11121
21
n n x n n
x n n
--++-+-；
，互换A 的第一、第二列得矩阵B ，且； ,n r ξ-是对应的齐次线性方程组,n r ξ-线性无关；1-，试证明的特征值。
标准答案及评分标准用纸
课程名称:线性代数 （ A 卷）
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、2
3
-
； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2 二、选择题（每小题3分，共15分）
1、C
2、A
3、B
4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）
1、 1210001
2
1000
(1)212100012
1
12
1n n n x x n x n x
n n D x x
n n x
x n n
n n
-+-++⎡⎤=
=+
⎢⎥⎣⎦
+-+-- ………………（4分）
(1)12
(1)(1)
2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦ ………………………………………………………………（8分） 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）
又BX A =，即(1,2)AE X A =，所以1
(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分）
3、 记1
200A A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭，则11
11200A A A ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ……………………………………………………………（2分） 又*
11211,10A A ⎛⎫==
⎪-⎝⎭，故1
12110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
…………………………………………………………（4分）
*
21
211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故1
22131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
………………………………………………………
（6分） 所以1
21
010*******
031A -⎛⎫ ⎪
-
⎪
= ⎪
- ⎪
-⎝⎭
。 …………………………………………………………………（8分）
4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：
1211241012213631A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～
1
2110
0320
0000
00-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭～11
2032
01300000000⎛⎫
-
⎪
⎪
⎪-
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
…………………（4分）
()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分） 且212αα=，4131
233
ααα=--。………………………………………………………………………………（8分）
或取13,αα为原向量组的一个最大无关组；且212αα=，3131
32
2
ααα=--。
取23,αα为原向量组的一个最大无关组；且1212αα=，42312
63ααα=--。
取24,αα为原向量组的一个最大无关组；且1212αα=，32413
42
ααα=--。
四（14分）、解 先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形
111132130012654312a B b ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭～1111012630126012625a a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭～101520
1263000030
22a a b a a ---⎛⎫
⎪ ⎪
⎪-
⎪-⎝⎭
…………………（4分） 可见当1a =且3b =时，()()2R B R A ==，方程组有解，否则方程组无解； ……………………（7分） 在方程组组有解时，同解方程组为
134********
x x x x x x =+-⎧⎨
=--+⎩，取340x x ==，得原方程组一特解()*
2,3,0,0T η=-； ……………………（9分） 取
()()()34,1,0,0,1T T T x x =，得原方程组导出组的基础解系为()11,2,1,0T
ξ=-，
()25,6,0,1T
ξ=-；…………………………………………………………………………………………（12分）
所以原方程组的同解为*
1122c c ηξξη=++，12,c c 为任意常数。 …………………………………（14分）
注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。
五（14分）、矩阵A 的特征多项式222082(6)(2)0
6A E a λ
λλλλλ
--=
-=--+-，
故A 的特征值为126λλ==，32λ=-。 …………………………………………………………………（4分） 由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应于126λλ==应有两个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组
(6)0A E x -=的基础解系中应含两个解，所以(6)1R A E -=，…………………………………………………（6分）
