初中数学相关定理及证明
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高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分1.正弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin Cc B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。
由此，得 sin sin ab=，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sinc C=.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得 =∠sin sin a bAABC，同理可得 =∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin absin c=.（3）在ABC Rt ∆中，,sin ,sin cb Bc a A ==∴c BbA a ==sin sin ， .1sin ,90=︒=C C .sin sin sin Cc B b A a ==∴由(1)(2)（3）可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.2.外接圆证明正弦定理在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′，abDABC ABCba∴sin C =sin B ′=Rc B C 2sin sin ='=. R Cc2sin =.同理,可得R Bb R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===.3.向量法证明正弦定理'cos(90)sin OC AC A b A =-='sin sin OC BC B a B ==sin sin a B b A = sin sin ab AB =同理 sin sin cbCB =故有sin sin ab=sin c=.2.余弦定理证明内容：在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 证明：如图在ABC ∆中，))((222a --===cos 22A +∙-=+∙-=A bc c b cos 222-+=同理可证：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 3.两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q（cos β,sin β） 则：)cos()βαβα-=-=∙OQ OPβαβαsin sin cos cos +=∙OQ OP ∴)cos(βα-βαβαsin sin cos cos += 在单位圆中设P （cos α,sin α）,Q （cos β,-sin β）则：)cos()βαβα+=+=∙βαβαsin sin cos cos -=∙OQ OP ∴)cos(βα+βαβαsin sin cos cos -= （或）[]cos()cos ()αβαβ+=-- 4.两角和（差）的正弦公式证明 二、两角和（差）的正弦公式证明。
内容：βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin cos cos sin )sin(-=-+=+ 证明：βαπβαπβαπβαπβαsin )2sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(-+-=--=+-=+βαβαsin cos cos sin +=βαπβαπβαπβαπβαsin )2sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(---=+-=--=-βαβαsin cos cos sin -=5．两角和（差）的正切公式证明内容：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-证明：=-+=-+=++=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(βαβαtan tan 1tan tan -+=+-=+-=--=-βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(βαβαtan tan 1tan tan +--y )6．半角公式证明 内容：αααααααααααsin 2cos 1cos 1sin 2cos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin-=+=+-=+±=-±= 证明：由二倍角公式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1cos 22cos sin 212cos 22αααα 用α代替α2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=12cos 2cos 2sin 21cos 22αααα，得2cos 12cos ,2cos 12sin αααα+±=-±= =∙∙==2cos 22cos 2cos22sin2cos2sin 2tanαααααααααcos 1sin 2+，=∙∙==2sin22cos 2sin22sin2cos 2sin2tan αααααααααsin 2cos 1- 7.诱导公式公式： 如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的园）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ´(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式。
公式：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+） ααπtan tan(=+）它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或 圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）αα-sin sin(=-）180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图4-5-1）． 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x, 所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α． 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。
相应诱导公式公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα k ∈z cos （2kπ+α）=cosα k ∈z tan （2kπ+α）=tanα k ∈z公式二：sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosα tan （π+α）=tanα 公式三：sin （－α）=－sinα公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （π/2+α）=cosα cos （π/2+α）=－sinα tan （π/2+α）=－cotα sin （π/2－α）=cosα cos （π/2－α）=sinα tan （π/2－α）=cotα二.数列部分1．等差数列前n 项和公式证明内容：{}n a 是等差数列，公差为d ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 证明：由题意， ))1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：))1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②①+②得：2n S个n n a n a n a +++++=111.......所以，2)(1n n a a n S +=③， 把d n a a n )1(1-+=代入③中，得2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= 2．等比数列前n 项和公式证明内容：{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n 证明：112111.......-++++=n n q a q a q a a S ① n n q a q a q a q a qS 131211.......++++=②①—②得：n n q a a S q 11)1(-=-，当1≠q 时，n S q q a q q a a n n --=--=1)1(1111③ 把11-=n n q a a 代入③中，得n S qqa a n --=11 当1=q 时。
很明显n S 1na =所以，n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n三.立体几何部分1.三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
