苏教版2018年高考数学一轮复习 专题6.1 数列的概念与简单表示法(练)

6.1 数列的概念及其表示1. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】1 121【解析】由题可得；1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==- 【考点解读】本题考查了n a 与n S 的关系及等比数列的定义与求和。

可由121n n a S +=+转化为13n n a a +=，根据递推公式，为等比数列（注意一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=）。

2.【2015高考新课标2理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【考点解读】本题考查了n a 与n S 的关系及等差数列的定义与数列求和。

解题由n a 与n S 的关系入手，从而转化为1n S +与n S 的递推式，再根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列可得。

3.【2015江苏高考11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点解读】本题考查了数列的递推公式与求和。

若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式。

１．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a１＋a２＋…＋a n叫做数列的前n项和２．数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点（n，a n）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a１和a n＋１＝f（a n）或a１，a２和a n＋１＝f（a n，a n—１）等表示数列的方法３．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝错误!４．数列的分类[小题体验]１．数列—１，错误!，—错误!，错误!，…的一个通项公式是________．解析：—１＝—错误!，数列１,４,9,１6，…对应通项n２，数列１,３,５,7，…对应通项２n—１，数列—１,１，—１,１，…对应通项（—１）n，故a n＝（—１）n·错误!.答案：a n＝（—１）n·错误!２．已知数列错误!满足a n＝４a n—１＋３，且a１＝0，则a５＝________.解析：a２＝４a１＋３＝３，a３＝４a２＋３＝１５，a４＝４a３＋３＝6３，a５＝４a４＋３＝２５５．答案：２５５３．数列{a n}的通项公式为a n＝—n２＋9n，则该数列第________项最大．答案：４或５４．若数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，则错误!＝________.解析：∵数列错误!的前n项和S n＝n２＋３n，∴a１＋a２＋a３＝S３＝３２＋３×３＝１8，∵a４＋a５＋a6＝S6—S３＝３6，∴错误!＝２．答案：２１．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．２．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a１，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n—S n—１的形式，但它只适用于n≥２的情形．[小题纠偏]１．已知数列{a n}的前n项和S n＝２n—３，则数列{a n}的通项公式是________________．解析：当n＝１时，a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n—３）—（２n—１—３）＝２n—２n—１＝２n—１.又a１＝—１不适合上式，故a n＝错误!答案：a n＝错误!２．若数列错误!的前n项和S n＝错误!a n＋错误!，则错误!的通项公式a n＝________.解析：由S n＝错误!a n＋错误!得，当n≥２时，S n—１＝错误!a n—１＋错误!，两式相减，得a n＝错误!a n—错误!a n—１，∴当n≥２时，a n＝—２a n—１，即错误!＝—２．又n＝１时，S１＝a１＝错误!a１＋错误!，a１＝１，∴数列{a n}是以１为首项，—２为公比的等比数列，∴a n＝（—２）n—１.答案：（—２）n—１错误!错误![题组练透]１．若a n＝n２＋λn＋３（其中λ为实常数），n∈N*，且数列错误!为单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：（函数观点）因为错误!为单调递增数列，所以a n＋１＞a n，即（n＋１）２＋λ（n＋１）＋３＞n２＋λn＋３，化简为λ＞—２n—１对一切n∈N*都成立，所以λ＞—３．故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．法二：（数形结合法）因为错误!为单调递增数列，所以a１＜a２，要保证a１＜a２成立，二次函数f（x）＝x２＋λx＋３的对称轴x＝—错误!应位于１和２中点的左侧，即—错误!＜错误!，亦即λ＞—３，故实数λ的取值范围是（—３，＋∞）．答案：（—３，＋∞）２．已知数列{a n}的通项公式a n＝（n＋１）0．9n，求n为何值时，a n取得最大值．解：因为a１＝２×0．9＝１．8，a２＝３×0．8１＝２．４３，所以a１＜a２，所以a１不是数列{a n}中的最大项．设第n项a n的值最大，则错误!即错误!解得错误!所以当n为8或9时，a n取得最大值．[谨记通法]求数列中最大或最小项的２种方法（１）单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性．（２）不等式组法：若满足错误!则a n为数列{a n}中的最大项；若满足错误!则a n为数列{a n}中的最小项．错误!错误![典例引领]已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式．（１）S n＝２n２—３n；（２）S n＝３n＋b.解：（１）a１＝S１＝２—３＝—１，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（２n２—３n）—[２（n—１）２—３（n—１）]＝４n—５，由于a１也适合此等式，所以a n＝４n—５．（２）a１＝S１＝３＋b，当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋b）—（３n—１＋b）＝２·３n—１.当b＝—１时，a１适合此等式．当b≠—１时，a１不适合此等式．所以当b＝—１时，a n＝２·３n—１；当b≠—１时，a n＝错误![由题悟法]已知S n求a n的３个步骤（１）先利用a１＝S１求出a１；（２）用n—１替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n—S n—１（n≥２）便可求出当n≥２时a n的表达式；（３）对n＝１时的结果进行检验，看是否符合n≥２时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝１与n≥２两段来写．[即时应用]已知数列{a n}的前n项和为S n.（１）若S n＝（—１）n＋１·n，求a５＋a6及a n；（２）若S n＝３n＋２n＋１，求a n.解：（１）a５＋a6＝S6—S４＝（—6）—（—４）＝—２，当n＝１时，a１＝S１＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（—１）n＋１·n—（—１）n·（n—１）＝（—１）n＋１·[n＋（n—１）]＝（—１）n＋１·（２n—１），又a１也适合此式，所以a n＝（—１）n＋１·（２n—１）．（２）因为当n＝１时，a１＝S１＝6；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝（３n＋２n＋１）—[３n—１＋２（n—１）＋１]＝２·３n—１＋２，由于a１不适合此式，所以a n＝错误!错误!错误![锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：（１）形如a n＋１＝a n f（n），求a n；（２）形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n；（３）形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n.[题点全练]角度一：形如a n＋１＝a n f（n），求a n１．已知a１＝２，a n＋１＝２n a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：∵a n＋１＝２n a n，∴错误!＝２n，当n≥２时，a n＝错误!·错误!·…·错误!·a１＝２n—１·２n—２·…·２·２＝２错误!.又a１＝１也符合上式，∴a n＝２错误!.答案：２错误!角度二：形如a n＋１＝a n＋f（n），求a n２．已知a１＝１，a n＝a n—１＋错误!（n≥２，n∈N*），求数列{a n}的通项公式．解：由a n＝a n—１＋错误!（n≥２），得a n—a n—１＝错误!—错误!（n≥２）．则a２—a１＝１—错误!，a３—a２＝错误!—错误!，…，a n—a n—１＝错误!—错误!.将上述n—１个式子累加，得a n＝２—错误!.当n ＝１时，a１＝１也满足，故a n＝２—错误!（n∈N*）．角度三：形如a n＋１＝Aa n＋B（A≠0且A≠１），求a n３．已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝３a n＋２，求数列{a n}的通项公式．解：因为a n＋１＝３a n＋２，所以a n＋１＋１＝３（a n＋１），所以错误!＝３，所以数列{a n＋１}为等比数列，公比q＝３，又a１＋１＝２，所以a n＋１＝２·３n—１，所以a n＝２·３n—１—１（n∈N*）．[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件，求数列{a n}的通项公式．（１）满足a１＝１，a n＝３n—１＋a n—１（n≥２）；（２）满足a１＝１，a n＝错误!·a n—１（n≥２）．解：（１）由a１＝１，a n—a n—１＝３n—１（n≥２），得a１＝１，a２—a１＝３，a３—a２＝３２，…，a n—１—a n—２＝３n—２，a n—a n—１＝３n—１，以上等式两边分别相加得a n＝１＋３＋３２＋…＋３n—１＝错误!.当n＝１时，a１＝１也适合，∴a n＝错误!.（２）a n＝错误!·a n—１（n≥２），a n—１＝错误!·a n—２，…，a２＝错误!a１.以上（n—１）个式子相乘得a n＝a１·错误!·错误!·…·错误!＝错误!＝错误!.当n＝１时也满足此等式，∴a n＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·南通期末）已知数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则数列错误!的一个通项公式为______________．解析：根据题意，数列错误!的前４项为１，—错误!，错误!，—错误!，则a１＝（—１）１＋１×错误!＝１，a２＝（—１）２＋１×错误!＝—错误!，a３＝（—１）３＋１×错误!＝错误!，a４＝（—１）４＋１·错误!＝—错误!，以此类推可得：a n＝（—１）n＋１·错误!.答案：a n＝（—１）n＋１·错误!２．（２0１8·盐城二模）已知数列错误!的前n项和为S n，a１＝１，a n＋１＝２S n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝________________.解析：当n≥２时，a n＝２S n—１，∴a n＋１—a n＝２S n—２S n—１＝２a n，即a n＋１＝３a n，∵a２＝２a１＝２，∴a n＝２·３n—２，n≥２．当n＝１时，a１＝１，∴数列错误!的通项公式为a n＝错误!答案：a n＝错误!３．（２0１8·苏州期中）已知数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，数列错误!的通项公式为b n＝n２，若将数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，则c6的值为________．解析：∵数列错误!的通项公式为a n＝５n＋１，∴数列中数据符合平方的数有：１6,３6,8１,１２１,１96,２５6．∵数列错误!的通项公式为b n＝n２，当n＝４,6,9,１１,１４,１6时符合上面各个数．∴数列错误!，错误!中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列错误!，c6的值为２５6．答案：２５6４．（２0１9·南通第一中学测试）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*，满足a p＋q＝a p＋a q且a２＝6，则a１0＝________.解析：a４＝a２＋a２＝１２，a6＝a４＋a２＝１8，a１0＝a6＋a４＝３0．答案：３0５．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），且S２＝３，则a１＋a３的值为________．解析：因为S n＋S n—１＝２n—１（n≥２），令n＝２，得S２＋S１＝３，由S２＝３得a１＝S１＝0，令n＝３，得S３＋S２＝５，所以S３＝２，则a３＝S３—S２＝—１，所以a１＋a３＝0＋（—１）＝—１．答案：—１6．（２0１8·无锡期末）对于数列{a n}，定义数列{b n}满足b n＝a n＋１—a n（n∈N*），且b n＋１—b n＝１（n∈N*），a３＝１，a４＝—１，则a１＝________.解析：因为b３＝a４—a３＝—１—１＝—２，所以b２＝a３—a２＝b３—１＝—３，所以b１＝a２—a＝b２—１＝—４，三式相加可得a４—a１＝—9，所以a１＝a４＋9＝8．１答案：8二保高考，全练题型做到高考达标１．数列{a n}满足a n＋a n＋１＝错误!（n∈N*），a２＝２，则通项公式a n＝________.解析：因为a n＋a n＋１＝错误!，a２＝２，所以a１＝—错误!，a３＝—错误!，a４＝２，所以a n＝错误!答案：错误!２．（２0１8·启东中学调研）已知数列{a n}满足a１＝２，a n＋１＝错误!（n∈N*），则连乘积a１a２a３…a ２0１7a２0１8＝________.解析：因为a１＝２，a n＋１＝错误!，所以a２＝—３，a３＝—错误!，a４＝错误!，a５＝２，所以数列{a n}的周期为４，且a１a２a３a４＝１，所以a１a２a３…a２0１7a２0１8＝a２0１7·a２0１8＝a１·a２＝—6．答案：—6３．（２0１9·苏州模拟）在数列错误!中，若a４＝１，a１２＝５，且任意连续三项的和都是１５，则a＝________.２0１8解析：∵任意连续三项的和都是１５，∴a n＋a n＋１＋a n＋２＝１５，同时a n＋１＋a n＋２＋a n＋３＝１５，则a n＋a n＋１＋a n＋２＝a n＋１＋a n＋２＋a n＋３，即a n＋３＝a n，即数列是周期为３的周期数列，则由a４＝１，a１２＝５，得a４＝a１＝１，a１２＝a9＝a6＝a３＝５，则由a１＋a２＋a３＝１５，得a２＝9，∴a２0１8＝a67２×３＋２＝a２＝9．答案：9４．（２0１8·常州期中）已知数列错误!的通项公式a n＝错误!，则错误!中的最大项的值是________．解析：a n＝错误!＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当n＝6时取等号，则错误!中的最大项的值为错误!.答案：错误!５．已知数列{a n}的通项公式为a n＝（—１）n·２n＋１，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第１0行第３个数为________．a１a２a３a４a５a6……解析：由题意可得该数阵中的第１0行第３个数为数列{a n}的第１＋２＋３＋…＋9＋３＝错误!＋３＝４8项，而a４8＝（—１）４8×96＋１＝97，故该数阵中的第１0行第３个数为97．答案：976．（２0１8·常州第一中学检测）已知{a n}满足a n＋１＝a n＋２n，且a１＝３３，则错误!的最小值为________．解析：由已知条件可知，当n≥２时，a n＝a１＋（a２—a１）＋（a３—a２）＋…＋（a n—a n—１）＝３３＋２＋４＋…＋２（n—１）＝n２—n＋３３，又n＝１时，a１＝３３满足此式．所以a n＝n２—n＋３３，n∈N*，所以错误!＝n＋错误!—１．令f（n）＝n＋错误!—１，则f（n）在[１,５]上为减函数，在[6，＋∞）上为增函数，又f（５）＝错误!，f（6）＝错误!，则f（５）＞f（6），故f（n）＝错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!a n—１（n≥２，n∈N*），则a n＝________.解析：由题意知错误!＝错误!＝错误!，所以a n＝a１×错误!×错误!×…×错误!＝１×错误!×错误!×…×错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．数列{a n}定义如下：a１＝１，当n≥２时，a n＝错误!若a n＝错误!，则n＝________.解析：因为a１＝１，所以a２＝１＋a１＝２，a３＝错误!＝错误!，a４＝１＋a２＝３，a５＝错误!＝错误!，a6＝１＋a３＝错误!，a7＝错误!＝错误!，a8＝１＋a４＝４，a9＝错误!＝错误!，所以n＝9．答案：99．已知S n为正项数列{a n}的前n项和，且满足S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*）．（１）求a１，a２，a３，a４的值；（２）求数列{a n}的通项公式．解：（１）由S n＝错误!a错误!＋错误!a n（n∈N*），可得a１＝错误!a错误!＋错误!a１，解得a１＝１；S２＝a１＋a２＝错误!a错误!＋错误!a２，解得a２＝２；同理，a３＝３，a４＝４．（２）S n＝错误!a错误!＋错误!a n，１当n≥２时，S n—１＝错误!a错误!＋错误!a n—１，２１—２得（a n—a n—１—１）（a n＋a n—１）＝0．由于a n＋a n—１≠0，所以a n—a n—１＝１，又由（１）知a１＝１，故数列{a n}是首项为１，公差为１的等差数列，故a n＝n.１0．已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S４＝２S２＋４，在数列{b n}中，b n＝错误!.（１）求公差d的值；（２）若a１＝—错误!，求数列{b n}中的最大项和最小项的值；（３）若对任意的n∈N*，都有b n≤b8成立，求a１的取值范围．解：（１）因为S４＝２S２＋４，所以４a１＋错误!d＝２（２a１＋d）＋４，解得d＝１．（２）因为a１＝—错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝—错误!＋（n—１）×１＝n—错误!，所以b n＝错误!＝１＋错误!＝１＋错误!.因为函数f（x）＝１＋错误!在错误!和错误!上分别是单调减函数，所以b３＜b２＜b１＜１，当n≥４时，１＜b n≤b４，所以数列{b n}中的最大项是b４＝３，最小项是b３＝—１．（３）由b n＝１＋错误!，得b n＝１＋错误!.又函数f（x）＝１＋错误!在（—∞，１—a１）和（１—a１，＋∞）上分别是单调减函数，且x＜１—a１时，y＜１；当x＞１—a１时，y＞１．因为对任意的n∈N*，都有b n≤b8，所以7＜１—a１＜8，所以—7＜a１＜—6，所以a１的取值范围是（—7，—6）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·通州期末）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝________.解析：本题的意思是一个数用３除余２，用7除也余２，所以用３与7的最小公倍数２１除也余２，而用２１除余２的数我们首先就会想到２３，而２３恰好被５除余３，即最小的一个数为２３，同时这个数相差又是３,５,7的最小公倍数，即３×５×7＝１0５，所以该数列的通项公式可以表示为a n＝１0５n＋２３．答案：１0５n＋２３２．数列{a n}的通项公式为a n＝n＋错误!，若对任意的n∈N*都有a n≥a５，则实数b的取值范围为________．解析：由题意可得b＞0，因为对所有n∈N*，不等式a n≥a５恒成立，所以错误!即错误!解得２0≤b≤３0，经验证，数列在（１,４）上递减，在（５，＋∞）上递增，或在（１,５）上递减，在（6，＋∞）上递增，符合题意．所以b∈[２0,３0]．答案：[２0,３0]３．已知二次函数f（x）＝x２—ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{a n}的前n项和S n ＝f（n）（n∈N*）．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设c n＝１—错误!（n∈N*），定义所有满足c m·c m＋１＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c n}的变号数，求数列{c n}的变号数．解：（１）依题意，Δ＝a２—４a＝0，所以a＝0或a＝４．又由a＞0得a＝４，所以f（x）＝x２—４x＋４．所以S n＝n２—４n＋４．当n＝１时，a１＝S１＝１—４＋４＝１；当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n—５．所以a n＝错误!（２）由题意得c n＝错误!由c n＝１—错误!可知，当n≥５时，恒有c n＞0．又c１＝—３，c２＝５，c３＝—３，c４＝—错误!，c５＝错误!，c6＝错误!，即c１·c２＜0，c２·c３＜0，c４·c５＜0，所以数列{c n}的变号数为３．。

§6.1数列的概念与简单表示法1.数列的有关概念2.数列的表示方法3.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4.数列的分类概念方法微思考1.数列的项与项数是一个概念吗？提示不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y＝3x＋5的定义域是R,a n＝3n＋5的图象是离散的点,且排列在y＝3x＋5的图象上.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√)(4)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×)题组二教材改编2.在数列{a n}中,已知a1＝1,a n＋1＝4a n＋1,则a3＝________.答案21解析由题意知,a2＝4a1＋1＝5,a3＝4a2＋1＝21.3.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________. 答案5n＋1题组三 易错自纠4.已知a n ＝n 2＋λn ,且对于任意的n ∈N *,数列{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是________. 答案 (－3,＋∞)解析 因为{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N *,都有a n ＋1＞a n ,即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn , 整理,得2n ＋1＋λ＞0,即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1,所以－(2n ＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ＞－3. 5.数列{a n }中,a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *),则此数列最大项的值是________. 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214, ∵n ∈N *,∴当n ＝5或n ＝6时,a n 取最大值30. 6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N* 解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝2,当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1, a 1＝2不满足上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.7.已知整数数列{a n }满足:a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，当a n 为偶数时，5a n ＋1，当a n 为奇数时.(1)若a 1＝8,则a 5＝________. (2)若a 4＝6,则a 3＝________. 答案 (1)6 (2)1或12解析 (1)a 1＝8,a 2＝12×8＝4,a 3＝12×4＝2,a 4＝12×2＝1,a 5＝5＋1＝6.(2)a 3为偶数时,a 4＝12a 3＝6,得a 3＝12.a 3为奇数时,a 4＝5a 3＋1＝6,得a 3＝1,故a 3＝1或12.由a n与S n的关系求通项公式例1(1)设S n为数列{a n}的前n项和,若2S n＝3a n－3,则a4等于()A.27B.81C.93D.243答案 B解析根据2S n＝3a n－3,可得2S n＋1＝3a n＋1－3,两式相减得2a n＋1＝3a n＋1－3a n,即a n＋1＝3a n,当n＝1时,2S1＝3a1－3,解得a1＝3,所以数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a4＝a1q3＝34＝81.故选B.(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n,则a n＝________.答案4n－5解析a1＝S1＝2－3＝－1,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5, 由于a 1也适合此等式,∴a n ＝4n －5.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ,则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析 当n ＝1时,由已知,可得a 1＝21＝2, ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ,①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2),② 由①－②,得na n ＝2n －2n －1＝2n －1, ∴a n ＝2n －1n(n ≥2).显然当n ＝1时不满足上式, ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.本例(2)中,若S n ＝2n 2－3n ＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2思维升华 已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况.跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝ 2×3n －1.当n ＝1时,2×31－1＝2≠a 1,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3,则a n ＝________.答案13n解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3,①则当n ≥2时,a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13,② 由①－②,得3n －1a n ＝13,所以a n ＝13n (n ≥2).由题意,知a 1＝13符合上式,所以a n ＝13n .(3)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1,则S 6＝________. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1,当n ≥2时,S n －1＝2a n －1＋1, ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2), 即a n ＝2a n －1(n ≥2).当n ＝1时,a 1＝S 1＝2a 1＋1,得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1,公比q ＝2的等比数列, ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ,∴S 6＝1－26＝－63.由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例2 设数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋n ＋1,则a n ＝________. 答案 n 2＋n ＋22解析 由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1,则当n ≥2时,a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22, 又a 1＝2也符合上式,所以a n ＝n 2＋n ＋22.命题点2 累乘法例3 设数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝nn ＋1a n ,则a n ＝________.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝nn ＋1a n ,a 1＝2,∴a n ≠0,∴a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴当n ≥2时,a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n.a 1＝2也符合上式, 则a n ＝2n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＋1＝a n ＋f (n )时,用累加法求解. (2)当出现a n ＋1a n＝f (n )时,用累乘法求解.跟踪训练2 (1)(2019·龙岩质检)若数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1－a n －1＝2n ,则a n ＝________. 答案 2n ＋n －2解析 因为数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1－a n －1＝2n , 所以当n ≥2时,a 2－a 1＝1＋21, a 3－a 2＝1＋22, a 4－a 3＝1＋23, ……a n －a n －1＝1＋2n －1,以上各式相加得a n －a 1＝n －1＋(21＋22＋23＋…＋2n －1), 则a n ＝2n ＋n －2(n ≥2). 又a 1＝1也符合上式, 所以a n ＝2n ＋n －2.(2)已知数列{a n }满足a 1＝23,a n ＋1＝n n ＋2a n ,求通项公式a n .解 由已知得a n ＋1a n ＝n n ＋2,分别令n ＝1,2,3,…,(n －1),代入上式得n －1个等式累乘,即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1, 所以a n a 1＝2n (n ＋1),即n ≥2时,a n ＝43n (n ＋1),又因为a 1＝23也满足该式,所以a n ＝43n (n ＋1).数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{c n },c n ＝2n －72n ,则当n ＝________时,c n 最大. 答案 5解析 c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1, 当n ≤4时,c n ＋1＞c n ,当n ≥5时,c n ＋1＜c n ,因此c 1＜c 2＜c 3＜c 4＜c 5＞c 6＞c 7＞…,∴n ＝5时,c n 取得最大值.命题点2 数列的周期性例5 (2019·兰州模拟)已知数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *),则a 2 020的值为( )A.2B.1C.12D.14答案 B解析 因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *),由a 1＝1,a 2＝2,得a 3＝2,由a 2＝2,a 3＝2,得a 4＝1,由a 3＝2,a 4＝1,得a 5＝12, 由a 4＝1,a 5＝12,得a 6＝12, 由a 5＝12,a 6＝12,得a 7＝1, 由a 6＝12,a 7＝1,得a 8＝2, 由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列,所以a 2 020＝a 4＝1,故选B.命题点3 数列的最值例6 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S m －1＝－2,S m ＝0,S m ＋1＝3(m ≥2),则nS n 的最小值为( )A.－3B.－5C.－6D.－9答案 D解析 由S m －1＝－2,S m ＝0,S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2,a m ＋1＝3,设等差数列{a n }的公差为d ,则d ＝1,∵S m ＝0,∴a 1＝－a m ＝－2,则a n ＝n －3,S n ＝n (n －5)2,nS n ＝n 2(n －5)2. 设f (x )＝x 2(x －5)2,x ＞0,f ′(x )＝32x 2－5x ,x ＞0, ∴f (x )的极小值点为x ＝103, ∵n ∈N *,且f (3)＝－9,f (4)＝－8,∴f (n )min ＝－9.思维升华 应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断. 跟踪训练3 (1)若数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝3,a n a n －2＝a n －1(n ≥3),记数列{a n }的前n 项积为T n ,则下列说法错误的是( )A.T n 无最大值B.a n 有最大值C.T 2 020＝9D.a 2 020＝1答案 A解析 因为a 1＝1,a 2＝3,a n a n －2＝a n －1(n ≥3),所以a 3＝3,a 4＝1,a 5＝13,a 6＝13,a 7＝1,a 8＝3,… 因此数列{a n }为周期数列,a n ＋6＝a n ,a n 有最大值3,a 2 020＝a 4＝1,因为T 1＝1,T 2＝3,T 3＝9,T 4＝9,T 5＝3,T 6＝1,T 7＝1,T 8＝3,…,所以{T n }为周期数列,T n ＋6＝T n ,T n 有最大值9,T 2 020＝T 4＝9,故选A.(2)(2019·宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,且点(a n ,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上.若对任意的n ∈N *,1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n≥λ恒成立,则实数λ的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 数列{a n }满足a 1＝1,且点(a n ,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上, 可得a n －a n ＋1＋1＝0,即a n ＋1－a n ＝1,可得a n ＝n ,对任意的n ∈N *,1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n≥λ恒成立, 即为λ≤⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n min ,由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ,得f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋2－12n ＋1＝－1(2n ＋1)(2n ＋2)＜0,即f (n )＜f (n ＋1),可得f (n )递增,即有f (1)为最小值,且为12,可得λ≤12,则实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12.1.已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的() A.第19项 B.第20项C.第21项D.第22项答案 C解析 数列5,11,17,23,29,…中的各项可变形为5,5＋6,5＋2×6,5＋3×6,5＋4×6,…,所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1, 令6n －1＝55,得n ＝21.2.(2019·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中,a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为( )A.a n ＝nB.a n ＝n 2C.a n ＝n 2D.a n ＝n 22 答案 B解析 由题意得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2), 又a 1＝1 ,所以a n ＝n (n ≥1),a n ＝n 2 ,故选B.3.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n ＝2a n －2,则S 8等于( )A.255B.256C.510D.511答案 C解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝2a 1－2,据此可得a 1＝2,当n ≥2时,S n ＝2a n －2,S n －1＝2a n －1－2,两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1,则a n ＝2a n －1,据此可得数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 4.(2020·山东省淄博实验中学月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝2,S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *),则a 10等于( )A.128B.256C.512D.1 024答案 B解析 ∵S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *),n ≥2时,S n ＝2S n －1－1,∴a n ＋1＝2a n .n ＝1时,a 1＋a 2＝2a 1－1,a 1＝2,a 2＝1.∴数列{a n }从第二项开始为等比数列,公比为2.则a 10＝a 2×28＝1×28＝256.故选B.5.(2019·安徽省江淮十校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2,a 1＝20,则a n n 的最小值为( )A.4 5B.45－1C.8D.9答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n 知,当n ≥2时,a 2－a 1＝2×1,a 3－a 2＝2×2,…,a n －a n －1＝2(n －1),相加得,a n －a 1＝n 2－n ,所以a n n ＝n ＋20n－1(经检验n ＝1时也符合), 又n ∈N *,所以n ≤4时,a n n 单调递减,n ≥5时,a n n单调递增, 因为a 44＝a 55,所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.故选C. 6.(2019·临沂模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F (1)＝F (2)＝1,F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3,n ∈N *),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n },则数列{a n }的前2 020项的和为( )A.672B.673C.1 347D.2 020答案 C解析 由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,可得{a n }为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,所以{a n }是周期为3的数列,一个周期中三项和为1＋1＋0＝2,因为2 020＝673×3＋1,所以数列{a n }的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347,故选C.7.(多选)下列说法不正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,－1,－2与数列－2,－1,0,1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k D.数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数答案 ABD解析 数列与数集是不同的,故选项A 错误；由数列的有序性知选项B 错误；数列的定义域不一定为正整数集,故选项D 错误.8.(多选)在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ,则数列{a n }中的最大项可以是( )A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项 答案 AB解析 假设a n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 即⎩⎨⎧ (n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ≥n ·⎝⎛⎭⎫78n －1，所以⎩⎨⎧ n ＋1≥78(n ＋2)，78(n ＋1)≥n ，即6≤n ≤7,所以最大项为第6项和第7项.9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1,则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5,显然当n ＝1时,不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 10.(2020·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且∀n ∈N *,a n ＋1＞a n ,S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *,a n ＋1＞a n ,则数列{a n }是递增的,∀n ∈N *,S n ≥S 6,即S 6最小,只要前6项均为负数,或前5项为负数,第6项为0,即可, 所以,满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一).11.已知在数列{a n }中,a 1＝1,前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2,a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2,得3(a 1＋a 2)＝4a 2, 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3,得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3,解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时,有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1, 整理,得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1,a 2＝31a 1,a 3＝42a 2,…, a n －1＝n n －2a n －2,a n ＝n ＋1n －1a n －1, 将以上n 个等式两端分别相乘,整理,得a n ＝n (n ＋1)2, 经检验n ＝1时,也满足上式.综上,{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2. 12.(2020·南京模拟)已知数列{a n }中,a 1＝1,其前n 项和为S n ,且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ,若数列{b n }为递增数列,求λ的取值范围. 解 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ,∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1,∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ,即na n ＋1＝(n ＋1)a n ,∴a n ＋1n ＋1＝a n n, ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1, ∴a n ＝n (n ∈N *).(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1).∵数列{b n }为递增数列,∴2·3n －λ(2n ＋1)＞0,即λ＜2·3n2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1, 则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3＞1. ∴{c n }为递增数列,∴λ＜c 1＝2,即λ的取值范围为(－∞,2).13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n ＝2a n －3n ,则a 2 020等于( )A.22 020－1B.32 020－6C.⎝⎛⎭⎫12 2 020－72D.⎝⎛⎭⎫13 2 020－103答案 A解析 由题意可得,3S n ＝2a n －3n ,3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1),两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3,即a n ＋1＝－2a n －3,a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1),结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3,a 1＋1＝－2, 则数列{a n ＋1}是首项为－2,公比为－2的等比数列, 据此有a 2 020＋1＝(－2)×(－2)2 019＝22 020,∴a 2 020＝22 020－1.故选A.14.已知正项数列{a n }单调递增,则使得不等式(1－λa i )2＜1对任意a i (i ＝1,2,…,k )都成立的λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a kD.⎝⎛⎭⎫0，2a k 答案 D解析 由(1－λa i )2＜1,得－1＜1－λa i ＜1,即0＜λa i ＜2,∵a i ＞0,∴0＜λ＜2a i, ∵{a n }单调递增,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 单调递减,∴对任意i ＝1,2,…,k ,有2a k ≤2a i, ∴λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2a k.15.(2020·北京市海淀区期末)设数列{a n }使得a 1＝0,且对任意的n ∈N *,均有|a n ＋1－a n |＝n ,则a 3所有可能的取值构成的集合为:________,a 64的最大值为________. 答案 {－3,－1,1,3} 2 016解析 因为数列{a n }使得a 1＝0,且对任意的n ∈N *,均有|a n ＋1－a n |＝n , 所以|a 2－a 1|＝1,因此a 2＝1或a 2＝－1；又|a 3－a 2|＝2,所以a 3－a 2＝±2,因此a 3＝1±2或a 3＝－1±2,即a 3所有可能的取值为－3,－1,1,3,故a 3所有可能的取值构成的集合为{－3,－1,1,3}, 若a n 取最大值,则{a n }必为单调递增数列,即a n ＋1－a n ＞0, 所以有a n ＋1－a n ＝n ,因此a 2－a 1＝1,a 3－a 2＝2,…,a n －a n －1＝n －1,以上各式相加得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1),所以a n ＝1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2, 因此a 64＝63×642＝2 016. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列且a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8,设S n 是数列{a n }的前n 项和,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n ·S n ＋1的前n 项和为T n ,若不等式λ≤T n 对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的最大值. 解 ∵数列{a n }是递增的等比数列,且a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8,a 1a 4＝a 2a 3,∴a 1,a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根,且a 1＜a 4. 解方程x 2－9x ＋8＝0,得a 1＝1,a 4＝8,∴q 3＝a 4a 1＝81＝8,解得q ＝2, ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴S n ＝a 1()1－q n 1－q ＝1×()1－2n 1－2＝2n －1, 令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n()2n －1·()2n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1, ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1 ＝1－12n ＋1－1在正整数集上单调递增, ∴T n ≥T 1＝23, ∵λ≤T n ,且对一切n ∈N *成立,∴λ≤23, ∴实数λ的最大值是23.。

第一节数列的概念及简单表示法A组基础题组1.(2016济宁模拟)数列0,,,,…的一个通项公式为()A.a n=(n∈N*)B.a n=(n∈N*)C.a n=(n∈N*)D.a n=(n∈N*)2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3.(2016临沂模拟)已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=(n∈N*),则a20等于()A.0B.-C.D.4.(2016广东3月测试)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=(a n-1)(n∈N*),则a n=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-15.若数列{a n}满足a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.96.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第项.7.(2016威海模拟)在数列{a n}中,a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是.8.已知数列{a n}满足a1=1,a n=-1(n>1),则a2017=,当n>1时,|a n+a n+1|=.9.已知数列{a n}满足前n项和S n=n2+1,数列{b n}满足b n=,且前n项和为T n,设c n=T2n+1-T n.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)判断数列{c n}的增减性.10.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=a(a≠3),a n+1=S n+3n,n∈N*.(1)设b n=S n-3n,求数列{b n}的通项公式;(2)若a n+1≥a n,n∈N*,求a的取值范围.B组提升题组11.(2016浙江杭州三模)数列{a n}定义如下:a1=1,当n≥2时,a n=若a n=,则n的值为()A.7B.8C.9D.1012.若数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*,都有a n+1=a n+n+1,则++…+等于()A. B. C. D.13.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)14.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n·2n+1,将该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为.(1)若a=-7,求数列{a n}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,求a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子可表示为2(n-1),n∈N*,分母可表示为2n-1,n∈N*.2.A因为a n+1-a n=-=>0,所以a n+1>a n,数列{a n}为递增数列.3.B由a1=0,a n+1=(n∈N*),得a2=-,a3=,a4=0,……,所以{a n}是周期为3的数列,所以a20=a2=-.4.C由题意知解得代入选项逐一检验,只有C符合.5.B∵a1=19,a n+1-a n=-3,∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有k∈N*,∴∴≤k≤,∵k∈N*,∴k=7,∴满足条件的n的值为7.6.答案10解析令=0.08,得2n2-25n+50=0,即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n=(舍去).7.答案解析由已知得a2=1+(-1)2=2.又a3·a2=a2+(-1)3,所以a3=.所以a4=+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=.所以=×=.8.答案-1;1解析由a1=1,a n=-1(n>1)得a 2=-1=12-1=0,a3=-1=02-1=-1.=-1=(-1)2-1=0,a5=-1=02-1=-1,a4由此可猜想当n>1时,若n为奇数,则a n=-1,若n为偶数,则a n=0,∴a2017=-1,当n>1时,|a n+a n+1|=1.9.解析(1)由已知得,a1=2,a n=S n-S n-1=2n-1(n≥2,n∈N*).则b n=(2)∵c n=b n+1+b n+2+…+b2n+1=++…+(n∈N*),∴c n+1-c n=+-=-=<0,∴c n+1<c n,∴数列{c n}为递减数列.10.解析(1)依题意得S n+1-S n=a n+1=S n+3n,即S n+1=2S n+3n,由此得S n+1-3n+1=2(S n-3n),即b n+1=2b n,又b1=S1-3=a-3,因此,所求通项公式为b n=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)可知S n=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,a n+1-a n=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,所以,当n≥2时,a n+1≥a n⇒12+a-3≥0⇒a≥-9,又a2=a1+3>a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是-9,3)∪(3,+∞).B组提升题组11.C因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3==,a4=1+a2=3,a5==,a6=1+a3=,a7==,a8=1+a4=4,a9==,所以n=9,选C.12.C∵a1=1,a n+1-a n=n+1,∴当n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=1+2+3+…+n=,又当n=1时,a1=1满足上式,∴a n=,则==2,则++…+=21-++…+=2×=,故选C.13.答案4n+8解析第(1),(2),(3)…个图案中黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;……,由此可猜测从前往后的各图案中黑色瓷砖数成等差数列,且首项为12,公差为4,∴第(n)个图案中黑色瓷砖数为12+(n-1)×4=4n+8.14.答案97解析由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n}的第1+2+3+…+9+3=+3=48项,又a48=(-1)48×96+1=97,故该数阵第10行第3个数为97.15.解析(1)∵a=-7,∴a n=1+.结合函数f(x)=1+的性质,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>a n>1,∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+=1+.∵对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,∴利用函数g(x)=1+的性质,可知5<<6,解得-10<a<-8.。

1．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ▲ ． 【答案】4【解析】由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 2．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 . 【答案】1001013．数列{}n a 中，12a =，27a =，2n a +是1n n a a +的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则 24277S a -= .【答案】955【解析】由题意得，a 3是a 1•a 2=14的个位数字，所以a 3=4，而a 2=7，再由题意可得：a 4=8，依此类推，a 5=2，a 6=6，a 7=2，a 8=2，a 9=4，a 10=8，a 11=2，…所以我们可以根据以上的规律看出除前面两项外，从第3项开始，数列是一个周期为6的数列，从而a 3+ a 4+…+ a 8=4+8+2+6+2+2=24，所以969244072)(4084321242=⨯++=+++++=a a a a a S ，从而=-72427a S 969-14=955．故答案为：955．4．已知数列{}n a 中，),2()1(,1*111N n n a a a a n n n n ∈≥-+==--，则53a a 的值是__ _．【答案】43 【解析】根据题意()()1112,n n n a n n N a *--=+≥∈，分别令2,3,4,5n n n n ====，解得：22a =，34512,3,23a a a ===，所以351133222243a a ==⨯=，所以答案为：43. 5．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，n n S a a 3,111==+，则=n a __________．【答案】⎩⎨⎧≥⨯=-)2(43)1(12n nn6．已知数列{}n a 满足：11=a ,121+=+n n a a ，则{}n a 的通项公式为 ．【答案】a n =2n -1【解析】由a n+1=2a n +1，得a n+1+1=2（a n +1），又a 1+1=2，∴{a n +1}是以2为首项、2为公比的等比数列，∴a n +1=2•2n-1=2n ，∴a n =2n -1，故答案为：a n =2n -1．7．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n （n ≥3）行的从左至右的第3个数是．【答案】262+-n n【解析】从左到右第3个数依次是6,9,13，···，这些数的差组成一个以3为首项，1为公差的数列，所以第n （n ≥3）行从左至右的第3个数是2(3)(31)66(345(1))622n n n n n -+--++++++-=+= 8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块．【答案】4n+2【解析】第1 个图案有6110⨯-⨯ 块，第2个图案有6221⨯-⨯ 块，第3个图案有6322⨯-⨯ 块，所以第n 个图案有62(n 1)4n 2n ⨯--=+ 块9．已知数列{}n a ，当2≥n 时满足n n n a a S -=--11，（1）求该数列的通项公式；（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a =；（2）332n nn T +=-．∴{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 1111222n n n a -∴=⋅=（）.10．在数列{}n a 、{}n b 中，{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n b n 、(,)n n S 分别在函数2log y x = 及函数22y x x =+的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令n n n c a b =⋅ ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，2n n b =；（2）1(21)22,(*)n n T n n N +=-+∈；【解析】（Ⅰ）由题可知，将(,)n b n 代入到函数2log y x =中，得到n b n 2log =，通过指对互化可知，2n n b = 22n S n n =+ ，)1(2)1(21-+-=-n n S n ，两式相减求得21n a n =+ （Ⅱ）(21)2n n n n c a b n =⋅=+⋅123325272...(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅ ① 23412325272...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ②①-②得： 12312311322222...22(21)222(222...2)(21)22(12)22(21)212n n n n n n n T n n n +++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅=+++++-+⋅-=+⋅-+⋅-∴1(21)22,(*)n n T n n N +=-+∈。

第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法试题 理 北师大版1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子来表示成a n ＝f (n )，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．【知识拓展】1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30答案 B解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n n ＋，…，下列各数中是此数列中的项的是( )A.135B.142C.148D.154 答案 B3．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋－na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D 解析 a 2＝1＋－2a 1＝2，a 3＝1＋－3a 2＝12，a 4＝1＋－4a 3＝3，a 5＝1＋－5a 4＝23. 4．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－(n －112)2＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n －2(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2.∴a n ＝n n ＋2.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)． (2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例 2 (1)(2016·南昌模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式， ∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1；(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(32)nD.12n －1答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)B解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝(32)n －1，故选B.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，∴a n －a n －1＝ln(1＋1n －1)＝ln n n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln(nn －1.n －1n －2 (3)2·2) ＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N ＋)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2且n ∈N ＋)，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列 D ．不确定答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列． 命题点2 数列的周期性 例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝_________________. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 命题点3 数列的最值 例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图像直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)(2016·哈尔滨模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 503×4＋3＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.12．解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·(1011)n，则此数列的最大项是第________项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析． 解析 (1)∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ×9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9、10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N ＋，所以k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }中的项 B ．3只是数列{a n }中的第2项 C ．3只是数列{a n }中的第6项 D ．3是数列{a n }中的第2项和第6项 答案 D解析 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.3．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1B ．(n ＋1n )n －1C ．n 2D ．n答案 D解析 ∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n－2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21·1＝n .4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N ＋)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2C.12D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，T ＝6，∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为() A ．5 B.72C.92D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B. 6．(2016·开封一模)已知函数y ＝f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f －2－a n (n ∈N ＋)，则a 2 015的值为( )A ．4 029B ．3 029C ．2 249D ．2 209 答案 A解析 根据题意，不妨设f (x )＝(12)x ，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f －2－a n ，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 015＝4 029.7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 7＝________.答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝____________.答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋67n n ＋67n －1，n ＋67n n ＋67n ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5， 又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5， 故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N ＋)，则该数列的前 2 019项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 019＝________.答案 3解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1， ∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a 1a 2a 3a 4＝1， ∴前2 019项的乘积为1504·a 1a 2a 3＝3.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解 (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，① 当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n . 13.已知数列{an }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。