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第六章 定积分及其应用习题 6.1 (A)1、 利用定积分的定义计算积分baxdx ⎰；解 将区间[]b a ,n 等分, 则每个小区间的长度均为nab x i -=∆，取每个小区间的左端点为i ξ，则)1,...,2,1,0(,-=-+=n i i nab a i ξ， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++-+-=--+=∆=∑∑-=-=)1...210(1)()()(110n n a b na n a b n a b i n a b a x f S n i n i i i n ξ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=)11(2)(2)1()(2n a b a a b n n n a b a a b 两边取极限，得)(21)2)(()11(2)(lim lim 22a b a b a a b n a b a a b S n n n -=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=∞→∞→ 所以221()2baxdx b a =-⎰.2、利用定积分的几何意义，证明下列等式。
(1)4π=⎰； (2)322cos 0xdx ππ-=⎰；(3)22sin 0xdx ππ-=⎰；(4)12π-=⎰。
证明 (1) 因为圆122=+y x 在第一象限的方程为21x y -=，所以根据定积分的几何意义知0⎰为圆在第一象限的面积，故4π=⎰.(2) 因为当ππ232≤≤-x 时，曲线x y cos =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知322cos 0xdx ππ-=⎰.(3) 因为当22ππ≤≤-x 时，曲线x y sin =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知22sin 0xdx ππ-=⎰.(4) 因为圆122=+y x 在x 轴上方的方程为21x y -=，所以根据定积分的几何意义知1-⎰为圆在第一二象限的面积，故12π-=⎰.(B)1、利用定积分定义计算由抛物线21y x =+，两直线()x a x b b a ==>，及横轴所围成的图形的面积。
第六章定一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，任取分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ， 把区间],[b a 分成n 个小区间),2,1]([,1n i x x i i =-，记为{}i ni i i i x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λ ，再在每个小区间],[1i i x x -上，任取一点i ξ，取乘积i i x f ∆)(ξ的和式，即ini ix f ∆∑=1)(ξ．如果0→λ时上述极限存在（即这个极限值与],[b a 的分割及点iξ的取法均无关），则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积，并且称此极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记做⎰ba x x f d )(，即⎰∑=→λ∆ξ=b ani i i x f x x f 1)(lim d )(，其中)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限，符号⎰bax x f d )(读做函数)(x f 从a 到b 的定积分．关于定积分定义的说明：①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如⎰⎰=2/π02/π0d sin d sin t t x x ，一般地有⎰bax x f d )(=⎰bat t f d )(．②定积分的存在定理：如果)(x f 在闭区间],[b a 上连续或只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．（2）定积分的几何意义设)(x f 在],[b a 上的定积分为⎰ba x x f d )(，其积分值等于曲线)(x f y =、直线b x a x ==,和0=y 所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．3．定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即⎰⎰⎰±=±b ababax x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([,可推广到有限项的情况，即⎰⎰⎰±±=±±±bab aban n x x f x x f x x f x f x f d )(d )(d )]()()([121 ．（2）积分对函数的齐次性，即⎰⎰=babak x x f k x x kf )( d )(d )(为常数．（3）如果在区间],[b a 上1)(≡x f ，则⎰-=ba ab x d 1． （4）（积分对区间的可加性）如果bc a <<，则⎰⎰⎰+=bac abcx x f x x f x x f d )(d )(d )(．注意：对于c b a ,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有⎰⎰⎰+=bac abcx x f x x f x x f d )(d )(d )(．（5）（积分的比较性质）如果在区间],[b a 上有)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤babax x g x x f d )(d )(．（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值与最小值，则)(d )()(a b M x x f a b m ba -≤≤-⎰．（7）（积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰-ξ=baa b f x x f ))((d )(．4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分⎰xa t t f d )(就有一个确定的值，⎰xa t t f d )(因此是变上限的一个函数，记作⎰≤≤=xa b x a t t f x )( d )()(Φ，称函数)(x Φ为变上限的定积分．（2）变上限的定积分的导数如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则变上限定积分⎰=xa t t f x d )()(Φ在闭区间],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即⎰≤≤=='=xab x a x f t t f x x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ． 5．无穷区间上的广义积分设函数)(x f 在),[+∞a 上连续，任取实数a b >，把极限⎰+∞→ba b x x f d )(lim 称为函数)(x f 在无穷区间上的广义积分，记做⎰⎰∞+∞→=ba ab x x f x x f d )(lim d )(，若极限存在，则称广义积分⎰∞+a x x f d )(收敛；若极限不存在，则称广义积分⎰∞+a x x f d )(发散．类似地，可定义函数)(x f 在(]b ,∞-上的广义积分为⎰⎰∞--∞→=baba x x f x x f d )(lim d )(．函数)(x f 在区间),(+∞-∞上的广义积分为⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞++=ccx x f x x f x x f d )(d )(d )(，其中c 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分⎰∞+∞-x x f d )(才是收敛的；否则广义积分⎰+∞∞-x x f d )(是发散的．6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如果)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，则)()()(d )(a F b F x F x x f baba -==⎰，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式． 7．定积分的计算 （1）定积分的换元法设函数)(x f 在],[b a 上连续，令)(t x ϕ=，则有⎰⎰'=b aat t t f t x xx f d )()]([)(d )(βϕϕϕ，其中函数应满足以下三个条件： ①b a ==)(,)(βϕαϕ；②)(t ϕ在],[βα上单值且有连续导数；③当t 在],[βα上变化时，对应)(t x ϕ=值在],[b a 上变化．上述公式称为定积分换元公式．在应用换元)(t x ϕ=公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x 换为新变量t 时，原积分限也要相应换成新变量t 的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．（2）定积分的分部积分公式设函数)(),(x v x u 在区间],[b a 上均有连续导数，则⎰⎰-=bab aba u v uv v u d )(d ．以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分 设函数)(x f 在关于原点对称区间],[a a -上连续，则①当)(x f 为偶函数时，⎰⎰-=a a ax x f x x f 0d )(2d )(， ②当)(x f 为奇函数时，⎰-=aa x x f 0d )(．利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．二、主要解题方法1．变上限的定积分对上限的求导方法例 1 已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解 ⎰+=x xt t x F s i n2d 1)(=⎰+c x t t 2d 1+⎰+xct t sin d 1=⎰+-2d 1x ct t ⎰++x ct t sin d 1，)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．小结 如果定积分上限是x 的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是x 的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是x 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是x 的函数，另一个定积分的下限也是x 的函数，都可以化为变上限的定积分来求导． 2．利用换元积分法计算定积分的方法例2 计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 x t = ，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-2d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果． 3．利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为⎰⎰-=baba bau v uv v u d d .例3 计算（1）⎰10d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +-=2ln 214-π．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ． 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分. 4．广义积分的计算方法例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x， (2)x x d )2(1302⎰- ． 解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21， 故所给广义积分收敛，且其值为21．(2) 因为 2→x 时，∞→-2)2(1x ，所以2=x 为间断点． 原式=⎰-→-+112020)2(d lim εεx x+⎰+→-+322022)2(d lim εεx x =11200]21[lim εε-→--+x +32022]21[lim εε+→--+x=]211[lim 101-+→εε+]11[lim 202εε+-+→=∞，故广义积分发散．小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例⎰-32)2(d x x=321--x =211--=23-错误结果．三、学法建议1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法 与分部积分法．2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。
第六章 定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。
一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。
用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。
运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法§6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积A ⎰∑=∆==→bani i i dx x f x f )()(lim 1ξλ面积元素dA =dx x f )(2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形；（2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。
二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。
用元素法解决一个实际问题的步骤。
§6.2 定积分在几何中的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出，b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰方法二面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)(2y ϕ=解出，d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y d cd )]()([12ϕϕ-⎰例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。
