河北省承德市普通高中2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

河北省承德市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上) 1.已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =（ ） A. ∅ B. [3,5]C. [2,3]-D. (3,5)【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B 。

【详解】解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5AB =，故选：B 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

2.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ）A. α∃∈R ，sin 0α≠B. α∀∈R ，sin 0α≠C. α∀∈R ，sin 0α<D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B 【解析】 【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 3.设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）． A. a c b >>B. b c a >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】C 【解析】 因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==， 而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选C ．4.若角α的终边经过点()1,1P -，则（ ） A. sin 1α= B. tan 1α=-C. cos 2α=D. sin 2α=-【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得α的三个三角函数值后可得正确的选项. 【详解】因为角α的终边经过点()1,1P -，故r OP ==所以sin ,cos tan 122ααα==-=-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.5.将函数24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒.(2.0)a =,1b ||=,则||2a b +等于( )B. C. 4D. 12【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积定义,利用2|2|(2)a b a b +=+,求解即可. 【详解】(2,0)|,|1b a ==，向量a 与b 的夹角为60︒，2||202a ∴=+=，cos601oa b a b ⋅==，2|2|(2)a b a b ∴+=+==，故选B.【点睛】本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方，再结合向量的夹角能求出向量的数量积，计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.7.已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为( ) A. 3 B. 5C. 7D. 9【答案】C 【解析】 【分析】运用乘1法，可得由x +y ＝（x +1）+y ﹣1＝[（x +1）+y ]•（111x y++）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值． 【详解】由x +y ＝（x +1）+y ﹣1 ＝[（x +1）+y ]•1﹣1＝[（x +1）+y ]•2（111x y++）﹣1 ＝2（2()11x y x y+++-+）1=7． 当且仅当x 3=，y ＝4取得最小值7． 故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．8.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EBA. 3144AB AC B. 1344AB AC C. 3144ABAC D. 1344ABAC 【答案】A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.9.在等差数列{}n a 中，公差0d <，n S 为{}n a 的前n 项和，且57S S =，则当n 为何值时，n S 达到最大值.( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C 【解析】 【分析】先根据0d <，57S S =，得到670,0,a a ><进而可判断出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，57S S =，所以67750a a S S +=-=，又公差0d <，所以67a a >，故670,0,a a >< 所以数列{}n a 的前6项为正数，从第7项开始为负数； 因此，当6n =时，n S 达到最大值. 故选C【点睛】本题主要考查求使等差数列前n 项和最大的n ，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. 185+B. 545+C. 90D. 81【答案】B 【解析】 试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：223362185+=， 故棱柱的表面积为：183********++=+． 故选：B ．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.【此处有视频，请去附件查看】11. 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ） A. 31200元 B. 36000元C. 36800元D. 38400元 【答案】C 【解析】设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1600x ＋2400yx 、y 满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36800， 故租金最少为36800元．选C. 【此处有视频，请去附件查看】12.已知函数2,0,()2,0,x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩若函数()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0a < B. 01a <<C. 1a >D. 1a ≥【答案】B 【解析】 【分析】令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a 的取值范围. 【详解】令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示，当直线y=a 在x 轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a 有四个零点， 所以0＜a ＜1. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______. 5【解析】 【分析】先求出复数z,再求|z|. 【详解】由题得2234(34)(12)112112,()()512(12)(12)555i i i i z z i i i ++--===∴=+-=++-. 故答案5【点睛】（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模22||z a b +14.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =2b =4B π=，则A =_______【答案】3A π=或23A π=【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为3a =，2b =，4B π=，由正弦定理sin sin a b A B=，可得23sin 32sin 22a B Ab ⋅===， 所以3A π=或23A π=；且都满足A B π+<. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，已知两边及一边的对角采用正弦定理，属于基础题.15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=_______.【答案】6π- 【解析】 【分析】由图可得T π=，即可求得：2ω=，再由图可得：当3x π=时，()f x 取得最大值，即可列方程13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，整理得：sin 2133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2232k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈），结合2πϕ<即可得解.【详解】由图可得：7212122T πππ=-=，所以2T ππω==，解得：2ω= 由图可得：当7121223x πππ+==时，()f x 取得最大值，即：13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭整理得：sin 2133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 2232k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈） 又2πϕ<，所以6πϕ=-【点睛】本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。

河北省承德第一中学2021届高三数学9月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}()(){}1,2,3,130,A B x x x x Z A B ==+-<∈⋂=，则 A. {l}B. {l ，2}C. {}0123，，， D.{}10123，，，，- 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合B ，再求两个集合的交集.【详解】因为(1)(3)0x x +-<，所以13x，因为x ∈Z ，所以{}0,1,2B =,所以{}1,2A B =,故选B.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知复数1z ii=+，其中i 为虚数单位.则||z =（ ）A.12B.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数求模公式可求出z 的值.【详解】()()()1111122i i i i z i i i -===+++-，则2z ==，故选B . 【点睛】本题考查复数的除法法则以及复数模的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.下图是国家统计局今年4月11日发布的2021年3月到2021年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2021年2月与2021年2月相比较称同比，2021年2月与2021年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是A. 2021年3月至2021年3月全国居民消费价格同比均上涨B. 2021年3月至2021年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C. 2021年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D. 2021年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.【详解】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确； 对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2021年9月份和2021年10月份，故C 错误； 对于选项D ，从图可以看出2021年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确. 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，根据折线图研究统计结论，侧重考查数据分析的核心素养.4.数列{}n a 中，已知12,a =且121n n a a n +=++，则10a = A. 19 B. 21C. 99D. 101【答案】D 【解析】 分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a .【详解】因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+10919a a =+.上面各式相加可得1013193519291012a a +=++++=+⨯=，故选D. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D.2218x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.【详解】，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. 3，5B. 8，13C. 12，17D. 21，34【答案】B 【解析】 【分析】结合框图的循环条件，逐步运算可得结果.【详解】第一次运算：i 2,1,2a b ===；第二次运算：i 3,3,5a b ===；第三次运算：i 4,8,13a b ===；此时结束循环，输出结果，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2ln x f x x =+，则()2019f =A. 2-B. 2C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】先根据()()4f x f x +=可得函数周期，结合奇函数及解析式可得()2019f .【详解】因为()()4f x f x +=，所以周期为4，所以()()20191f f =-；因为()f x 为奇函数，所以()()20191(1)f f f =-=-.因为当(]0,1x ∈时，()2ln xf x x =+，所以(1)2f =，即()20192f =-，故选A.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.8.已知向量(,1),(21,3)(0,0)m a n b a b =-=->>，若m n ，则21a b+的最小值为（ ）A. 12B. 8+C. 15D.10+【答案】B 【解析】 【分析】因为//m n ，所以对向量坐标运算，得到321a b +=，根据21a b +=()21()3+2a b a b+可构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求出结果. 【详解】(,1),(21,3)m a n b =-=-共线，3210a b ∴+-=，即321a b +=，所以21a b +=()2143()326288b a a b a b a b +⋅+=+++≥=，当且仅当2b =时等号成立.【点睛】本题考查平面向量平行的坐标运算，均值定理求最小值，考查数学的转化能力，属于基础题.9.将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则函数()f x 的一个单调减区间为A. 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】 【分析】先根据平移变换求出ϕ，然后再根据正弦函数的单调区间. 【详解】把()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到()sin(2)sin(2)26g x x x ϕππ=-+=+，所以23ϕπ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令2222232k x k ππ3ππ+≤+≤π+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，令0k =可得一个减区间为,]1212π5π[-，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x 的系数对解析式的影响.10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A. 3πB. 12πC. 18πD. 27π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积. 【详解】根据三视图还原成几何体如图，它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为22233333R ++==故外接球的表面积为2427S R =π=π,故选D. 【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.11.已知数列：()12,,,11kk N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项 【答案】C 【解析】 【分析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111kk k -， 可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=，所以前15组一共有120项； 第16组的项为1278(,,,,)1615109，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.12.已知函数()21ln 2f x a x x =+，在其图象上任取两个不同的点()()()112212,,,P x y Q x y x x >，总能使得()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. (1，2)D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】 根据()()12122f x f x x x ->-可知()f x 的图象上任意两个点连线的斜率大于2，结合导数的几何意义可求. 【详解】()a f x x x '=+，因为()()12122f x f x x x ->-，所以()2af x x x'=+>； 易知当0a ≤时，不符合题意；当0a >时，()af x x x'=+≥12x x >，所以()af x x x'=+>2，即1a ≥，故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，曲线上任意两点的斜率问题转化为导数的几何意义，侧重考查数学建模的核心素养.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，由杨辉三角可以得到()na b +展开式的二项式系数．根据相关知识可求得()512x -展开式中的3x 的系数为 【答案】80- 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解.【详解】()512x -的展开式的通项公式为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，令3r =，可得系数为335(2)80C -=-.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，求解二项式展开式特定项时，一般是利用通项公式求解.14.若,x y 满足约束条件20220,3260x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最小值为【答案】27- 【解析】 【分析】作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.【详解】作出可行域如图，平移直线0:20l x y +=可得目标函数z 在点A 处取到最小值，联立2203260x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得106(,)77A -,代入2z x y =+可得z 的最小值27-. 【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.15.已知一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为【答案】223【解析】【分析】根据内接关系作出截面图，建立正四棱柱和圆锥之间的关系，从而可求.【详解】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，如图由题意可得21221ah-=解得22h a=，正四棱柱的体积为232(22)22V Sh a a a a==-=-+，2324V a a'=-+，当22(0,3a∈时，0V'>，V为增函数；当22()3a∈+∞时，0V'<，V为减函数；所以当22a=223【点睛】本题主要考查组合体的内接问题，体积最大值的确定要根据目标式的特征来选择合适的方法，侧重考查直观想象的核心素养.16.已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AF FB=，若点A，B在l上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为【答案】1) 【解析】 【分析】先根据AF FB =可得，直线l 垂直于x 轴，确定△MFN 的形状，然后可求其内切圆半径. 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ,因为AF FB =，所以直线l 垂直于x 轴，所以(1,2),(1,2)A B -,所以(1,2),(1,2)M N ---，(2,2),(2,2)FM FN =-=--,因为0FM FN ⋅=，所以△MFN 为直角三角形，且22FM FN ==r ，则有114)22r ⨯=，解得1)r ==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题（本大题共7小题，共70.0分） 17.已知函数()()cos sin 1032f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正周期为π. (1)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值： (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()2222,25f A b a c ==-，求sinC ．【答案】（1）()f x 最大值为2，()f x 最小值为32.（2）sin C = 【解析】 【分析】（1）先化简函数为标准型，结合周期可得ω，从而可求最值；（2）先根据()2f A =求出A ，结合条件及余弦定理可得,a c 关系，利用正弦定理可求sinC.【详解】解：（1）()cos()sin()132f x x x ππωω=--++13cos sin cos 12x x x ωωω=+-+ 31sin cos 122x x ωω=-+ sin()16x πω=-+ 因为()f x 的最小正周期为π，所以2=ππω，可得2ω=，故()sin(2)16f x x π=-+，当[,]42x ππ∈时，52[,]636x πππ-∈，所以当226x ππ-=时，()f x 最大值为2，当5266x ππ-=时，()f x 最小值为32.（2）由()2f A =可得，sin(2)16A π-=，因为11(0,),2(,)666A A ππππ∈-∈-，所以262A ππ-=，3A π=,由余弦定理知，2222cos b c a bc A bc +-==，又22225b a c =-， 可得22320c bc b +-=，解得3b c =，7a c =，由正弦定理知，sin sin a c A C =，21sin 147C ==. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及解三角形问题，三角函数性质问题的关键是化简，注意公式的使用，侧重考查数学运算的核心素养.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，AB AD ⊥，AB=AD=2CD=2，△ADP 为等边三角形．(1)当PB 长为多少时，平面PAD ⊥平面ABCD?并说明理由；(2)若二面角P AD B --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）当22PB =时，平面PAD ⊥平面ABCD ，详见解析（2）253【解析】 【分析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得AB PA ⊥,利用直角三角形知识可得PB 的长；(2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）当22PB =时，平面PAD ⊥平面ABCD ， 证明如下：在PAB ∆中，因为2,22AB PA PB ===，所以AB PA ⊥， 又AB AD ⊥，AD PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ， 又AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）分别取线段,AD BC 的中点,O E ，连接,PO OE ，因为ADP ∆为等边三角形，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，,O E 为,AD BC 的中点，所以//OE AB ,又AB AD ⊥，所以OE AD ⊥，故POE ∠为二面角P AD B --的平面角，所以150POE ∠=，如图，分别以,OA OE 的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因为3OP =150POE ∠=，所以33(0,2P -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)C -. 可得(0,2,0)AB =，7353(1,),(1,,22PB PC =-=-,，设(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有0,0PB n PC n ⋅=⋅=，即70225022x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令1x =，可得(1,2,n =--，设AB 与平面PBC 所成角为θ，则有||sin ||||AB n AB n θ⋅===所以直线AB 与平面PBC . 【点睛】本题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.19.手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K 2的观测值k ，即可判断结果．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：于是有K 2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为：所以12131220123105301515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般．20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为点为圆2220x y x +-=的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为12,k k ，当1234k k =-时，△MON 的面积是否为定值?若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）MON S ∆，详见解析【解析】 【分析】(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得； (2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值. 【详解】解：（1）由题意可知，2ab =，圆2220x y x +-=的圆心为(1,0)，所以1c =，因此221a b -=，联立221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解之224,3a b ==， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，222(34)84120k x kmx m +++-= 则有222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2243m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，所以12MN x =-===点O 到直线MN的距离d =所以1||2MON S MN d ∆==又因为12121234y y k k x x ⋅==-，所以22222121221228()()334412434kmkm m k x x km x x mk k m x x k -+++++=+=--+， 化简可得22243m k =+，满足>0∆， 代入MONS ∆=222m==， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到,OM ON 关于x轴对称，不妨设1222k k ==-，则点,M N的坐标分别为22M N -,此时12MON S ∆=综上，MON ∆法二：设1122(2cos ),(2cos )M N θθθθ， 由题意12121212123sin sin 34cos cos 4y y k k x x θθθθ⋅===-，可得12cos()0θθ-=， 所以12()2k k πθθπ-=+∈Z ，而12211sin sin |2MON S θθθθ∆=⨯-12sin()|θθ=-因为122k πθθπ-=+，所以12sin(=1θθ-±），故MON S ∆=为定值.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养.21.已知函数()()2xf x x ax e =-，函数图象在1x =处的切线与x 轴平行.(1)讨论方程()f x m =根的个数； (2)设()ln 1x g x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对于任意的()10,2x ∈，总存在[]21,e x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）e2b ≤- 【解析】 【分析】(1)先根据函数图象在1x =处的切线与x 轴平行可求a 的值，然后求出函数的极值，从而可得根的个数；(2) 对于任意的()10,2x ∈，总存在[]21,e x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，可以转化为min min ()()f x g x ≥，进而分别求解最值即可.【详解】解：（1）22()(2)e ()e [(2)]e xxxf x x a x ax x a x a '=-+-=+--，由题意知，()01f '=，即(32)e=0a -，解得32a =， 故23()()e 2x f x x x =-，此时211()23e (23)(1)e 22x xf x x x x x '=+-=+-()，则有：且当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞.所以，当e 2m <-时，方程无根，当e 2m =-或22em >时，方程有一根， 当e 02m -<≤或m =时，方程有两个根，当0m <<时，方程有三个根； （2）由题意可知，只需min min ()()f x g x ≥，由（1）知，当(0,2)x ∈时，min e ()2f x =-， 而21ln ()()xg x b x-'=，当[1,e]x ∈时，1ln 0x -<， 当0b >时，()0g x '<，()g x 在[1,]e 单调递减，min 1()(e)(1)eg x g b ==+， 所以e 1(1)2eb -≥+，因为0b >，无解， 0b =，()0g x =，无解，0b <，()0g x '>，()g x 在[1,]e 单调递增，min ()(1)g x g b ==，此时，e2b ≤-， 综上所述，实数b 的取值范围为e 2b ≤-. 【点睛】本题主要考查利用导数解决切线问题，方程根的问题及最值问题，侧重考查数学建模，数学运算和数学抽象的核心素养.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求22PA PB +的取值范围．【答案】（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 曲线C 的直角坐标方程为2268210x y x y +--+=（2）(8,24] 【解析】 【分析】(1)消去参数可得直线l 的普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==可以化成直角坐标方程； (2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..【详解】解：（1）因1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得 直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=.因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程： 24(sin cos )40t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ， 则 12t t +=4(sin cos )αα+，124t t =.并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=>，注意到0απ≤< ，解得02πα<<. 因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义， 有22||PA PB +=2212t t +=21212()2t t t t +-=216(sin cos )8αα+-16sin 28α=+， 因为02πα<<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈. 因此22||||PA PB +的取值范围是(8,24].【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.23.[选修4—5：不等式选讲]:已知函数()2123f x x m x =+-+-．(1)当m=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)若()26f x x ≤-的解集包含区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围。

河北省承德市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上) 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. {}2,1,0,2--B. {}2C. {}2,1,2--D.{}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或， 根据集合的交集运算得到A B ={}2,1,2--.故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A. 1i -B. 1i +C.1122i - D.1122i + 【答案】A 【解析】因为|2(1)11(1)(1)i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A 。

3.命题“若a ，b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是（ ） A. 若两个整数a 与b 的和+a b 是偶数，则a ，b 都是奇数 B. 若两个整数a ，b 不都是奇数，则+a b 不是偶数C. 若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，则a ，b 都不是奇数D. 若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的条件做结论，再否定原命题的结论做条件，就得到原命题的逆否命题．【详解】解：由逆否命题定义可知：命题“a ，b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是：“若+a b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数”． 故选：D ．【点睛】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化，属基础题． 4.函数2xy =与2y x 图像的交点个数是（ ）．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 函数2xy =与2yx 的图象的交点个数即函数2()2x f x x =-的零点的个数．显然，2x =和4x =是函数()f x 的两个零点． 再由11(1)1022f -=-=-<，(0)101f =-=， 可得(1)(0)0f f -<，故函数在区间(1,0)-上有一个零点． 故函数2xy =与2y x 的图象的交点个数为3．故选D ．点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点5.函数1()ln(1)f x x =++ ）A. (][2,0)0,2-B. (](1,0)0,2-C. [2,2]-D. (1,2]-【答案】B 【解析】 【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域． 【详解】解：要使函数有意义，有：2401011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得(](1,0)0,2x ∈-，所以函数的定义域为：(](1,0)0,2-．故选：B ．【点睛】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力． 6.函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A. (,2)-∞- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选：D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.7.已知a ，b 为单位向量，设a 与b 的夹角为3π，则a 与a b -的夹角为( ) A.6πB.3π C. 23π D. 56π【答案】B 【解析】 由题意111cos32a b π⋅=⨯⨯=，1a b -=，2()11cos ,11122a a b a a b a a b a a b ⋅--⋅-===-=⨯-，∴,3a ab π-=，故选B ．8.设,x y 满足约束条件360,{20,0,0,x y x y x y --≤-+≥≥≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+＞＞的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A.256B. 83C.113D. 4【答案】A 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax by z +=（0,0a b >>）,过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,目标函数z ax by =+（0,0a b >>）取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=,而23a b +=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=+++=。

河北省承德市第一中学2021届高三数学上学期12月月考试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分） 1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =（ ）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集． 【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D ． 【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题． 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知p q ，是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A. 既不充分也不要必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，得解【详解】因为“p∧q是真命题”则命题p，q均为真命题，所以￢p是假命题，由“￢p是假命题”，可得p为真命题，但不能推出“p∧q是真命题”，即“p∧q是真命题”是“￢p是假命题”的充分不必要条件，故选C．【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．4.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（）A. 522 B. 324 C. 535 D. 578 【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578则满足条件6个编号为436，535，577，348，522，578则第6个编号为578本题正确选项：D【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．5.下表是某个体商户月份x 与营业利润y （万元）的统计数据：由散点图可得回归方程0.7y x a =-+，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ ） A. 1.5万元 B. 1.75万元C. 2万元D. 2.25万元 【答案】B 【解析】 【分析】由表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入回归方程求得a ，然后取x ＝5求得y 值即可．【详解】由表格中的数据求得1234 2.54x +++==， 4.543 2.53.54y +++==，∴样本点的中心的坐标为（2.5，3.5），代入回归方程0.7y x a =-+， 得3.5＝﹣0.7×2.5+a ，计算得a ＝5.25．∴y ＝﹣0.7x +5.25，当x ＝5，可得y ＝﹣0.7×5+5.25＝1.75万元．即该商户在5月份的营业利润为1.75万元． 故选：B ．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题．6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 12π，则椭圆C 的方程为（ ）A. 221916x y +=B. 22134x y +=C. 2211832x y +=D. 221436x y +=【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．【详解】由题意可得：2221274abca abc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a ＝4，b ＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：221169y x +=．故选A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =（ ）A. 43AD BE + B.53AD BE + C. 4132AD BE +D. 5132AD BE +【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+． 故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题8.已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ） A. 5 B. 3C. 3-D. 5-【答案】D 【解析】 【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】()()12,4f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点、、A B C 在俯视图上的对应点为、、A B C ，则PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）510 C.225 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线PA 与BC 所成的角，再计算所成角的余弦值． 【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥P ﹣ABCD ，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示；取CD 的中点M ，连接AM 、PM ，则AM ∥BC ，∴∠PAM 或其补角是异面直线PA 与BC 所成的角， △PAM 中，PA ＝22，AM ＝PM 5=，∴cos ∠PAM 2105==，又异面直线所成角为锐角 即PA 与BC 所成角的余弦值为10． 故选B ．【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，是基础题．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟 【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N =2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M﹣y N = y M ﹣y N =2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）． 故选A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，3AB BC ==，3AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为33，则球O 的表面积为（ ）. A. 36π B. 16πC. 12πD.163π 【答案】B 【解析】 试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B ．考点：球内接多面体．【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．12.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B. 1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C. 1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e=令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x +--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,故选B. 【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案. 二、填空题（每小题5分）13.若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由函数零点的定义可得f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2， 则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1， 解可得a ＝3， 故答案为3【点睛】本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．14.若x y ，满足约束条件402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为_____【答案】6 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示， 化目标函数z ＝2x +y 为y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x =-+⎧⎨=⎩得A （2,2），故z 的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,a b c ，,若cos cos 2cos b C c B a B +=,且4,6a b == ，则ABC ∆的面积为_______.【答案】6223【解析】 【分析】利用余弦定理将恒等式cos cos 2cos b C c B a B +=中的角转化为边，化简即可求出cos B ，再利用余弦定理求出c ，即可用面积公式求解.【详解】因为cos cos 2cos b C c B a B +=，由余弦定理可得2222222222222a b c a c b a c b b c a ab ac ac+-+-+-⋅+⋅=⋅， 化简得222122a cb ac +-=，即1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=，又因为4,6a b ==，代入2222cos b a c ac B =+-，得24200c c --=解得226c =+226c =-， 所以113sin 4(226)622322S ac B ==⨯⨯+=. 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，以及面积公式得应用，属于中档题.对于解三角形中恒等式的处理，主要有两个方向：（1）角化成边，然后进行代数化简；（1）边化角，然后利用三角恒等变换相关公式进行化简.16.已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P Q ，两点，APQ ∆的一个内角为60︒，则C 的离心率为______.【答案】43【解析】【分析】由题意可得PA ⊥PB ，又，△APQ 的一个内角为60°，即有△PFB 为等腰三角形，PF ＝PA ＝a +c ，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求．【详解】如图，设左焦点为F 1，圆于x 轴的另一个交点为B ，∵△APQ 的一个内角为60°∴∠PAF ＝30°，∠PBF ＝60°⇒PF ＝AF ＝a +c ，⇒PF 1＝3a +c ，△PFF 1中，由余弦定理可得22201112120PF PF FF PF FF cos =+-⋅．⇒3c 2﹣ac ﹣4a 2＝0⇒3e 2﹣e ﹣4＝0⇒43e =， 故答案为43．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题．三、解答题17.已知数列{}n a 等差数列，7210a a -=，且1621a a a ，，依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若225n S =，求n 的值. 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 10n =【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n 12=（112325n n -++），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ． 【详解】解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7﹣a 2＝10，即5d ＝10，即d ＝2，a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得a 62＝a 1a 21，即（a 1+10）2＝a 1（a 1+40），解得a 1＝5，则a n ＝5+2（n ﹣1）＝2n +3；（2）b n ()()111123252n n a a n n +===++（112325n n -++）， 即有前n 项和为S n 12=（11111157792325n n -+-++-++） 12=（11525n -+）()525n n =+， 由S n 225=，可得5n ＝4n +10， 解得n ＝10．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB CD ∥，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（1）求证：BM∥平面ADEF；（2）求证：平面BDE⊥平面BEC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．【详解】（1）取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点∴MN∥CD，且MN＝12CD，由已知AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，∴MN∥AB，且MN＝AB∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.（2）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD AD=，且ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2，在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面BDE，又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线C 的焦点，点(1,)(0)A m m >在抛物线C 上，且2FA =，过点F 作斜率为1(2)2k k ≤≤的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点. （1）求抛物线C 的方程；（2）求△APQ 面积的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）5,85⎡⎣【解析】【分析】(1)利用抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离,代入即得答案.(2)设直线方程和焦点坐标，联立方程，利用韦达定理得到两根关系，把所求面积分为左右两部分相加，用k 表示出来，最后求出函数的最值得到答案．【详解】解：（1）点A 到准线距离为：12p +，到焦点距离2FA =，所以122p +=，2p =，24y x =（2）将(1,)(0)A m m >代入抛物线，2m =，设直线:(1)l y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程：24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩⇒22(1)4k x x -=⇒2222(24)0k x k x k -++= 224(24)40k k ∆=+-≥恒成立212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩连接AF ，则2121112(1)2(1)22APQ AFP AFQ S S S x x x x ∆∆∆=+=⨯⨯-+⨯⨯-=- 2APQ S ∆=2222212121242(24)41()()44(2)4(2)2k x x x x x x k k k +-=+-=-=+-≤≤ 当2k =时，APQ S ∆有最小值为5当12k =时，APQ S ∆有最大值为85 所以答案为5,85⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查了抛物线的性质，弦长公式及面积的最值，利用图形把面积分为左右两部分可以简化运算，整体难度较大，注重学生的计算能力．20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，（1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内概率. 【答案】(1) 30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩(2) ①698.8元 ②0.54 【解析】【分析】（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩ （2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=；海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=；海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=（元） ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率： 0.240.300.54+=【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.21.已知函数()211x ax x f x e+-=+.其中12a >- （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()01f x ≤≤，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1124a -<≤- 【解析】【分析】（1）对()f x 求导得()()()12x ax x f x e '+-=-，按0a >，0a =，102a -<<分类讨论()f x '的正负，即可得()f x 的单调区间；（2）由()00f =及（1）知，当0a ≥时，不合题意；当102a -<<时，()1=0f x f a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭极小值恒成立，由()1f x ≤极大值，得14a -≤，要使()2111x ax x x f e+-=+≤，则当12x a >->时，210ax x +-≤恒成立，解出a 的取值范围即可.【详解】（1）()()()12xax x f x e '+-=- ①当0a >时，()()12xa x x a f x e ⎛'⎫+- ⎪⎝⎭=-，令()0f x '=，解得11x a =-，22x =，且12x x <， 当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()2,+∞；②当0a =时，()2x x f x e =-'-，所以，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞； ③当102a -<<时，令()0f x '=，解得12x =，21x a=-，并且12x x <， 当()1,2,x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当12,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<. 所以()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 综上：当0a >时，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()2,+∞；当0a =时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞； 当102a -<<时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由()00f =及（1）知，①当0a ≥时，()241211a f e +=+>，不恒成立，因此不合题意； ②当102a -<<时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ()()241=211a f x f e +=+≤极大值，得14a -≤，()121=110a f x f e e a -⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭极小值， 当1x a >-时，要使()2111x ax x x f e+-=+≤，则当12x a >->时，210ax x +-≤恒成立，即221111124a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭，故14a -≤，所以1124a -<≤-. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，极值，恒成立等问题，也考查了分类讨论的思想，解不等式，属于中档题.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，点(1,3)P --，直线l的参数方程为1,23x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=-+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0a ρθθρ+-=(0)a >，直线l与曲线2C 相交于A ，B 两点.（1）求曲线1C 与直线l 交点的极坐标（0ρ>，[0,2)θπ∈）；（2）若||||22PA PB ⋅=，求a 的值.【答案】（1）32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，74π⎫⎪⎭.（2）1a = 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把直线l 与曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程，再联立直线与圆的普通方程，求得交点坐标，化为极坐标即可．（2）先求得曲线2C 的普通方程，再将直线的参数方程与抛物线的普通方程联立，利用直线参数的几何意义结合一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【详解】（1）直线l 的普通方程为2y x =-，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y ++=. 联立222(1)1y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=-⎩， 所以交点的极坐标为32,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，74π⎫⎪⎭.（2）曲线2C 的直角坐标方程为22y ax ，将1,232x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入得2)4180t a t a -+++=. 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则有12418t t a =+， 所以1212||||41822PA PB t t t t a ⋅=⋅==+=，解得1a =.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线的参数方程的应用，考查了一元二次方程根和系数关系的应用及运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R .（1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]-【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式可得min ()|3|f x a =+=2，即可得出a 的值.（2）不等式()|5|f x x ≤+在[]0,1上恒成立等价于||2x a -≤在[]0,1上恒成立，故||2x a -≤的解集是[]0,1的子集，据此可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-.（2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+.据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤.优质资料\word 可编辑21 / 2121 所以实数a 的取值范围是[1,2]-.【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。