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a
b
[a, b], 满足
a
b
f ( x ) g( x )dx g(a ) f ( x )dx .
a
x I 若 g(a ) 0, 则 m M . 由 F ( x ) f ( t )dt a g(a )
的连续性 , 存在 [a , b], 使
F ( )
a
b
f ( x ) g( x )d x g(a ) f ( x )d x g(b) f ( x )d x .
a
b
证 若 g 为单调递减函数， 令 h( x ) g( x ) g(b), 则 h 非负、单调减, 由定理 9.11(i)， [a , b], 使
a
b
i 1 i 1 n 1
于是 mg(a ) I 2 Mg(a ).
(4) 综合 (2), (3), 得到
mg(a ) I1 I 2 Mg(a ) . 令 0, 便得 mg(a ) I Mg(a ).
变限积分与原函数的存在性
(5) 若g(a ) 0, 则I f ( x ) g( x )dx 0, 此时任取
u
a
d x 2 e x d f ( t )d t dx a du
2
u
a
d 2 x (x e ) f ( t )d t dx
x x
f (u)(2 x e x ) f ( x e )(2 x e )
变限积分与原函数的存在性
例2. 求 解: 用罗比达法则 原式 lim cos x ln(1 sin x ) x 0 2x
( x ) lim f ( x Δx ) f ( x ).
Δx 0
变限积分与原函数的存在性
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似
乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连 续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
变限积分与原函数的存在性
定理9.9（变上限定积分的连续性）
若 f 在 [a, b] 上可积, 则 ( x ) f ( t )dt 在 [ a , b ]
a
x
上连续 .
证 x [a , b], 若x x [a , b], 则
Δ
x x
a
f ( t )dt f ( t )dt
F ( x ) f (t ) d t C .
a
x
用 x a 代入 , 得F (a ) C；再用x b代入，则得
a
b
f ( t ) d t F (b) F (a ).
变限积分与原函数的存在性
例1. 求下列积分上限和积分下限函数的导数：
1)
b
x
t 2 ln t d t;
F ( xi )[ g( xi 1 ) g ( xi )] F (b ) g ( xn1 ).
i 1 n1
F ( xn1 )[ g( xn 2 ) g( xn1 )] F ( xn ) g( xn1 )
变限积分与原函数的存在性
由对g的假设， g( xn1 ) 0, g( xi 1 ) g( xi ) 0. 记
即
a
I f (t ) d t , g(a )
a
a
b
f ( x ) g( x ) d x g(a ) f ( x ) d x .
变限积分与原函数的存在性
推论
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积,g( x ) 在 [a , b] 上单调, 则存在 [a , b], 使
n i 1
| f ( x ) | | g( x ) g( xi 1 ) | d x L ig Δ xi .
变限积分与原函数的存在性
因g可积，故T : a x0 x1 xn b, 使
i 1 x
n
n
g i
Δxi
L
| I1 | .
(3) 设 F ( x ) f (t )dt , 则
变限积分与原函数的存在性
定理9.10（微积分学基本定理）
若 f 在 [a, b] 上连续, 则 ( x ) f ( t )dt 在 [a , b]
a
x
上处处可导,且 d x ( x ) f ( t )dt f ( x ), x [a , b]. dx a 证 x [a , b], 当x 0, 且x x [a , b]时， Δ 1 x Δx f ( t )dt f ( x x ), 0 1. Δx Δx x 由于 f 在 x 处连续，因此
数学分析 第九章 定积分 本节将介绍微积分 学基本定理 , 并用以证明 连续函数的原函数的存在 性 . 在此基础上又可导出 定积分的换元积分法与分 部积分法.
§5 微积分学基本定理
一、变限积分与原函数的 存在性 二、换元积分法与分部积 分法 三、泰勒公式的积分型余项
*点击以上标题可直接前往对应内容
变限积分与原函数的存在性
a
x x
x
x x
x
f ( t )dt .
因 f 在 [a, b] 上有界, 故 M , | f ( t ) | , x [a, b].
于是 | Δ |
Δx0
x
f ( t )dt | Δx | , 从而
lim Δ 0. 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续.
π 2 0 3 2 3 2
2 2 π sin x sin x π 5 0 5 2 2 2 4 ( ) .（必须注意偶次根式的非负性） 5 5 5
5 2
π 2
换元积分法与 分部积分法
i 1 n xi x i 1
i 1
f ( x )dx I1 I 2 .
(2) 因 | f ( x ) | L, x [a, b], 故
| I1 |
i 1 n
x
i 1 xi
xi 1
n
xi
i 1
f ( x ) [ g( x ) g( xi 1 ) ]d x
5 1. （不变元,不变限）
例4 求
0
4
x2 2x 1
换元积分法与 分部积分法
d x.
2 t2 1 t 3 , dx tdt , x 2 ; 解 设t 2 x 1, 则x 2 2 x 0时 t 1, x 4时 t 3. 于是
0
4
x2 1 3 2 dx ( t 3)dt 2x 1 2 1 3 1 t3 1 27 1 ( 3t ) [ ( 9) ( 3) ] 1 2 3 2 3 3 22 . （变元,变限） 3
f ( x )h( x )dx h(a ) f ( x )d x
a
[ g(a ) g(b)] f ( x )d x .
a
变限积分与原函数的存在性
因此
a
b
f ( x ) g( x ) d x g(b) f ( x ) d x
a
b
[ g(a ) g(b) ] f ( x )d x ,
换元积分法与 分部积分法
若 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续, ( t ) 在 [ , ] 上连续可微,
且 ( ) a , ( ) b, a ( t ) b, t [ , ],
则
b
a
f ( x )dx f ( (t )) (t )dt .
证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
a x0 x1 xn b, (1) 对任意分割 T：
I f ( x ) g( x )dx
i 1
b
n
xi x i 1
a n
f ( x ) g( x )dx
xi
xi 1
f ( x ) [ g( x ) g( xi 1 ) ]d x g ( xi 1 )
换元积分法与 分部积分法
例5
求
0
π
sin x sin xdx .
3 5 5
π 3 2 0
解
0
π
sin x sin xdx sin x | cos x | dx
3
π 2 0 3 2 π π 2 π π 2 5 2 3 2
sin x cos xdx sin x ( cos x )dx sin x d(sin x ) sin x d(sin x )
sin x lim(-cos x )lim x 0 x 0 2 x
1 1 ( 1) 2 2
变限积分与原函数的存在性
定理9.11（积分第二中值定理）
设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g( x ) 0, 则存
在 [a , b], 使
a
b
换元积分法与 分部积分法
注 与不定积分不同之处: 定积分换元后不一定要
用原变量代回. 一般说来，用第一换元积分法时，
保留原积分变量，因此不必改变积分限; 用第二换
元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.
xdx 1 x2
例3
解
求
2
0
.
2 0
0
2
xdx 1 2 d1 x 2 1 2 2 1 x 2 0 2 12 2 1 x 2 1 x
