高考理科数学一轮复习练习-直线方程与圆的方程

高中数学一轮(y ī l ún)复习资料第十五章 解析几何(ji ě x ī j ǐh é)第三节 圆的HY 方程(f āngch éng)和一般方程A 组1．假设圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公一共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，假设圆与两坐标无公一共点，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2. 2．假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，那么该圆的HY 方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或者x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2021年调研)D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案：π4．(2021年高考宁夏、卷改编)圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，那么圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，假设∠APB ＝90°，那么实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的间隔 等于半径的22倍．由于圆的HY 方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3.6．点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足(mǎnzú)|P A |＝2|PB |.(1)假设(jiǎshè)点P 的轨迹(guǐjì)为曲线C ，求此曲线(qūxiàn)的方程；(2)假设点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公一共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，那么(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图那么直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，那么|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公一共点为M 1，M 2，易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或者y ＝－4.B 组1．(2021年质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，那么圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的HY 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2021年调研)假设直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，那么以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2021年高考卷改编(gǎibiān))点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点(yī diǎn)连线的中点轨迹方程是________________．解析(jiě xī)：设圆上任一点(yī diǎn)坐标为(x 0，y 0)，那么x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 4．点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，那么a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，所以圆心(－a,2)在直线x＋y－3＝0上，即－a＋2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.5．圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC＝2r＝10，最短弦BD＝252－12＝46，四边形ABCD的面积为20 6.6．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，那么△ABP的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O(0,0)，又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝OP＝25，∴半径r＝ 5.而圆心C为(2,1)，∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．动点P(x，y)满足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O为坐标原点，那么PO的取值范围是______．解析：方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可化为(|x|－12)2＋(|y|－12)2＝12.所以动点P(x，y)的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2021年质检)曲线f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析(jiě xī)：曲线(qūxiàn)f(x)＝x ln x在点P(1,0)处的切线(qiēxiàn)l方程(fāngchéng)为x－y－1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x－12)2＋(y＋12)2＝12.答案：(x－12)2＋(y＋12)2＝129．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，假设对满足条件的x 、y ，不等式y x －3＋c ≥0恒成立，那么c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤y x －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34. 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)假设⊙E 与直线CD 相切，务实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，假设存在？求出⊙E 的HY 方程；假设不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a . 由题意得|a 2－a 2＋4|2＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的间隔 为3 2.又圆心E 到直线CD 间隔 为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a 2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的HY 方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt △ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 间隔 的平方和的最大值和最小值．解：如下(rúxià)图，以O 为原点，OA 所在(suǒzài)直线为x 轴，OB 所在(suǒzài)直线为y 轴，建立(jiànlì)直角坐标系xOy ，那么A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4. 设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的间隔 的平方和为d ，那么d ＝P A 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x .∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2021年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)务实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否那么，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以(suǒyǐ)b 的取值范围(fànwéi)是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程(fāngchéng)x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是(yúshì)，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，或者⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上， 因此，圆C 过定点． 内容总结。

高中数学专题复习《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()13nx n N nx x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ） A ．33B ．23C ．3D ．1（2020广东文）(解析几何)3．已知直线x=a （a>0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2（2020全国文3）4．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞5．下列说法正确的是 ． [答]( ) (1)若直线l 的倾斜角为α，则0απ≤<；(2)若直线l 的一个方向向量为(,)d u v =，则直线l 的斜率v k u=； (3)若直线l 的方程为220(0)ax by c a b ++=+≠，则直线l 的一个法向量为(,)n a b =．A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)6．直线1:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与圆22:1C x y +=的位置关系为（ ）． Ａ．相交或相切 Ｂ．相交或相离 Ｃ．相切 Ｄ．相交7．圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切8．圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为（ ） Ａ、6 Ｂ、522Ｃ、１ Ｄ、５9．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 、425x y += B 、425x y -= C 、25x y += D 、25x y -=10． 直线l 过点（-1，2）且与直线垂直，则l 的方程是 A ．3210x y +-= B.3270x y ++=C. 2350x y -+=D.2380x y -+=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．12． 已知从点(2,1)-发出的一束光线，经x 轴反射后,反射光线恰好平分 圆:222210x y x y +--+=的圆周,则反射光线所在的直线方程为 13．圆2240x y x +-=在点(1,3)P 处的切线方程为 ▲ ．14．如果直线210mx y ++=与20x y +-=互相垂直，那么实数m ＝ ▲ ．15．两圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有_____条。

专题48圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.基础知识融会贯通圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.重点难点突破【题型一】圆的方程【典型例题】一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，则，解得，．∴圆的标准方程为．故选：D．【再练一题】方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0变形为：（x+2m）2+（y﹣1）2＝4m2+1﹣5m，若其表示圆，则有4m2+1﹣5m＞0，解可得：m或m＞1，即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；故选：C．思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【题型二】与圆有关的最值问题【典型例题】已知方程，则x2+y2的最小值是．【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（﹣1，0）为圆心，半径r的圆，设t，则t的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t≤1，即t，即t的最小值为，则x2+y2的最小值是；故答案为：【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有1，解可得：k＝2；故答案为：2．思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【题型三】与圆有关的轨迹问题【典型例题】设P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2＝28 B ．（x +2）2+y 2＝7C ．（x +2）2+y 2＝28D ．（x ﹣2）2+y 2＝7【解答】解：∵P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝2，|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PQ |＝|F 1Q |＝2，∴Q 的轨迹是以F 1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝28． 故选：C ．【再练一题】设定点F （1，0），动圆D 过点F 且与直线x ＝﹣1相切．则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＝4yB ．x 2＝2yC ．y 2＝4xD ．y 2＝2x【解答】解：因为动圆C 过定点F （1，0），且与定直线l ：x ＝﹣1相切，所以由抛物线定义知：圆心C 的轨迹是以定点F （1，0）为焦点，定直线l ：x ＝﹣1为准线的抛物线，所以圆心P 的轨迹方程E 为：y 2＝4x ； 故选：C ．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．基础知识训练1．【西安市2019届高三年级第一次质量检测】若直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=无交点，则点(,)P b a 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．不能确定【答案】C 【解析】直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=221a b>+，即221a b +<，∴点(),P b a 在圆C 内部. 故应选C.2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】圆22430x y x +-+=关于直线3y x =对称的圆的方程是（ ） A ．(()22311x y -+-=B ．()2221x y +-= C ．()2211x y +-= D ．()(22131x y -+-=【答案】D 【解析】由题意得，圆22430x y x +-+=方程即为()2221x y -+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1． 设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则1232232b a b a ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y -+=．故选D ．3．【广东省2019年一月普通高中学业水平考试】已知圆C 与y 轴相切于点()0,5，半径为5，则圆C 的标准方程是( ) A ．()()225525x y -+-= B ．()()225525x y ++-=C ．()()22555x y -+-=或()()22555x y ++-= D ．()()225525x y -+-=或()()225525x y ++-= 【答案】D 【解析】由题意得圆C 的圆心为()5,5或()5,5-，故圆C 的标准方程为()()22x 5y 525-+-=或()()22x 5y 525++-=.故选D.4．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】圆224x y +=在点(1,3)-处的切线为:34l x y -+=，即:340l x y -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:340l x y -+=的距离313d ==+，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选：D ． 5．【北京市房山区2019届高三上学期期末考试】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】设M （x ，y ），P （a ，b ） 由B （6，0），M 是AP 的中点 故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点，∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4， 整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1．△为坐标原点）为直角三角形，若，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若，这样的M 点不存在，故使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个 故选：C.6．【闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)17x y +++= C ．22(1)(2)26x y +++= D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A7．【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】已知圆M ：16)6()6(22=-+-y x ，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为,N O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为（ ）A ．12B ．6C ．D ．【答案】A 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边OM =N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，半径为2，直线OM 的方程为0x y -=， 点()7,5到直线OM 的距离为22=，所以N 到直线OM 的距离的最大值为22， 故OMN ∆的面积的最大值为16222122⨯⨯=. 8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】过双曲线的右支上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，连接，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号， 即最小值5． 故选：．9．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)】已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】如图所示，由几何图形易知点M 的坐标为有最小值，其面积为：.故选：A .10．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足2PA PB=当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ）A ．12x xB ．2C ．22D ．2 【答案】 A 【解析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),2222(1)||2,2||(1)x y PA PB x y++=∴=-+ ， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大， 此时面积为1222222⨯⨯= 故选：A11．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知圆，圆分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由圆，圆，可知圆圆心为，半经为1，如图， 圆圆心为，半经为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交，则为满足使最小的点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，与圆的交点，最小值为，而，的最小值为，故选A.12．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线(0)y kx k =>关于y 轴对称，则k 的最小值为（ ）A ．23B ．3C ．23D ．43【答案】D 【解析】圆C 经过()()0,1,0,3，∴圆心在()()0,1,0,3的垂直平分线2y =上，又圆C 与x 轴正半轴相切，∴圆的半径为2，设圆心坐标为()00,2,0x x >， 由()220234x +-=得03x ，∴圆心坐标为)3,2，设OM 的斜率为0k ，因为0k >，所以00k <， 当0k 最大时k 最小，设0:OM y k x =（00k <），由图可知当0y k x =与圆相切时0k 最大，2=，解得0k =-k = 即k的最小值为 D.13．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】已知圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0，过点P （1，﹣1）可作圆的两条切线，则实数k 的取值范围是_____．【答案】10,33⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】解：因为方程x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0表示一个圆， 所以222240k k +->，解得：33k -<<∵过点P （1，﹣1）可作圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0的两条切线， ∴P （1，﹣1）在圆的外部， 则12+（﹣1）2+k ﹣2+k 2＞0， 即k 2+k ＞0，解得k ＜﹣1或k ＞0．由10k k k ⎧<<⎪⎨⎪⎩＜﹣或＞1k <<-或0k << ∴实数k的取值范围是1⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故答案为：1⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭14．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆C 经过点(1,3),(2,2)A B ，并且直线:320m x y -=平分圆C ，则圆C 的方程为________________.【答案】22(2)(3)1x y -+-= 【解析】由题意，线段AB 的垂直平分线方程为：5322y x -=-，即10x y -+= ，联立10320x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩则圆心C 为(2,3)，圆C 的半径22(21)(33)1r =-+-= 故所求圆的方程为22(2)(3)1x y -+-=15．【湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1 【解析】 ∵点在椭圆上运动，，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.16．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点M (1，0) ．若在圆O 上存在点A ，在圆C ：222537()((0)2x y r r -+=>上存在点B ，使得△MAB 为等边三角形，则r 的最大值为____． 【答案】8 【解析】圆()2227:02C x y r r ⎛⎛⎫-+=> ⎪ ⎝⎭⎝⎭7,22C ⎛⇒- ⎝⎭ 由题意可知：13MA ≤≤，5MC == 又55r MB r -≤≤+且MA MB =若r 最大，则MA 需取最大值3，且M 在圆C 内部 可得()2,0A -，又MA 与MB 成角为60设(),B x y ，则直线MB所在直线方程为：)1y x =- 又9MB ==解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或522x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）12B ⎛⇒- ⎝⎭时r 取最大值max8r ⇒=== 本题正确结果：817．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试】已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B. （1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】解：（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1)令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．18．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2)B ．（Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）求圆C 的标准方程；（Ⅲ）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】（Ⅰ）1y x =-+；（Ⅱ）22(1)4x y -+=；（Ⅲ）0x =或3480x y +-=. 【解析】解：（Ⅰ） 设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+.(II ) 设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为r （0r >）.由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =． 所以 圆心(1,0)C ，||2r CA ==，所以 圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．(III ) 由(I )设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线的距离||1d CF ===.(1) 当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1CF =，符合题意. (2) 当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，即20kx y -+=， 由题意得1d ==，解得：34k =-．故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=． 综上直线l 的方程0x =或3480x y +-=．19．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】平面直角坐标系中，已知点A （2,1），B （1,3），动点P （x,y ）满足PA =.（Ⅰ）求P 的轨迹方程并指出它是什么曲线；（Ⅱ）过A 点的直线l 与P 的轨迹有且只有一个公共点，求直线l 的方程．【答案】（I ）22(5)10x y +-=，以点(0,5)为圆心，10为半径的圆；（II ）350x y --=和350x y +-= 【解析】（I ）由已知得2222(2)(1)2(1)(3)x y x y -+-=⨯-+- 化简得2210150x y y +-+=， 整理得22(5)10x y +-= 它是一个以点(0,5)为圆心，10为半径的圆. （II ）A 在圆外，则l 与圆相切，且斜率存在，设其方程为：1(2)y k x -=-整理得120kx y k -+-= 圆心(0,5)到直线l 的距离242101k d k --==+，解得13k =-或3故l 的方程为：350x y --=和350x y +-=20．【湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷（四)】如图，已知圆O 的方程为222x y +=，M 是直线2x =-上的任意一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别是P ，Q ，线段PQ 的中点为N .（1）当点M 运动到x 轴上时，求出点P ，Q 的坐标；（2）当点M 在x 轴上方运动且60PMQ ∠=︒时，求直线PQ 的方程； （3）求证：2OM ON OP ⋅=，并求点N 的轨迹方程.【答案】（1）(1,1)-，(1,1)--；（2）10x y -+=；（3）证明见解析，220(0)x y x x ++=≠. 【解析】（1）当M 运动到x 轴上时：2OP =2OM =由OP MP ⊥得：2MP OP ==∴直线PQ 垂直平分线段OM ∴则点,P Q 的横坐标为1-又,P Q 在圆222x y +=上可知点P 的坐标为()1,1-，点Q 的坐标为()1,1-- （2）连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上 设M 的坐标为()()2,0m m ->60PMQ ∠= 30OMP ∴∠=，则：2OM OP ===2m =，即()2,2M -∴直线OM 的斜率为1-，又OP OQ =，MP MQ =PQ OM ∴⊥，则直线PQ 的斜率为1设直线PQ 的方程为：y x b =+，又30OMP ∠=60POM ∴∠=，122ON OP ==即点()0,0O 到直线PQ 的距离为22=1b =或1b =-（舍去） ∴直线PQ 的方程为：10x y -+=（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n - 连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上由（2）知PQ OM ⊥，又OP MP ⊥，可知：PNO MPO ∆∆即OP ONOM OP=，即：2OM ON OP ⋅=2=……① 又//OM ON ，则2nx y =-，即：()20yn x x=-≠……② 将②代入①，得22x y x +=0x <化简得点N 的轨迹方程为：()2200x y x x ++=≠21．【河北省邢台市2018-2019学年高一下学期第三次月考】已知圆222()():M x a y a r ++-=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +-=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围. 【答案】（1）229x y +=（2）(1,0]- 【解析】解：（1）因为圆M 的圆心(,)M a a -在直线y x =上，所以a a -=，即0a =， 因为直线34150x y +-=与圆M 相切，所以3r ==，故圆M 的方程为229x y +=.（2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A -，(3,0)B . 设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.因为2||||||PM PA PB =⋅，所以22x y +=， 所以22229x y -=.因为直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23yk x =-， 则221222229919218218y x k k x x x -===+---. 因为22222299x y x y ⎧-=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x -<≤--，则29110218x -<+≤-. 故12k k 的取值范围为(1,0]-.22．【福建省三明市第一中学2018-2019学年高一下学期学段考试（期中)】已知以点(3,4)C 为圆心的圆C 被直线l ：34200x y +-=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）求过(0,2)A 与圆C 相切的直线方程；（3）若Q 是x 轴的动点，QR ，QS 分别切圆C 于R ，S 两点.试问：直线RS 是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1）22(3)(4)4x y -+-=；（2）2y =或1225y x =+；（3）见解析 【解析】（1）圆心(3,4)C1=，设圆的半径为R ，则2214R =+=，圆C 为22(3)(4)4x y -+-=. （2）设过点(0,2)的切线方程为2y kx =+，即20kx y -+=， 圆心(3,4)C 到直线20kx y -+=2=，解得0k =或125， 所以过点(0,2)的切线方程为2y =或1225y x =+； （3）由题意2CSQ CRQ π∠=∠=，则R ，S 在以QC 为直径的圆上，设(,0)Q a ，则以QC 为直径的圆的方程：2223(3)16(2)24a a x y +-+-+-=. 即22(3)430x y a x y a +-+-+=， 与圆C ：2268210x y x y +--+=， 联立得：(3)34210a x x y --++-=，令3034210x x y -=⎧⎨+-=⎩得，33x y =⎧⎨=⎩，故无论a 取何值时，直线RS 恒过定点(3,3).能力提升训练1．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y 上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ） A ．37 B ．6C ．4+5D ．11+22【答案】A 【解析】P 为圆C 上任意一点，圆的圆心()8,0C ，半径4r =，如下图所示，4PC =，8OC =，2AC = 12AC PC PC OC ∴== PAC OPC ∴∆∆12PA OP ∴=，即2OP PA = 2PB PA PB OP ∴+=+ 又PB OP OB +≥（当且仅当P 为线段OB 与圆C 的交点时取等号）2226137PB PA OB ∴+≥=+=，即2PB PA +的最小值为37本题正确选项：A2．【浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】是边长为2的等边三角形，是边上的动点，，则的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为，所以的轨迹是以为直径的圆，设为直径的,连接，根据圆的几何性质可得为所求，是直径，，，最小值，故选C.3．【河南省名校联考2019届高三联考（四)】已知抛物线1C ：22(0)y px p =>与圆2C ：2212110x y x +-+=交于A ，B ，C ，D 四点.若BC x ⊥轴，且线段BC 恰为圆2C 的一条直径，则点A 的横坐标为（ ） A ．116B ．3C ．113D ．6【答案】A 【解析】圆2C ：2212110x y x +-+=可化为()22265x y -+=，故圆心为()6,0，半径为5，由于BC ⊥ x 轴和线段BC 恰为圆2C 的一条直径，故()()6,5,6,5B C -.将B 点坐标代入抛物线方程得2512p =，故2512p =，抛物线方程为2256y x =.设26,25a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即AC AB ⊥,也即0AC AB ⋅=，所以22666,56,502525a a a a ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得42364711062525a a -+=，解得227536a =，故A 点横坐标为266275112525366a =⨯=.故选A.4．已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点,则的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C 【解析】 求得关于直线的对称点为，解得，由对称性可得，则，由于，，的最大值为，故选C.5．【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．6．【四川省宜宾县第二中学校2018届高三高考适应性考试】若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为，且，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为动点在直线上，动点Q在直线上，直线与直线狐仙平行，动点在直线上，动点在直线上，所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，设该直线为，其方程为，因为线段的中点为，且，点在圆的内部或在圆上，设直线角圆于，可得点在线段上运动，因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以的最小值为为最大，联立，解得，当重合时，的最大值为，即的最大值为，所以的取值范围是.7．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考（七)】已知圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=，直线AM 与圆C 相切于点M ，若点A 的坐标(,)a b ，且点A 满足AM AO =（其中点O 为坐标原点），则32a b +=______．【答案】3 【解析】根据题意，圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=，其圆心为(2,3)，半径1r =，直线AM 与圆C 相切于点M ，则22222(2)(3)1AMAC r a b =-=-+--，222AO a b =+，若AM AO =，则2222(2)(3)1a b a b -+--=+，变形可得：46120a b --+=，则有332a b +=； 故答案为：3．8．【江苏省扬州市2018-2019学年度高二第一学期期末调研测试】已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =G 为弦AB 的中点.直线:20l x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时， PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为________． 【答案】(,0)(3,)-∞+∞【解析】圆()22:16C x y +-=6,22,AB G =为弦AB 的中点，2CG ∴=，G 的轨迹是以C 为圆心，以2为半径的圆，设PQ 中点为(),2M a a -，2PQ ∴=，且当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则以C 为圆心以2为半径的圆与以M 为圆心以1为半径的圆外离， ()2233a a +->，即230a a ->，解得0a <或3a >，∴线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为()(),03,-∞+∞，故答案为()(),03,-∞+∞.9．【河北省磁县滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试】若直线l ：与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．【答案】【解析】 由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立。

9．3 圆的方程1．圆的定义在平面内，到____________的距离等于____________的点的____________叫圆．确定一个圆最基本的要素是____________和____________． 2．圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)叫做以点____________为圆心，____________为半径长的圆的标准方程．(2)圆的一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(____________)叫做圆的一般方程．注：将上述一般方程配方得⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．3．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，点M (x 0，y 0)，则(1)点M 在圆上：_________________________． (2)点M 在圆外：_________________________． (3)点M 在圆内：_________________________． 4．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程． (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．自查自纠：1．定点 定长 集合 圆心 半径长 2．(1)(a ，b ) r(2)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F 3．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2 (3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 ( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋ (y －1)2＝2，故选D ．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C ． 3 D ．2解：由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43．故选A ．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是 ( )A ．95B ．1C ．45D ．135解：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线3x ＋4y －2＝0的距离，根据点到直线的距离公式得d ＝|－3－4－2|5＝95 ，故点N到点M 的距离的最小值为d －1＝45．故选C ．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是____________．解：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1． 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．故填(－2，－4)；5．(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解：设圆心的坐标为(a ，0)(a ＞0)，根据题意得|2a |5＝455，解得a ＝2(a ＝－2舍去)，所以圆心为(2，0)，则圆的半径r ＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝9．故填(x－2)2＋y2＝9．类型一 求圆的方程(1)过点A (4，1)的圆C 与直线x －y － 1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为____________． 解法一：由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3．① 过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2．解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，因为点A (4，1)，B (2，1)在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2． 故填(x －3)2＋y 2＝2．(2)经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程为____________．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，①3D －E ＋F ＝－10．② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0．③设x 1，x 2是方程③的两根，则x 1＋x 2＝－D ， x 1x 2＝F ．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．故填x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．点 拨：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝ ( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25．令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46．故选C ．(2)(2017·武汉模拟)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为____________．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，准线为 x ＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．故填(x －1)2＋y 2＝4．类型二 三角形的内切圆与外接圆已知三角形的三边所在直线方程分别为x ＋2y ＝5，2x －y ＝5，2x ＋y ＝5，则三角形的内切圆方程为_______________________．解：设内切圆圆心为I (a ，b )，半径长为r ． 由点到直线的距离知r ＝||2a －b －55＝||2a ＋b －55＝||a ＋2b －55，又因为三角形的内心总在这三角形的内部， 所以根据线性规划的知识得r ＝2a －b －5－5＝2a ＋b －55＝a ＋2b －5－5．由2a －b －5＝a ＋2b －5，得a ＝3b ，① 由2a －b －5＝－(2a ＋b －5)，得a ＝52．将a ＝52代入①式，得b ＝56．所以r ＝5＋56－55＝56． 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －562＝536． 故填⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －562＝536．点 拨：设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程组，解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长．求解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的圆心)．已知三点A (1，0)、B (0，3)、C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1．所以△ABC 外接圆的圆心为 ⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213． 另解：线段BC 的中垂线为x ＝1，故设半径为r ，有r ＝1＋（3－r ）2，解得r ＝233，即圆心⎝⎛⎭⎫1，233．故选B ．类型三 与圆有关的综合问题(1)(2016·聊城模拟)已知x ，y 满足 x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为______________．解：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是如图所示的直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0．由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故所求最小值为34．故填34．(2)(2016·嘉兴高三期末)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值是____________，最小值是____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x －2y ＝b ，即x －2y －b ＝0，作出圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5与一组平行线x －2y －b ＝0，如图所示，当直线x －2y －b ＝0与圆相切时，纵截距－12b取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离d ＝|1－2×（－2）－b |1＋4＝5，解得b ＝10或b ＝0，所以x －2y 的最大值为10，最小值为0．故填10；0．(3)(2016·滁州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最大值是____________，最小值是____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．又实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，即点(x ，y )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝25上，x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点的距离的平方，由圆的性质可知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处，x 2＋y 2分别取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离d ＝（1－0）2＋（－2－0）2＝5，所以x 2＋y 2的最大值是(5＋5)2＝30＋105，x 2＋y 2的最小值是(5－5)2＝30－105．故填30＋105；30－105．点 拨： 与圆有关的最值问题的常见解法：①形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．③形如(x －a)2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． (1)(2018·兰州模拟)设P (x ，y )是圆 (x －2)2＋y 2＝1上的任意点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为 ( ) A ．6 B ．25 C ．26 D ．36 解：因为圆(x －2)2＋y 2＝1的半径为1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为（2－5）2＋（0＋4）2＝5，所以圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为5＋1＝6，即(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36．故选D ． (2)(2018·银川模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x － 2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是 ( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3 解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1，1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形P ACB 的面积为2S △APC ＝2×12r |P A |＝|P A |＝|PC |2－r 2，要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2．所以四边形P ACB 面积的最小值为|PC |2min －1＝4－1＝3．故选C ．类型四 与圆有关的轨迹问题已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4．故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |．设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．点拨： 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法，根据圆、直线等定义列方程；③几何法，利用圆的几何性质列方程；④代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·济南模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1．故选A ．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路． 2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法 (1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．(2017·漳州模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 ( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 解：已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，所以圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．故选A ． 2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0] D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解：D 2＋E 2－4F ＝－3a 2－4a ＋4>0，所以 3a 2＋4a －4<0⇒－2<a <23．故选D ．3．过点P (0，1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解：依题意得所求直线是经过点P (0，1)及圆心(1，0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，故选C ．4．(2018·太原模拟)两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－15，1)B ．(－∞，－15)∪(1，＋∞)C ．[－15，1)D ．(－∞，－15]∪[1，＋∞)解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得P (a ，3a )，所以 (a－1)2＋(3a －1)2＜4，所以－15＜a ＜1．故选A ．5．(2018·湘潭一模)已知点A (0，－6)，B (0，6)，若对圆(x －a )2＋(y －3)2＝4上任意一点P ，都有∠APB 为锐角，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－55，55)B ．(－55，55)C ．(－∞，－55)∪(55，＋∞)D ．(－∞，－55)∪(55，＋∞) 解：若对圆(x －a )2＋(y －3)2＝4上任意一点P ，都有∠APB 为锐角，则圆(x －a )2＋(y －3)2＝4与圆x 2＋y 2＝36外离，即圆心距大于两圆的半径之和，a 2＋32＞6＋2，解得a 2＞55，a ＞55或a ＜ －55．故选D ． 6．(2016·安徽模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋ 5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞) 解：将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2．因为圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，所以圆心在直线y ＝x＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，所以a －b <4．故选A ．7．已知点P (2，1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋ b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为______________． 解：因为点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆上，所以该直线过圆心，即圆心(－a2，1)满足方程x ＋y －1＝0，因此－a2＋1－1＝0，解得a ＝0，所以圆心坐标为(0，1)．故填(0，1)．8．已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是______________．解：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，因为k CM ＝1－02－1＝1，所以最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0．故填x ＋y －1＝0．9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2，0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解：方法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )，因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1．解得m ＝2，即点P 的坐标为(0，2)， 圆的半径r ＝|MP |＝（2－0）2＋（0－2）2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．方法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，依题意，所求圆与直线l ：y ＝x ＋m 相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22．所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． 10．已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求2x ＋y 的最大值；(2)求(x ＋2)2＋(y －3)2的最小值；(3)求y －3x ＋2的最大值和最小值．解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，则圆心C 的坐标为(2，7)，半径r ＝22．设2x ＋y ＝b ，即2x ＋y －b ＝0，作出圆(x －2)2＋(y －7)2＝8与一组平行线2x ＋y －b ＝0，当直线2x ＋y －b ＝0与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离d ＝|2×2＋7－b |4＋1＝22，解得b ＝11＋210或b ＝11－210， 所以2x ＋y 的最大值为11＋210．(2)(x ＋2)2＋(y －3)2表示点M (x ，y )与点Q (－2，3)的距离的平方，又|QC |＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42． 所以|MQ |min ＝42－22＝22，即(x ＋2)2＋(y －3)2的最小值为8．(3)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0．由直线MQ 与圆C 有交点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．11．已知定点M (－3，4)，设动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：因为四边形MONP 为平行四边形，所以OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3，4)＝(x ＋3，y －4)＝(x 0，y 0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，代入x 20＋y 20＝4得(x ＋3)2＋(y－4)2＝4．又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形，此时联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ，（x ＋3）2＋（y －4）2＝4，得259x 2＋503x ＋21＝0． 解得x 1＝－95，x 2＝－215．则点(－95，125)和(－215，285)不满足题意．故动点P 的轨迹是圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4且除去点(－95，125)和(－215，285)．(2016·龙岩二模)已知点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)的距离之比为2． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点M 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，设点A 关于x 轴的对称点为Q (A ，Q 两点不重合)，证明：点B ，N ，Q 在同一直线上．解：(1)设P (x ，y )，因为点P 到两个定点M (－1，0)，N (1，0)的距离之比为2，所以（x ＋1）2＋y 2＝2·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0，所以动点P 的轨迹C 的方程是x 2＋y 2－6x ＋1＝0．(2)证明：由题意，直线l 的斜率存在，设为k (k ≠0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 2＋y 2－6x ＋1＝0，化简得(1＋k 2)x 2＋(2k 2－6)x ＋k 2＋1＝0， 由Δ＞0，可得－1＜k ＜1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q (x 1，－y 1)，且 x 1x 2＝1，所以k BN －k QN ＝y 2x 2－1－－y 1x 1－1＝2k （x 1x 2－1）（x 1－1）（x 2－1）＝0，所以点B ，N ，Q 在同一条直线上．。

2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。