专题抛物线的解析式

抛物线平移后的解析式
当抛物线平移时，其解析式会发生变化。

假设原始抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c，如果我们将抛物线沿着x轴平移h个单位，那么新的抛物线解析式为y = a(x h)^2 + b(x h) + c。

其中，a、b、c分别代表抛物线的系数，h代表平移的单位数。

这个新的解析式代表了抛物线沿着x轴平移h个单位后的形状和位置。

需要注意的是，平移的方向取决于h的正负号。

如果h为正，抛物线向右移动；如果h为负，抛物线向左移动。

另外，如果抛物线不仅仅是沿着x轴平移，还可能进行y轴方向的平移，此时需要对解析式进行相应的调整。

总之，抛物线平移后的解析式可以通过简单的代数运算得出，而且可以清晰地反映出抛物线的位置和形状的变化。

求抛物线的解析式1（2011龙东五市）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。

（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。

（2）试确定抛物线的解析式。

2.（2011鸡西、绥化，齐齐哈尔）已知：二次函数y=43x²+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，–49）. （1）求此二次函数的解析式.注：二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=－ab2.3.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(－1，O)，B(4，5)两点，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；4已知抛物线2y ax bx=+经过点(33)A--，和点P （t，0），且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；xyoACB-2①、25（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式； .3.如图，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛的解析式.4如图已知抛物线23233y x x =-++与x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标；xyB A'P P 1OCD... . . . AO P xy- 3 - 3ABC5如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .（1）写出h k 、的值；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；.6 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请专题三（省2012中考展望1如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．第25题图A BCO xy（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′ 是否在该抛物线上？请说明理由．2.已知二次函数y = -12x2-x +32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．3.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若抛物线cxxy+--=22经过点A。

抛物线的解析式的三种形式抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。

（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。

但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。

两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。

当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。

在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。

仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅FM FN = A ．5B ．6C ．7D ．82．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．103．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A B ．23C ．2D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．（2015浙江）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++6．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，7．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．72 B ．52C ．3D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332 D ．949．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4310．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．17．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 ．19．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．21．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题22．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。

<备战2023年高考数学一轮复习讲义>专题38 抛物线1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 22(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为2 ，则 p = （ ） A ．1 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则其到直线x -y+1=0的距离为1222pd +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（14，0） B ．（12，0） C ．（1，0） D ．（2，0）【答案】B【解析】因为直线 2x = 与抛物线 22(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ，根据抛物线的对称性可以确定 4DOx COx π∠=∠=，所以 (2,2)C ，代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1(,0)2， 故答案为：B.1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ⅡRx ≤0，y ⅡRy ≥0，x ⅡRy ≤0，x ⅡR焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|F A |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .考点一 抛物线的定义和标准方程1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，Ⅱ Ⅱ则|PF |＝|PD |， |PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图Ⅱ，当点P ，M ，F 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p22＝41， 解得p ＝22或p ＝58.当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p ＝42或p ＝22.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD Ⅱl ，交l 于D .若|AF |＝4，ⅡDAF ＝60°，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4， 又ⅡDAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 考点二 抛物线的几何性质3．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线C 的准线交于点D .若|AF |＝8，则以下结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝F A → C ．|BD |＝2|BF | D ．|BF |＝4 【答案】ABC【解析】如图所示，分别过点A ，B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点E ，M ，连接EF .设抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF |＝p .因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.因为AE Ⅱx 轴，所以ⅡEAF ＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE |＝|AF |， 则ⅡAEF 为等边三角形， 所以ⅡEFP ＝ⅡAEF ＝60°， 则ⅡPEF ＝30°，所以|AF |＝|EF |＝2|PF |＝2p ＝8，得p ＝4， 故A 正确；因为|AE |＝|EF |＝2|PF |，且PF ⅡAE ，所以F 为AD 的中点，则DF →＝F A →，故B 正确； 因为ⅡDAE ＝60°，所以ⅡADE ＝30°， 所以|BD |＝2|BM |＝2|BF |，故C 正确； 因为|BD |＝2|BF |，所以|BF |＝13|DF |＝13|AF |＝83，故D 错误．考点三 直线与抛物线【方法总结】(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式． 4．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |. 【答案】设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ， 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1. 故|AB |＝4133.一、单选题1．（2022·浙江模拟）抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】D 【解析】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =， 故答案为：D.2．（2022·四川模拟）如图，抛物线()220E x py p =>：的焦点为F ，准线与y 轴交于点D ，O 为坐标原点，P 是抛物线上一点，且60PFO ∠=︒，则PDDF=（ ）A ．273B ．72C ．73D ．23【答案】C【解析】如图，过P 作PH 垂直y 轴于H ，过P 作PB 垂直准线于B ，设FH t =，则因为60PFO ∠=︒，结合抛物线的基本性质有2FP PB HD t ===，3PH t =，()22327PD t t =+=.所以||77||23PD t DF t t ==+ 故答案为：C3．（2022·淄博模拟）已知抛物线22(0)C y px p =>：的准线被圆224x y +=所截得的弦长为23p =（ ） A ．1 B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由题，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有222230A A A A x y y x +==<，，，解得1A x =-，故12p-=-，得2p =， 故答案为：C4．（2022·山东模拟）已知O 为坐标原点，抛物线214x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．4716C ．23D ．22【答案】D【解析】由题意得24y x =，所以准线为1x =-， 又因为||3MF =，设点M 的坐标为()00x y ，， 则有013MF x =+=，解得：02x =将02x =代入解析式24y x =得：022y =±，所以M 点到x 轴的距离为22 故答案为：D ．5．（2022·聊城模拟）抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【答案】C【解析】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =- 故答案为：C6．（2022·郑州模拟）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．15【答案】B【解析】由题意，()10F ，，设()()1122A x y B x y ，，，， 若直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线的方程为()1y k x =-，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即()2222240k x k x k -++=，121x x =，又因为11AF x =+，21BF x =+，1200x x >>，， 则()1212222211414145452459AF BF x x x x x x x x +=+++=++=++≥⨯=， 当且仅当1242x x ==时取等号.若直线AB 的斜率不存在，则直线的方程为1x =，则2AF BF ==，此时4109AF BF +=>.综上，4AF BF +的最小值为9。