知识拓展 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0),也可以 表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0; (2)平行于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方程:Ax+By+C0=0(C≠C0); (3)垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方程:Bx-Ay+C0=0; (4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0( A12+ B12≠0)和l2:A2x+B2y+C2=0( A22+ B22≠ 0)交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包 括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时,注意检验l2的方程是否满足题意,以防丢解).
考点二 圆的方程
圆的方程
名称
方程
标准 方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
一般 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
- D,- E
22
半径 r
1 D2 E2-4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实数 r可以取负值.
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,若D2+E2-4F=0,方程表示点
-
D 2
,-
E 2
;若D2+E2-4
F<0,方程不表示任何图形. (3)圆的一般方程的形式特点: (i)x2和y2的系数为1; (ii)没有含xy的二次项; (iii)A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要 不充分条件. (4)已知P(x1,y1),Q(x2,y2),则以PQ为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
答案 D
方法总结 1.求倾斜角的取值范围
(1)求出斜率k=tan α的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90°);
(2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角α的取值范围.
2.求斜率的常用方法
(1)当倾斜角不是90°时,斜率k=tan α;
(2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为k= y2 -y1 (x1≠x2);
知能拓展
考法一 求直线的倾斜角和斜率
例1
已知点(1,-2)和
3 3
,0
在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l的倾斜
角的取值范围是 ( )
A.
π 4
,
π 3
C.
2π 3
,
5π 6
B.
π 3
,
2π 3
D.
0,
π 3
∪
3π 4
,π
解题导引 解法一:对含一个参数的直线方程,要善于发现该直线过定点,
x2 -x1 .
3.直线方程的几种ຫໍສະໝຸດ 式名称方程说明
适用条件
斜截式 y=kx+b
k是斜率, b是纵截距
与x轴不 垂直的直线
点斜式 两点式
y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点,
y-y1 x-x1
y2 -y1 =x2 -x1 (x1≠x2,y1≠y2)
k是斜率
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点 与两坐标轴均不垂直 的直线
x2 -x1
(3)方程为Ax+By+C=0(B≠0)的直线的斜率为k=- A ;
B
(4)依据方向向量求斜率,以a=(m,n)(m≠0)为方向向量的直线的斜率k= n ;
m
(5)利用导数的几何意义求切线的斜率.
考法二 求直线的方程
例2 过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线 段恰好被M平分,求此直线方程. 解题导引 确定一条直线的要素是一个点和倾斜程度,或是两个不同的点, 因此在已知直线过M(0,1)的条件下,再求出直线的斜率(先讨论斜率是否存 在)或另一个点的坐标即可求出直线方程,无论设斜率k,还是设线段的一端 点,建立方程的关键就是线段被M点平分.
2.直线的斜率
(1)定义:当直线l的倾斜角α≠ π 时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线
2
的斜率,斜率通常用小写字母k表示,则k=tan α.
(2)范围:全体实数R. (3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2 =③
y2 -y1
3
(tan
θ≠0).解得0<θ<π3
或3π
4
<θ<π.故选D.
解法二:∵(1,-2),
3 3
,0
在直线l:ax-y-1=0的两侧,∴(a+2-1)
3 3
a-0-1
<0,
解得-1<a< 3 (a≠0),
即倾斜角θ满足-1<tan θ<
3
,且tan
θ≠0,解得0<θ<
π 3
或3π
4
<θ<π,故选D.
高考数学
第九章 平面解析几何
§9.1 直线方程与圆的方程
考点一 直线方程
考点清单
1.直线的倾斜角
(1)对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按① 逆时针 方向旋
转到和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.
(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是② [0,π) .
然后数形结合,在坐标系中转动直线使点(1,-2)和
3 3
,0
在直线l的两侧,求
出直线l的斜率的取值范围,从而可求倾斜角的取值范围.
解法二:在坐标系中,位于直线Ax+By+C=0同侧的点(x0,y0),代入坐标后,Ax0+
By0+C符号相同,而位于不同侧的点,代入坐标后符号相反,因此代入两点坐
标,列不等关系式,求出直线l的斜率的取值范围,即可得倾斜角的取值范围.
解析
解法一:设直线l的倾斜角为θ,且θ∈[0,π),点A(1,-2),B
3 3
,0
.直线l:ax
-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1),则kPA=
-1-(-2)
0-1 =-1,kPB=
-1-0 0- 3
=
3.
3
3
∵点(1,-2)和
3
,0 在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,
∴kPA<a<kPB(a≠0),∴-1<tan θ<
截距式 一般式
xy
a+ b=1
a是直线的横截距,b是直线的纵 不过原点且与两坐标轴均不
截距
垂直的直线
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
当B=0时,-
C A
是直线的横截距
所有直线
当A≠0,B≠0时,-A
B
,- C
A
C
,-B
分别
为直线的斜率、横截距、纵截
距
注意 (1)当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线 的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0. (2)特殊直线的方程,过P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程为x=x1;过P1(x1,y1)且 垂直于y轴的直线方程为④ y=y1 .
