1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(滕州二中新校，277500)整体分析教材分析本节内容是数学4 第一章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第一小节，是在学生掌握了几个基本初等函数及其画法又学习了任意角的三角函数、三角函数线的基础上，形成对三角函数图象的“形”的直观，为以后学习正弦函数sin()y A x ωϕ=+的图象以及运用数形结合的思想研究正弦、余弦函数的性质奠定了基础，是第一章乃至高中数学的重要内容.本节课的重点是正弦函数、余弦函数的图象、五点作图法；难点是将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点，正弦函数与余弦函数之间的关系.通过对正弦图象形成过程的探究，加深学生对数形结合思想的人认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的唯物主义观.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解正弦函数、余弦函数的图象及五点作图法.教学目标重点: 正弦函数、余弦函数的图象、五点作图法.难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点，正弦函数与余弦函数之间的关系． 知识点：正弦函数、余弦函数图象，五点作图法.能力点：利用五点作图法画出正弦函数、余弦函数的图象.教育点：让学生经历正弦函数图象画法的过程及方法，通过对图像的感知，养成善于发现、善于探究的良好习惯.自主探究点：把正弦函数的图象由[0,2]π推广到整个定义域上.考试点：用五点作图法画正弦函数、余弦函数图象，利用图象解决简单的数学问题.易错易混点：正弦函数与余弦函数的图象记错、记混；用五点作图法作图时学生常会犯计算错误. 拓展点：如何利用正弦函数、余弦函数的图象得到他们的性质.教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、 复习回顾、引入新课三角函数线sin x MP =cos x OM = 前面我们学习函数时一般是先画出函数的图象,再根据图象研究函数的性质,我们要研究三角函数,首先要画出正弦函数和余弦函数的图象,今天我们要研究的是怎样用几何法画出正弦函数在[0,2]π上的图象.【师生活动】学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生【设计意图】有了上述实验,学生对正弦函数、余弦函数的图象有了一个直观的印象.【设计说明】通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成对正弦曲线的初步认识,进而对正弦曲线的准确作法进行探索,养成善于发现、善于探究的良好习惯.二、探究新知探究1：利用正弦线作正弦函数的图象.【师生活动】教师给出问题，学生解答，师生共同分析.【设计说明】由教师提问，学生分析讨论，层层深入地进入课题的探究，让学生在自主合作探究中解决、理解重难点.问题1：把圆周角12等分，如果角x 是其中一个角，那么把它平移到起点与x 轴上的x重合之处，正弦线的另一端点的坐标与sin y x =是什么关系？【设计意图】利用具体问题探究讨论，降低探究问题的难度.生：另一端点的横坐标为x ,纵坐标为正弦线的长度即sin x .那么，(,sin )x x 在正弦图象上.如此可得正弦函数图象上的12个点，用光滑曲线连接起来，得到正弦函数在[0,2]π上的图象.问题2：观察上图，发现当角2απ≥时，正弦线呈现一种“周而复始”的变化，[2,4]αππ∈时正弦函数的图象与正弦函数在[0,2]π上的图象是否一致？【设计意图】直接指明问题研究的方向，给学生一个明确的思路探究下面的问题.生：图象形状一致，试着画出sin y x =在R 上的图象.问题3：公式六里我们学过sin()cos 2x x π+=，你能结合初中学过的平移由正弦函数的图象得到余弦函数的图象吗？(提示：左加右减，上加下减)【设计意图】利用已知，探究未知，让学生加深对正弦函数的识记. 生：像左平移2π个单位，整个函数图象的形状不变.师：用课件展示平移，可多展示几遍，让学生形成“形”的直观.【设计意图】让学生体验知识的形成，深刻理解知识点.探究二：五点作图法问题4：如图中，哪几个点对画正弦函数的图象非常关键？【设计意图】让学生分析理解五点作图法中的五点的来源.生：最高点(,1)2π，最低点3(,1)2π-三个与x 轴的交点(0,0),(,0),(2,0)ππ.师：当对图像的精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线把它们连接起来得到函数的简图，这种方法叫做五点作图法.步骤：描点、连图.三 理解新知回顾总结：如何画一个正弦函数或一个余弦函数的图象？【设计意图】让学生加深对知识的理解，把五点作图法与作正弦函数、余弦函数图象结合起来.生：以正弦函数为例，因为五点作图法只能作出函数在[0,2]π上的图象，所以和学习正弦函数的过程一样，我们可以先作出正弦函数在[0,2]π上的图象，在根据“周而复始”的规律，把图象拓展到整个定义域上. 师：对学生给予适当评价后，强调在这个过程中，我们要准确的求出这五个关键点的坐标，然后建立直角坐标系，逐个描点，再用平滑的曲线把五点连接起来，最后拓展到整个定义域上.但在实际应用中，往往只是要求画出某个区间的函数图象，这时候在作图时就要注意这个范围.四 应用新知例1画出下列函数在[0,2]π上的图象（1）1sin y x =+（2）cos y x =-【设计意图】利用已知，探究未知,加深学生对正弦函数、余弦函数图象的记忆和对五点作图法的理解. 生：用五点作图法画图.师：那么怎么利用我们的已知条件，找这五个点的坐标.生：可以利用正弦函数在这五点的函数值求1sin y x =+的函数值.【设计说明】本题由教师板书演示，学生识记这类题型的一般步骤.描点并用光滑的曲线把它们连接起来：(2) cos y x =-【设计说明】由学生板书，教师订错.描点并用光滑的曲线连接起来练习1 用五点作图法作函数1cos y x =-在[0,2]π上的图象.[设计意图] 利用这个练习，进一步巩固学生对五点作图法的掌握.【设计说明】由三个小组各派一名代表在黑板前做题，其他同学在下面画图，并给上面同学检查完善，比较哪个小组的图象画得好.描点后用光滑的曲线连接起来【能力提升】例2 不等式1cos 2x ≥在[0,2]π上的解集. 【设计意图】把三角函数同不等式、集合结合起来，引导学生从几何的角度来解决代数问题.【设计说明】分析已知的条件，先用五点作图法作出余弦函数在[0,2]π上的图象，然后画出直线12y =，由学生分析不等式的解集对应着横坐标轴上的哪部分.变式联系：3sin 2x ≥在[0,2]π上的解集.【设计意图】熟练掌握从几何角度解决代数问题.五、课堂小结1．正弦函数的图象，由正弦函数平移得到余弦函数的图象；2．用五点作图法作函数图象．3.一类三角函数的不等式，从几何角度解决代数问题.六、布置作业1．阅读教材P34—35；2.书面作业必做题：P46 习题1.4 A 组 1.（1）、（2）,B 组 1.（1） 选做题：1.画出函数sin ,[,]y x x ππ=∈-的图象.2.根据函数cos y x =的图象解不等式：31cos 2x ≤≤.[设计意图] 巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生收获的需要，增强学生学习数学的愿望和信心.七、教后反思1.本节课能循序渐进、由简单到复杂地画出正弦函数的图象，并针对图像的特征定义了五点作图法，使学生对知识的来源比较清晰；本节课的知识点决定课堂上学生动手作图的环节占很大比重；2.本节课在例题和练习的设计上能做到由易到难、前后联系，使学生对知识的理解和认识逐渐加深，起到潜移默化的作用；3.本节课的教育点是让学生“参与知识的形成，体会数学的美”，但在教学过程中，还是不能很好地驾驭课堂，没能调动起学生的积极性，故而本节课的环节大多不是学生主动参与的，而是被动参与的，这种课堂模式在今后要有所改变.八、板书设计。

第一章 三角函数1．4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象[A 组 学业达标]1．函数y ＝－cos x (x >0)的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 B ．(π，1) C ．(0，1)D ．(2π，1)解析：用五点作图法作出函数y ＝－cos x (x >0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标为(π，1)．答案：B2．用“五点法”作函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0 解析：令4x －π6＝3π2，得x ＝5π12，∴该点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0.答案：A3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )时的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：由正弦函数y ＝sin x 在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )时的图象可知C 项不正确． 答案：C4．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：当x ＝－π2时，y ＝－sin x 取得最大值1，当x ＝3π2时，y ＝－sin x 取得最大值1，故选D. 答案：D5．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C. 答案：C6．方程x ＋sin x ＝0的根有________个．解析：作y ＝sin x 与y ＝－x 的图象交点为(0，0)． 答案：17．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点坐标为________． 解析：作出函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y ＝4的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，48．在[0，2π]内，不等式sin x <－32的解集是________． 解析：画出y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象如图：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0，2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，53π9．用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．解析：找出五个关键点，列表如下：u ＝x ＋π6π2π3π22πx －π6 π3 5π6 4π3 11π6 y ＝cos u1－11描点并将它们用光滑的曲线连接起来．10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤⎭⎪⎬⎪⎫x ≤5π3.[B 组 能力提升]11．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内 ( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：在同一坐标系中作出函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图象，如图所示．由图知两函数的图象有两个交点，所以方程|x |＝cos x 有两个根． 答案：C12．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图象为( )解析：y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，故选D. 答案：D13．函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是________．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝12的图象，如图所示．当f (x )>12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象的上方，此时－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k ∈N )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <0或π6＋2k π<x <5π6＋2k π（k ∈N ） 14．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．解析：分别作出y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象x ∈(0，2π)(图略)，使y ＝sin x 位于y ＝cos x 上方的部分为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π15．方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．解析：首先作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象，然后再作出y ＝1－a 2的图象，如图所示．由图象知，如果y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π与y ＝1－a 2的图象有两个交点，那么方程sin x ＝1－a 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π就有两个不相等的实数根．由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时有两个不相等的实数根．16．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．解析：列表如下：x －π－π20π2πsin x 0－10101－2sin x 131－1 1(1)①由图象可知，当y>1时，－π<x<0，即(－π，0)．②当y<1时，区间为(0，π)．(2)当1<a<3或－1<a<1时y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点．。