实变函数测试题
一，填空题
1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
, 1,2n =L , 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 .
3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0
x y x x ⎧
≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的
集合，则E '= ，
E ︒
= . 4. 若集合n
E R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:
, .
6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .
7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .
8. 设n
E R ⊂, 0n
x R ∈,若 ,则称0
x 是E 的聚点.
9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有
, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于
()f x .
10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j
n f x ,
使得 .
二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.
3. 点集11,2,,E n ⎧
⎫
=⎨⎬⎩
⎭
L L
的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.
5. 若n
E R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题
1. 证明:()()()A B C A B A C --=-U I
2. 设M 是3
R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.
3. 设n
E R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i =L .根据题意,
若有
()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.
4. 设P 是Cantor 集, ()[]3
2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ⎧+ ∈⎪
=⎨ ∈-⎪⎩
.
求1
(L)
()f x dx ⎰
.
5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3
x , 而在0P 的
余集中长为13n 的构成区间上取值为1
6
n , ()1,2n =L , 求
1
()f x dx ⎰
.
6. 求极限: 1
3
230lim(R)sin 1n nx nxdx n x
→∞
+⎰
.
实变函数试题解答
一 填空题 1. []0,2.
2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a π
πϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦
3. {}
1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫
=≠≤⎨⎬⎩⎭
U ; ∅.
4. 闭集.
5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉
6. b a -.
7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对0
00,(,)U x δδ∀> 有{}()
0E x -=∅.
9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞
⎡-≥⎤=⎣⎦ 10. ()()n f x f x → a.e.于E .
二 判断题
1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但
1mA mB ==.
2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.
3. F . 由于{}0E E '=⊄.
4. F . 例如, 在1
R 中, 1
1,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
, 3,4n =L 是一系列的闭集, 但是
3
(0,1)n
n F
∞
==U 不是闭集.
5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,
使得E I ⊂, 则**
,m E m I I ≤=<+∞ 于*
m E =+∞ .
三, 计算证明题. 1. 证明如下:
()()()
()()
()()()S S
S S S A B C A B C
A
B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-I ?U I
2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定,
x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有
理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.
3. 令1
i i B B ∞
==U , 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故
()()**0i m B E m B E ≤-≤-,
令i →∞, 得到()*
0m B E -=, 故B E -可测. 从而
()E B B E =--可测.
4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则
()1
320
221
1
30
(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()13
3
P
G
G
P
G
f x dx x dx x dx
f x dx
x dx x dx
f x dx
x
=++ =0+ =+ = =
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G L ,
其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为1
3
n 的构成区
间(共有1
2
n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题
中的00mP =, 可得
