备战2020年高考数学一轮复习第11单元圆锥曲线单元训练(B卷,文,含解析)

11．4直接证明与间接证明[知识梳理]1．直接证明2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．[诊断自测]1．概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(2)证明不等式2＋7＜3＋6最适合的方法是分析法．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－2P42例7)用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案 B解析a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.(2)(选修A1－2P42T2)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．答案m<n解析解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m<n.解法二：(作差法)由已知得m >0，n >0，则m 2－n 2＝a ＋b －2ab －a ＋b ＝2b －2ab ＝2b 2－2ab <0，∴m 2<n 2，∴m <n .3．小题热身(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18答案 D解析 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝16. ∴a 2＋b 2≥8，∴1a 2＋b 2≤18.故选D.(2)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >2；②a 2＋b 2>2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＋b 2>2，从而②推不出．①能够推出，即若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾． 因此假设不成立，所以a ，b 中至少有一个大于1.题型1 分析法的应用 典例已知a >0，证明： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)．因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42， 只需证a ＋1a ≥2.因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝1a ＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．方法技巧1．分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．2．分析法的适用范围及证题关键 (1)适用范围：①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接． ②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体． ③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导． (2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．见典例． 冲关针对训练(2018·天津期末)已知x >y >0，m >0.用分析法证明：xy (2－xy )≤1.证明 要用分析法证明：xy (2－xy )≤1， 只需2xy －(xy )2≤1， 只需(xy )2－2xy ＋1≥0，即(xy－1)2≥0，因为x，y>0，且(xy－1)2≥0成立，所以xy(2－xy)≤1.题型2综合法的应用典例已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2>abc(a＋b＋c)．利用基本不等式进行整理变形，使命题得证．证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，又a，b，c互不相等，∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”，∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.①∵a2＋b2≥2ab，∴a2c2＋b2c2≥2abc2，同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c，∴a2b2＋b2c2＋c2a2>abc2＋a2bc＋ab2c.②由①，②得a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2>abc(a＋b＋c)．方法技巧1．利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．2．综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．见典例．(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n 项和公式证明．冲关针对训练(2017·黄冈模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n＝m ＋3(n ∈N )．其中m 为常数，且m ≠－ 3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n∈N ，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列．证明 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列．(2)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3，∴a 1＝1. b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3，∴当n ∈N 且n ≥2时， b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n－1b n －1＝13.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列． 题型3 反证法的应用典例 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点求对角线的斜率，研究其是否垂直．解 (1)因为四边形OABC 为菱形， AC 与OB 相互垂直平分．可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 即t ＝±3，所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2.AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． 方法技巧反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的； (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少． 冲关针对训练(2017·济南质检)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎨⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．故选A.2．(2017·郑州模拟)设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ≤Q D ．P ≥Q 答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.3．(2016·邹平县校级期中)若a >b >c ，则使1a －b ＋1b －c ≥k a －c 恒成立的最大的正整数k 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，且a －c ＝a －b ＋b －c .又a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4，当且仅当a －b ＝b －c 时等号成立．∴k ≤a －c a －b ＋a －c b －c ，k ≤4，故k 的最大整数为4.故选C.4．(2017·海淀区二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173，则正确的密码中一定含有数字( )A ．4,6B ．3,6C ．3,7D ．1,7 答案 D解析 若正确的密码中一定含有数字3,6，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确．若正确的密码中一定含有数字1,7，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选D.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定 答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .故选B.2．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy 中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .∵5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负 答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A.6．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac C ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac ) D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．故选C.7．若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案 D解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形．假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，则A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．因此假设不成立，故△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.8．(2017·昌平区二模)四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分． 即每场比赛若不平局，则共产生3×6＝18分，每场比赛都平局，则共产生2×6＝12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同， 则各队得分分别为：2,3,4,5或3,4,5,6.如果是3,4,5,6，则每场产生3＋4＋5＋66＝3分，没有平局产生， 但是不可能产生4,5分，与题意矛盾，舍去． 因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分5：5＝3＋1＋1，为一胜两平； 第二名得分4：4＝3＋1＋0，为一胜一平一负； 第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平； 第四名得分2：2＝1＋1＋0，为两平一负． 则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4. 故选C. 二、填空题9．(2017·南昌一模)设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n .其极限为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即 2 不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－2＝22n <ε，得n >1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数 N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.10．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S 100＝41，T 100＝49，设c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n (n ∈N *)．那么数列{c n }的前100项和为________．答案 2009解析 ∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1， 则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1， ∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99， c 99＝S 99T 99－S 98T 98， …c 2＝S 2T 2－S 1T 1， c 1＝S 1T 1.∴数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝2009.11．设a >1，n ∈N *，若不等式na －1<a －1n 恒成立，则n 的最小值为________．答案 2解析 n ＝1时，结论不成立． n ＝2时，不等式为a －1<a －12， 即2a －2<a －1， ∴(a －1)2>0， ∵a >1，则a 有意义， ∴不等式恒成立．12．设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c，则A ，B ，C 的关系是________．答案 2B ＝A ＋C解析 ∵1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c ，∴a ＋c －2b (a －b )(c －b )＝3a －b ＋c ， 即b 2＝a 2＋c 2－ac ， 则有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∴B ＝60°，∴A ，B ，C 的关系是成等差数列，即2B ＝A ＋C . 三、解答题13．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根． 证明 (1)因为f (x )＝a x ＋x －2x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1(a >1)，而函数y ＝a x(a >1)和函数y ＝－3x ＋1在(－1，＋∞)上都是增函数．故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设函数f (x )＝0有负根x 0，即存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝2－x 0x 0＋1.又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x )＝0没有负根．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2.(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3n S n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n <6.证明 (1)因为S n ＝a n ＋1＋n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式， 得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n (n ≥2)．又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，即c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，即S n －n ＋1＝2n，所以b n ＝3n2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，① 2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，②②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.15．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明 证法一：(分析法)lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b＋lg c ⇐lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ⇐a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc . 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc 成立，原不等式得证．证法二：(综合法)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0. 又因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，即a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立．上式两边同取常用对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ， 即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .。

2020高三第一轮复习训练题数学（13）（圆锥曲线1）数学〔十三〕〔圆锥曲线1〕一、选择题〔本小题共12小题，每题5分，共60分〕 1．准线方程为x=1的抛物线的标准方程是A. 22y x =- B. 24y x =- C. 22y x =- D. 24y x =2．假设抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，那么p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．43．焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆0152:22=--+x y x C 的半径，那么椭圆的标准方程是A ．13422=+y x B ．1121622=+y x C ．1422=+y x D ．141622=+y x 4．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点是F 1、F 2，以| F 1F 2 |为边作正三角形，假设椭圆恰好平分三角形的另两边，那么椭圆的离心率为A ．)13(21-B ．)32(4-C ．13-D ．)32(41+5．A 、B 为坐标平面上的两个定点，且|AB|=2，动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，那么点P 的轨迹是 DA.椭圆B.双曲线C.抛物线D. 线段6．假设R ∈k ，那么〝3>k 〞是〝方程13322=+--k y k x 表示双曲线〞的〔A 〕充分不必要条件. 〔B 〕必要不充分条件.〔C 〕充要条件. 〔D 〕既不充分也不必要条件7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，那么点M 的纵坐标是〔 〕 A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 8．某椭圆短轴端点是双曲线122=-x y 的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率乘积为1，那么该椭圆方程A ．1422=+x y B ．1422=+y xC ．1222=+x yD ．1222=+y x9． P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分不是圆〔x ＋5〕2＋y 2＝4和〔x －5〕2＋y 2＝1上的点，那么|PM|－|PN|的最大值为A. 6B.7C.8D.910. 设过点()y x P ,的直线分不与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，假设2=，且1=⋅，那么P 点的轨迹方程是A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0123322>>=-y x y x C. ()0,0132322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范畴是〔A 〕(1,2] 〔B 〕(1,2) 〔C 〕[2,)+∞ 〔D 〕(2,)+∞12.点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，那么那个椭圆的离心率为13 D.12二.填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13. 假如正△ABC 中,D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =,那么以B ,C 为焦点且过点D ,E 的双曲线的离心率是 .14.以曲线y x 82=上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，那么这些圆必过一定点，那么这一定点的坐标是_________.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e ∈，那么两条渐近线夹角的取值范畴是 .16．(理科做)有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线2x =为准线；③离心率*1()2nn e n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，那么所有这些椭圆的长轴长之和为 .(文科做)假设椭圆22189x y k +=+的离心率为12，那么k 的值为 .三、解答题〔本大题共6小题，共74分〕 17. 椭圆)0(12222>>=+b a by ax 与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率23=e ．求椭圆方程18．三点P 〔5，2〕、1F 〔－6，0〕、2F 〔6，0〕。

第三章 圆锥曲线的方程B 卷 培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知点()11,0F -,()21,0F ,动点P 到直线2x =的距离为d,22PF d =,则（ ） A ．点P 的轨迹是圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于12 C ．点P 的轨迹方程为2212x y +=D ．12PF F △的周长为定值2．点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,1290F PF ∠=,且12F PF △的三条边长满足12122PF PF F F =+,则此双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D ．53．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ,若椭圆C 上恰好有6个不同的点,使得12F F P 为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12(,)33B ．1(,1)3C ．1112(,)(,)3223⋃D ．111(,)(,1)322⋃4．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 且斜率为1-的直线与其左支交于点P ,若存在()01λλ<<,使22F Q F P λ=,120FQ F P ⋅=,且221212122F F F P PF PFF Q PF F P⋅⋅⋅=,则双曲线的离心率为（ ）A1 B C D 15．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点,双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =,直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点,且P 恰好为线段1F Q 的中点,则双曲线C的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B．2y x =±C ．y =±D ．y =±6．已知直线1211::22l y x l y x =-=，,动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上,作1//PM l 交2l 于点M ,作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值,则（ ）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b =7．设A 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>在第一象限内的点,F 为其右焦点,点A 关于原点O的对称点为B ,且FA FB ⊥,24FA FB FA ≤≤,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎣B ．C ．⎣D ．)+∞8．已知1F 、2F 是双曲线或椭圆的左、右焦点,若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点122PF PF =,且存在△12PF F ,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）A ．2213635x y +=B ．2211615x y +=C ．2212x y -=D ．221616115y x -= 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9．设椭圆2293x y +＝1的右焦点为F,直线y ＝m （0＜m A,B 两点,下列结论正确为（ ） A ．|AF|+|BF|为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ,△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时,△ABF ．10．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆M与圆O ： 222x y a +=交于P ,Q 两点,若PQ OF =,则下列选项正确的是（ ）A ．曲线CB ．圆心M 到双曲线CC ．PQ 所在直线方程为x =D ．直线PQ11．已知1F ,2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左右焦点,1A ,2A 分别为其实轴的左右端点,且212b F F a =,点P 为双曲线右支一点,I 为12PF F △的内心,则下列结论正确的有（ ）A ．离心率1e =B ．点I 的横坐标为定值aC ．若()1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈R 成立,则1λ=D ．若PH 垂直x 轴于点H ,则212PH HA HA =⋅12．已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ,圆()22:116C x y +-=与抛物线E 交于A ,B 两点,点P 为劣弧AB 上不同于A ,B 的一个动点,过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ,则（ ）A ．点P 的纵坐标的取值范围是()B ．PN NF +等于点P 到抛物线E 的准线的距离C ．圆C 的圆心到抛物线E 的准线的距离为2D ．PFN 周长的取值范围是()8,10三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F,在C 上存在A.B 两点满足3AF FB =,且点A 在x 轴上方,以A 为切点作C 的切线l,l 与该抛物线的准线相交于点M,则点M 到直线AB 的距离为__________.14．在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________．15．已知椭圆1C ：22221x y a b +=(0a b >>)与双曲线2C ：22221x y m n -=(0m >,0n >)有相同的焦点1F ,2F ,其中1F 为左焦点,点P 为两曲线在第一象限的交点,1e ,2e 分别为曲线1C ,2C 的离心率,若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形,则21e e -的取值范围为________.16．如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米,底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为_____四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知①如图,长为宽为12的矩形ABCD ,以A 、B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过,C D 两点.②设圆22(16x y +=的圆心为S ,直线l 过点0)T ,且与x 轴不重合,直线l 交圆S 于,C D 两点,过点T 作SC 的平行线交SD 于M ,判断点M 的轨迹是否椭圆.（1）在①②两个条件中任选一个条件,求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程,过椭圆M 右焦点F 作与坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆PQ 两点,在x 轴上是否存在点G ,使得GF 恰为PGQ ∠的平分线？18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()()122,0,2,0A A -,点B 为椭圆E 的上顶点,且直线1A B 与直线20x =相互垂直. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不垂直x 轴的直线l 过椭圆E 的右焦点2F ,交椭圆于,C D 两点(C 在x 轴上方),直线12,A C A D 分别与y 轴交于,S T 两点,O 为坐标原点,求证：13OSOT =.19．已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点F与抛物线2C的焦点重合,1C的中心与2C的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交1C于A,B两点,交2C于C,D两点,且4||||3CD AB=.（1）求1C的离心率；（2）若1C的四个顶点到2C的准线距离之和为6,求1C与2C的标准方程.20．已知直线l ：240x y --=与x 轴交于点E ,且OF FE =,其中O 为坐标原点,F 为抛物线Ω：()220y px p =>的焦点.（1）求拋物线Ω的方程；（2）若直线l 与抛物线Ω相交于P ,B 两点(P 在第一象限),直线PA ,PC 分别与抛物线相交于A ,C 两点（,A C 在P 的两侧）,与x 轴交于D ,G 两点,且E 为DG 中点,设直线PA ,PC 的斜率分别为1k ,2k ,求证：1211k k +为定值； （3）在（2）的条件下,求PBC 的面积的取值范围.21．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚）,其底面直径大于上底直径,已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线,高度为100m,俯视图为三个同心圆,其半径分别m,30m,试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）；22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=＞＞经过点A ⎛ ⎝⎭,两个焦点为()12,0F -,()22,0F ． （1）求C 的方程； （2）设()()000,0P x y y ≠是C 上一点,直线2200:0l x x a y y a --=与直线2x =相交于点M ,与直线32x =相交于点N ,证明：当P 点在C 上移动时,22MF NF 为定值,并求此定值一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知点()11,0F -,()21,0F ,动点P 到直线2x =的距离为d,22PF d =,则（ ） A ．点P 的轨迹是圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于12 C ．点P 的轨迹方程为2212x y +=D ．12PF F △的周长为定值【答案】C 【解析】解：点1(1,0)F -,2(1,0)F ,动点P 到直线2x =的距离为d,2||PF d 设动点P 的坐标为(,)x y ,,化简得点P 的轨迹方程为2212x y +=,所以P 的轨迹是椭圆,所以A 错误,C 正确；所以B 不正确； △12PF F的周长为定值：222a c +=+,所以D 不正确； 故选：C ．2．点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,1290F PF ∠=,且12F PF △的三条边长满足12122PF PF F F =+,则此双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D ．5【答案】D 【解析】设点P 在双曲线的右支上,则122PF PF a -=,122F F c =, 因为12122PF PF F F =+,所以122PF c a =-,224PF c a =-,因为1290F PF ∠=,所以12F PF △是直角三角形,所以222212124PF PF F F c +==所以()()22222244c a c a c -+-=,即22650c ac a -+=, 所以2650e e -+=,解得：5e =或1e =（舍）, 所以此双曲线的离心率是5, 故选：D.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ,若椭圆C 上恰好有6个不同的点,使得12F F P 为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12(,)33B ．1(,1)3C ．1112(,)(,)3223⋃D ．111(,)(,1)322⋃【答案】D 【解析】显然,P 是短轴端点时,12PF PF =,满足12F F P 为等腰三角形,因此由对称性,还有四个点在四个象限内各有一个,设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点,若112PF F F =,则222212x y a b c ⎧+=⎪=,又222a b c =+,消去y 整理得： 222224240c x a cx a c a +-+=,解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=, 同0x a <<得220a aca c-+<<,所以112c a <<,即112e <<,若212PF F F =,则222212x y a b c ⎧+=⎪=,又222a b c =+,消去y 整理得： 222224240c x a cx a c a --+=,解得22a ac x c -=或22a acx c+=, 22a aca c+>舍去． 所以220a aca c-<<,所以1132c a <<,即1132e <<,12e =时,2a c =,12PF F △是等边三角形,P 只能是短轴端点,只有2个,不合题意．综上,e 的范围是111(,)(,1)322⋃．故选：D ．4．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 且斜率为1-的直线与其左支交于点P ,若存在()01λλ<<,使22F Q F P λ=,120FQ F P ⋅=,且221212122F F F P PF PFF Q PF F P⋅⋅⋅=,则双曲线的离心率为（ ）A1 B C D 1【答案】D 【解析】存在()01λλ<<,使22F Q F P λ=,说明Q 为线段2PF 上的点,120FQ F P ⋅=说明12F Q F P ⊥,即12F QF ∠为直角,过2F 且斜率为1-的直线与其左支交于点P ,说明2145QF F ∠=︒,所以△12F QF 为等腰直角三角形,所以Q 在y 轴上,2122F F F P F P⋅是21F F 在2F P 上的投影,122PF PF PF ⋅是1PF 在2PF 上的投影, 分别是线段PQ 和2QF 的长度,221212122F F F P PF PF F Q PF F P⋅⋅⋅=, 说明221PQ QF FQ =,∴1PQ FQ =,∴△12F QF ≌△1F QP , ∴△12PF F 为等腰直角三角形,)))211111221121a PF PF PF PF F F c =-=-===,∴双曲线的离心率为1c e a ===, 故选：D.5．已知1F ､2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点,双曲线C 的右支上一点Q 满足1||OQ OF =,直线1F Q 与该双曲线的左支交于P 点,且P 恰好为线段1F Q 的中点,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =±D ．y =±【答案】C 【解析】依题意,令12||||||OQ OF OF c ===,则有12QF QF ⊥,令2||2QF t =,由双曲线定义得1||22QF a t =+,而点P 是QF 1中点且在双曲线左支上,则12||||,||3PQ PF a t PF a t ==+=+,在2Rt PQF 中,22222||||||PQ QF PF +=,即222()(2)(3)a t t a t ++=+,解得2t a =,则2||4QF a =,1||6QF a =,在12Rt FQF 中,2221212||||||QF QF F F +=,即22236164a a c +=,2213c a =,于是得2212b a =,ba=所以双曲线C 的渐近线方程为y =±. 故选：C6．已知直线1211::22l y x l y x =-=，,动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上,作1//PM l 交2l 于点M ,作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值,则（ ） A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b =【答案】C 【解析】 如图所示：,易知由四边形OMPN 是平行四边形, 所以2222PM PN OM ON +=+为定值, 取点(),0P a 时,由 ()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得 24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由对称性得：,24a a N ⎛⎫⎪⎝⎭,所以22258OM ON a +=,取点()0,P b 时,由 1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得 2x b b y =-⎧⎪⎨=⎪⎩,所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由对称性得：,2b N b ⎛⎫⎪⎝⎭,所以22252OM ON b +=,所以 225582a b =,即2a b =, 故选：C7．设A 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>在第一象限内的点,F 为其右焦点,点A 关于原点O的对称点为B ,且FA FB ⊥,24FA FB FA ≤≤,则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎣ B．C．⎣ D．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线的左焦点为1F ,设1AF F α∠=, 则根据题意得111tan ,42AF AF AF BF α⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦, 则双曲线的离心率为22ce a ===, 令11tan ,,42x x α⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,易知()f x =在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,且1142f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()f x ∈⎣,即e ∈⎣. 故选：C.8．已知1F 、2F 是双曲线或椭圆的左、右焦点,若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点122PF PF =,且存在△12PF F ,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）A ．2213635x y +=B ．2211615x y +=C ．2212x y -=D ．221616115y x -= 【答案】C 【解析】对于A 选项,2213635x y +=,()11,0F -、()21,0F ,6a =,所以7a c +=,5a c -=,P 到焦点距离的最小值为5,最大值为7,假设存在点P ,满足122PF PF =,则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得283PF =,不合乎题意,所以A 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于B 选项,2211615x y +=,()11,0F -、()21,0F ,4a =,所以5a c +=,3a c -=,P 到焦点距离的最小值为3,最大值为5,假设存在点P ,满足122PF PF =,则121228PF PF PF PF ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得283PF =,不合乎题意, 所以B 选项中的椭圆不存在“Ω点”；对于C 选项,双曲线的方程为2211122x y -=,则双曲线的两个焦点为()11,0F -、()21,0F,a =1c =,若双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1,则12122PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得212PF =-,即双曲线2212x y -=存在“Ω点”； 对于D 选项,双曲线的标准方程为2211151616x y -=,则14a =,1c =,()11,0F -、()21,0F ,所以54a c +=,34c a -=,若双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点1F 、2F 的距离之比为2:1,则1212212PF PF PF PF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩,解得212PF c a =<-,所以D 选项中的双曲线不存在“Ω点”. 故选：C.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9．设椭圆2293x y +＝1的右焦点为F,直线y ＝m （0＜mA,B 两点,下列结论正确为（ ） A ．|AF|+|BF|为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m,△ABF 为直角三角形 D ．当m ＝1时,△ABF． 【答案】ACD 【解析】设椭圆的左焦点为F ',则||||AF BF '=∴||||||||6AF BF AF AF '+=+=为定值,A 正确；由椭圆22193x y +=,可得3a =,则26a =,因为0m <<所以||AB 的取值范围是(0,6),ABF 的周长为||||||AB AF BF ++,因为||||AF BF +为定值6∴ABF 的周长的范围是(6,12),B 错误；将y =,可解得(A,B又∵F,∴6AF BF⎛⋅=⋅⎭⎭34=+=⎭,所以AF BF⊥∴ABF是直角三角形,C正确；将1y=与椭圆方程联立,解得(A ,B,∴112ABFS=⨯=正确.故选：ACD.10．设F为双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆M 与圆O：222x y a+=交于P,Q两点,若PQ OF=,则下列选项正确的是（）A．曲线CB．圆心M到双曲线CC．PQ所在直线方程为x=D．直线PQ【答案】ACD【解析】依题意,以OF为直径的圆M：22222c cx y⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,与圆O：222x y a+=联立得,2P Qax xc==,故由PQ OF=知,PQ垂直x轴,也是圆M的一条直径,过圆心,02c⎛⎫⎪⎝⎭,即22a cc=,故2222cea==,即e=故A正确；由,c b a==知,双曲线的渐近线为0x y±=,圆心M,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭到双曲线C12a=,故B错误；2P Qax xc==PQ垂直x轴,故PQ所在直线方程为x=,故C正确；由x=0x y±=得y=2=,故D正确.故选：ACD.11．已知1F ,2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左右焦点,1A ,2A 分别为其实轴的左右端点,且212b F F a =,点P 为双曲线右支一点,I 为12PF F △的内心,则下列结论正确的有（ ）A ．离心率1e =B ．点I 的横坐标为定值aC ．若()1221IPF IP F F IF SSSλλ=+∈R 成立,则1λ=D ．若PH 垂直x 轴于点H ,则212PH HA HA =⋅ 【答案】ABC 【解析】A. 2122b F F c a==,故有22b ac =,则222c a ac -=左右两边同除2a 得()22101e e e --=>,解得1e =,故A 对B.设圆I 与x 轴相切于点E ,与1PF 相切于点M ,与2PF 相切于点N , 则如图有1211222,,,PF PF a PM PN MF F E NF EF -==== 故()()122PM MF PN NF a +-+= 则有122MF NF a -=则有122F E EF a -=,又1E F E x c =+,2E EF c x =- 故()2E E x c c x a +--=则E x a =,故I x a =,点I 的横坐标为定值a ,则B 对. C. 若()1221IPF IP F F IF S SSλλ=+∈R 成立,设内切圆半径为r ,则有121211222PF r PF r F F r λ⋅=⋅+⋅ 则121222PF PF a F F c λλ-===⋅则11a c eλ===,故C 对 D. 若PH 垂直x 轴于点H ,设()00,P x y则()0,0H x则()()2012002x a x a x a HA HA =+-=-⋅()2222220002221x b y b x a a a PH ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭=又22b ac =,故)2222221b ac ca a a===故212HA HA PH ≠⋅ 故D 错 故选：ABC12．已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ,圆()22:116C x y +-=与抛物线E 交于A ,B 两点,点P 为劣弧AB 上不同于A ,B 的一个动点,过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ,则（ ）A ．点P 的纵坐标的取值范围是()B ．PN NF +等于点P 到抛物线E 的准线的距离C ．圆C 的圆心到抛物线E 的准线的距离为2D ．PFN 周长的取值范围是()8,10 【答案】BCD 【解析】∵圆()22:116C x y +-=的圆心为()0,1C ,半径4r =,∴与y 轴正半轴的交点为()0,5,∵抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1F ,准线方程为1y =-,由()2224116x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩,得3x y ⎧=±⎪⎨=⎪⎩故点P 的纵坐标()3,5P y ∈,故A 错误； 由抛物线的定义可得PN NF +等于点P 到抛物线E 的准线的距离,故B 正确； 易知圆C 的圆心到抛物线E 的准线的距离为2,故C 正确；PFN 的周长为()158,10P P PF PN NF r y y ++=++=+∈,故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F,在C 上存在A.B 两点满足3AF FB =,且点A 在x 轴上方,以A 为切点作C 的切线l,l 与该抛物线的准线相交于点M,则点M 到直线AB 的距离为__________.【解析】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1,设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D, 连接AC 、BD,过B 作BE⊥AC 于E∵AF =3FB ,∴设|FB |＝m,则|AF |＝3m, 由点A 、B 分别在抛物线上,结合抛物线的定义,得 |DB |＝|FB |＝m,|AC |＝|AF |＝3m, ∴|AE |＝2m因此,Rt△ABE 中,cos∠BAE 12=,得∠BAE＝60° 所以,直线AB 的倾斜角∠AFx＝60°,得直线AB 的斜率为tan60°=直线AB 的方程为y =x ﹣1）,代入y 2＝4x,可得3x 2﹣10x+3＝0, ∴x＝3或x 13=, ∵A 在x 轴上方,∴A (3,,∴设过A 的切线的斜率为k,则切线的方程为(3)y k x --,与24y x =联立得到23)y =,即24120y k y -=令24()12)0k ∆=-=-,可得k =∴过A 的切线的方程为y x =+,令x ＝-1,可得y =∴M 的坐标为1⎛- ⎝⎭,又直线AB 的方程为y x ﹣1）故点M 到直线AB 的距离：|32d ==14．在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________．【解析】解：由题意得：抛物线交点(1,0)F ,直线l 的倾斜角为60°tan 60︒∴==k 直线l 的方程为)1y x =-,即1x y =+代入抛物线方程24y x =,得240y y -=解得12y y ==（舍去）所以(3,A ,于是可得111122=⋅⋅=⨯⨯=OAF S OF y15．已知椭圆1C ：22221x y a b +=(0a b >>)与双曲线2C ：22221x y m n -=(0m >,0n >)有相同的焦点1F ,2F ,其中1F 为左焦点,点P 为两曲线在第一象限的交点,1e ,2e 分别为曲线1C ,2C 的离心率,若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形,则21e e -的取值范围为________. 【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】由12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形,即22PF c =, 根据椭圆的定义可得12122PF PF PF c a +=+=, 根据双曲线的定义可得12122PF PF PF c m -=-=, 联立方程组,可得2a m c =+,所以()()22221222222222c c c c c c c e e m a m m c m m c m mc m c c -=-=-===++++-,易知m c <,则()2223m c c c +-<,所以()222223c m c c >+-,即2123e e ->, 所以21e e -的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为:2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16．如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为20厘米,底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为_____【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:切点为,A A ',与圆柱面相交于,C C ',此时可知CC '即为椭圆的长轴2a , 在直角三角形ABO ∆ 中, 2022212,8,sin 284AB AB BO AOB OB -⨯===∴∠===, 又因为sin r AOB OC ∠=,所以28sin a OC AOB===∠, 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即24b =,则求得c c e a ∴==四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知①如图,长为宽为12的矩形ABCD ,以A 、B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过,C D 两点.②设圆22(16x y +=的圆心为S ,直线l 过点0)T ,且与x 轴不重合,直线l 交圆S 于,C D 两点,过点T 作SC 的平行线交SD 于M ,判断点M 的轨迹是否椭圆.（1）在①②两个条件中任选一个条件,求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程,过椭圆M 右焦点F 作与坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆PQ 两点,在x 轴上是否存在点G ,使得GF 恰为PGQ ∠的平分线？【答案】（1）（1）选①2214xy+=选②：()22104xy y+=≠（2）证明见解析,切线方程为14xy=（2）存在点G⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）选①：由已知,将)12C代入椭圆方程得：2222223413141a baba b⎧-=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩故椭圆方程为：2214xy+=选②：由题设可得如下示意图,易知：△SCD为等腰三角形且SC SD=,∴SCD SDC∠=∠,又//TM SC,即MTD SCD∠=∠,∴MTD SDC∠=∠,则MT MD=,∵4MS MT MS MD SD+=+==,∴椭圆定义知：动点M到两定点(S T的距离和为定值4,∴M的轨迹方程为2214xy+=.（2）设直线方程为(y k x=与椭圆2214xy+=联立得()2222141240k x x k+-+-=显然0∆>恒成立故12212212414x xkx xk⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩假设在x轴上是否存在点(),0G t设()()1122,,,P x y Q x y由题意PG QGk k+=即(()(()1212211200y yk x x t k x x tx t x t+=⇒-+-=--整理得(()121220x x t x x-++=故(221242014ktk-⨯-++=+⎝⎭解得t=,故存在点G ⎫⎪⎪⎝⎭18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()()122,0,2,0A A -,点B 为椭圆E 的上顶点,且直线1A B与直线20x =相互垂直. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不垂直x 轴的直线l 过椭圆E 的右焦点2F ,交椭圆于,C D 两点(C 在x 轴上方),直线12,A C A D 分别与y 轴交于,S T 两点,O 为坐标原点,求证：13OSOT =. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由()22,0A ,得2a =.直线1A B与直线20x +=相互垂直,则12b ⎛⋅=- ⎝,解得b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）依题意设直线():10l x my m =+≠, 联立l 和椭圆C 的方程得：()2243690mymy ++-=,设()()1122,,,C x y D x y ,则有12122269,4343m y y y y m m --+==++. ()111:22y A C y x x =++,令0x =,则1122S yy x =+,同理：2222T y y x -=-.所以()()()()121221212123ST y x y my OS y OTy y x y my --===-++. 则()()()()()12212112212131323133333y my y my my y y y OSOT y my y my --+-+-==++, 分子()12122296232304343m my y y y m m m --⎛⎫⎛⎫-+=⨯-⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,所以13OS OT =.19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合,1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A,B 两点,交2C 于C,D 两点,且4||||3CD AB =.（1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6,求1C 与2C 的标准方程. 【答案】 （1）12 （2）1C ：22143x y +=,2C ：24y x = 【解析】（1）根据题意,分别表示出||AB 与||CD ,构造齐次式,即可求解； （2）根据题意,结合椭圆与抛物线的性质,即可求解. （1）因为椭圆1C 的右焦点为(c,0)F ,其中c 所以抛物线2C 的方程为：24y cx =,由于椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,将x c =代入椭圆1C 的方程,得422b y a =,所以2b y a=±,因此22||b AB a=；将当x c =代入2C 的方程,得2y c =±,所以||4CD c =,由4||||3CD AB =得,2843b c a=,即2232()ac a c =-,即2322c c a a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭,所以22320e e +-=,解得12e =或2e =-(舍去),所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知12c e a ==,所以2a c =,b =,故2C 的准线方程为：x c =-.因为1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6,所以226a c +=,解得1c =,2a =.所以1C 的标准方程为22143x y+=,2C 的标准方程为24y x =.20．已知直线l ：240x y --=与x 轴交于点E ,且OF FE =,其中O 为坐标原点,F 为抛物线Ω：()220y px p =>的焦点.（1）求拋物线Ω的方程；（2）若直线l 与抛物线Ω相交于P ,B 两点(P 在第一象限),直线PA ,PC 分别与抛物线相交于A ,C 两点（,A C 在P 的两侧）,与x 轴交于D ,G 两点,且E 为DG 中点,设直线PA ,PC 的斜率分别为1k ,2k ,求证：1211k k +为定值； （3）在（2）的条件下,求PBC 的面积的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）()0,54. 【解析】（1）由已知得()2,0E ,且F 为OE 的中点,所以 ()1,0F . 所以12p=,解得2p =, 故抛物线Ω的方程为24y x =.（2）证明：联立22404x y y x --=⎧⎨=⎩,解得 ()4,4P ,()1,2B -,由E 为DG 的中点得0ED EG +=. 不妨设()2,0D t -,()2,0G t +,其中 0t >. 则142k t =+,242k t =-. 所以121122144t tk k +-+=+=, 即1211k k +为定值. （3）由（2）可知直线PC 的方程为44(4)2y x t-=--,即 ()42480x t y t ----=, 与抛物线联立()2442480y x x t y t ⎧=⎪⎨----=⎪⎩,消 x 可得()22480t y y t ---=-,解得2y t =--或4y =（舍）,所以()224t x +=,即 ()22,24t C t ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭, 故点C 到直线PB的距离d =设过点P 的抛物线的切线方程为()44y k x -=-, 联立()2444y k x y x⎧-=-⎨=⎩得 2416160ky y k -+-=,由0∆=,得12k =, 所以切线方程为240x y -+=,令0y =,得 4x =-, 所以要使过P 点的直线与抛物线有两个交点,24t ->-, 则有06t <<, 又PB =所以236124PBCt t S +=⨯=△, 即054PBC S <<△,故 PBC 的面积的取值范围为()0,54.21．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚）,其底面直径大于上底直径,已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线,高度为100m,俯视图为三个同心圆,其半径分别m,30m,试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m 为长度单位米）；【答案】2219006300x y -=,[]70,30y ∈-【解析】最窄处即双曲线两顶点间, 30a ∴=设双曲线的标准方程为：2221900x y b -=,由题意知：当40x =（地面半径）时对应y的值是,当x =时,y, 100=,解得：b =∴双曲线的标准方程是2219006300x y -=,[]70,30y ∈-. 22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=＞＞经过点A ⎛ ⎝⎭,两个焦点为()12,0F -,()22,0F ． （1）求C 的方程；（2）设()()000,0P x y y ≠是C 上一点,直线2200:0l x x a y y a --=与直线2x =相交于点M ,与直线32x =相交于点N ,证明：当P 点在C 上移动时,22MF NF 为定值,并求此定值．【答案】（1）2213x y -=（2）见解析,22MF NF【解析】解：解法1：（1）由题意2c =,所以224a b =-,C 的方程可化为222214x y b b -=-． 因为C的方程经过点A ⎛ ⎝⎭,所以2241143b b -=-,解得21b =,或243b =-（舍去）． 于是C 的方程为2213x y -=．（2）由（1）知直线l 的方程为00330x x y y --=．把2x =,32x =分别代入00330x x y y --=得：00232,3x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,003332,23x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 又()00,P x y 在C 上,所以220033y x =-．()22,0F ,所以()()()()()()()20222222000002222222000000020202332323412944443333312123332332331243x MF y x x x x x x x y x x x NF x y ----+==⋅=⋅=⋅=-+-++--+-⎛⎫- ⎪⎝⎭+． 于是22MF NF解法2：（1）由双曲线定义得122a AF AF =-=所以a =因为2c =,所以2221b c a =-=,于是C 的方程为2213x y -=。

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第7单元 数列注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 2．已知等比数列{}n a 中，31320a a ⋅=，64a =，则10a 的值是（ ） A ．16B ．14C ．6D ．53．等比数列{}n a 中，12330a a a ++=，456120a a a ++=，则789a a a ++=（ ） A ．240B ．±240C ．480D ．±4804．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么9N 的值为（ ）A ．369B ．321C ．45D ．415．已知1，1a ，2a ，9四个实数成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，9五个数成等比数列，则221()b a a -=（ ） A ．8B ．-8C ．±8D ．986．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，则3S =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．97．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即20165a -=（ ）A ．20182014⨯B ．2018201⨯C ．10112015⨯D ．10102012⨯8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则77a b =（ ） A ．9310B ．172C ．14317D ．159．已知数列{错误!未找到引用源。

2020届新课标版高考临考大练兵（文11）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数31ii++（i 为虚数单位）的虚部是 A. 2- B. 2 C. i - D. 1-2. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示,则时速超过60km/h 的汽车数量为 A.38辆 B.28辆 C.10辆 D.5辆3. 已知全集R U =,集合2{|20}A x x x =->,{|lg(1)}B x y x ==-,则()U B A I ð等于A. {|2x x >或0}x <B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D. {|12}x x ≤≤ 4. 下列四个函数中,在区间(0,1)上为减函数的是 A.2log y x =B.1y x =C.1()2xy =- D.13y x =5. 设,a b 为两条不重合的直线,,αβ为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是 A ．若,a b 与α所成角相等,则//a b B ．若//,//,//a b αβαβ,则//a b C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂,则//αβ D ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥,则a b ⊥6. 已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-等于 A ．17-B ．7-C ．71D ．77. 已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为 ABCD8. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和4,的等腰梯形,则该几何体的体积是 A.283π B.73π C.28π D. 7π侧视图俯视图 8 第题9. “0a =”是“函数ln ||y x a =-为偶函数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件10. 定义运算a bc d ,ad bc =-则函数3()1f x =cos xx 图象的一条对称轴方程是 A ．56x π= B ．23x π= C ．3x π= D ．6π=x11. 若0,0,a b >>且4=+b a ,则下列不等式恒成立的是A ．211>abB ．111≤+ba C ．2≥ab D ．228a b +≥ 12. 若函数)(x f 满足1()1(1)f x f x +=+,当[0,1]x ∈时,()f x x =,若在区间(1,1]-上,()()g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围是 A. )21,0[ B. 1[,)2+∞ C. )31,0[ D. ]21,0(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 已知向量a 、b 的夹角为60o ,||2,||3a b ==r r , 则|2|a b -=r r;14. 右面程序框图中输出S 的值为 ;15. 若001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是__________;16．点P 是曲线2y x x =-上任意一点,则点P 到直线3y x =-的距离的最小值是 ；三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设集合{1,2}A =,{1,2,3}B =,分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b .(Ⅰ)若向量(,),(1,1)m a b n ==-u r r,求向量m u r 与n r 的夹角为锐角的概率;(Ⅱ) 记点(,)P a b ,则点(,)P a b 落在直线x y n +=上为事件n C (25)n n ≤≤∈N ，,求使事件n C 的概率最大的n .18. （本小题满分12分）已知向量1(sin ,1),,)2a xb x =-=-r r ,函数()()2f x a b a =+⋅-r r r.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T ;(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .19．（本小题满分12分）如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==.(Ⅰ)求证：BC BE ⊥；(Ⅱ)在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明．20．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点1(,)n n S a +在直线21y x =+上,N n *∈．(Ⅰ)当实数t 为何值时,数列}{n a 是等比数列？ (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设31log n n b a +=,n T 是数列11{}n n b b +⋅的前n 项和,求2011T 的值．21.（本小题满分12分）已知函数32()2f x x ax x =+++．(Ⅰ)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值； (Ⅱ)若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知圆221:(1)8C x y ++=,点2(1,0)C ,点Q 在圆1C 上运动,2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ) 求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ) 设,M N 是曲线W 上的两个不同点,且点M 在第一象限,点N 在第三象限,若EBA CDF122OM ON OC +=u u u u r u u u r u u u u r,O 为坐标原点,求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点)31,0(-S 且斜率为k 的动直线．．．l 交曲线W 于,A B 两点,在y 轴上是否存在定点D ,使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在,求出D 的坐标,若不存在,说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． D A C B D D A B A A D D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 13 14. 94 15. 3 16．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 设向量m u r 与n r的夹角为θ因为θ为锐角 ∴cos 0m nm n θ⋅=>u r ru r r ，且向量m u r 与n r 不共线,因为0,0a b >>,(1,1)n =-r ,显然m u r 与n r 不共线,所以,0m n a b ⋅=->u r r,a b >………………………2分分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b 的基本事件有;(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)………………………………………5分 所以向量m u r 与n r 的夹角为锐角的概率16P =………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知;当2n =时，满足条件的概率216P =………………………7分当3n =时，满足条件的概率313P =………………………………………8分 当4n =时，满足条件的概率413P =………………………………………9分当5n =时，满足条件的概率516P =………………………………………10分 所以使事件n C 的概率最大的n 值为3或4……………………………………12分 18. （本小题满分12分）解: (Ⅰ) 2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-r r r r r r21sin 1cos 22x x x =+++-…………………………………………2分1cos 21222x x -=-12cos 22x x =-sin(2)6x π=-…………………4分 因为2ω=,所以22T ππ==…………………………………………6分 (Ⅱ) ()sin(2)16f A A π=-=因为5(0,),2(,)2666A A ππππ∈-∈-，所以262A ππ-=，3A π=……………8分则2222cos a b c bc A =+-，所以211216242b b =+-⨯⨯，即2440b b -+= 则2b =…………………………………………10分从而11sin 24sin 6022S bc A ==⨯⨯⨯=o 12分 19．（本小题满分12分）证明： (Ⅰ)因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，DE AD ⊥ 所以DE ⊥平面ABCD DE BC ∴⊥………………………………………1分 因为AB AD =，所以,4ADB BDC π∠=∠=BD ==取CD 中点N ，连接BN则由题意知：四边形ABND 为正方形所以BC ====，BD BC =则BDC ∆为等腰直角三角形 则BD BC ⊥…………5分 则BC ⊥平面BDE则BC BE ⊥………………7分 (Ⅱ)取EC 中点M ，则有//BM 平面ADEF …………8分证明如下：连接MN由(Ⅰ)知//BN AD ，所以 //BN 平面ADEF又因为M 、N 分别为CE 、CD 的中点，所以 //MN DE 则//MN 平面ADEF ………………10分EBACNDFM则平面//BMN 平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ……………………12分 20．（本小题满分12分）解： (Ⅰ)由题意得121n n a S +=+，121n n a S -=+(2)n ≥ ……1分 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，……4分 所以当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． ……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得知13n n a -=，31log n n b a n +==，……9分11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++ ……10分201112201120121111111(1)()()22320112012T b b b b =+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-20112012= …12分 21. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)3232()2(2)2g x x x x x x x x =--++=-++-，所以2()321g x x x '=-++ 由()0g x '=得13x =-或1x =………………………………………2分所以函数()g x 在3x =-处取得极小值27-；在1x =处取得极大值1-………………6分 (Ⅱ) 因为2()321f x x ax '=++的对称轴为3a x =- （1）若133a -≥-即1a ≤时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有24120a ∆=-≤，解得：a ≤≤1a ≤≤；………………………8分（2）若133a -<-即1a >时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有2111()3()2()10333f a -=⋅-+⋅-+≥，解得：2a ≤，所以12a <≤；…………10分综上，实数a的取值范围为2a ≤≤………………………………………12分 22．（本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹W 是以点21,C C 为焦点的椭圆……………3分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……5分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=u u u u r u u u r u u u u r，则121222,20a a b b +=-+= ②由①②解得112215,,2448a b a b ===-=-……………8分 所以直线MN 的斜率k 212114b b a a -==-……………10分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………11分 由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点， 设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=-u u u r u u u r因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=u u u r u u u r，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………12分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=u u u r u u u r恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =. 因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。

2019年高中数学单元测试卷 圆锥曲线与方程 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|= （ ）

A．2: B．1:2 C．1: D．1:3

2．1 ．（2012新课标理）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,P为直线32ax上一点,21FPF是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为 （ ） A．12 B．23 C． D．

3．（2010四川文数）(3)抛物线28yx的焦点到准线的距离是（ ） (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8

4．（2007宁夏理6）已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且2132xxx， 则有（ ）

Ａ．123FPFPFP Ｂ．222123FPFPFP Ｃ．2132FPFPFP Ｄ．2213FPFPFP· 5．若过点(01)，的直线l与抛物线22yx有且只有一个交点，则这样的直线l共有 条． [答]( ) A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 6．双曲线的渐近线方程为34yx，则双曲线的离心率是 7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 . 8．若椭圆1422ymx的焦距为2，则m的值是 ▲_ 9．在椭圆2212xy上，对不同于顶点的任意三个点,,MAB，存在锐角θ，使cossinOMOAOB．则直线OA与OB的斜率之积为 ▲ .

10． 2．若F1、F2是椭圆C：x28＋y24＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为____________． 11．已知F1，F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若1290FPF，且22FPF的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是__________5

专题21 圆锥曲线综合【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x =-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补， 所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解. （1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．（西藏日喀则市2020届高三上学期学业水评测试（模拟）数学试题）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>经过点⎫⎪⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若5FA FB ⋅=，求直线l 的方程.2．（重庆市巴蜀中学2020届高三下学期适应性月考九数学试题）已知椭圆1C ：22163x y +=的长轴为AB ，动点P 是椭圆上不同于A ，B 的任一点，点Q 满足AP AQ ⊥，BP BQ ⊥. （1）求点Q 的轨迹2C 的方程；（2）过点()0,6R 的动直线l 交2C 于M ，N 两点，y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=总成立？若存在，求出定点S ；若不存在，请说明理由.3．（四川省绵阳市江油中学2020-2021学年高三8月第二次考试文科数学试题）已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为12-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．4．（2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学试题）如图所示椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,1)E 作斜率为的直线l 与椭圆C 交于点M ，N （点N 在第一象限），直线1MB 与直线2NB 交于点T ，求点T 的坐标.5．（广西钦州市第一中学2021届高三8月月考数学试题）已知椭圆22:24C x y +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．6．（山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量数学试题）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.7．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学试题）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线l 上，求证无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .8．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学模拟试题（一）（a 卷））在平面直角标系xOy 中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.9．（四川省内江六中2020届高三高考数学强化训练试题（三））设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.10．（甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试数学试题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> （1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．11．（甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学第四次联考试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的C 的右顶点到直线0x y -+=的距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．12．（新高考课改专家2021届高三数学命题卷试题）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为1B ，上顶点为2B ，离心率为12，且122FB FB ⋅=-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，椭圆C 上有一点P （不与A 重合），直线PF 与直线2x =相交于M .若AM =P 的横坐标.13．（安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．14．（福建省三明第一中学2020届高三模拟（六）数学试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一焦点F 与抛物线22:4C y x =的焦点重合，且离心率为2． （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点，与椭圆1C 交于C 、D 两点，求||||CD AB 的最大值． 15．（湖北省武汉外国语学校2020届高三下学期高考冲刺押题联考（一）数学试题）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，长轴长为4，P 为椭圆E 上一点，F 为椭圆的右焦点，满足PF 与x 轴垂直，且32PF =． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知Q 为直线4x =上一点，直线QF 与椭圆E 依次交于A ，B 两点（按照Q 、A 、F 、B 的顺序），证明：QA FA QBFB=．。

2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2008陕西理)双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2．（2002北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 43二、填空题3．椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m = . 4．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是____________5．在直角坐标系xOy 中，双曲线2213y x -=的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 。

6．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 _______________.7．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .8．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程 为320,x y ±=则a 的值为 ．9．已知抛物22(0)y px p =>，过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12,l l 若1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于M 、N 与两点，1l 的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为2,p p p kk ⎛⎫+⎪⎝⎭，请你写出弦MN 的中点坐标：10．如图，设共有一条对称轴PQ 、一个顶点P 和一个焦点F 的2个椭圆和焦距，给出下列判断①1122a c a c +>+ ②1122a c a c ->-③1212c c a a > ④ 1212b b a a < ⑤221212b b a a <2(14题图)11．抛物线24x y =的准线方程为 ▲ ． 12．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论： ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是___________.13．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 14．6=的化简结果是______________.15．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为___▲___．16．双曲线221412x y -=的渐近线方程为 。