精选中考数学专题等腰三角形培优试题无答案

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个MECA3. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°， 四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有（第1题）A BCD EA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，ΔABC中，以B 为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC和AB于D、E两点，并连接BD、DE若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 755. 如图(1)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(2)所示．求图(1)与图(2)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图1 图2A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：46. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm7. 如图，在ABC△中13AB AC==，10BC=点D为BC的中点DE DE AB⊥垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513 ABCDE FG8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或209．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ） A ． 20° B ． 50° C ． 60° D ． 80°10．把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （ ）11.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ． 2B ．23C ．3D ．312．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第11题图AD E F PQC13．已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC =2，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+15．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ．D ． +116.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④234ABD S AB =△．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二.填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊEB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A 则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．6. 如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5等腰三角形大题培优专练（提升篇）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一、解答题1．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：DE⊥CE．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度数．3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使得BD=AC，连接AD，再延长AB至E，使得BE=CD，连接DE．求证：△BED≌△CDA．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，(1)求证：△ADC≌△FDB；(1)如图1，求证：AD=AE；(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．(2)若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长；9．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）在正方形网格中，已知格点（即小正方形的顶点）A、B组成的线段AB，请分别按下列要求作图：(1)在图1中作一个面积为2的△ABC（点C在格点上），且有一个内角为钝角；(2)在图2中作一个等腰△ABC（点C在格点上）．10．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．(1)求∠A的度数；(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．11．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，B、C分别在AD、AE的垂直平分线上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：(1)△ABC的周长；(2)∠DAE的度数.12．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，则△ADE的周长为________．13．（2021秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分线交于点M，过M作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E．求证：AD+CE=DE．14．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）已知：如图，点②AB=AE，③AC=AD，④（只写一组）.15．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点∠ABD=∠DBC，AB=DB，(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．16．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考开学考试）如图，点AD=BC，∠ADE=∠BED．(1)尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；(2)证明：CF⊥DE．17．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，BA⊥AF于点A，ED⊥DC于点D，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．(1)求证：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求证：OP垂直平分EF．18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE=AD，连接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)试说明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度数．19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知：在△ABC中，AB=AC，点D、点E在边BC上，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当∠BAC=90°,∠DAE=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有顶角为45°的等腰三角形．20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC,E是BA延长线上的点．(1)过点A在射线BE右侧作AD∥BC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=AC，求证：AD平分∠CAE．21．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）已知命题：“等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．”为了探究该命题是否正确，小明采用分类讨论思想，从直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三个角度进行思考，先对前两种情况画出了图形，写出了已知、求证并给出了证明在探究在钝角三角形中是否正确时遇到了困难，请你补全图形，写出已知、求证，并给出证明．22．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0<x<60)．①如图②，当DE⊥BC时，x的值为___________；②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．23．（2021秋·福建莆田·八年级校考期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD=DE，连接AE．(1)若∠BAE=44°，求∠C的度数．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周长．24．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，点D是AB边上一点，且CD=CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD，垂足为点G．(1)求证：∠BCD=2∠ABF；(2)判断△BCF的形状，并说明理由．25．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC．(1)若AD=AE，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC．26．（2021春·上海松江·七年级校考期中）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．(1)说明BG与CF相等的理由；(2)说明∠BGD与∠DGE相等的理由．27．（江苏省泰州市部分农村学校在△ABC中，AB=AC=4(1)当∠BDA=110°时，∠DEC=(2)当DC为何值时，△ABD≌△(3)在点D的运动过程中，若△(1)在线段AB上找一点P，使AP=AN，连接DP．求证：DP=DM；(2)若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积．29．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，AB=5．(1)求证：△ADE是等腰三角形；(2)求线段DE的长．30．（2022秋·广东深圳·八年级校联考开学考试）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，∠ADC=70°，且AD平分∠BAE．(1)求证：BD=DE；(2)若AB=CD，求∠ACD的大小．。

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。

等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

等腰三角形【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

E例2. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD例3. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

C4、中考题型：1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E DFBC 2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

AE F BDC5、题形展示：例1. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

【试题答案】（实战模拟） 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为AB C ∆是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠在AB D ∆中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。

2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。

设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。

①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。

综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．80°B．75 C．65°D．60°2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，点D在BC的延长线上，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．10C．8 D．不确定4．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm25．在等腰三角形△ABC（AB＝AC，∠BAC＝120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC的面积为10cm2，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6 cm2D．7 cm27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF②∠BOC＝90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等④设OD＝m，AE+AF＝mn，正确的结论有（）个．＝n，则S△AEFA．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC 相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（）A．BM+CN＝MN B．BM﹣CN＝MN C．CN﹣BM＝MN D．BM﹣CN＝2MN 9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．910．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2B．1+C．6 D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝cm．12．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上的点，BD＝CD＝5，则AD＝．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距m．16．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED ＝2，GC＝5，则△ABC的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF ＝2，BF＝3，则CE的长度为．18．如图，△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点E，CD⊥AE于点D，若AC＝13，AD＝12，则AB＝．19．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC 的长为．20．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm，∠DPE＝°．三．解答题21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP 的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：（1）△APM是等腰三角形；（2）PC＝AN．23．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝10cm，∠A＝∠C＝90°，点E、点F分别在边AB、CD上，且EF∥BC，∠DEF＝∠FBC．（1）求证：∠AED＝∠EBF；（2）当∠EBF＝∠FBC时，EF＝cm．24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．（1）则△CDE的形状是；（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．25．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．26．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．（1）求BC的长；（2）如图2，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．请判断△DEF的形状并证明你的结论．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，填空∠B＝°，∠C＝°；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．29．如图，已知BD平分∠ABC，AD∥BC，且AC＝AD．（1）求证：△ABD为等腰三角形；（2）判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．30．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．31．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣20°）＝80°．故选：A．2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．故选：B．3．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．4．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP ＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC ＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．5．解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．6．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP 和△EBP 中，，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝S △ABC ＝×10＝5（cm 2），故选：B ．7．解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCB ＝∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠OBC +∠OCB ＝90°﹣∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+∠A ；故②正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠F OC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE +OF ＝BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE +S △AOF ＝AE •OM +AF •OD ＝OD •（AE +AF ）＝mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．8．证明：∵ON∥BC，∴∠MO C＝∠OCD∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠NOC＝∠OCN，∴CN＝ON，∵ON∥BC，∴∠MOB＝∠OBD∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM∵OM＝ON+MN，OM＝BM，ON＝CN，∴BM＝CN+MN，∴MN＝BM﹣CN．故选：B．9．解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB ＝AH ，∵AD ⊥B H ，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD +∠H ＝90°，∠CDA +∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝S △ABH ，S △CDH ＝S △ABH ，∵S △OBD ﹣S △AOE ＝S △ADB ﹣S △ABE ＝S △ADH ﹣S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C ．10．解：如图：过点D 作DM ⊥EF 于点M ，在△BDE 内部过E 、F 分别作∠MEP ＝∠MFP ＝30°，则∠EPF ＝∠FPD ＝∠EPD ＝120°，点P 就是费马点，在等腰Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝，DM ⊥EF ，∴EF ＝DE ＝2∴EM ＝DM ＝1，故cos30°＝，解得：PE ＝，则PM ＝，故DP ＝1﹣，同法可得PF ＝则PD +PE +PF ＝2×+1﹣＝+1． 故选：B ．二．填空题（共10小题）11．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC＝4cm，∵AE＝5cm，∴AC＝AE+EC＝5+6＝11（cm）．故答案为：11．12．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．13．解：如图：可以画出7个等腰三角形；故答案为7．14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵BD＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴AD＝DC＝5，故答案为5．15．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案为：200．16．解：∵AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴AB＝BG，AC＝FC．∴AE＝EF，AD＝GD∴ED是△AFG中位线，∴FG＝2ED＝4；∴BG＝AB＝BF+FG＝7，CF＝AC＝CG+FG＝9，＝3+7+9+9＝28．∴C△ABC17．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．18．解：∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠CAD，∵CD⊥AE，∴∠D＝∠B＝90°，∵AC＝13，AD＝12，∴CD＝5，∵∠AEB＝∠CED，∴∠BAE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DAC，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴AE＝，∵∠BAE＝∠DAC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴，∴＝，∴AB＝，故答案为：．19．解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．故答案为：13．20．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案为8（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．故答案为56．三．解答题（共11小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．22．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90°，∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PAQ＝∠AMN，∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°，∴在△PQA与△ANM中，，∴△PQA≌△ANM（ASA）∴AP＝AM，∴△APM是等腰三角形；（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，∴AN＝PQ AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥BC∴PQ＝PC（角平分线的性质），∴PC＝AN．23．解：（1）∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠DEF＝∠EFB，∴ED∥BF，∴∠AED＝∠EBF；（2）∵EF∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠C＝∠A＝90°，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠AED＝∠FBC，∴∠AED＝∠DEF，在△AED与△FED中，，∴△AED≌△FED（AAS），∴AE＝EF，∵∠EBF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠EBF，∴BE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝5，∴EF＝5．故答案为：5．24．解：（1）△CDE是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）BF＝DF，理由：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，即EF＝AC＝AB，在△AFB与△EDF中，∴△ABF≌△EDF（SAS），∴BF＝DF．25．解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，又∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，∵∠A＝90°，∴∠B＝×90°＝30°；（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，∴CN＝2．26．解：（1）∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴BC＝CD＝4；（2）△DEF是等边三角形，理由：∵BC＝CD，CF⊥BD，∴BF＝DF，又∵DE⊥AB，∴EF＝BD＝DF，∵∠BDE＝90°﹣∠EBD＝90°﹣×60°＝60°，∴△DEF是等边三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．解：（1）∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，故答案为：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，在△ACD中，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝72°，∴∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∵MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形；②CD＝BN+CE．证明：由①知AN＝AE，又∵BA＝BC，DB＝AC，∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，即CD＝BN+CE．29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠BDC，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（2）∠C＝2∠D，理由：∵△ABD为等腰三角形；∴AB＝AD，∵AD＝AC，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝2∠D．30．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°∵AB∥DE，∴∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠CDE＝30°，∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，即△FCD为等腰三角形；（2）解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，在△DCE和△CAB中，，∴△DCE≌△CAB，（ASA），∴CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．31．解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．。

中考数学总复习《等腰三角形和直角三角形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关1.已知等腰三角形两边的长分别是3和5,求此等腰三角形的周长.小明的解答过程如下:“当3是腰长时,底边长为5,则三角形周长为:3+3+5=11;当5是腰长时,底边长为3,则三角形周长为:3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是( ) A.方程思想B.分类讨论思想C.公理化思想D.转化思想2.(2024·玉林模拟)学完等腰三角形的性质后,小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°,求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°,求底角的度数”.下面的四个答案,你认为正确的是( )A.36°B.144°C.36°或72°D.72°或144°3.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=( )A.100°B.115°C.130°D.145°4.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=( )A.3.5 cmB.3 cmC.4.5 cmD.6 cm5.(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( )A.3B.6C.√3D.3√36.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为°.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为.8.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=°.B层·能力提升9.如图,已知△ABC的面积为48,AB=AC=8,点D为BC边上一点,过点D分别作DE ⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为( )A.2B.3C.4D.610.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=12AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A 为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( )A.√5−12B.√5−22C.√5-1D.√5-211.已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为( )A.14°B.16°C.24°D.26°12.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为.13.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为6,8,10,则△ABC的面积为.14.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.C层·挑战冲A+15.(2024·滨州)【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C 吗?基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.小军小民证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……证明:∵AD⊥BC∴△ADB与△ADC均为直角三角形根据勾股定理,得……【问题解决】(1)完成①的证明;(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.参考答案A层·基础过关1.已知等腰三角形两边的长分别是3和5,求此等腰三角形的周长.小明的解答过程如下:“当3是腰长时,底边长为5,则三角形周长为:3+3+5=11;当5是腰长时,底边长为3,则三角形周长为:3+5+5=13.”小明的解答方法体现的数学思想是(B) A.方程思想B.分类讨论思想C.公理化思想D.转化思想2.(2024·玉林模拟)学完等腰三角形的性质后,小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°,求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°,求底角的度数”.下面的四个答案,你认为正确的是(C)A.36°B.144°C.36°或72°D.72°或144°3.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=(B)A.100°B.115°C.130°D.145°4.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=(B)A.3.5 cmB.3 cmC.4.5 cmD.6 cm5.(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)A.3B.6C.√3D.3√36.(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为100°.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度为4.8.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=52°.B层·能力提升9.如图,已知△ABC的面积为48,AB=AC=8,点D为BC边上一点,过点D分别作DE ⊥AB于E,DF⊥AC于F,若DF=2DE,则DE长为(C)A.2B.3C.4D.610.(2024·南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=12AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A 为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为(A)A.√5−12B.√5−22C.√5-1D.√5-211.已知点P是等边△ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边的三角形中,最小内角的大小为(B)A.14°B.16°C.24°D.26°12.(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为6或12.13.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为6,8,10,则△ABC的面积为36+25√3.14.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;【解析】(1)∠DAC的度数不会改变.∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,①∵∠BAE=90°,BA=BD[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C∴∠BAD=12∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,②由①,②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°.(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.【解析】(2)设∠ABC=m°,则∠BAD=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-m°∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12m°∵EA=EC,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-12m°,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12m°=12n°.C层·挑战冲A+15.(2024·滨州)【问题背景】某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C 吗?基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.小军小民证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……证明:∵AD⊥BC∴△ADB与△ADC均为直角三角形根据勾股定理,得……【问题解决】(1)完成①的证明;【证明】(1)∵AD⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°在△ADB 和△ADC 中,{AD =AD∠ADB =∠ADC BD =CD∴△ADB ≌△ADC (SAS) ∴∠B =∠C ;(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 【证明】(2)小军的证明过程:分别延长DB ,DC 至E ,F 两点,使得BE =BA ,CF =CA ,如图所示∵AB +BD =AC +CD∴BE +BD =CF +CD ,∴DE =DF ∵AD ⊥BC ,∴∠ADE =∠ADF =90° 在△ADE 和△ADF 中,{AD =AD∠ADE =∠ADF DE =DF∴△ADE ≌△ADF (SAS),∴∠E =∠F ∵BE =BA ,CF =CA∴∠E =∠BAE ,∠F =∠CAF∵∠ABC =∠E +∠BAE ,∠ACB =∠F +∠CAF ,∴∠ABC =∠ACB ; 小民的证明过程: ∵AD ⊥BC∴△ADB 与△ADC 均为直角三角形根据勾股定理,得:AD 2+BD 2=AB 2,AD 2+CD 2=AC 2,∴AB 2-BD 2=AC 2-CD 2∴AB2+CD2=AC2+BD2∵AB+BD=AC+CD∴AB-CD=AC-BD∴(AB-CD)2=(AC-BD)2,∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2∴AB·CD=AC·BD,∴ABAC =BD CD设ABBD =ACCD=k,BD=a,CD=b∴AB=kBD=ka,AC=kCD=kb根据勾股定理AD=√AB2−BD2=√AC2−CD2∴AD=√k2a2−a2=√k2−1aAD=√k2b2−b2=√k2−1b∴a=b,∴AB=AC∴∠B=∠C.第11页共11页。

中考数学专题复习《等腰三角形》测试卷（附带答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图在▱ABCD中AD=5AB=3DE平分∠ADC交BC边于点E则BE=（）A．2B．3C．4D．52．如图在▱ABCD中∠B=40°，AB=AC将△ADC沿对角线AC翻折AF交BC于点E 点D的对应点为点F则∠AEC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°3．菱形ABCD如图E为AD上一点F为CB延长线上一点EF⊥AC于点P交AB于G若AE=13AD则AGFC的值为（）A．13B．15C．25D．164．如图△ABC是等腰三角形∠BAC=90°BC=7．点D在BC上且BD:CD=2:5．连接AD将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE连接BE DE．则△BDE的面积是（）A．4B．5C．6D．75．如图在△ABC中AB=AC=6∠BAC=120°以边BC为直径作⊙O与线段CA，BA的延长线分别交于点D，E则弧DE的长为（）A．3πB．2πC．√3πD．2√3π6．如图EF为半圆形量角器直径直角三角板ABC与半圆形量角器如图放置其中斜边AB 与半圆形量角器交于A D两点AC经过点F AB∥EF若BD=8AF=BF则AD长度是（）A．4B．4√3C．6D．4√67．如图矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E过点A作AF⊥DE交DE于F点连接FO若DF=√2CD=3则FO的长为（）A．1B．23C．12D．148．如图△ABC中∠ABC=45°CD⊥AB于D BE平分∠ABC且BE⊥AC于E与CD相交于点F H是BC边的中点连接DH与BE相交于点G．下列结论正确的有（）个．①BF=AC②CE=12BF③△DGF是等腰三角形④BD+DF=BC⑤S△BDFS△BCF=BDBCA．5B．4C．3D．2二填空题9．已知：等腰△ABC，BA=BC点D在AB上点E在BC的延长线上AD=CE连接DE 交AC于点F作DH⊥AC于点H∠HDF−∠E=30°CE=6，CF=2则HF的长为．10．如图矩形ABCD的对角线相交于O AE平分∠BAD交BC于E若∠CAE=15°则∠COE=度．11．如图菱形ABCD中∠ABC=135°DH⊥AB于H交对角线AC于E过E作EF⊥AD 于F若△DEF的周长为2 则菱形ABCD的边长为．12．如图在△ABC中∠B=90°AB=4BC=6以AC为斜边作等腰直角三角形ADC 连接BD则BD的长为．13．如图平行四边形A BCD的对角线AC BD相交于点O AB⊥AC AB=3∠ACB= 30°点P从点A出发沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q设点P的运动时间为t秒在点P的运动过程中当△APO是等腰三角形时t的值为．14．如图在△ABC中AB=AC点D为线段BC上一动点（不与点B C重合）连接AD 作∠ADE=∠B=40°DE交线段AC于点E下列结论：①∠DEC=∠BDA②若AB=DC则AD=DE③当DE⊥AC时则D为BC中点④当△ADE为等腰三角形时∠BAD=40°．正确的有．（填序号）15．如图已知A，B为反比例函数y=4x图象上两点连接AB线段AB经过原点O C为反比例函数y=kx(k<0)在第四象限内图象上一点当△CAB是以AB为底的等腰三角形且CA AB =58时k的值为．16．如图已知直线L：y=x+2交x轴于点A交y轴于点A1点A2A3…在直线L上点B1 B2B3…在x轴的正半轴上若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形直角顶点都在x轴上则△A2024B2023B2024的面积为．三解答题17．如图在△ABC中CD是AB边上的高．AB(1)若∠ABC=∠ACB=15°请证明：CD=12(2)若∠ABC=30°CD=3点E是BC边上的中点求AC+AE的最小值．18．如图已知△ABC中∠B=90°AB=8cm BC=6cm P Q是△ABC边上的两个动点其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm点Q从点B开始沿B→C 方向运动且速度为每秒2cm它们同时出发设出发的时间为t秒．(1)当t=2秒时求PQ的长(2)求出发时间为几秒时△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动则当点Q在边CA上运动时求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．(1)如图1 连接BD．①请你探究AE与BD之间的关系并证明你的结论②求证：AE2+AD2=2AC2．(2)如图2 若AE=2,AC=2√5点F是AD的中点求CF的长．20．如图在▱ABCD中∠BAD的平分线交边BC于点E交边DC的延长线于点F．(1)如图1 求证：CE=CF(2)如图2 若∠ABC=90°,G是EF的中点分别连结CG，BG，DG求证：DG⊥BG(3)如图3 若∠ABC=120°四边形CFGE为平行四边形分别连结DB，DG试判断△BDG的形状并证明．21．【问题背景】已知：在△ABC中AB=AC点D E分别为直线BC上两动点探究线段BD DE EC三条线段之间的数量关系：（1）如图1 当∠BAC=90°时点D E分别为线段BC上两动点且∠DAE=45°猜想BD DE EC三条线段之间存在的数量关系式直接写出你的猜想__________【问题拓展】（2）如图2 当动点E在线段BC上动点D运动在线段CB延长线上时其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【问题迁移】（3）如图3 当∠BAC=60°时点D E在边BC上2BD−DE=3点F在边AB上点F到AC的距离是2√3且∠DFE=30°CE=7求△FDE的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD为平行四边形AD=5AB=3∵AD∥BC,CD=AB=3,BC=AD=5∵∠ADE=∠DEC∵DE平分∠ADC∵∠ADE=∠CDE∵∠DEC=∠CDE∵CE=CD=3∵BE=BC−CE=5−3=2．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形∵AD∥BC∵∠DAC=∠ACB∵∠B=40°，AB=AC且AD∥BC∵∠B=∠ACB=40°，∠BAD=140°∵∠DAC=∠ACB=40°由折叠的性质可知∠DAC=∠FAC=40°∵∠AEC=180°−(∠ACB+∠FAC)=180°−(40°+40°)=100°．故选：C．3．解：∵菱形ABCD∵∠AEF=∠F∠EAC=∠ACF∠BAC=∠DAC AD=BC∵△APE∽△PFC∵∠AGE=∠BGF∵△AEG∽△BGF∵EF⊥AC∵在△AGP和△AEP中{∠BAC=∠DAC AP=AP ∠APG=∠APE∵△AGP≌△AEP∵AG=AE∵AE=13AD∵AE=13BC∵设AG=AE=x则BG=2x∵AG GB =12∵BF=2x ∵FC=5x∵AG FC =x5x=15故选：B．4．解：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE ∵AD=AE，∠DAE=90°∵∠EAB+∠BAD=90°在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C=∠ABC=45°∵∠EAB=∠CAD∵△EAB≌△DAC(SAS)∵∠C=∠ABE=45°，CD=BE∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°∵BC=7，BD：CD=2：5∵BD=2，CD=BE=5∵S△BDE=12BD⋅BE=12×2×5=5故选：B．5．解：如图连接OA,OD,OE,CE∵∠BAC=120°AB=AC=6(180°−∠BAC)=30°∴∠CBE=∠BCD=12∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∴∠BCE=90°−∠CBE=60°∵∠DCE=∠BCE−∠BCD=30°∴∠DOE=2∠DCE=60°∵AB=AC=6OB=OC∴AO⊥BC∴OB=AB⋅cos∠CBE=AB⋅cos30°=3√3∴OD=OE=OB=3√3∴弧DE的长=60×3√3π=√3π180故选：C．6．解：如图连接OD DF．∵AD∥EF∠BAC=30°∵∠AFE=∠CAB=30°∠DOF=2∠CAB=60°∵OD=OF∵△ODF是等边三角形∵∠OFD=60°∵∠AFD=∠OFD−∠AFE=60°−30°=30°∵∠DAF=∠AFD=30°∵AD=DF∵FA=FB∵∠A=∠ABF=30°∵∠AFB=180°−30°−30°=120°∵∠BFD=∠AFB−∠AFD=120°−30°=90°∵DF=12DB∵BD=8∵AD=DF=4．故选：A．7．解：四边形ABCD为矩形CD=3∴AB=CD=3∠ADC=∠BAD=90°，OD=OB ∵DE平分∠ADC∴ADE=∠CDE=12∠ADC=45°∴△ADE为等腰直角三角形∴AD=AE∵AF⊥DE∴DF=EF，∠AFD=90°∴△ADF为等腰直角三角形∴AD=√DF2+AF2=√2DF=2∴AE=AD=2∴BE=AB−AE=3−2=1∵DF=EF，OD=OB即点F O分别为DE、BD的中点∴OF为△BDE的中位线∴OF=12BE=12故选：C．8．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC∵∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°∵∠A=∠DFB∵∠ABC=45°，∠BDC=90°∵∠DCB =90°−45°=45°=∠DBC∵BD =DC在△BDF 和△CDA 中{∠BDF =∠CDA∠A =∠DFB BD =CD∵△BDF≌△CDA (AAS )∵BF =AC 故①正确．∵∠ABE =∠EBC =22.5°，BE ⊥AC∵∠A =∠BCA =67.5°∵BA =BC∵BE ⊥AC∵AE =EC =12AC =12BF 故②正确 ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =45°∵∠ABE =∠CBE =22.5°∵∠BDC =90°，BH =HC∵∠BHG =90°∵∠BDF =∠BHG =90°∵∠BGH =∠BFD =67.5°∵∠DGF =∠DFG =67.5°∵DG =DF∵△DGF 是等腰直角三角形 故③正确．∵△BDF≌△CDA∵DF =AD∵BC =AB =BD +AD =BD +DF 故④正确∵BE 平分∠ABC∵点F 到AB 的距离等于点F 到BC 的距离∵ S △BDFS △BCF = BD BC 故⑤正确所以 正确的结论是①②③④⑤ 共5个故选：A ．9．解：如图过点D作DG∥BC交AC于点G．∵BA=BC∵∠A=∠BCA∵DG∥BC∵∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF∵∠A=∠DGA∵DA=DG∵AD=CE∵DG=CE=6在△DFG和△EFC中{∠DFG=∠CFE ∠DGF=∠EFC DG=EC∵△DFG≌△EFC(AAS)∵GF=CF=2，∠GDF=∠E∵∠HDF−∠E=30°∵∠HDG=∠HDF−∠GDF=30°∵DH⊥AC∵GH=12DG=3∵HF=GH+GF=3+2=5．故答案为：5．10．解：在矩形ABCD中AO=BO=CO=DO∠ABC=90°∵∠CAE=15°AE平分∠BAD∴∠BAE=∠BEA=45°∴AB=BE∴∠BAC=60°OA=OB∴△AOB是等边三角形∴∠BAC=60°AC=BO∴∠BCA=30°AB=12∴BE=BO又∵∠DBC=∠ACB=30°在△BOE中∠BOE=(180°−∠DBC)÷2=75°∴∠COE=180°−60°−75°=45°．故答案为：45．11．解：∵四边形ABCD是菱形∠ABC=135°∵AD∥BC∠DAC=∠BAC∵∠DAB=45°∵DH⊥AB EF⊥AD∵EF=EH∵AH=DH∵∠ADH=45°且EF⊥AD∵∠ADH=∠DEF=45°∵DF=EF∵DE=√2EF∵∵DEF的周长为2∵DE+EF+DF=2∵(2+√2)EF=2∵EF=2−√2∵EH=2−√2DE=2√2−2∵DH=DE+EH=√2∵AH=DH=√2∵AD=√2AH=2∵菱形ABCD的边长为2故答案为：212．解：当在AC上方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠DFB=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=α+45°∠BAD=∠BAC+∠DAC=(90°−α)+45°=135°−α∴∠DAE=180°−∠BAD=α+45°∵∠EAD=∠FCD∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF∵∠DEA=∠B=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形在Rt△ABC中AC=√AB2+BC2=2√13∵S四边形ABCD=S△ABC+S ADC=S△ABD+S BDC∴12AB⋅BC+12AC×12AC=12AB⋅DE+12BC⋅DF即4×6+12×(2√13)2=4DE+6DF=10DF解得DF=5即正方形BFDE的边长为5∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=5√2当在AC下方作等腰直角三角形时过D作DE⊥BA DF⊥BC如图所示：∴∠DEA=∠DFC=∠EBF=90°设∠ACB=α则在Rt△ABC中∠BAC=90°−α∵△ADC是等腰直角三角形∴∠DCA=∠DAC=45°DA=DC∴∠BCD=45°−α∠BAD=∠BAC−∠DAC=(90°−α)−45°=45°−α∴Rt△DEA≌Rt△DFC(AAS)∴DE=DF AE=FC∵∠DEA=∠EBF=∠DFB=90°∴四边形BFDE是正方形即BE=BF∵AB=4,BC=6∴AB+BE=BC−BF即4+BE=6−BE解得BE=1即正方形BFDE的边长为1∵BD是正方形BFDE的对角线∴BD=√BF2+DF2=√2综上所述BD的长为5√2或√2故答案为：5√2或√2．13．解：如图所示作点E G M使得AE=OE AG=AO AO=MO当点P分别运动到点E G M时△APO是等腰三角形①当点P运动到点E：此时∠BFE=∠DEF=2∠EAO=2∠ACB=60°又∵∠ABC =90°−∠ACB =60° 且AE ∥BF∴四边形ABFE 为等腰梯形∴AE =OE =12EF =12AB =32∴t 1=32②当点P 运动到点G ：此时AG =AO =12AC =√32AB =3√32∴t 2=3√32③当点P 运动到点M ：AO =MO作OT ⊥AM 交AM 于点T ∠CAD =∠AMO =30°根据等腰三角形三线合一得：AM =2AT =2AO ⋅√32=√32AC =√32⋅AB ⋅√3=92∴t 3=92． 答：点P 的运动时间为32或3√32或92． 14．解：①∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠ADE =40° ∵∠BAD =∠CDE∵AB =AC∵∠B =∠C∵由三角形内角和定理知：∠DEC =∠BDA 故①正确 ②∵AB =AC∵∠B =∠C =40°由①知：∠DEC =∠BDA∵AB =DC∵△ABD ≌△DCE (AAS )∵AD =DE 故②正确③∵DE ⊥AC∵∠DEC =90°∵∠CDE=50°∵∠ADC=90°∵AD⊥BC∵AB=AC∵BD=CD∵D为BC中点故③正确④∵∠C=40°∵∠AED＞40°∵∠ADE≠∠AED∵△ADE为等腰三角形∵AE=DE或AD=DE当AE=DE时∠DAE=∠ADE=40°∵∠BAC=180°−40°−40°=100°∵∠BAD=60°当AD=DE时∠DAE=∠DEA=70°∵∠BAD=30°故④不正确．∵正确的有①②③故答案为：①②③．15．解：如图：作AE⊥y轴于E CF⊥y轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称∵AC=BC，OA=OB∵OC⊥AB∵∠CFO=∠COA=∠AEO=90°∵∠COF+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°∵∠COF=∠OAE∵△CFO∽△OEA∵S△COF S△AOE =(COOA)2∵CA AB =58AO=OB∵CA:OA=5:4又∵AC2=OA2+OC2∵CO:OA=3:4∵S△COF S△AOE =(COOA)2＝916即12|k|12×4=916∵k<0∵k=−94故答案为：−94．16．解：y=x+2交y轴于点A1∴A1(0，2)∵△A1OB1是等腰直角三角形∴B1(2，0)∵若△A1OB1△A2B1B2△A3B2B3…均为等腰直角三角形∴A2(2，4)B2(6，0)A3(6，8)B3(14，0)∴S△A1OB1=12×2×2=21S△A2B1B2=12×4×4=23S△A3B2B3=12×8×8=25…S△An B n−1B n=22n−1∴△A2024B2023B2024的面积为=24047故答案为：24047．17．（1）证明：∵∠ABC=∠ACB=15°CD是AB边上的高．∵AB=AC,∠CAD=30°∵CD=12AC=12AB（2）延长CD到C′使C′D=CD=3连接AC′,C′E如图：∵CD是AB边上的高∵BD是CC′的垂直平分线∵AC′=AC∴AC+AE=AC′+AE≥C′E,即AC+AE的最小值为C′E∵∠ABC=30°,CD=3∴BC=2CD=6∵ 点E是BC边上的中点∴CE=3=CD∵BC=C′C=6∠BCD=∠C′CE∴△BCD≌△C′CE(SAS)∴BD=C′EBD=√BC2−CD2=√62−32=3√3∴C′E=3√3即最小值为3√3．18．（1）解：∵AP=2×1=2(cm)BQ=2×2=4(cm)∵BP=AB−AP=8−2×1=6(cm)∵∠B=90°∵PQ=√BQ2+BP2=√42+62=2√13(cm)（2）解：根据题意得：BQ=BP即2t=8−t解得：t=83即出发时间为83秒时△PQB是等腰三角形（3）解：分三种情况：当CQ=BQ时如图1所示：则∠C=∠CBQ∵∠ABC=90°∴∠CBQ+∠ABQ=90°∠A+∠C=90°∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ∵CQ=AQ∵∠B=90°AB=8cm BC=6cm∴AC=√82+62=10(cm)∴CQ=AQ=12AC=5(cm)∴BC+CQ=11(cm)∴t=11÷2=5.5（秒）．当CQ=BC时如图2所示：则BC+CQ=12(cm)∴t=12÷2=6（秒）．当BC=BQ时如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BE则BE=AB⋅BCAC =6×810=4.8(cm)∴CE=√BC2−BE2=3.6(cm)∴CQ=2CE=7.2cm∴BC+CQ=13.2cm∴t=13.2÷2=6.6（秒）．由上可知当t为5.5秒或6秒或6.6秒时ΔBCQ为等腰三角形．19．（1）解：①AE=BD理由如下：∵∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠BCD又∵CA=CB,CE=CD,∵△ACE≌△BCD(SAS)∵AE=BD②∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形CA=CB,CE=CD ∵∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠CEA=∠CDE=45°,∠CAB=∠CBA=45°∵∠ECA=∠DCB在△ECA和△DCB中{CE=CD ∠ECA=∠DCB AC=BC∴△ECA≌△DCB(SAS),∵AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°,∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°∴△ADB是直角三角形∴AD2+BD2=AB2,∴AD2+AE2=AB2,∴AE2+AD2=2AC2．（2）解：过点C作CH⊥DE于H如图：∵AC2+BC2=2AC2,AD2+AE2=AB2,AE=2,AC=2,∴AD=6,∴DE=AE+AD=8,∵点F是AD的中点∴AF=DF=3,∴△ECD是等腰直角三角形∴CH=DH=EH=4,∴HF=DH−DF=1,∴CF=√GH2+HF2=√42+12=√17．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∵AB∥CD,AD∥BC∵∠F=∠BAF∠CEF=∠DAF∵AF平分∠BAD∵∠BAF=∠DAF∵∠F=∠CEF∵CE=CF．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∠ABC=90°∵四边形ABCD是矩形∵AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°∵∠BCF=90°∵G是EF的中点∵CG=EG=FG∵△CEG和△CFG都是等腰直角三角形∵∠ECG=∠F=45°∵∠ADC=90°∵∠DAF=45°∵△DAF是等腰直角三角形∵DA=DF∵BC=DF∵△BCG≌△DFG(SAS)∵∠BGC=∠DGF∵∠BGC−∠DGC=∠DGF−∠DGC=∠CGF=90°∵DG⊥BG．（3）解：△BDG是等边三角形理由如下：如图延长AB、FG交于点H连接DH∵FG∥CE,CE∥AD∵FH∥BC∥AD∵AH∥DF∵四边形AHFD是平行四边形∵∠DFA=∠FAB=∠DAF∵DA=DF∵四边形AHFD是菱形∵FD=FH,AD=AH∵∠ABC=120°∵∠DFH=∠DAH=60°∵△FDH和△ADH都是等边三角形∵∠DFG=∠DHB=∠FDH=60°,FD=HD ∵四边形BCFH是平行四边形∵BH=CF∵FG=CE,CE=CF∵FG=BH在△DFG和△DHB中{FG=BH∠GFD=∠BHD, FD=HD∵△DFG≌△DHB(SAS)∵∠FDG=∠HDB,DG=DB∵∠BDG=∠HDB+∠HDG=∠FDG+∠HDG=∠FDH=60°∵△BDG是等边三角形．21．解：（1）DE2=BD2+EC2证明：如图将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB FD=DB∠FAD=∠BAD∠AFD=∠ABD∵∠BAC=90°∠DAE=45°∵∠BAD+∠CAE=45°,∠FAD+∠FAE=45°∵∠CAE=∠FAE又∵AE=AE,AF=AB=AC∵△AFE≌△ACE∵∠DFE=∠AFD+∠AFE=45°+45°=90°∵DE2=FD2+EF2∵DE2=BD2+EC2（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折得△AFD连FE∵△AFD≌△ABD∵AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD又∵AB=AC∵AF=AC∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB∵∠FAE=∠EAC又∵AE=AE∵△AFE≌△ACE∵FE=EC∠AFE=∠ACE=45°∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°,∵∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°∵在Rt△DFE中DE2=FD2+EF2即DE2=BD2+EC2（3）过点F作FH∥AC交BC于点H作FG⊥AC于点G则FG=2√3∵∠BAC=60°∵∠AFG=30°AF∵AG=12AF)2+(2√3)2又∵AF2=AG2+FG2即AF2=(12解得：AF=4或AF=−4（舍）又∵AB=AC∵△ABC是等边三角形∵BA=BC又∵FH∥AC∵∠BFH=∠A=∠C=∠FHB=∠B=60°∵BF=BH=FH即AF =CH =4∵EH =EC −EH =7−4=3将△FDB 沿直线FD 对折 得△FMD 连ME 过E 点作EN ⊥DM 交DM 的延长线于点N ∵△FBD ≌△FMD∵FB =FM BD =DM ∠BFD =∠MFD ∠FBD =∠FMD∵∠BFH =60° ∠DFE =30°∵∠BFD +∠HFE =30°,∠DFM +∠MFE =30°∵∠HFEE =∠MFE又∵FE =FE,FH =FB =FM∵△FHE ≌△FME∵∠FME =∠FHE =60° EM =EH =3∵∠DME =∠FMD +∠FME =60°+60°=120°∵∠NME =60°∵∠MEN =30°∵MN =12EM =32 EN =√MF 2−MN 2=√32−(32)2=32√3∵DN =DM +MN =BD +MN =BD +32 又∵2BD −DE =3∵DE =2BD −3在Rt △DNE 中 DE 2=DN 2+EN 2 即(2BD −3)2=(BD +32)2+(32√3)2解得：BD =0（舍）或BD =5∵DE =7 BF =BH =BD +DE +EH =5+7+3=15过点F 作FQ ⊥BC 于点Q∵∠BFQ=30°∵BQ=12BF=152FQ=√BF2−BQ2=√152−(152)2=152√3∵S△DEF=12DE⋅FQ=12×7×152√3=105√34．。

历年中考数学等腰三角形题型精选一,选择题1,（2018•江苏宿迁•3分）如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A, B, 2 C, D, 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4,AC⊥BD,由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中,根据勾股定理得AO=2,AC=2AO=4,根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4,根据中位线定理得OE∥AD,根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16,∴菱形ABCD的边长为4.∵∠BAD＝60°,∴△ABD是等边三角形.又∵O是菱形对角线AC,BD的交点,∴AC⊥BD.在Rt△AOD中,∴AO=.∴AC=2AO=4.∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4.又∵O、E分别是中点,∴OE∥AD,∴△COE∽△CAD,∴,∴.∴S△COE=S△CAD=×4=.故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质,结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.2,2018•内蒙古包头市•3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17,5°B．12,5°C．12°D．10°【分析】由AB=AC知∠B=∠C,据此得2∠C+∠BAC=180°,结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°,根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°,利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案．【解答】解：∵AB=AC.∴∠B=∠C.∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°.又∵∠C+∠BAC=145°.∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,AD=AE.∴∠AED=45°.∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°.故选：D．【点评】本题主要考查等腰直角三角形,解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．3, （2018•达州•3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．B．2 C．D．3【分析】证明△BNA≌△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵BN平分∠ABC,BN⊥AE.∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.在△BNA和△BNE中.∴△BNA≌△BNE.∴BA=BE.∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点N是AE中点,点M是AD中点（三线合一）.∴MN是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12.∴DE=BE+CD﹣BC=5.∴MN=DE=．故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键．4, （2018•资阳•3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A,等边三角形由3条对称轴,故本选项错误；B,平行四边形无对称轴,故本选项错误；C,矩形有2条对称轴,故本选项正确；D,正方形有4条对称轴,故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有：等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等．5,（2018•湖州•3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A, 20° B, 35°C, 40° D, 70°【答案】B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．详解：∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°.∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线.∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质,三角形内角和定理以及角平分线定义,求出∠ACB=70°是解题的关键．6, （2018•贵州安顺•3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是（）A, B, C, D, 或【答案】A【解析】试题分析：∵.∴.即,.①等腰三角形的三边是2,2,5.∵2+2＜5.∴不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理.三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选A．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．7, （2018•广西玉林•3分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数【分析】根据一次函数的定义,可得答案．【解答】解：设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得y=﹣x+90°.故选：B．8, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数,然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°.∴∠B=∠C=40°.∵点D在BC边上,△ABD为直角三角形.∴当∠BAD=90°时,则∠ADB=50°.∴∠ADC=130°.当∠ADB=90°时,则∠ADC=90°.故答案为：130°或90°．【点评】本题考查等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．9, （2018·黑龙江龙东地区·3分）Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是3,6或4,32或4,8 ．【分析】在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5,S△ABC=6,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】解：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=3,BC=4.∴AB==5,S△ABC=AB•BC=6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况：①当AB=AP=3时,如图1所示.S等腰△ABP=S△ABC=×6=3,6；②当AB=BP=3,且P在AC上时,如图2所示.作△ABC的高BD,则BD===2,4.∴AD=DP==1,8.∴AP=2AD=3,6.∴S等腰△ABP=S△ABC=×6=4,32；④当CB=CP=4时,如图3所示.S等腰△BCP=S△ABC=×6=4,8．综上所述：等腰三角形的面积可能为3,6或4,32或4,8．故答案为3,6或4,32或4,8．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的剪法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．11,（2018•福建A卷•4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中,AD⊥BC.∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分线.∵点E在AD上.∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°.∴∠ECB=45°.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°.故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键．12, （2018•福建B卷•4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线,进而求出∠ECB=45°,即可得出结论．【解答】解：∵等边三角形ABC中,AD⊥BC.∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分线.∵点E在AD上.∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°.∴∠ECB=45°.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°.∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°.故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键．13, （2018•达州•3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．B．2 C．D．3【分析】证明△BNA≌△BNE,得到BA=BE,即△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,根据题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵BN平分∠ABC,BN⊥AE.∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.在△BNA和△BNE中.∴△BNA≌△BNE.∴BA=BE.∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点N是AE中点,点M是AD中点（三线合一）.∴MN是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12.∴DE=BE+CD﹣BC=5.∴MN=DE=．故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键．14, （2018•资阳•3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义,结合所给图形即可作出判断．【解答】解：A,等边三角形由3条对称轴,故本选项错误；B,平行四边形无对称轴,故本选项错误；C,矩形有2条对称轴,故本选项正确；D,正方形有4条对称轴,故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义,常见的轴对称图形有：等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等．二,填空题1,（2018•江苏徐州•3分）边长为a的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D.∵AD⊥BC,∴BD=CD=a,∴AD==a,面积则是：a•a=a2．【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法,比较简单．2,（2018•江苏无锡•2分）如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧上,且OA=AB,则∠ABC= 15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB.即△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°.∵OC⊥OB,∴∠COB=90°,∴∠COA=90°﹣60°=30°,∴∠ABC=15°. 故答案为：15°【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3,（2018•江苏无锡•2分）如图,已知∠XOY=60°,点A在边OX 上,OA=2．过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E．设OD=a,OE=b,则a+2b 的取值范围是2≤a+2b≤5．【分析】作辅助线,构建30度的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在Rt△HEP中,∠EPH=30°,可得EH的长,计算a+2b=2OH,确认OH最大和最小值的位置,可得结论．【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H.∵PD∥OY,PE∥OX,∴四边形EODP是平行四边形,∠HEP=∠XOY=60°,∴EP=OD=a.Rt△HEP中,∠EPH=30°,∴EH=EP=a,∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH.当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的最小值=OC=OA=1,即a+2b 的最小值是2；当P在点B时,OH的最大值是：1+=,即（a+2b）的最大值是5,∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质,有难度,掌握确认a+2b的最值就是确认OH 最值的范围．4,（2018•江苏淮安•3分）若一个等腰三角形的顶角等于50°,则它的底角等于65 °．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°.又∵等腰三角形的底角相等.∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,熟记等腰三角形的性质是解题的关键．5, （2018•乌鲁木齐•4分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形,则AE的长为．【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论：当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣（4﹣x）=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣）,解方程求出x得到此时AE的长；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=（4﹣x）,EH=（4﹣x）,接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长．【解答】解：∵∠C=90°,BC=2,AC=2.∴tanB===.∴∠B=30°.∴AB=2AC=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x.当∠AFB′=90°时.在Rt△BDF中,cosB=.∴BF=cos30°=.∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°.∴EB′=2EF.即4﹣x=2（x﹣）,解得x=3,此时AE为3；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图.∵DC=DB′,AD=AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC.∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°.∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,B′H=B′E=（4﹣x）,EH=B′H=（4﹣x）. 在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2.∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,解得x=,此时AE为．综上所述,AE的长为3或．故答案为3或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．6, （2018•临安•3分）用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图（1）所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC= 36 度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°,△ABC是等腰三角形.∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．7, （2018•广西桂林•3分）如图,在ΔABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件,利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数,根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°,∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D.∴∠ABD=∠DBC=36°.∵∠A=∠ABD=36°.∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C.∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．8．（2018·黑龙江哈尔滨·7分）如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形）,且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰,底边长为2的等腰三角形ABE,点E在小正方形的顶点上,连接CE,请直接写出线段CE的长．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：（1）如图所示,矩形ABCD即为所求；（2）如图△ABE即为所求；【点评】本题考查作图﹣应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题,属于中考常考题型．9,（2018•贵州遵义•4分）如图,△ABC中．点D在BC边上,BD=AD=AC,E 为CD的中点．若∠CAE=16°,则∠B为37 度．【分析】先判断出∠AEC=90°,进而求出∠ADC=∠C=74°,最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．【解答】解：∵AD=AC,点E是CD中点.∴AE⊥CD.∴∠AEC=90°.∴∠C=90°﹣∠CAE=74°.∵AD=AC.∴∠ADC=∠C=74°.∵AD=BD.∴2∠B=∠ADC=74°.∴∠B=37°.故答案为37°．10, (2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处．若AE=,则BC的长是．【分析】由折叠的性质可知AE=CE,再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解．【解答】解：∵AB=AC,∠A=36°.∴∠B=∠ACB==72°.∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.∴AE=CE,∠A=∠ECA=36°.∴∠CE B=72°.∴BC=CE=AE=.故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用,证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．11, （2018•乌鲁木齐•4分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形,则AE的长为．【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的性质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论：当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣（4﹣x）=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣）,解方程求出x得到此时AE的长；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=（4﹣x）,EH=（4﹣x）,接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长．【解答】解：∵∠C=90°,BC=2,AC=2.∴tanB===.∴∠B=30°.∴AB=2AC=4.∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°.设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x.当∠AFB′=90°时.在Rt△BDF中,cosB=.∴BF=cos30°=.∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣.在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°.∴EB′=2EF.即4﹣x=2（x﹣）,解得x=3,此时AE为3；当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图.∵DC=DB′,AD=AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC.∴AB′=AC=2.∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°.∴∠EB′H=60°.在Rt△EHB′中,B′H=B′E=（4﹣x）,EH=B′H=（4﹣x）. 在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2.∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2,解得x=,此时AE为．综上所述,AE的长为3或．故答案为3或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．三,解答题1,（2018•江苏徐州•7分）（A类）已知如图,四边形ABCD 中,AB=BC,AD=CD,求证：∠A=∠C．（B类）已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求证：AD=CD．【分析】（A类）连接AC,由AB=AC,AD=CD知∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC.∵AB=AC,AD=CD,∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA.∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC,∴∠BAC=∠BCA.又∵∠A=∠C,即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质,解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质．2,（2018•江苏徐州•10分）如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中.（1）如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m ,其中m的取值范围是0＜m≤2+．（直接写出结论,不必证明）探究二：若且AC=30cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在,求出最大值或最小值；若不存在,说明理由．（2）随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化,求出相应S 的值或取值范围．【分析】探究一：（1）连接BE,根据已知条件得到E是AC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形,从而证明结论；（2）作EM⊥AB,EN⊥BC于M、N,根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ,发现EP：EQ=EM：EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程,可以直接写出结果；要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析．探究二：（1）设EQ=x,结合上述结论,用x表示出三角形的面积,根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论．【解答】解：探究一：（1）连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得BE=CE,∠PBE=∠C又∠BEP=∠CEQ,则△BEP≌△CEQ,得EP=EQ；（2）作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,∴∠EMP=∠ENC.∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,∴∠MEP=∠NEF.∴△MEP∽△NEQ.∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N.∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°.∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°）.又∵∠EPB+∠M PE=180°（平角是180°）,∴∠MPE=∠EQN（等量代换）.∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA）,∴（两个相似三角形的对应边成比例）；在Rt△AME∽Rt△ENC∴=1：m=.∴=m=,EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m.∴0＜m≤2+；（当m＞2+时,EF与BC不会相交）．探究二：若AC=30cm.（1）设EQ=x,则S=x2,所以当x=10时,面积最小,是50cm2；当x=10时,面积最大,是75cm2．（2）当x=EB=5时,S=62,5cm2.故当50＜S≤62,5时,这样的三角形有2个；当S=50或62,5＜S≤75时,这样的三角形有一个．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．3,（2018•江苏苏州•10分）如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD 垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E．延长DA交⊙O 于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC．（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE,求证：△CEO是等腰直角三角形．【分析】（1）连接AC,根据切线的性质和已知得：AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS）,可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22,5°,可得结论；证法二：设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x,根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,则3x+3x+2x=180,可得结论．【解答】证明：（1）连接AC.∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90°,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO.∵CE⊥AB,∴∠CEA=90°.在△CDA和△CEA中.∵.∴△CDA≌△CEA（AAS）.∴CD=CE；（2）证法一：连接BC.∵△CDA≌△CEA,∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠ECA=∠ECG.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.∵∠B=∠F,∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG.∵∠D=90°,∴∠DCF+∠F=90°,∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22,5°. ∴∠AOC=2∠F=45°.∴△CEO是等腰直角三角形；证法二：设∠F=x,则∠AOC=2∠F=2x.∵AD∥OC,∴∠OAF=∠AOC=2x,∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠EAC=∠CGA.∵CE⊥AG,AE=EG,∴CA=CG,∴∠EAC=∠CGA,∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x. ∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,∴3x+3x+2x=180,x=22,5°,∴∠AOC=2x=45°.∴△CEO是等腰直角三角形．【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识．此题难度适中,本题相等的角较多,注意各角之间的关系,注意掌握数形结合思想的应用．4,（2018•江苏苏州•10分）如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0）,GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以,求出相应x的值；如果不可以,说明理由．【分析】（1）根据点M、N的坐标,利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立,连接EC,通过计算可得出ED=GD,结合CD⊥EG,可得出CE=CG,根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG＞∠CGE,进而可得出FE≠FG；②考虑FG=EG是否成立,由正方形的性质可得出BC∥EG,进而可得出△FBC∽△FEG,根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC,进而可得出CG、DG的长度,在Rt△CDG中,利用勾股定理即可求出x的值；③考虑EF=EG是否成立,同理可得出若EF=EG则FB=BC,进而可得出BE的长度,在Rt△ABE中,利用勾股定理即可求出x的值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b.将M（30,230）、N（100,300）代入y=kx+b.,解得：.∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200．（2）分三种情况考虑：①考虑FE=FG是否成立,连接EC,如图所示．∵AE=x,AD=100,GA=x+200,∴ED=GD=x+100．又∵CD⊥EG,∴CE=CG,∴∠CGE=∠CEG,∴∠FEG＞∠CGE.∴FE≠FG；②考虑FG=EG是否成立．∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥EG,∴△FBC∽△FEG．假设FG=EG成立,则FC=BC成立,∴FC=BC=100．∵AE=x,GA=x+200,∴FG=EG=AE+GA=2x+200,∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100．在Rt△CDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100.∴1002+（x+100）2=（2x+100）2.解得：x1=﹣100（不合题意,舍去）,x2=；③考虑EF=EG是否成立．同理,假设EF=EG成立,则FB=BC成立.∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100．在Rt△ABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100,∴1002+x2=（2x+100）2.解得：x1=0（不合题意,舍去）,x2=﹣（不合题意,舍去）．综上所述：当x=时,△EFG是一个等腰三角形．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理,解题的关键是：（1）根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值．5, （2018•杭州•8分）如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E。