湖南省长沙市长郡中学2020年下学期高二数学段考试卷(文科)

2020学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期期末考试数学试题 一、 单选题1． 设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A ．1B ．12-C ．12D ．-1【答案】A【解析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A.【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2．已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A ．[2,1][1,2]--B ．[]1,2C ．[]0,3D ．[]1,8-【答案】D【解析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样. 【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D. 【点睛】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】A【解析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞- B ．(3,)-+∞ C ．(13)-， D ．()3.1-【答案】C【解析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<.【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C. 【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%【答案】B【解析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=. 【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()9f =（ ）A ．2-B ．2C ．23-D ．23【答案】D【解析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31x f x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T=，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D.【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7．函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A ．5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈B ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ C ．5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D ．2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C【解析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间. 【详解】 因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆. 8．函数在处切线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】分析：首先求得函数的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可.详解：由函数的解析式可得：，则，即函数在处切线斜率为.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．512π C ．6πD ．56π 【答案】B【解析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10．已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A ．3812π- B ．44π+ C ．3412π+ D ．3412π- 【答案】C【解析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出211(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】 因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力. 11．若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0 B ．0 和1 C ．1± D ．2± 【答案】A【解析】由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x = ,因此()ππsin 1π36k k Z ϕϕ⎛⎫+=±⇒=+∈ ⎪⎝⎭,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin π1112036k b b b ⎛⎫+++=-⇒=-±⇒=- ⎪⎝⎭或 ,选A. 点睛：求函数解析式()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法： (1) max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 12．已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．725B ．925C ．1625D ．2425【答案】B【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=.点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13．设函数()()224,ln 25x f x e x g x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()()0g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A ．1B ．12-C ．12D ．-12．已知函数()21y f x =-的定义域为[]03，，则函数()y f x =的定义域为（ ） A ．[2,1][1,2]--B ．[]1,2C ．[]0,3D ．[]1,8-3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-4．已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(.1)-∞-B ．(3,)-+∞C ．(13)-， D ．()3.1-5．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%6．()f x 是R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，当[]2,0x ∈-时，()31x f x =-，则(9)f =（ ） A ．2-B ．2C ．23-D ．237．函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A ．5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C ．5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈D ．2(,)()63k k k Z ππππ++∈8．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ） A ．0B ．1-C ．1D．29．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512π C ．6π D ．56π 10．已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ）A ．3812π-B ．44π+C ．3412π+D ．3412π-11．若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0B ．0 和1C ．1±D ．2±12．已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．725B ．925C ．1625D ．242513．设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()()0g a f b <<D ．()()0f b g a <<14．已知函数1()2(0)2xf x x =-<与2()log ()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(,-∞B．(,-∞C．(-∞D．(- 15．已知函数()ln (1)22f x x a x a =+-+-.若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(]1ln3,0- B ．(]1ln3,2ln 2- C ．(]0,1ln 2-D ．(]1ln3,1ln 2--二、填空题16．已知函数22log (3),2()2,2x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 17．12(x 的展开式中第三项的系数为_________。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________七、解答题17．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}na 的通项公式；（2）记n S 为{}na 的前n 项和．若63m S =，求m ．参考答案：1．D【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】因为()44e 1x f x ¢=-，所以()03k f ¢==．因为()01f =-，所以切线方程为13y x +=，即310x y --=．故选：D.2．B【分析】设四位监考教师分别为,,,A B C D ，所教班分别为a b c d ,,,，分类讨论，利用分类计数原理，即可求解．【详解】设四位监考教师分别为,,,A B C D ，所教班分别为a b c d ,,,，假设A 监考b ，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A 监考c ，d 时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法，故选B ．【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类，利用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．C【详解】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A =种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有34432A =´´=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．故选：C ．4．B【解析】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=×××可得13(1)1n n a a n --=-+，根据累加法，即可求得答案.显然()()f>，由>，即(2)0h g22则这两个整数要么是2，3，不是。

湖南省2020版数学高二下学期文数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·石家庄月考) 下列四个集合中，是空集的是（）A . {0}B . {x|x＞8且x＜5}C . {x∈N|x2－1＝0}D . {x|x＞4}2. （2分） (2018高一上·扬州期中) 函数y= 的定义域为（）A . （，+∞）B . ［1，+∞C . （，1D . （－∞，1）3. （2分）设集合则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）若函数y=ax﹣x﹣a有两个零点，则a的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （0，1）C . （0，+∞）D . ∅5. （2分） (2019高二下·吉林期末) 定义在上的奇函数对任意都有，当时，，则的值为（）A .B .C . 2D . -26. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·太原期中) 设a=log 3，b=（），c=2 ，则（）A . a＜b＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜a＜c8. （2分）(2017·武汉模拟) 若存在正常数a，b，使得∀x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，则称f（x）为“限增函数”．给出下列三个函数：①f（x）=x2+x+1；② ；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函数”的是（）A . ①②③B . ②③C . ①③D . ③9. （2分） (2017高一下·磁县期末) 已知函数的值域为R，则常数a的取值范围是（）A . （﹣1，1]∪[2，3）B . （﹣∞，1]∪[2，+∞）C . （﹣1，1）∪[2，3）D . （﹣∞，0]{1}∪[2，3）10. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知是偶函数，且，则（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）设f（x）=lnx+ ，则f（sin ）与f（cos ）的大小关系是（）A . f（sin ）＞f（cos ）B . f（sin ）＜f（cos ）C . f（sin ）=f（cos ）D . 大小不确定12. （2分） (2019高三上·湖北月考) 已知定义在R上的函数满足，且的图象关于点对称，当时，，则（）A . -4B . 4C . -5D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·赣州期末) 曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为________．14. （1分） (2016高一上·海安期中) 已知幂函数y=（m2﹣m﹣1）xm2﹣2m﹣3 ，当x∈（0，+∞）时为减函数，则幂函数y=________．15. （1分） (2019高一上·西安期中) 已知满足对任意x1≠x2 ，都有>0成立，那么a的取值范围是________．16. （1分） (2019高二下·鹤岗月考) 关于函数的性质描述，正确的是________.① 的定义域为；② 的值域为；③ 的图象关于原点对称；④ 在定义域上是增函数.三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1 ， x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？18. （15分）(2017·漳州模拟) 设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．19. （5分） (2019高二下·瑞安期中) 已知函数（Ⅰ）若，且在上的最大值为，求；（Ⅱ）若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．20. （15分） (2019高一上·玉溪期中) 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）若对任意恒成立，求的取值范围．21. （10分）设集合A={x| ≤2﹣x≤4}，B={x|x2+2mx﹣3m2}（m＞0）．（1）若m=2，求A∩B；（2）若A⊇B，求实数m的取值范围．22. （15分） (2018·广东模拟) 已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间上的最大值为，求的值；（3）设，若，对于任意的两个正实数，证明：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是A.若a b ≤，则22a b ≤B.若a b >，则22a b ≤C. 若22a b ≤，则 a b ≤D. 若22a b ≤，则 a b >2.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实数根”时，要做的假设时A. 方程30x ax b ++=没有一个实数根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实数根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实数根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实数根 3.双曲线2213x y -=的焦点坐标为 A.()3,0 B. ()2,0± C. (0,3 D. ()0,2±4.已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为 A.23 B. 12 C. 13 D.165.设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x =A. 2eB. eC. ln 22D.ln 2 6.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A. 85,84B. 84,85C. 86,84D. 84,867.如图，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 2R 的概率为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 128.已知a 是函数()312f x x x =-的极小值点，则a =A. 4-B. 2-C. 2D. 49.对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是1ˆˆ3y x a =+，且()12812826x x x y y y +++=+++=，则实数ˆa 的值是 A. 12 B. 14 C. 18 D.11610.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A.(7,14± B. (14,14± C.(7,214± D.(7,214-±11.若函数()321f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 2a = B. 3a ≥ C. 3a ≤ D.03a <<12.已知有相同焦点12,F F 的椭圆2215x y +=和双曲线2213x y -=，P 是它们的一个交点，则12PF F ∆的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形13.若命题“2,20x R ax ax ∀∈--≤”是真命题，则实数a 的取值范围是A. []8,0-B. (]8,0-C. [)8,0-D.()8,0-14.设()(),f x g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x '⋅-⋅<，则当a x b <<时，有A. ()()()()f x g x f b g b ⋅>⋅B. ()()()()f x g a f a g x ⋅>⋅C. ()()()()f x g b f b g x ⋅>⋅D. ()()()()f x g x f a g a ⋅>⋅15.已知抛物线2:4C y x =的焦为F,直线1y x =-与C 交于A,B 两点，与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的渐近线相交于M,N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 的离心率为 A.632 C. 1533 第Ⅱ卷（非选择题 共55分）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16.已知i 是虚数单位，则31i i+=-为 . 17.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如下边程序框图所示，则32⊗= .18.将全体正整数排成一个三角形数表：根据以上排列规律，数阵中第10行从左到右的第3个数为 .19.曲线C 的方程为22221x y m n+=，其中,m n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A 为“方程22221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么事件A 发生的概率()P A = .20.在平面直角坐标系xoy 中，已知点P 是函数()()0x f x e x =>图象上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.（本题满分8分）已知曲线C 的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2.ρθ=（1）将C 测参数方程化为普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求AB 的长度.22.（本题满分8分）设:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，:q 实数x 满足30.2x x -≤- （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.23.（本题满分8分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为了调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300为学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少为女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[](](](](][]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成下列每周体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.”24.（本题满分8分）在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((0,3,3-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C,直线1y kx =+与C 交于A,B 两点.（1）写出C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求k 的值.25.（本题满分8分）已知函数()1xx e f x xe =+ （1）求()f x 的最大值；（2）当0x >时，()211f x ax >+，求正实数a 的取值范围.。

2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x ∈N ∗|x ≤3}，B ={x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]2. 若复数z 1，z 2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,−1)，则z 1⋅z 2=( )A. 2+iB. 1−2iC. −1−2iD. −i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +3<0，则命题p 的否定是( )A. ∃x ∈R ，x 2+2x +3>0B. ∀x ∈R ，x 2+2x +3≤0C. ∀x ∈R ，x 2+2x +3≥0D. ∀x ∈R ，x 2+2x +3>04. 已知a =ln22，b =log 22e ，c =22e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c5. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值6. 一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是−1，则判断框内可填入的条件是( )A. i <6？B. i >7？C. i <7？D. i >6？7. 已知tan(α+π4)=7，且π<α<3π2，则sinα=( )A. 35B. −35C. 45D. −458. 直线2x ⋅sinθ+y =0被圆x 2+y 2−2√5y +2=0截得最大弦长为( )A. 2√5B. 2√3C. 3D. 2√29. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 5=( ) A. 35B. −35C. 5D. −510. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.11. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且MP//平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，直线l ：y =x +1与双曲线C 相交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若以GH 为直径的圆过原点，则1a −1b =( )A. 2B. −2C. 12D. −12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为______． 14. 设函数f(x)={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是______．15. 十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{a n }满足以下关系：a 1=1，a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3,n ∈N ∗)，记其前n 项和为S n ．(1)a n+2−S n =______(n ≥1,n ∈N ∗)．(2)设a 2020=x ，a 2021=y(x,y 为常数)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2020=______．16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC//ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1所成角为π4.则正确的命题有______.(请填写正确命题的序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1．(1)求sin B ；(2)若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，△PAD 是边长为2的正三角形，PC =√10，E 为线段AD 的中点． (1)求证：平面PBC ⊥平面PBE ；(2)是否存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19. 某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体若其中圆台部分的体积为52πcm 3，且水瓶灌满水后盖上瓶寒时水溢出10π3cm 3.记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V ，(1)求V ；(2)该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V 的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y(单位：℃)与时刻t 满足线性回归方程y =ct +d ，通过计算得到如表： 倒出体积xcm 3 0 30 60 90 120 拟合结果 y =c 1t +dy =c 2t +dy =c 3t +dy =c 4t +dy =c 5t +d倒出体积xcm 3 150 180 210 … 450 拟合结果y =c 6t +dy =c 7t +dy =c 8t +d…y =c 16t +d注：表中倒出体积x(单位：cm 3)是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 −1.4−1.3−1.2−1−1.1−0.9−0.8令w =|c|，|w i =c i |，x i =30(i −1)，i =1，2，…，16.对于数据(x i ,w i )(i =1,2，…，7)，可求得回归直线为L 1：w =βx +α，对于数据(x i ,w i )(i =8,9，…，16)，可求得回归直线为L 2：w =0.0009x +0.7． (i)指出|c|的实际意义，并求出回归直线L 1的方程(参考数据：92800≈0.0032；)(ⅱ)若L 1与L 2的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体积保留整数，且π取3.14)保温效果最佳？附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =βu +α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑(n i=1u i −u −)(v i −v −)∑(n i=1u i −u −)2，α̂=v −−β̂⋅u −．20.已知函数f(x)=e x(x−a−1)(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)讨论f(x)在区间[1,2]上的单调性；(2)若f(x)≥ae恒成立，求实数a的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率e=√32.过椭圆的右焦点作直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于不同的两点A，B．(1)求椭圆C的方程；(2)试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB|=4√2，求实数α的值．23. 已知f(x)=|ax −1x |+|x −ax |，g(x)=|x −2a|−|x −2|(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)<g(x)+3的解集； (Ⅱ)求证：f(x)≥g(x)．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：A={x∈N∗|x≤3}={1,2，3}，B={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，∴所以A∩B={1,2，3}，故选：A．先求出集合A，解一元二次不等式x2−4x≤0解出集合B，从而求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知：复数z1=2+i，z2=−i，所以z1⋅z2=(2+i)(−i)=1−2i．故选：B．由已知求出复数z1=2+i，z2=−i，相乘即可．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为命题p：∃x∈R，x2+2x+3<0，是特称命题，故命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x+3≥0；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．容易得出0<ln22<1,log22e<0,22e>1，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=ln1<ln22=ln√2<lne=1，log22e<log21=0，22e>20=1，∴b<a<c．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】观察指数变化的走势图，能求出去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，不是不断减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．6.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得i=1进入循环，i=2，T=1，P=20−1=19；否，i=3，T=2，P=19−2=17；否，i=4，T=3，P=17−3=14；否，i=5，T=4，P=14−4=0；否，i=6，T=5，P=10−5=5；否，i=7，T=6，P=5−6=−1，此时应满足判断条件，所以判断框内可填入的条件是i>6？，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】B【解析】解：tanα=tan(α+π4−π4)=7−11+7×1=34，即sinαcosα=34，∵π<α<3π2，∴sinα=−35．故选：B．利用配角容易求出tanα，进而求得sinα的值．本题考查正切的差角公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，圆x2+y2−2√5y+2=0，即x2+(y−√5)2=3，其圆心为(0,√5)，半径r=√3，圆心到直线2x⋅sinθ+y=0的距离d=√5|√1+4sin2θ=√5√1+4sin2θ≥√55=1，当圆心到直线的距离最小时，直线2x⋅sinθ+y=0被圆x2+y2−2√5y+2=0截得弦长最大，而d=√5√1+4sin2θ的最小值为1，则直线2x⋅sinθ+y=0被圆x2+y2−2√5y+2=0截得最大弦长值为2×√3−1=2√2，故选：D．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线2x⋅sinθ+y=0被圆x2+y2−2√5y+2=0截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2 a1+1=1，2a3+1=3，由数列{2a n+1}是等差数列，设公差为d.可得3=1+2d，解得d.再利用通项公式即可得出．【解答】解：2a 1+1=1，2a 3+1=3， ∵数列{2a n +1}是等差数列，设公差为d ．∴3=1+2d ，解得d =1．∴2a 5+1=1+1×4=5，解得a 5=−35． 故选：B ．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象和识别和函数的解析式，属于基础题．先求出函数的解析式，再判断函数的图象即可．【解答】解：当∠ABP =x(x ∈[0,π4])，f(x)=12tanx ，当∠ABP =x(x ∈[π4,π2])，f(x)=1−tan(π2−x)=1−1tanx ，故只有D 符合，故选：D ． 11.【答案】D【解析】解：如图所示，E ，F ，G ，H ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1，DD 1，DA ，AB 的中点，则EF//B 1D 1//NH ，MN//B 1A//FG ，所以平面MEFGHN//平面AB 1D 1，所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部．因为AB =AD =2，AA 1=4，所以EF =HN =√2，EM =MN =FG =GH =√5，GM =2√2，E 到GM 的距离为(√22)=3√22， 所以S =2S 梯形EFGH =2×√2+2√22×3√22=9．故选：D ． 分别取B 1C 1、C 1D 1、DD 1、DA 、AB 的中点E 、F 、G 、H 、N ，根据题意可得点P 的轨迹为正六边形MEFGHN ，由此求得该正六边形MEFGHN 的面积即可．本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 12.【答案】A【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =x +1b 2x 2−a 2y 2=a 2b2，消去y 得(b 2−a 2)x 2−2a 2x −a 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2b 2−a 2，x 1x 2=−a 2−a 2b 2b 2−a 2， 由于F 1(−c,0)，F 2(c,0)，可知G(x 13,y 13)，H(x 23,y 23)，由题意可得OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，x 1x 2+y 1y 2=0，∴2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0， ∴2×−a 2−a 2b 2b 2−a 2+2a 2b 2−a 2+1=0，即b 2−a 2=2a 2b 2， 1a 2−1b 2=2， 故选：A ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =x +1b 2x 2−a 2y 2=a 2b2，消去y 得(b 2−a 2)x 2−2a 2x −a 2−a 2b 2=0，利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】16【解析】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数n =6×6=36，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，故所求向上点数之和小于5的概率P =636=16．故答案为：16．同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数n =6×6=36，利用列举法求出向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出所求向上点数之和小于5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[0,+∞)【解析】解：由分段函数可知，若x≤1，由f(x)≤2得，21−x≤2，即1−x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x>1，由f(x)≤2得1−log2x≤2，即log2x≥−1，即x≥1，2此时x>1，综上：x≥0，故答案为：[0,+∞)．根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．15.【答案】1 x+y−1【解析】解：(1)因为a1=1，a2=1，a n=a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，所以a3=a1+a2，a4=a3+a2=a1+a2+1，a5=a3+a4=a1+a2+a3+1，…a n+2=a n+1+a n=a1+a2+⋯+a n+1=s n+1，故a n+2−S n=1，(2)由(1)得：S2018=a2020−1=x−1，因为a1+a3+a5+⋯+a2019=a1+a1+a2+⋯+a2018=a1+S2018=1+x−1=x，a2+a4+a6+⋯+a2020=a2+a2+a3+a4+⋯+a2019=S2019ⅱa2021−1=y−1，所以a1+a2+a3+⋯+a2020=x+y−1．故答案为：1，x+y−1．(1)由已知a1=1，a2=1，a n=a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，结合递推关系式代入可求a3，a4，a5，可求a n+2−S n，(2)由已知可得S2018=a2020−1=x−1，分组求解a1+a2+a3+⋯+a2020=a1+a3+a5+⋯+a2019= a1+a1+a2+⋯+a2018=a1+S2018，a2+a4+a6+⋯+a2020=a2+a2+a3+a4+⋯+a2019=S2019=a2021−1，从而可求．本题主要考查了数列的递推关系在求解数列的项及和中的应用，还考查了一定的推理能力，属于中档题．16.【答案】①④【解析】解：如图，对于①，连接B1D1，A1C1，则EG//B1D1，又B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，即AC1⊥EG，故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM//ED，因此GC//ED不正确；③∵C1G与B1D1不垂直，∴C1G与B1F不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立；④∵D1D//B1B，EF和DD1所成角为π．4.正确．∴EF和BB1所成角为π4正确命题有①④．故答案为：①④．对于①，连接A1C1，B1D1，可得EG//B1D1，又B1D1⊥平面AA1C1，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于C1G与B1D1不垂直，可得B1F与C1G不垂直，即可判断出正误．.即可判断出正误．④由于D1D//B1B，EF和DD1所角为π4本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、异面直线所成角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵√2cosB=sin(A+C)+1.sin(A+C)=sinB，∴√2cosB=sinB+1，又sin2B+cos2B=1，化为：3sin2B+2sinB−1=0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．(2)C−A=π2，又A+B+C=π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A=cosB.又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a=3√3sinA，c=3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=9 4cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．【解析】(1)由√2cosB=sin(A+C)+1.sin(A+C)=sinB，√2cosB=sinB+1，又sin2B+cos2B=1，化简解出．(2)C−A=π2，又A+B+C=π，可得：2A=π2−B，C为钝角．可得sin2A=cosB.又b=√3，利用正弦定理可得：a=3√3sinA，c=3√3sinC，代入△ABC的面积S=12acsinB，进而得出结论．本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角函数的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，又E为AD的中点，∴BE⊥AD，而BC//AD，则BC⊥BE．由△PAD是边长为2的正三角形，得BE=√3，BC=2，则EC2=22+(√3)2=7．又PE=√3，PC=√10，∴PE2+EC2=PC2，即PE⊥EC．∵PE⊥AD，AD∩EC=E，∴PE⊥平面ABCD，则PE⊥BC，又BC⊥BE，且BE∩PE=E，∴BC⊥平面PBE，而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBE；(2)解：假设存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ， ∵V B−PAE =V P−ABE =13S △ABE ⋅PE =13×12×2×√3×√3=1． V D−PFB =V B−PDF=λ1+λV B−PDC =λ1+λV P−BDC =λ1+λ×13×12×2×2×sin60°×√3=λ1+λ．由1=34×λ1+λ，解得λ=−4<0．∴不存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ．【解析】(1)由底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，得△ABD 为等边三角形，结合E 为AD 的中点，得BE ⊥AD ，则BC ⊥BE ，再求解三角形证明PE ⊥EC ，得到PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥BC ，又BC ⊥BE ，得BC ⊥平面PBE ，由面面垂直的判定可得平面PBC ⊥平面PBE ；(2)假设存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB ，分别求出三棱锥B −PAE 的体积与三棱锥D −PFB 的体积，由已知列等式求得λ<0，说明不存在满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)的点F ，使得V B−PAE =34V D−PFB． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：(1)依题意得，半球的半径为r =5cm ，体积为V 1=12×43×125π=2503πcm 3，大圆柱体积V 2=25π×20=500πcm 2，小圆柱体积V 3=4π×2=8πcm 3，∴盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为2503π+500π+8π+52π−103π=640πcm 3．(2)(i)|c|的实际意义为倒出xcm 3体积水时，暖水瓶内水的降温速率|c|越小，降温速率越小，保温效果越好，|c|越大，降温速率越大，保温效果越差，∵x i =30(i −1)，i =1，2，…，7，对于回归直线L 1：ω=βx +α，∵x −=x 1+x 2+⋯+x 77=90，ω−=ω1+ω2+⋯+ω77=1.1， ∑(7i=1x i −x −)(ωi −ω−)=−81，∑(7i=1x i −x −)=25200，∴β̂=∑(n i=1x i −x −)(ωi −ω−)∑(n i=1x i −x −)2=−8125200≈−0.0032， α̂=ω−−β̂⋅x −=1.1+0.0032×90=1.388． ∴回归直线L 1的方程为ω=−0.0032x +1.388．(ii)联立{ω=−0.0032x +1.388ω=0.0009x +0.7，得x ≈167.8， ∴保温瓶最佳倒出体积约为167.8cm 3．保温瓶盛水体积约为640π−167.8≈640×3.14−167.8=1841.8cm 3，∴保温瓶盛水体积约为1841.8cm 3时保温效果最佳．【解析】(1)半球的半径为r =5cm ，体积为V 1=12×43×125π=2503πcm 3，大圆柱体积V 2=25π×20=500πcm 2，小圆柱体积V 3=4π×2=8πcm 3，由此能求出盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量．(2)(i)|c|的实际意义为倒出xcm 3体积水时，暖水瓶内水的降温速率|c|越小，降温速率越小，保温效果越好，|c|越大，降温速率越大，保温效果越差，由此能求出回归直线L 1的方程．(ii)联立{ω=−0.0032x +1.388ω=0.0009x +0.7，得x ≈167.8，从而保温瓶最佳倒出体积约为167.8cm 3.由此能求出保温瓶盛水体积约为1841.8cm 3时保温效果最佳．本题考查体积、回归直线方程、最佳保温效果的体积的求法，考查空间图形、回归直线方程抽取等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=e x (x −a)，x ∈(−∞,a)时，f′(x)<0；x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0．①当a ≤1时，f(x)在[1,2]上单调递增；②当1<a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，(a,2]上递增；③当a ≥2时，f(x)在[1,2]上单调递减．(2)g(x)=e x (x −a −1)−a e≥0，即g(x)min ≥0， 由(1)知：g(x)在x ∈(−∞,a)上递减，在x ∈(a,+∞)上递增，则g(x)min =g(a)≥0，即e a+1+a ≤0，令ℎ(x)=e x+1+x ，ℎ′(x)=e x+1+1>0，即ℎ(x)=e x+1+x 在R 上单调递增，而ℎ(−1)=e −1+1−1=0，ℎ(a)=e a+1+a ≤0=ℎ(−1)，所以a ≤−1，即a 的最大值为−1．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出g(x)的最小值，从而求出a 的最大值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.【答案】解：(1)由题设知2b =2，∴b =1，又因为e =√32，∴c a =√32， 且a 2=b 2+c 2，联立求解得：a =2，b =1∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1． (2)存在定点Q(4√33,0)，满足直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x +my −√3=0，与椭圆C 的方程联立得，整理得(4+m 2)y 2−2√3my −1=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，定点Q(t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2). 由根与系数的关系可得，y 1+y 2=2√3m 4+m ,y 1y 2=−14+m ，直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称，则直线QA 与直线QB 的斜率互为相反数，所以y 1x 1−t +y 2x 2−t =0即y 1(x 2−t)+y 2(x 1−t)=0，又x 1+my 1−√3=0,x 2+my 2−√3=0所以y 1(√3−my 2−t)+y 2(√3−my 1−t)=0整理得，(√3−t)(y 1+y 2)−2my 1y 2=0，从而可得(√3−t)⋅2√3m 4+m 2−2m ⋅−14+m 2=0即，2m(4−√3t)=0， 所以当t =4√33，即Q(4√33,0)时，直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称，所以，在x 轴上存在点Q(4√33,0)，满足直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称． 【解析】(1)求出a ，利用离心率求出c ，然后求解b ，得到椭圆方程．(2)存在定点Q(4√33,0)，满足直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称，设直线l 的方程为x +my −√3=0， 与椭圆C 的方程联立得，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，定点Q(t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2).由根与系数的关系，结合直线QA 与直线QB 的斜率互为相反数，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 22.【答案】解：(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ(φ为参数)，消去参数得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4．∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理，得x 2+(y −2)2=4．(Ⅱ)曲线C 1：(x −2)2+y 2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A(ρ1,α1)，B(ρ2,α2)，∵曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB|=4√2，∴|AB|=|ρ1−ρ2|=|4sinα−4cosα|=4√2|sin(α−π4)|=4√2，∴sin(α−π4)=±1， ∵0<α<π，∴−π4<α−π4<3π4， ∴α−π4=π2，解得α=3π4．【解析】【试题解析】 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． (Ⅰ)由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．(Ⅱ)曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A(ρ1,α1)，B(ρ2,α2)，从而得到|AB|=|ρ1−ρ2|=|4sinα−4cosα|=4√2|sin(α−π4)|=4√2，进而sin(α−π4)=±1，由此能求出结果．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，不等式为2|x −1x |<3，平方得4x 2−8+4x 2<9，则4x 4−17x 2+4<0，得14<x 2<4，即−2<x <−12或12<x <2，所以，所求不等式的解集(−2,−12)∪(12,2)；(Ⅱ)证明：因为f(x)=|ax−1x |+|x−ax|≥|(ax−1x)−(x−ax)|=|a−1||x+1x |=|a−1|(|x|+1|x|)≥2|a−1|，又g(x)=|x−2a|−|x−2|≤|x−2a−(x−2)|=2|a−1|，所以，不等式f(x)≥g(x)得证．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题(Ⅰ)将a=1代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得f(x)≥2|a−1|，g(x)≤2|a−1|，由此得证．。

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．527．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，539．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+214．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z==，∴复平面内表示复数z=的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行判断即可．解答：解：若•＜0，即||•||cos∠BAC＜0，即﹣1≤cos∠BAC＜0，则＜∠BAC≤π，则∠BAC是钝角不一定成立，反之若∠BAC是钝角，则cos∠BAC＜0，即•=||•||cos∠BAC＜0，则•＜0成立，即p是q的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的定义是解决本题的关键．3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．考点：结构图．专题：算法和程序框图．分析：根据结构图的定义，对四个框图进行判断即可得到结论．解答：解：A中，，是流程图；B中，，是知识结构图；C中，，是直方图，D中，，是韦恩图，故选：B点评：本题考查了结构图的分析与判断问题，是基础题目．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d考点：散点图．专题：概率与统计．分析：根据散点图以及残差平方和的大小进行判断即可．解答：解：由散点图可知D的残差平方和最小，此时图象和回归方程拟合精度高，故选：D点评：本题主要考查散点图和残差平方和的应用，比较基础．[5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．考点：直线的倾斜角；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出．解答：解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，联立（y≥0），解得，即P．故选D．点评：本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键》6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．52考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的定义可得AF2+BF2 =42，△ABF2的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．解答：解：由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=32，即AF2+BF2 ﹣10=32，AF2+BF2 =42．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=42+10=52．故选：D．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =42是解题的关键．7．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：进行简单的演绎推理．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．解答：解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%考点：独立性检验的应用．专题：概率与统计．分析：把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系解答：解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选B．点评：本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）考点：回归分析．专题：常规题型．分析：根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，得到结果．解答：解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，故选D．点评：本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查作图法解题，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目．12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．点评：本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+2考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．解答：解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0得x=0，或x=1，或x=f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴f（x）在[0，1]上的最大值为4（）n+2．故选：D．点评：此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．解答：解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．点评：本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：根的存在性及根的个数判断；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法设f（x）﹣log4x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．解答：解：设f（x）﹣log4x=t，则f（t）=5，即f（x）=log4x+t，当x=t时，f（t）=log4t+t=5，解得t=4，∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，∴f（x）=log4x+4，则f′（x）=，则方程f（x）﹣f′（x）=4等价为log4x+4﹣=4，即log4x﹣=0，即lnx4•log4x﹣=0，则lgx﹣=0，设h（x）=lgx﹣，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（1）=lg1﹣1=﹣1＜0，h（2）=lg2﹣=lg＜0，h（3）=lg3﹣=lg＞0，即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点，即x0所在区间为（2，3），故选：B点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为5．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r．解答：解：曲线ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，直线ρcosθ=﹣1化为x=﹣1．∴圆心（2，0）到直线x=﹣1的距离d=3，∴点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r=3+2=5．故答案为：5．点评：本题把极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．解答：解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故答案为：．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=1．考点：导数的运算；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得，f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），可得f（1）=1，因此f （）=，=．必然有当时，f（x）=．可得，即可得出．解答：解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），∴，≥0，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1﹣0）=1﹣f（0），∴f（1）=1，∴f（）=f（1）=，，∴=．∴当时，f（x）=．∵，∴，∴+=1．故答案为：1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．考点：频率分布直方图．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，得出4.6～4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大频率值；（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261，求出公差d，即可计算所求的结果．解答：解：（1）根据频率分布直方图，得组距为0.1，则4.3～4.4间的频数为300×0.1×0.1=3；4.4～4.5间的频数为300×0.1×0.3=9，所以4.6～4.7间的频率最大，为3×33=81，所以最大频率为0.27；（2）根据后6组的频数成等差数列，且共有300﹣39=261人，设公差为d，则6×81+•d=261，解得d=﹣15；所以视力在4.6～5.0的人数为：4×81+×（﹣15）=234．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是综合性题目．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）所有的结果共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线x+y=7上，列举当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，由此得到所求的概率．（2）用列举法分别求得小王和小李赢的基本事件的个数，求得小王和小李赢的概率相等，从而得到这个规定公平．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4，x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P==．（2）∵若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．而满足x+y≥10的（x，y）共有（4，6）、（6，4）、（5，6）、（6，5）、（6，6）、（5，5）6种情况．满足x+y≤4的（x，y）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种情况．故小王和小李赢的概率相等，都等于=，故这个规定公平．点评：本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论，属于基础题．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若￢p为假命题，p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可解答：解：∵￢p为假命题，p∧q为真命题，∴p为真，q为真，命题p，设方程的两根分别为x1，x2，且x1＜x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1，•x2﹣（x1+x2）+1＜0，由根与系数的关系得：（m﹣2）+（m2﹣1）+1＜0，即﹣2＜m＜1，命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，当x=时，函数y=≤﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，解得m≤﹣，或m≥，综上所述﹣2＜m≤﹣，或≤m＜1．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过=、抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结论；（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论．解答：（1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴e==，即a=c，∵抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，∴a=，∴c=b=1，∴椭圆C的方程为：；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=或x=﹣，Ⅰ．联立与x=，可得：A（，），B（，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x﹣）2+y2=；Ⅱ．联立与x=﹣，可得：A（﹣，），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x+）2+y2=；综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；②当直线l的斜率为0时，∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=或y=﹣，Ⅰ．联立与y=﹣，可得：A（，﹣），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+）2=；Ⅱ．联立与y=，可得：A（，），B（﹣，），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣）2=；综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）；③当直线l的斜率存在且不为0时，联立与y=kx+m，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=，=x1x2+y1y2=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==，即m2=（1+k2），从而=0，显然以AB为直径的圆经过原点；综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．点评：本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）由题意化简g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，求导g′（x）=﹣+px﹣q；从而可得g′（1）=﹣1+p﹣q=0，从而解得；（2）先确定函数g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域，再求导g′（x）=﹣+px﹣q=，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；（3）由题意化简h（x）=，求导h′（x）=，再令m （x）=2lnx﹣，求导m′（x）=；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；从而证明．解答：解：（1）由已知得g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，g′（x）=﹣+px﹣q，又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，∴g′（1）=﹣1+p﹣q=0，故q=p﹣1；（2）由（1）知，g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣+px﹣q=，①当p=0时，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②当p=﹣1时，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数；③当p＜﹣1时，g′（x）=；0＜﹣＜1；故g（x）在（0，﹣），（1，+∞）上是减函数，在（﹣，1）上是增函数；④当﹣1＜p＜0时，g′（x）=；﹣＞1；故g（x）在（0，1），（﹣，+∞）上是减函数，在（1，﹣）上是增函数；（3）证明：由题意得，h（x）=，h′（x）=令m（x）=2lnx﹣，m′（x）=；故m（x）=2lnx﹣在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；而函数h（x）有三个极值点为a，b，c，则m（x）=2lnx﹣=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，且h（x）的一个极值点为2t；∵t∈（0，），m min（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln+1＜0；m（1）=2ln1+2t﹣1=2t﹣1＜0；又∵a＜b＜c，∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；∴0＜2a＜b＜1＜c．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．。

高二数学下学期期末联考试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}1,2,3,41,3,5M N ==，，P M N =I ，则P 的子集共有（ ） A. 3个 B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B 【解析】 【分析】先求出{}1,3P M N =⋂=，由此能求出P 的子集的个数． 【详解】解：Q 集合{}{}1,2,3,41,3,5M N ==，，{}1,3P M N ∴=⋂=P ∴的子集共有224=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的子集个数的求法，是基础题．2.已知复数z 满足(1)4z i i +=，则复数z 的实部为（ ） A. 2 B. -2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简根据实部定义得答案． 【详解】解：(1)4z i i +=Q44(1)44221(1)(1)2i i i i z i i i i -+∴====++-+ 则z 的实部为2． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若0.2232,log 3,log a b c ππ===，则（ ）A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数，对数函数的图像及运算性质可以得解. 【详解】解: 根据指数对数的图像可知 0.22321,0log 31,log 0a b c ππ=><=<=<所以a b c >> 故选：C ．【点睛】本题考查利用指数，对数函数的图像及运算性质比较大小，属于基础题.4.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程6.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 3a 则双曲线的离心率为（ ） 2 3C. 25【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求得双曲线的离心率． 【详解】解：双曲线的一个焦点为(c,0)F ，一条渐近线方程为0bx ay -=，所以焦点到渐近线的方程为223bca b a=+，整理得223b a =，即223b a = 所以221132b e a=+=+= 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于基础题．7.已知(0,)θπ∈且满足cos2cos θθ=，则tan θ=（ ）A. 3-B. 33-C. 3D.33【答案】A 【解析】 【分析】根据cos2θ的二倍角公式将原式进行整理可求cos θ值，再根据θ的范围即可求出tan θ. 【详解】解：cos2cos θθ=Q22cos 1cos θθ∴-=22cos cos 10θθ∴--=即()()2cos 1cos 10θθ+-=cos 1θ∴=或12-(0,)Q θπ∈23πθ∴=故tan θ=3- 故选：A ．【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题.8.函数()2()2(xf x x tx e t =-为常数且0t >）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的零点以及零点个数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用排除法进行求解． 【详解】解：由()0f x =得220x tx -=，得0x =或2tx =，即函数()f x 有两个零点，排除A ，C ，函数的导数22()(4)(2)[2(4)]xxxf x x t e x tx e x t x t e '=-+-=+--，方程22(4)0x t x t +--=中()2248160t t t =-+=+>V 故()0f x '=有两个不等根，即()f x 有两个极值点，排除D ， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点，极值点个数和单调性，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B 【解析】 【分析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案． 【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=332， 不满足条件S ≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S ≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056， 满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

2020年长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷(文科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−7x+6<0,x∈Z}，N=(1,5)，则M∩N=()A. (1,5)B. {2,3，4}C. (1,6)D. {5}2.已知a为实数，若复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，则a+i20201+i的值为()A. 1B. 0C. 1+iD. 1−i3.已知向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，若a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则实数x的值为()A. 0B. 1C. 2D. 44.从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A. B. C. D.5.在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=−513，则sin B等于()A. 813B. 913C. 1013D. 11136.已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AB=2，PD=2√2，E为PD的中点，则异面直线EC与PB所成角的正弦值为A. √26B. √36C. √33D. √237.函数的图象大致为()A.B.C.D.8. 阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A. 18B. 20C. 21D. 409. 将函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为( )A. 7B. 6C. 5D. 410. 已知O 为原点，双曲线x 2a 2−y 2=1上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √52 D. 2√3311. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π12. 已知函数f(x)={lnx, x >0−x 2−ax, x ⩽0，若方程f (x )=x +a 有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A. {a|−1⩽a <1或a >1}B. {a|a =−1或0≤a <1或a >1}C. {a ∥a =−1或a ≥0}D. {a|a ⩽−1或a ≥0}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)= ______ ．14. 化简：2sin(π−α)+sin 2αcos 2α2=_______．15. 已知P 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，则1|PF 1|+1|PF 2|的最小值为______ ．16. 平面四边形ABCD 中，已知对角线BD =16，CD =9，∠BDC =90°，sinA =45，则对角线AC的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设数列{a n }满足a 1=2,a n+1−a n =3⋅22n−1(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n =na n ，求数列的前n 项和S n18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABC 是菱形，AB =2，∠BAD =60°，PA =3，点E 是PC 上一点． (1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)若E 是PC 中點，求三棱椎P −BDE 的体积．,a)(a>0)在C上，|AF|=319.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(p4(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)若直线AF与C交于另一点B，求|AF|的值．|BF|20.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；(2)若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；(3)请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(其中α为参数)，曲线C2：(x−1)2+ y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．22.设函数f(x)=|x−2|−|x+3|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若f(x)的最大值为M，对正数x，y，z满足x+2y+z=M，求1x+y +1y+z的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查描述法、区间法表示集合，以及一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：M={x|1<x<6,x∈Z}={2,3，4，5}，N=(1,5)，∴M∩N={2,3，4}．故选：B．2.答案：D解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数z是纯虚数求出a，进行求解即可．解：复数z=(a2−1)+(a+1)i为纯虚数，可得a=1，a+i2020 1+i =1+11+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．故选：D．3.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗+b⃗ =(1,1+x)；∵a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=−1+1+x=0，解得x=0．故选：A．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，属于基础题．4.答案：C本题考查了古典概型.计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9×8=72种不同情况， 且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有5×4+4×5=40种， 故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P =4072=59． 故选C ．5.答案：A解析：本题考查了正弦定理和同角的三角函数的应用，属于基础题． 根据正弦定理和同角的三角函数即可求出． 解：由于A 是△ABC 的内角，故0<A <π， ∵cos A =−513， ∴sinA =√1−cos 2A =1213，∵b =2，a =3， 由正弦定理可得sinB =bsinA a =23×1213=813，故选：A ．6.答案：C解析：本题考查利用空间坐标系，求异面直线所成的角，属于基础题目．解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则C (2,0,0),B (2,2,0),P(0,0,2√2),E(0,0,√2)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2√2)，，所以异面直线EC 和PB 所成角的正弦值为．7.答案：C解析：本题考查函数图像的识别，利用排除法即可得到结果，属于基础题．解：当−1e<x<0时，，所以，排除A，B，又因为x→+∞时，f(x)→0，排除D．故选C．8.答案：B解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+⋯+2n+1+2+⋯+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9<15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+ 2+3=20≥15．∴输出S=20，故选：B．9.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．求出平移后函数解析式，可得−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(ωx−ωπ6+π3)的图象关于y轴对称，∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，则ω的最小值为5，故选：C．解析：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay−m−an=0与OA方程：x−ay=0交点是A(m+an2,m+an2a)，|OA|=|m+an2|√1+1a2，P点到OA的距离是：d=√1+a2∵|OA|⋅d=1，∴|m+an2|√1+1a2⋅2=1，∵m2a2−n2=1，∴a=2，∴c=√5，∴e=√52．故选：C．求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力，确定球的球心与半径是解题的关键，属于较难题．取CB的中点E，连接AE，DE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解：取CB的中点E，连接AE，DE，∵AB=AC=2√3，则AE⊥BC，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCA，AC，AB⊂平面BCA，则AD⊥AC，AD⊥AB，又AB=AC，则DC=DB，∴DE⊥BC，∵△DBC的面积是6，BC=6，∴DE=2，易求得AE=√AB2−(BC2)2=√3，∴AD=√DE2−AE2=1，取AD中点H，∴AH=12AD=12．设底面ABC的外接圆的圆心为G，设外接圆半径为r，则r2=32+(√3−r)2，可得外接圆半径r=2√3．作OG//AD，交AD的中垂线HO于O，则O为外接球的球心，半径为R=OA．可得：OA2=AH2+AG2，即R2=494．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=49π．故选：D．12.答案：B解析：先利用导数的几何意义求出当直线y =x +a 与曲线y =lnx 相切时a =1，当x ≤0时，f(x)=−x 2−ax ，令f(x)=x +a ，得(x +1)(x +a)=0，再对a 的值分情况讨论，分段分析方程f(x)=x +a 的实根的个数，从而得到a 的取值范围．本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的零点与方程的根的关系，是中档题．解：当直线y =x +a 与曲线y =lnx 相切时，设切点为(t,lnt )，因为(lnx )′=1x ，所以切线的斜率k =1t =1，所以t =1，切点为(1,0)，代入y =x +a 得，a =−1．又x ≤0时，f (x )=−x 2−ax ，令f (x )=x +a ，得x +a =−x 2−ax ，即(x +1)(x +a )=0，所以①当a =−1时，lnx =x +a (x >0)有1个实根，此时(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有1个实根，满足条件；②当a <−1时，lnx =x +a (x >0)有2个实根，此时(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有1个实根，不满足条件；③当a >−1时，lnx =x +a (x >0)无实根，此时要使(x +1)(x +a )=0(x ≤0)有2个实根，应有−a ≤0且−a ≠−1，即a ≥0且a ≠1．综上所述，实数a 的取值范围是 {a ∥a =−1或0≤a <1或a >1}．故选：B ． 13.答案：54解析：解：log 25∈(2,3)，log 25−2<1．函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)=f(log 25−1)=f(log 25−2)=f(log 254)=2log 254=54． 故答案为：54．判断log 25的范围，利用分段函数求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则的应用，考查计算能力．14.答案：4sinα解析：本题考查三角函数的二倍角公式应用，属基础题； 解：2sin(π−α)+sin2αcos 2α2=2sinα+2sinα·cosα12(1+cosα)=2sinα(1+cosα)12(1+cosα)=4sinα，故答案为4sinα．15.答案：2a解析：解：由题意，|PF 1|+|PF 2|=2a ，则∵|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|∴|PF 1||PF 2|≤a 2(当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立)∴1|PF 1|+1|PF 2|≥2√1|PF 1|⋅1|PF 2|≥2a (当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立) ∴1|PF 1|+1|PF 2|的最小值为2a ， 故答案为：2a ．利用椭圆的定义及基本不等式，可得|PF 1||PF 2|≤a 2(当且仅当|PF 1|=|PF 2|=a 时，等号成立)，再利用基本不等式，即可求1|PF 1|+1|PF 2|的最小值． 本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：27解析：解：根据题意，建立如图的坐标系，则D(0,0)，C(9,0)，B(0,16)，BD 中点为G ，则G(0,8)，设ABD 三点都在圆E 上，其半径为R ，在Rt △ADB 中，由正弦定理可得a sinA =1645=2R =20，即R =10，即EB =10，BG =8，则EG =6，则E 的坐标为(−6,8)，故点A在以点E(−6,8)为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC=10+EC=27；故答案为：27．根据题意，建立坐标系，求出D、C、B的坐标，设ABD三点都在圆E上，其半径为R，由正弦定理计算可得R=10，进而分析可得E的坐标，由于sin A为定值，则点A在以点E(−6,8)为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，计算即可得答案．本题考查正弦定理的应用，注意A为动点，需要先分析A所在的轨迹．考查分析问题解决问题的能力．17.答案：解：(1)由已知，当n≥1时，a n+1=[(a n+1−a n)+(a n−a n−1)+⋯+(a2−a1)]+a1=3(22n−1+22n−3+⋯+2)+2=22(n+1)−1，所以当n≥2时，a n=22n−1，而a1=2，满足a n=22n−1，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n−1．(2)由b n=na n=n⋅22n−1知S n=1×2+2×23+3×25+⋯+n⋅22n−1①，22⋅S n=1×23+2×25+3×27+⋯+n⋅22n+1②，①−②得(1−22)⋅S n=2+23+25+⋯+22n−1−n⋅22n+1=2−22n−1·221−22−n⋅22n+1=22n+1−23−n·22n+1，即S n=19[(3n−1)22n+1+2].解析：本题考查数列的递推关系，以及数列求和方法，属于中档题．(1)利用累加求和方法、等比数列的求和公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出．18.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊆平面PAC∴BD⊥平面PAC，又BD⊆平面BDE，∴平面BDE ⊥平面PAC ；(2)解：∵E 是PC 的中点，∴V P−BDE =V C−BDE =V E−BCD =12V P−BCD =12(13×12×2×2×sin60°×3)=√32(或V P−BDE =V E−PBD =12V C−PBD =12V P−BCD )．解析：(1)证明PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，推出BD ⊥平面PAC ，然后证明平面BDE ⊥平面PAC ，(2)E 是PC 的中点．利用等体积法V P−BDE =V C−BDE =V E−BCD =12V P−BCD ，求解即可．本题考查几何体轴中，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.答案：解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义，得|AF|=p 4+p 2=3，2分解得p =4，3分所以C 的方程为y 2=8x.4分(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,a)，因为A(1,a)(a >0)在C 上，所以a 2=8，解得a =2√2或a =−2√2(舍去)，5分故直线AF 的方程为y =−2√2(x −2)，6分由{y =−2√2(x −2)y 2=8x消去y ，得x 2−5x +4=0，7分解得x 1=1，x 2=4，8分由抛物线的定义，得|BF|=4+2=6，9分所以|AF||BF|=12.10分解法二：(Ⅰ)由题意，可得{a 2=2p (p 4−p 2)2+a 2=92分 解得{p =4a =2√23分 所以C 的方程为y 2=8x.4分(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,2√2)，故直线AF 的方程为y =−2√2(x −2)，6分由{y =−2√2(x −2)y 2=8x消去y ，得x 2−5x +4=0，7分 由韦达定理，得x 1x 2=4，又x 1=1，所以x 2=4，8分故|AB|=√(−2√2)2+1|x1−x2|=9，从而|BF|=|AB|−|AF|=6，9分所以|AF||BF|=12.10分．解析：解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义，解得p，然后求解抛物线方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)，A(1,a)(a>0)在C上，求出a，求出直线AF的方程为y=−2√2(x−2)，由{y=−2√2(x−2)y2=8x求出B的坐标，然后求解|AF||BF|=12．解法二：(Ⅰ)由题意，可得{a2=2p(p4−p2)2+a2=9，求解可得抛物线方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)，得A(1,2√2)，故直线AF的方程为y=−2√2(x−2)，{y=−2√2(x−2)y2=8x，由韦达定理，求出B的坐标，然后求解距离的比即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800=576人．(2)样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50=3+9=11人．(3)由图可知众数落在第三组[15,16)，是15+162=15.5，∴x=1100(13.5×6+14.5×16+15.5×38+16.5×32+17.5×8)=15.70．解析：(1)学校1800名学生中，由频率分布直方图能求出成绩属于第四组的人数．(2)由频率分布直方图能求出样本在这次百米测试中成绩良好的人数．(3)根据频率分布直方图，能求出样本数据的中位数、平均数．本题考查频数、众数、平均数的求法，考查频率分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.答案：解：(1)由{x=√3cosαy=sinα得x23+y2=1，所以曲线C1的普通方程为x23+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入(x−1)2+y2=1，得(ρcosθ−1)2+(ρsinθ)2=1，化简得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；(2)依题意可设A(ρ1，π6)，B(ρ2，π6)，曲线C1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin2θ=3，将θ=π6(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3，解得ρ1=√2．将θ=π6(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程得ρ2=√3，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−√2．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)根据交点的情况建立方程组，最后求出结果．22.答案：解：(1)当x≤−3时，原不等式可转化为：2−x+x+3=5<3不成立；当−3<x<2时，原不等式可转化为：2−x−x−3<3，解得x>−2，所以−2<x<2;当x≥2时，原不等式可转化为：x−2−x−3<3，恒成立，所以x≥2．故原不等式的解集为｛x|x>−2｝．(2)易得f(x)的最大值为5，由x+2y+z=M得，(x+y)+(y+z)=5,所以1x+y +1y+z=15(1x+y+1y+z)[(x+y)+(y+z)]=15(2+y+zx+y+x+yy+z)≥15(2+2√(y+z)(x+y)·(x+y)(y+z))=45.当且仅当x+y=y+z 取得等号．故所求最小值为45．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题．(1)对x分类讨论，去绝对值，解得x的取值范围．(2)求出f(x)的最大值为5，运用“1‘’的代换以及基本不等式，即可得到答案．。