数学课件导数2-1

2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0

2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数

f x h f x
x hn xn
lim
h0
h
h0
h
lim Cn1 xn1h Cn2 xn2h2 hn
h0
h
lim h0
nxn1
Cn2 xn2h hn1
nxn1
即: ( xn ) nxn1
一般地,当 n 为任意实数 时,上面的公式也成立.
(x ) lim (x h) x
此时对区间I内的任一点 x ,都对应着 f 的一个确定的
导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为
原来函数 f 的导函数,记为 f (x) , y(x) 或 df (x) 或 dy
即:
f x lim y lim f x h f x
dx
dx
x0 x h0
h
二者关系:
f x0
f x x x0
h0
h
h0
h
lim
h0
1 x
log a
1 h
h x
1 1 x ln a
x
即:
log a
x
1 x ln a
特别地: ln x 1
x
例 5. (ax ) ax ln a (a 0, a 1),
(ex ) ex.例6.设f
x
sin x ln(1
x)
x0 ,
求 f 0.
x0
解:
f(0)
根据导数的定义求导数,可以归结为三步: “算增量,求比值,取极限”
例1. 求函数 f x c (c 为常数)的导数.
解: f x lim f (x h) f (x) lim c c 0
h0
h
h0 h
即: (c) 0

导数的计算入门测填空题练习1.（2012秋∙上城区校级月考）若函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，则实数a 的值为___．【答案】【解析】题干解析:∵f（x）=ax+sin x∴f′（x）=a+cos x，假设函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直则（a+cos m）（a+cos n）=-1∴a2+（cos m+cos n）a+（cos m cos n+1）=0（*）因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以判别式△=（cos m+cos n）2-4（cos m cos n+1）≥0所以cos2m+cos2n-2cos m cos n=（cos m-cos n）2≥4解得cos m-cos n≥2或cos m-cos n≤-2由于|cos x|≤1，所以有cos m=1，cos n=-1或cos m=-1，cos n=1，且△=0所以（*）变为：a2=0所以a=0练习2.（2012∙南通模拟）已知函数y=e x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1，其中k∈N*，a1=0，则a1+a3+a5=____。

【答案】-6【解析】题干解析:∵y=e x，∴y′=e x，∴y=e x在点（a k，e ak）处的切线方程是：y-e ak=e ak（x-a k），整理，得e ak x-y-a k e ak+e ak=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a k+1，∴a k+1=a k-1，∴{a n}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．解答题练习1.（2019春∙宛城区校级月考）已知函数f（x）=ae x-x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x0为函数的极小值点，证明：．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）函数定义域为R，因为f（x）=ae x-x+1∴f′（x）=ae x-1，当a≤0时，f′（x）<0恒成立，f（x）在R上单调递减；当a>0时，令f′（x）=0得x=-lna．当x<-lna时，f′（x）<0，当x>-lna时，f′（x）>0；综上：当a≤0时，单调递减区间为（-∞，+∞），无增区间；当a>0时，增区间为（-lna，+∞），减区间为（-∞，-lna）；（2）由（1）知当a>0时，f（x）在x=-lna时取得极小值，f（x）的极小值为f（-lna）=2+lna．设函数，当0<x<1时g′（x）<0；f （x）单调递减；当x>1时g′（x）>0；f（x）单调递增；故g（x）min=g（1）=0即g（x）≥g（1）=0所以．练习2.（2012∙威远县校级模拟）二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直（1）求f（x）的解析式（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f（x）=f（-2-x）∴图象的对称轴导函数图象与直线垂直∴2a=2从而解得：a=1b=2∴a=1b=2c=2∴f（x）=x2+2x+2（x∈R）…（6）（2）=+2在（0，2）上是减函数当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．g（x）=+2≥2+2该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减∴∴m≤-2 (12)练习3.（2011春∙嘉兴校级期中）已知曲线上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．【答案】见解析【解析】题干解析:====-2知识集结知识精讲导数的四则运算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0 B．2014 C．2015 D．8解：f′（x）＝a cos x+3bx2，∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．2．导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．例题精讲导数的四则运算例1.（2019春∙宁德期中）已知f1（x）=cos x，f2（x）=f（x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，f n（x）=f′n-1（x），则f2019（x）等于（）A．sin x B．-sin x C．cos x D．-cos x【答案】D【解析】题干解析:根据题意，f1（x）=cos x，f2（x）=f1′（x）=-sin x，f3（x）=f2′（x）=-cos x，f4（x）=f3′（x）=sin x，f5（x）=f4′（x）=cos x，…，则f n+4（x）=f n（x），故f2019（x）=f3（x）=-cos x；例2.（2019春∙湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．B．C．（tan x）′=cos2xD．（x2cos x）′=-2x sin x【解析】题干解析:对于A选项，（log2x）′=，故A正确，对于B选项，（x）′=1-，故B错误，对于C选项，（tan x）′=（）′=，故C错误，对于D选项，（x2cos x）′=2x cos x-x2sin x，故D错误，例3.（2019春∙襄阳期末）已知f（x）=+2xf′（2019）-2019lnx，则f'（2019）=（）A．2018 B．-2018 C．2019 D．-2019【解析】题干解析:函数的导数f′（x）=x+2f′（2019）-，令x=2019得f′（2019）=2019+2f′（2019）-，即f′（2019）=-2019+1=-2018，简单的复合函数的导数知识讲解1、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）题型：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲简单的复合函数的导数例1.（2019春∙祁阳县校级期末）已知函数f（x）=eπx∙sin2πx，求f'（x）及．【答案】详见解析【解析】题干解析:f'（x）=πeπx∙sin2πx+2πeπx∙cos2πx=πeπx（sin2πx+2cos2πx），则。