中考复习(线,角,三角形与证明)[下学期]--浙教版

一．比例线段 1．比例线段 (1)定义:在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那 么这四条线段叫做成比例线段．(2)性质:若a b ＝cd ，则ad ＝bc.当b ＝c 时，b 2＝ad ，那么b 是a 、d 的比例中项． (3)黄金分割点:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例(1) 基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2) 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 二．角、相交线、平行线 1. 直线、射线、线段 2. 角：余角、补角、对顶角3. 垂直：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线最短。

4. 点到直线的距离5. 角的平分线a) 性质：角的平分线上到角两边的距离相等b) 判定：角的内部到两边的距离相等的点在角平分线上。

6. 线段的垂直平分线c) 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等d) 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

几何初步与三角形知识讲解7. 平行线e)概念：同一个平面内，不相交的两条直线。

f)公理：经过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行．g)推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

h)性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

i)判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．j)平行线间的距离：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，两条平行线间线段的长度叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离处处相等。

8. 命题：k)定义：判定一件事情的句子。

l)分类：真命题、假命题。

新浙教版中考数学几何考点复习直线：没有端点，没有长度射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度线段：两个端点，有长度一、图形的认知1、余角；补角：邻补角:二、平行线知识点1、对顶角性质：对顶角相等。

注意：对顶角的判断2、垂线、垂足。

过一点有条直线与已知直线垂直3、垂线段；垂线段长度==点到直线的距离4、过直线外一点只有一条直线与已知直线平行5、直线的两种关系：平行与相交（垂直是相交的一种特殊情况）6、如果a∥b，a∥c，则b∥c7、同位角、内错角、同旁内角的定义。

注意从文字角度去解读。

8、两直线平行====同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三、命题、定理1、真命题；假命题。

4、定理：经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

四、平移1、平移性质：平移之后的图形与原图形相比，对应边相等，对应角相等五、平面直角坐标知识点1、平面直角坐标2、象限：坐标轴上的点不属于任何象限横坐标上的点坐标：（x，0）纵坐标上的点坐标：（0，y）3、距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的绝对值坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为x1-x2的绝对值点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为y1-y2的绝对值4、角平分线：x=yx+y=05、若直线l与x轴平行，则直线l上的点纵坐标值相等若直线l与y轴平行，则直线l上的点横坐标值相等6、对称问题：7、距离问题（选讲）：坐标系上点（x，y）距原点距离为坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为8、中点坐标（选讲）：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为六、与三角形有关的线段1、三角形分类：不等边；等腰；等边三角形2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

依据：两点之间，线段最短3、三角形的高：4三角形的中线：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小4、三角形的角平分线：七、与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

浙教版初三下册数学度末高效复习专项4相似三角形（解析版）专题4 相似三角形题型一 比例线段、平行线分线段成比例定理例 1 如图1，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ∶AF ＝3∶5，BE ＝12，那么CE 的长等于__245__． 图1 【解析】 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，即35＝BC 12，∴BC ＝365，∴CE＝BE －BC ＝12－365＝245.【点悟】 利用平行线分线段成比例定明白得题时，要注意找好对应线段，通常用左上左下＝右上右下，左上左全＝右上右全等关系分段查找． 变式跟进1．[2021·镇江]如图2，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点落在边BC 上，已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为__2＋34__．图2【解析】 ①由条件“DE ∥AC ”可得△BDE ∽△BAC ，即有BD BA ＝BE BC ；②由题意可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′＝BC －D ′C ＝BC －4，AB ＝6.设BC ＝x ，由①，②可列方程：x －46＝5x ，解得x ＝2＋34(负值舍去)，故BC 的长为2＋34.题型二 相似三角形的判定例 2 [2021·祁阳期末]已知：如图3，∠1＝∠2，AB ·AC ＝AD ·A E.图3求证：∠C ＝∠E.证明：在△ABE 和△ADC 中，∵AB ·AC ＝AD ·AE ，∴AB AD ＝AE AC ，又∵∠1＝∠2，∴△ABE ∽△ADC ，∴∠C ＝∠E.【点悟】 判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采纳相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．变式跟进2．[2021·随州]在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__53或125__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．【解析】 ∵∠A ＝∠A ，分两种情形：①当AD AE ＝AB AC 时，△ADE ∽△ABC ，即2AE ＝65，∴AE ＝53；②当AD AE ＝AC AB 时，△ADE ∽△ACB ，即2AE ＝56，∴AE ＝125.综上所述，当AE ＝53或125时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．3．[2021·嘉兴模拟]已知：如图4，四边形ABCD 是正方形，∠PAQ ＝45°，将∠PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形ABCD 的两个外角∠EBC 和∠FDC 的平分线分别交于点M 和N ，连结MN.图4(1)求证：△ABM ∽△NDA ；(2)连结BD ，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠BAD ＝90°，∵BM ，DN 分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM ＝∠ADN ＝135°，∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＝∠AND ＝45°－∠DAN ，∴△ABM ∽△NDA ；(2)当∠BAM ＝22.5°时，四边形BMND 为矩形．证明：∵∠BAM ＝22.5°，∠EBM ＝45°，∴∠AMB ＝22.5°，∴∠BAM ＝∠AMB ，∴AB ＝BM ，同理AD ＝DN ，∵AB ＝AD ，∴BM ＝DN ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴∠BDN ＝∠DBM ＝90°，∴∠BDN ＋∠DBM ＝180°，∴BM ∥DN ，∴四边形BMND 为平行四边形，∵∠BDN ＝90°，∴四边形BMND 为矩形．题型三 相似三角形的性质例 3 如图5，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′＝__2－1__．图5【解析】 设BC 与A ′C ′交于点E ，由平移的性质知，AC ∥A ′C ′，∴△BEA ′∽△BCA ，∴S △BEA ′∶S △BCA ＝A ′B2∶AB2＝1∶2，∵A B ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝AB －A ′B ＝2－1.【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比．变式跟进4．[2021·自贡]如图6，在△ABC 中，MN ∥BC ，分别交AB ，AC 于点M ，N ，若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为__1__．图6【解析】 ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴AM AB ＝MN BC .∵AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，∴11＋2＝MN 3，解得MN ＝1. 5．如图7，有一块三角形的余料ABC ，要把它加工成矩形的零件，已知：BC ＝8 cm ，高AD ＝12 cm ，矩形EFGH 的边EF 在BC 边上，G ，H 分别在AC ，AB 上，设HE 的长为y cm ，EF 的长为x cm.(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当x 取多少时，四边形EFGH 是正方形？图7解：(1)∵BC ＝8 cm ，高AD ＝12 cm ，HE 的长为y cm ，EF 的长为x cm ，四边形EFGH 是矩形，∴AK ＝AD －y ＝12－y ，HG ＝EF ＝x ，HG ∥BC ， ∴△AHG ∽△ABC ，∴AK AD ＝HG BC ，即12－y 12＝x 8，∴y ＝12－32x ； (2)由(1)可知，y 与x 的函数关系式为y ＝12－32x ，∵四边形EFGH 是正方形，∴HE ＝EF ，即x ＝y ，∴x ＝12－32x ，解得x ＝245. 答：当x ＝245时，四边形EFGH 是正方形．题型四 位似图形及其画法例 4 如图8，在平面直角坐标系中有△ABC ，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为( C )图8A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(8，6)，(6，2)，(2，4)C ．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4)D ．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，(－6，2)，(－2，4)【解析】 由坐标系可知，点A ，点B ，点C 的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，∵以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2，－3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，－4)．【点悟】 假如位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k 或－k.变式跟进6．[2021·烟台]如图9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB 与△A ′OB ′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A ，B 都在格点上，则点B ′ 的坐标是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43 ． 图9【解析】 由题意，将点B 的横、纵坐标都乘以－23，得点B ′的坐标．由B 的坐标(3，－2)，得B ′的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，43. 7．如图10，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；(2)以M 点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C 2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1；(3)求出A2，B2，C2三点的坐标．图10 第7题答图解：(1)如答图所示，△A1B1C1即为所求；(2)如答图所示，△A2B2C2即为所求；(3)A2(3，6)；B2(5，2)；C2(11，4)．题型五 相似三角形的综合例 5 [2021·泰安]如图11，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，A C 平分∠BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD ⊥AD.(1)证明：∠BDC ＝∠PDC ；(2)若AC 与BD 相交于点E ，AB ＝1，CE ∶CP ＝2∶3，求AE 的长． 图11 例5答图解：(1)证明：∵AB ＝AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°，∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC ＋∠PDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC ；(2)如答图，过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC ＝∠PDC ，∴CE ＝CM ，∵∠CMP ＝∠ADP ＝90°，∠P ＝∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴CM AD ＝PC PA ， 设CM ＝CE ＝x ，∵CE ∶CP ＝2∶3，∴PC ＝32x ，∵AB ＝AD ＝AC ＝1， ∴x 1＝32x 32x ＋1，解得x ＝13，∴AE ＝1－13＝23.变式跟进8．[2021·甘肃]如图12，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q.(1)如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP ＝AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；(2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ，并求当BP ＝2，CQ ＝9时BC 的长．图12解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C ＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠DEF ＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC ＋∠C ，即∠BEP ＋∠DEF ＝∠EQC ＋∠C ，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC ＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC ，∴△BPE ∽△CEQ ，∴BP CE ＝BE CQ ，∵BP ＝2，CQ ＝9，BE ＝CE ，∴BE2＝18，∴BE ＝CE ＝32，∴BC ＝6 2.过关训练1．[2021·兰州模拟]若△ABC ∽△A ′B ′C ′，已知AB ＝6 cm ，A ′B ′＝3 cm ，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为( D )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，A ′B ′＝3 cm ，∴其相似比＝AB A ′B ′＝63＝21，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比＝(AB ∶A ′B ′)2＝4∶1.2．[2021·常熟期末]如图1，△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件中不能判定△ADE ∽△ACB 的是( D )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AC ＝AE AB D.AD AC ＝DE BC图1 图23．[2021·潍坊]如图2，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__∠A ＝∠BFD(答案不唯独，合理即可)__，能够使△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)【解析】 ∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB ＝13，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴∠AED ＝∠B.故要使△FDB 与△ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．4．[2021·六盘水]如图3，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__．图3 第4题答图【解析】 如答图，过O 点作OM ∥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴OM 是△ABD 的中位线，∴AM ＝BM ＝12AB ＝52，OM＝12BC ＝4，∵AF ∥OM ，∴△AEF ∽△MEO ，∴AE EM ＝AF OM ，∴22＋52＝AF 4，∴AF ＝169.5．如图4，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝45°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若AB ＝2，BD ＝1，求CE 的长．图4解：(1)证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，又∵∠DEC ＝∠ADE ＋∠CAD ＝45°＋∠CAD ，同理∠ADB ＝∠C ＋∠CAD ＝45°＋∠CAD ，∴∠DEC ＝∠ADB ，又∵∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABD ∽△DCE ；(2)∵AB ＝2，∴BC ＝22， ∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ， ∴21＝22－1CE ，∴CE ＝22－12.6．如图5，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，A E ⊥EF ，有下列结论：①∠BAE ＝30°；②S △ABE ＝4S △ECF ；③CF ＝13C D ；④△ABE ∽△AEF.正确结论的个数是( B )图5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 先依照正方形的性质与同角的余角相等，证得△BAE ∽△C EF ，则可证得②正确，①③错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得△ABE ∽△AEF ，④正确．故选B.7．如图6，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于__78__．图6 第7题答图【解析】 如答图，连结AE.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，DE ⊥BC于点E ，∴∠BAC ＝∠CED ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ＝20－525，故CE ＝12，∴BE ＝25－12＝13，∴S △ABE ＝1325S △ABC ，∵S △ABC ＝150，∴S △ABE ＝1325×150＝78.8．[2021·内江]如图7，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为157，则四边形AMCD 的面积是__1__．图7 第8题答图【解析】 如答图，分别延长BA 和CD 交于点E.∵AM ＝13AB ，∴AM ＝12BM.∵CM 是∠BCD 的平分线，CM ⊥AB ，∴EM ＝BM.∴AM ＝12EM ，∴AE ＝12EM ，∴AE ＝14BE.∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△EBC ，∴S △EAD S △EBC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即S △EAD S △EAD ＋157＝116，解得S △EAD ＝17，∴S △EBC ＝17＋157＝167，∴S四边形AMCD ＝12S △EBC －S △EAD ＝12×167－17＝1. 9．[2021·门头沟区期末]在一节数学课上，老师出示了如此一个问题让学生探究：已知：如图8，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一动点，点F在BC 上，且CF BF ＝12，连结DF 交AC 于点E.图8(1)当点E 恰为DF 的中点时，要求出AD AB 的值；(2)当DE EF ＝a(a ＞0)时，要求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)．摸索片刻后，同学们纷纷表达自己的方法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题； 丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 延长线于点G ，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的方法都能够”．请参考上面某一种方法，完成第(1)问的求解过程，并直截了当写出第(2)问AD AB 的值．解：(1)甲同学的方法：如答图①，过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G . ∴∠GFE ＝∠ADE ，∠FGE ＝∠DAE ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF .∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF.∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB ，∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13. ∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13.第9题答图① 第9题答图②乙同学的方法：如答图②，过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，则AD AG ＝ED EF . ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG ，∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB . ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13.∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13.丙同学的方法：如答图③，过点D 作DG ∥BC 交CA 延长线于点G . ∵∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF ，∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF.∴DG ＝FC.∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13；第9题答图③ 第9题答图④(2)如答图④，过点D 作DG ∥BC 交CA 延长线于G .∴∠C ＝∠G ，∠CFE ＝∠GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF .∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ，∴DG ＝aFC.∵DG ∥BC ，∴∠C ＝∠G ，∠B ＝∠ADG ，∴△ADG ∽△ABC.∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF.∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3.。