x＝0(舍去)或x＝3.5，

∴AB＝3x＝10.5，

AC＋BC＝7x＝24.5.

答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．

16．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.

∵∠CBF＝30°，

∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.

在Rt△ABC中，AB＝100 3，BC＝100，

∴AC＝AB2＋BC2＝（100 3）2＋1002＝200，

∴A，C两点之间的距离为200 km.

17．解：设基地E应建在离A站x km的地方，则BE＝(50－x)km.

在Rt△ADE中，根据勾股定理得AD2＋AE2＝DE2，

∴302＋x2＝DE2.

在Rt△CBE中，根据勾股定理得CB2＋BE2＝CE2，∴202＋(50－x)2＝CE2.

又∵C，D两村到点E的距离相等，

∴DE＝CE，∴DE2＝CE2，

∴302＋x2＝202＋(50－x)2，解得x＝20，

∴基地E应建在离A站20 km的地方．