黑龙江省哈三中2012届高三上学期期末考试数学(理)试题

哈三中2011-2012学年度上学期期中考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r, 则BC =u u u r A ．()11，B ．()11--，C ．()73，D ．()73--，2. 函数)1(log 11)(2++-=x x x f 的定义域是A ．]1,1[-B ．]1,1(-C ．）1,0()0,1(⋃-D ．]1,0()0,1(⋃- 3. 若偶函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，则下列关系式中成立的是A ．)43()32()21(f f f >->B ． )32()43()21(f f f >-> C ．)32()21()43(f f f >-> D ．)21()32()43(f f f >>-4. 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有下列命题： ① 若n m ,α⊂∥α，则m ∥n ② 若m ∥α，m ∥β，则α∥β③ 若m n ,=βαI ∥n ，则m ∥α且m ∥β④ 若βα⊥⊥m m ,，则α∥β 其中真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ． 3个5. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 A ．30B ．45C ．90D ．1866. 已知)3,(-=x ，)1,2(-=，),1(y =，若)(-⊥，b ∥)(+，则b 与c 的夹角为A ．0B ．4πC ．2π D ．π 7. 要得到x x x y cos sin cos 32+=的图象，只需把x y 2sin =的图象上所有点A ．向左平移6π个单位，再向上移动23个单位B ．向左平移6π个单位，再向下移动23个单位C ．向右平移6π个单位，再向上移动23个单位D ．向右平移6π个单位，再向下移动23个单位8. 正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为A ．3B ．6C ．9D ．189. 已知1027)4(sin =-πα，257cos2=α，=+ααcos sin A ．54 B ．54- C ．51 D ． 51- 10．如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A 、B 、C 是展开图上的三点,则正方体盒子中,ABC ∠的值为A ．ο180 B ．ο120C ．ο60D ．ο4511. ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，︒=60B ,ABC ∆的面积为23，那么=bA ．2B ．3C ．2D ．312．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90S >，100S <，则12a ，222a ，L ，992a 中最大的是A ．12aB ．552aC ．662aD ．992a第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）13．在一个数列中，如果*N n ∈∀,都有k a a a n n n =++21（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积；已知数列{}n a 是等积数列，且2,121==a a ，公积为6，则=++++9321a a a a Λ14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________3cm15．已知),3(),1,2(λλ=+=，若与夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 16．已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)(<'x f ，则212)(+<x x f 的解集为主视图侧视图三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，且第二项、第四项、第十四项分别是等比数列{}n b 的第二项、第三项、第四项 （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n a c +=16，求数列{}n c 的前n 项和n S 的最大值．18. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2=c ，3π=C（1）求ABC ∆的面积S 的最大值；（2）若A A B C 2sin )sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．19.在数列{}n a 中，11a =，()22112na n a nn =++ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．如图，已知⊥AB 面ACD ，⊥DE 面ACD ，且4===DE AD AC ,2=AB ,F 为CD 的中点（1）求证：AF ∥面BCE ；(2) 若ο90=∠CAD ，求三棱锥BCE F -的体积.FEC ABD21．已知函数11ln )(--+-=xaax x x f （∈a R ） （1）当1-=a 时，求曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程； （2）当10≤≤a 时，试讨论)(x f 的单调性．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在ABC ∆中，AC AB =，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D （1）求证：BDPDAC PC =； （2）求证：AD AP ⋅AC AB ⋅=．23. 已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 936+=(1) 写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2) 以极点为原点O ，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线l 与曲线C 交于A ，B两点，求OAB ∆的面积．24．已知函数121)(++-=x x x f（1）解不等式()5;f x >（2）若不等式a a x f -<2)(的解集为空集，求a 的取值范围．2011年高三期中考试文科数学答案一、选择题二、填空题13． 18 ； 14． 4 ； 15．323-≠-<λλ且； 16．()∞+，1 三、解答题17.（1）n a n 23-=，25--=n n b 分6ΛΛ（2）9=n 时819=S 最大 分12ΛΛ 18．（1）3max =S 分4ΛΛ（2）3323或分12ΛΛ 19. （1） 122-=n n n a 分4ΛΛ ②nn n S 2525+-=分12ΛΛ 20. （1）略 分6ΛΛ（2）316分12ΛΛ 21. （1） )0(12ln >-++=x x x x y ，2211xx y -+='，1)2(='f切线：2ln +=x y 分5ΛΛ（2） 2)1)(1(xa ax x y -+--=' )0(>x① 0=a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增； ② 210<<a 时，)(x f 在)1,0(单调递减，)1,1(aa -单调递增，在),1(+∞-a a 单调递减； ③ 21=a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； ④ 121<<a 时，)(x f 在)1,0(a a -单调递减，在)1,1(aa -单调递增，在),1(+∞单调递减；⑤ 1=a 时，)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减； 分12ΛΛ 22．（1）PCD ∆∽BAD ∆得证分5ΛΛ（2）APC ∆∽ACD ∆得证分10ΛΛ23. （1）01sin cos 3:=+-θρθρl ，194:22=+y x C 分5ΛΛ （2）754=∆OAB S 分10ΛΛ 24. （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>234x x x 或分5ΛΛ （2）21≤≤-a 分10ΛΛ。

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．08．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为() A ．1B ．2C ．2D ．39．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．174π B 1717C ．172πD 171711．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.512．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+=，12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-C ．1(1,)2-D ．1(0,)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1|1|2020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =【解答】解：Q 111{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x--====剟厖或0}x <又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =故选：D ．2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【解答】解：函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+„， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则2222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222043x x y y ''--+=，整理得：3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选：D ．5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．0【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r，∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r，则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u rg ．故选：B ．8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为()A ．1B ．2C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，又由||PC 的最小值d ==则切线长||PT 1=； 故选：A ．9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【解答】解：(1)(21)n n a n =--，可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．故选：B ．10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．174πB．1717πC．172πD．1717π【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222(2)1r r=-+，解得54r=，三棱锥的外接球的半径为R，2225934(2)1616R r r=+-=+=，外接球的表面积为：34174162ππ⨯=．故选：C．11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x-=，[1y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A ．1B ．2C ．3D ．2.5【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以012y „，02y „， 所以0211r <-=„， 故选：A ．12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1(1,)2-D ．1(0,)2【解答】解：令2()()x g x e f x =，则2()()xg x f x e =，且222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=则22222()()2()2()2()()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，令()2()h x ex g x =，则()2()22x xh x ex g x xx'=-'=，令()0h x '>，解得102x <<；令()0h x '<，解得12x >， ∴121112122()()2()2()02222e e eh x h e g ef ==-==„，()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上递减；又222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222x f f -<，∴13()022131()222x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得1x <-． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>可得双曲线的渐近线方程是ay x b =±，结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得2ab=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，此双曲线的离心率e =．． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554333021C C C ⨯==⨯=⨯g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：222A =， 所以共有：30260⨯=种方法； 故答案为：60．15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为250sin()6032y t ππ=-+ ．【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；故23πω=， 故250sin()603y t πϕ=++； 则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，2πϕ=-；故250sin()6032y t ππ=-+． 故答案为：250sin()6032y t ππ=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．【解答】解：①若直线BC 过点3(,0)8M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，ABC ∆的重心的横坐标为121131(0)3344x x ++=⨯=，纵坐标为0，∴抛物线2y x =的焦点1(4，0)为ABC ∆的重心，故①正确；②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202413BC k -==-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为32(4)2y x -=--，联立2382y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩或64983x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221()4x y r -+=，联立22221()4x y r y x⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为2221()4x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；④如图，根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a cb +=， 故2222222()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，2()8a c ∴-=，即22a c -=-设A 到BM 的距离为h ，故122||2||2||||2222ABC ABM a cS S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．∴正确的序号为①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =，b =2B A =，∴由正弦定理得：3sin sin 2A A =，即2sin cos sin 3A A A =，cos A ∴=； （Ⅱ）由（1）知cos A =(0,)A π∈，sin A ∴，又2B A =， 21cos cos22cos 13B A A ∴==-=，(0,)B π∈，sin 3B ∴=， 在ABC ∆中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，3sin 5sin a Cc A∴===． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，(1E ，1，)2t，(2BC =-u u u r，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u rg ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，21111211||2|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t∴<>===+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，(2BC =-u u u r，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，设平面BDC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则220220n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则1220 2222m BC x ym BC x y z⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩u u u rrgu u u u rrg，取1x=，得(1m=r，1，0)，设二面角1D BC C--的大小为θ．则||2cos||||42m nm nθ===r rgr rg g，4πθ∴=．∴二面角1D BC C--的大小为4π．19．（12分）已知在正项数列{}na中，首项12a=，点1(,n nA a a+在双曲线221y x-=上，数列{}nb中，点(nb，)nT在直线112y x=-+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求使得1|1|2020nT-<成立n的最小值；（3）若n n nc a b=g，求证：数列{}nc为递减数列．【解答】（1）解：由题意，点1(,)n nA a a+在双曲线221y x-=上，则11n na a+-=．∴数列{}na是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11na n n∴=+-=+g，*n N∈．又Q点(nb，)nT在直线112y x=-+上，则112n nT b=-+．当1n=时，111112b T b==-+，解得123b=；当2n …时，11111122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得113n n b b -=．∴数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列，1212()333n n n b -∴==g ，*n N ∈．（2）解：由（1），得11211112233n n n n T b =-+=-+=-g ．则111|1||11|332020n nn T -=--=<， 即32020n >．63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．（3）证明：由（1），得22(1)(1)33n n n n n n c a b n +==+=g g ． 1112(2)2(1)420333n n n n n n n n c c ++++++∴-=-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．∴数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所以11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=+====''''+''++''++''++''+，所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；（2）由24y x =，24x y =，所以2xy '=，所以在M 处的切线方程为：22()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-①， 同理在N 处的切线方程为：224x x y x ''=-②，①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''==-，所以E 的坐标为：(2,)b -，由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22=，整理得：231450b b +-=，解得：13b =或5-，又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验13b =符合题意， 所以直线MN 的方程为13y x =+．21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． 【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()axg x a x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞，()0g x '<；故11()()10max g x g ln a a a==-+„，即10(0)lna a a -+>…，设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1ah a a a-'=-=， 令h '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，而又需10lna a -+…，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121()()()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=----，则2121()()()()f x f x F x f x x x -'='--，显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得210021()()()()0f x f x F x f x x x -'='-=-，即21021()()()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则11ln x x-…，取11()n n N x n +=∈g ，则111n ln n n +>+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴2223111111111(2)()()2233412222(2)n nln ln lnn n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．第21页（共21页）【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得22134x y +=．（2）设点,2sin )P θθ，直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．所以点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距离d ==，当sin()1θα+=-时，max d =+，此时点(P ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2()|2||2|26,2222,2x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272x x -+>⎧⎨<-⎩， ∴52x <-或52x >，∴不等式的解集为55(,)(,)22-∞-+∞U ．（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191419()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++21922=…， ∴4199()2a b c a b b c c a +++++++…。

哈三中高三阶段考试数学试卷一、选择题：（本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 参考公式：2cos2sin2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2cos2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 正棱台、圆台的侧面积公式：l )c 'c (21S +=台侧 1．设双曲线1by a x 2222=-，（a>0，b>0）的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应焦点为F ，若以AB 为直径的圆过点F ，则双曲线离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 2．要使y 5y 5x 5x 2)3(log )3(log )3(log )3(log ---≥-成立，则有（ ） A ．x-y ≤0 B ．x+y ≤0 C ．x-y ≥0 D ．x+y ≥0 3．设t=sin α+cos α，且0cos sin 33<α+α，则t 的取值范围是（ ） A ．)0 2[，- B ．]2 2[，- C ．]2 1()0 1(，， - D ．]3()0 3(∞+-，，4．设y a a x 21，，，成等差数列，y b b x 21，，，成等比数列，则21221b b )a a (+的取值范围是（ ）A ．[4，+∞）B ．（-∞，0）∪[4，+∞）C ．[0，4）D ．（-∞，-4）∪[4，+∞） 5．已知数列}a {n 的通项99n 98n a n --=（n ∈N ），则数列}a {n 的前30项中最大项是（ ）A ．30aB ．10aC ．9aD ．1a 6．不等式a x 2x a 22+<-（a>0）的解集是（ ） A ．}a x 2a |x {≤≤-B ．}5a4x 0x |x {-<>，或C ．}5a4x a a x 0|x {-<≤-≤≤，或 D ．{x|0≤x ≤a} 7．在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P ，Q 是对角线C A 1上的点，且2a PQ =，则三棱锥P-BDQ 的体积为（ ）A ．3a 363 B ．3a 183 C ．3a 243 D ．不确定 8．函数y=asinx-bcosx 的一条对称轴方程是4x π=，则直线ax-by+c=0 的倾斜角为（ ）A ．4πB ．43π C ．3πD ．32π9．已知P 为椭圆120y 45x 22=+在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直。

哈三中2014－2015学年度高三第一次测试数学（理科）试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的有①集合}2,1{=A ，集合}4|{的因数是x x B =，A 与B 是同一个集合；②集合}32|{2-=x y y 与集合}32|),{(2-=x y y x 是同一个集合；③由1，23，46，|21|-，5.0这些数组成的集合有5个元素； ④集合},0|),{(R y x xy y x ∈≤、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数()292--=x x x f 的定义域是 A ．[]3,3- B ．()3,3- C ．()()3,22,3⋃- D ．[)(]3,22,3⋃-3.函数x y 525-=的值域是A ．[0,)+∞B ．[]5,0C ．[)5,0D ．()5,04.函数()412x xf x +=的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线x y =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集U R =，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合{}|12x x -<< 可以表示为A ． F EB ． ()F EC U C ．()()F C E C U UD ．()FE C U7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b c a >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>8.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是A ．B ．C ．D ． 9.已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为A ．6B ．12C ．24D ．3610.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为 A ．1 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11.若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x (e 是自然对数的底数)，则)2(ln f 的值等于A ．1B ．2C ． 3D ．412.已知关于x 的不等式)(3202R m m x x ∈≤+-≤有且只有一个实数解，函数()f x tx =，2()22()1g x tx m t x =--+，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实 数t 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,2)C ．(2,8)D ．(0,8)第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()x x x f 42-=，那么当0<x 时，=)(x f .14. 已知函数()x f 在()+∞∞-,上单调递减，且()02=f ，若()01>-x f ，则x 的取值范围 .15.若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2l o g )(=，则=)215(f . 16.已知()x f 为奇函数，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2+-=；当()+∞∈,2x 时，42)(-=x x f ，若关于x 的不等式)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U =B ,021⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+x x x 求集合)(,B C A B A U .18.已知函数)1(11lg)(≠++=a ax x x f 是奇函数， （1）求a 的值；（2）若()1,1,212)()(-∈++=x x f x g x ，求)21()21(-+g g 的值.19.已知二次函数[]1,2),0()(2--∈>++=x a c bx ax x f ，且函数)(x f 在1-=x 处取到最大值0，（1）求ac 的取值范围； （2）求222aab ac b --的最小值.20.已知函数R m m x f x x ∈-⋅=,46)(.（1）当154=m 时，求满足)()1(x f x f >+的实数x 的范围； （2）若x x f 9)(≤对任意的R x ∈恒成立，求实数m 的范围.21.已知定义在()+∞,0上函数)(x f 对任意正数n m ,都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当4>x 时，23)(>x f ，且0)21(=f . （1）求)2(f 的值；（2）解关于x 的不等式2)3()(>++x f x f .22.设m x =和n x =是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点，其中 R a n m ∈<,.（1）求)()(n f m f +的取值范围；（2）若21-+≥e e a ，求)()(mf n f -的最大值(注:e 是自然对数的底数).哈尔滨市第三中学2014－2015学年度高三第一次验收考试数学答案（理科）一、选择题A D C DB B A DC C C D二、解答题13.x x 42+ 14. ()3,∞- 15.1- 16.()()+∞-,00,2 三、解答题17.(]()U B C A B A U =+∞-∞-=)(,,21, .18．(1)因为)(x f 为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有0)()(=+-x f x f 即1,011lg 11lg 11lg 222±==--=+++--a xa x ax x ax x ，由条件知1≠a ，所以1-=a (2)因为)(x f 为奇函数，所以0)21()21(=+-f f 令x x h 212)(+=，则22111212)21()21(=+++=-+h h 所以2)21()21(=-+g g 19.(1)因为函数)(x f 在1-=x 处取到最大值0,则0)1(=+-=-c b a f ,可得c a b +=且232,232-≤+-∴-≤-a c a ab ，解得2≥ac （2）=--222a ab ac b ()()ac c a ac c a a c a a ac c a +=+=-+-+22222因为2≥a c ，所以25222≥--a ab ac b 20.（1）当154=m 时，)()1(x f x f >+ 则x x x x 461544615411-⋅>-⋅++，整理得x x 43634⋅>⋅ 即22323⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，解得2>x （2）因为对任意的R x ∈，x x f 9)(≤恒成立，则xx x m 946≤-⋅ 整理得：x x x x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≤32132694对任意的R x ∈，032>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，所以232132≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则2≤m21.（1）21)1()1()1(-+=f f f ，所以21)1(=f 21)21()2()212(-+=⨯f f f 解得1)2(=f （2）任取()+∞∈,0,21x x ，且21,x x ， 则1)41()4(21)414(21)()()(12121212-+=-⋅=-=-f x x f x x f x x f x f x f因为2121)21()21()41(-=-+=f f f ，且4412>x x 时23)(>x f 所以012123)()(12>-->-x f x f 所以)(x f 在()+∞,0上是增函数 因为2321)2()2()4(=-+=f f f 所以221)3()3()(2>++=++x x f x f x f 即)4(23)3(2f x x f =>+ 所以⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>430302x x x x ，解得()+∞∈,1x 22.(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=. 依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故 2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=. 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解当2a ≥时, 21(2)2a e e +≥++.若设(1)n t t m =>,则 222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++. 于是有 111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥ 222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t=--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+. 故得最大值为1122e e -+。

2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型五解析几何（学生版）【备考要点】考情分析从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及，所占分数在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质等．2．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法的问题有所加强．3．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的重中之重，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．解答题的题型设计主要有三类：圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担. 要点知识整合【2011高考题型】根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查 1 题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三或二个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右, 占总分值的20%左右。

2 整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

哈三中2013－2014学年度高三学年第四次验收考试数学试卷（理）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合}4,3,2,1{=A ，},,|),{(A xy A y A x y x B ∈∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．82.已知复数i z -=31，i z =2（i 是虚数单位），则21z z 的虚部为 A ．3- B ．i 3- C ．3 D ．i 33. 给定命题p ：函数)]1)(1ln[(x x y +-=为偶函数；命题q ：函数11+-=x x e e y 为偶函数，下列说法正确的是A ．q p ∨是假命题B ．q p ∧⌝)(是假命题C ．q p ∧是真命题D ．q p ∨⌝)(是真命题4. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1322a a a =，且4a 与72a 的等差中项为45，则=5S A ．35 B ．33 C ．31 D ．295.下列几个命题中，真命题是A ．n m l ,,是空间的三条不同直线，若l n l m ⊥⊥,，则n m //；B ．γβα,,是空间的三个不同平面，若γβγα⊥⊥,，则βα//；C ．两条异面直线所成的角的范围是),0(π；D ．两个平面βα,相交但不垂直，直线α⊂m ，则在平面β内不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直．6.已知a ,b 是两个互相垂直的向量，|a |1=，|b |2=，则对任意的正实数t ，|t a t1+b |的最小值是A ．2B ．22C ．4D ．247. 已知,A B 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，点C 在双曲线上，在ABC∆中，sin :sin 3:1A B =，则该双曲线的离心率的取值范围为 A ．)3,1( B ．]210,1( C ．)2,1( D ．]2,1( 8. 函数()23xf x x =-的零点所在的区间是 A ．1(0,)3 B ．)2log ,31(2C ．)0,1(ln e D ．7(,4)29.已知正三棱锥ABC P -的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为 A ．316πB ．364πC ．9100πD ．π1210.已知直线)0(0>=-+k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有||33||≥+，那么实数k 的取值范围是 A ．),3(+∞ B ．),2[+∞ C ．)22,2[ D ．)22,3[俯视图11.设点P 在ABC ∆内部及其边界上运动，并且AP xAB yAC =+，则22(1)(1)x y -+-的最小值为A B ．12 C ．1 D ．212.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中真命题有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 斜率为1的直线l 经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，且交抛物线于B A ,两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离为2，则p 的值为 ．14.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ， 使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=，若AB ⊥平面BCD ,则塔AB 的高是 米．15.在长方体1111D C B A ABCD -中，C B 1和D C 1与底面1111D C B A 所成的角分别为︒60和45°，则异面直线C B 1和D C 1所成的角的余弦值为 ．16.已知数列{}n a 中，11,23()nn n a a a a n N *+==-+∈，对于任意的n N *∈，1n n a a +>都成立，则实数a 的取值范围 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，且()()6f x f π≤对x R ∀∈恒成立，函数()f x 的振幅为2.（Ι）讨论函数()f x 在区间[0,]π上的单调性; （Ⅱ）若2(),(0,)23f ααπ=∈,求cos α的值.18.（本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中所有棱长都为2，底面ABCD 为正方形，侧面11DD C C ⊥底面ABCD ,160D DC ∠=.（Ι）求直线1AC 与侧面11A ADD 所成角的正弦值;（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在一点E ,使二面角1A AD E --为45，若存在请确定E 点的位置，若不存在请说明理由.119.（本小题满分12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>，离心率为2，长轴长为4, 圆O ：221x y +=，（O 为原点）直线l ：y kx m =+是圆O 的一条切线，且直线l 与椭圆M 交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程.（Ⅱ）求AOB ∆的面积取最大值时直线l 的斜率k 的值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2C x y =.（Ⅰ） 若P 为直线:10l x y --=上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，切点为A 、B ，求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出Q 点的坐标；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线PQ 交抛物线C 于,M N 两点，求证：PM QN QM PN ⋅=⋅.21.（本小题满分12分）已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---,1()xg x xe -=(,a R e ∈为自然对数的底数).（Ⅰ）当1a =时,求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若函数()f x 在1(0,)2内无零点,求实数a 的最小值;（Ⅲ）若对任意给定的(]00,x e ∈,在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =,使得0()()i f x g x =成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23 22．（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos()3πρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是21cos 322sin 3x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数），设点P (1,2)-.（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN ⋅的值.23．（本小题满分10分）设()2(0)f x x x a a =+->． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()8f x ≤；（Ⅱ）若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．。

2012年哈师大附中三模（理科数学）参考答案一．选择题：BCCDC CADCA DA 二．填空题：13. 2281(3)25x y -+=14. 10 15. 83 16. ①②④ 三．解答题： １７. 解：（1）由已知:())6f x x πω=+ 3 分由222πω=⨯得：2πω=5 分 所以：()sin()26f x x ππ=+ 故：3(1)2f =7 分（2）由（1）知：()sin()226f x m x m πππ+=++ 为偶函数，所以：sin()126m ππ+=±，故：()262m k k Z ππππ+=+∈即：22()3m k k Z =+∈ 故：正数m 的最小值为2312 分１８. 解：（Ⅰ）从5组数据中选取2组数据共有2510C =种情况，其中抽到的2组数据都在[25,30]的共有221C =种情况，所以事件“25302530m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩”的概率为110. ……4分（Ⅱ）根据数据，求得1(1011127)104x =+++=，1(23242615)224y =+++=， 41102311241226715911i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222211011127414i i x ==+++=∑.由公式求得12221911410223141441014ni ii ni i x y nx yb x nx∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……6分 3112210147a yb x ∧∧=-=-⨯=-， ……8分 所以y 关于x 的线性回归方程为311147y x ∧=-. ……10分 当14x =时，311216141477y ∧=⨯-=，2166|30|177-=<， 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……12分 19.解:（1）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，由已知：F(0,0,1)B,A , D (0,1,0),E( ……2分(2BD ∴=- ,(0,0,1)CF =,0)CA =0BD CF BD CF ∙=∴⊥0BD CA BD CA ∙=∴⊥又CF CA C BD =∴⊥ 平面AEFC ……5分(2)由（1）知：(0,1,1)(1)2FE FD FB ==-=-EB设平面EFB 法向量为111(,,)m x y z =由0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：3,1)m =- ……7分 设平面EFD 法向量为222(,,)n x y z =由0n FE n FD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：(,1)n = ……9分cos ,m n ∴<>== ……11分 所以：二面角B EF D --……12分 20.. 解：（Ⅰ）设椭圆C 方程为:221(0,0,)mxny m n m n +=>>≠依题意得:22221()12((144m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:2,4m n == 椭圆C 的方程为:22241xy += 5 分（Ⅱ） OM 和ON 的斜率之积为12,可知OM 和ON 的斜率存在且不为0, 设OM 的斜率为k , 则ON 的斜率为12k, 直线OM 的方程为:y kx =, 直线ON 的方程为:12y x k=, 设11(,)M x y ,2,2()N x y ,由22241x y y kx ⎧+=⎨=⎩得22(24)1k x +=,解得212124x k =+,221224k y k =+同理由2224112x y y x k ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得222212k x k =+ ,22214(12)y k =+ ………………9分∴22OM ON +=22221122x y x y +++=222222112424124(12)k k k k k k +++++++223(12)34(12)4k k +==+. 即证得22OM ON +34=为定值. ………………………12分 ２１.解： （1）由已知:/2()2(2)2f x ax x x=-<- 1分依题意得:/()0f x ≤在(0,2)上恒成立.1(2)a x x ⇔≤-在(0,2)上恒成立. 3分因为:1()(2)u x x x =-在(0,2)上的最小值为1.所以:a 的取值范围是:(,1]-∞5分（2）1a >∴ 由22(1)2(1)'()0(2)2a x a f x x x---=-=<- 得：21(1)a x a--=解得：1212,12x x ==+ …… 7分 列表如下：9分当：1x=:2()(12ln(10f x a =++> (1)a > 所以：(,1x ∈-∞时，()0f x >即：()0f x =在(,1-∞内无解； 令202a x e --=，则2022a x e -=-<所以：2200()2ln 440af x ax ea a -=+<-=,故0(1x ∈+又因为：()f x 在(1上是减函数，所以:()0f x =在(1内必有一根。

2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题题型一三角函数（学生版）【备考要点】三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。

一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.【2011高考题型】1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.5、三角应用题此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。

6、三角函数的最值及综合应用。

此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合。

多为解答题。

而三角形中三角函数最值问题仍将是高考的热点。

三角函数的命题趋于稳定,2012年高考可能依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背【2012 命 题 方 向】【原题】 (本小题满分l2分) 已知函数2()cos()cos (R)3f x x x x π=--∈ ． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1,f B b c ===求a 的值．【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题 【原题】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数2cos 32cos 2sin)(2xx x x f +=．（1）求方程0)(=x f 的解集；（2）如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，求角x 的取值范围及此时函数)(x f 的值域．【试题出处】湖北省八校2012届高三第一次联考数学试题（文） 【原题】（本小题满分14分）已知向量()()2sin ,cos m x xπ=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到．【试题出处】广东省汕头市2012届高三上学期教学质量测评卷数学 【原题】（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A,B,C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=.（Ⅰ）求角B 的值（Ⅱ）已知函数()2cos(2)f x x B =-，将()f x 的图像向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图像，求()g x 的单调增区间.【试题出处】黑龙江省绥化市2011-2012学年度高三年级质量检测数学理科试题 【原题】（本题满分12分）已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图像与y 轴的交点为)1,0(他在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx 。

黑龙江省哈三中2012-2013学年上学期高三期中考试数学(理)试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}|3A x x =>，1|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A ．∅ B ．()3,4 C ．()2,1- D ． ()4,+∞2．已知向量a ()2,1+=m ，b ()1,-=m ，且a //b ，则b 等于A B ．2 C ．320 D ．325 3．“数列{}n a 为常数列”是“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()m P ,3-是角θ终边上的一点，且1313sin =θ，则m 的值为 A ．21 B ．6 C ．21-或21 D ． 6-或6 5．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A ．15B ．25C ．35D ．456．已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为A ．π4B ．π3C ．34πD ．32π 7．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=⋅a a ，则=+++1032313log log log a a aA ．8B ．10C ．12D ．5log 23+8．已知函数()x x x x f cos 3sin cos )(-=，则A ．函数()x f 的周期为π2B ．函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,6ππ上单调递增 C ．函数()x f 的图象关于直线12π-=x 对称 D ．函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π对称 9．已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若α∥β，则l m ⊥；②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈，则3b 等于A ．161-B ．18-C ．4D ．611．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，其三视图如右图所示，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A ．9πB ．3πC． D ．12π12．数列{}n a 的通项22(2cos 1)3n n a n π=-，其前n 项和为n S ，则24S 的值为 A ．470 B ．360 C ．304 D ．169第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．数列{}n a 中， nn a a a n n ++==-2111,21()*∈≥N n n ,2，则数列{}n a 的通项公式n a = ．14．ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若3A π=，1,2a c b ==，则=b ．15．在矩形ABCD 中，1,2==BC AB ，取AB 中点E ，CD 中点F ，若沿EF 将矩形AEFD 折起，使得平面⊥AEF 平面EFB ，则AE 中点Q 到平面BFD 的距离为 ．16．已知函数()f x ，对任意的实数x 满足)2()2(+=-x f x f ，且当[1,3)x ∈-时，2(11)()(13)x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨<<⎪⎩，若直线x y 41=与函数()f x 的图象有3个公共点，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若A c C a co s 3s in =，2=⋅．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若1=b ，求a 的值．18．（本大题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，P 为11C A 的中点，PA BC AB ==． （I ）求证：1PA B C ⊥；（II ）求PA 与平面11A ABB 所成角的大小．19．（本大题12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n a S -=1，公差为3的等差数列{}n b 满足2b 是1b 与6b 的等比中项．（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）令n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本大题12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是一直角梯形，2BAD π∠=，a AD AB BC AD ==,//，⊥=PD a BC ,2底面ABCD ．（I ）在PD 上是否存在一点F ，使得//PB 平面ACF ，若存在，求出FD PF 的值；若不存在，试说明理由；（II ）在（I ）的条件下，若PA 与CD 所成的角为3π，求二面角D CF A --的余弦值．21．（本大题12分） 已知函数1()ln f x ax x x=++，1()3ln ,()a g x x a R x +=+∈． （I ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()()()F x f x g x =-在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （III ）证明：112(1)ln 232n n n n ++≥++对任意的n N *∈成立．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本大题10分）如图，B 、D 为圆C 上的点，直线PA 与圆C 切于点A ，直线PB 与圆C 相交于点E ，直线PD 与圆C 相交于点F ，且直线PD 过圆心C ，∠BPA =30︒，PA =32，PE =1． （I ）求BE 长；（II ）求PF 长．23．（本大题10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）． （I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（II ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN |的最大值．24．（本大题10分）设函数.|2|)(x x x f +-=（I ）求函数)(x f 的值域；（II ）若|1|)(+=x x g ，求)()(x f x g <成立时x 的取值范围．黑龙江省哈三中2012—2013学年上学期高三期中考试数学（理）试卷答案。