解一元二次方程的基本思想方法

一元二次方程的解法探究目标链接：1、 掌握用直接开平方法、因式分解法、配方法、求根法等方法解一元二次方程。

2、 通过对一元二次方程的解法，体会数学中有简单到复杂，再由复杂到简单的转化思想。

知识要点：知识点1：直接开方法形式：形如（x+h ）2=k 2（k 是常数）的方程知识点2：配方法配方法是一元二次方程的重要方法，熟练地掌握完全平方式是配方法解题的基础。

对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方。

若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后配方比较简便。

知识点3：一元二次方程的球根公式形如ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- b 2-4ac ＜0时，原方程无解知识点4：用公式法解一元二次方程的一般步骤（1） 化为一般式（2）确定a 、b 、c 的值；（3）求出b 2-4ac 的值（4）代入公式求解。

知识点5：一元二次方程的根的判别式。

代数式b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。

知识点6：因式分解法这种方法的依据是，若a-b=0，则a=0或b=0其形式就是把已知方程通过因式分解把它们化成A-B=0的形式。

例如（x-2）（x+1）=0可用此法解之，其步骤：（1）将方程右边化为零（2）将左边分解因式（3）令每个因式为零（4）解每一个一元一次方程，它的解就是原方程的解。

典型例题：例1 用直接开平方法解下列方程（1）x 2-9=0 (2)4(x-2)2-36=0 (3)21(x+3)2=4例2 用配方法解下列方程（1）x 2-4x-3=0 (2)x 2+3x-1=0例3 用公式法解下列方程（1）2x 2+7x=4 (2) 21x 2+ 21x=81 (3)x 2+3=22x例4 不解方程，判别下列方程根的情况。

（1）x 2+9=6x (2)x 2+3x=-1 (3)3x 2+3=26x例5 已知关于x 的方程kx 2-4kx+k-5=0有两个相等实数根，求k 的值并解这个方程。

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】 解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）A ．（x+3）2=1B ．（x ﹣3）2=1C ．（x+3）2=19D ．（x ﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．若223(2)1x mx x ++=--，那么m ＝________．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】方程移项得：x 2﹣6x=10，配方得：x 2﹣6x+9=19，即（x ﹣3）2=19，故选D ．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】22343x mx x x ++=-+，∴ 4m =-．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

一元二次方程的解法（一）直接开平方法例：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2总结：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解。

练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．a +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．2．如果a、b为实数，满足34三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?总结：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）2x2-2x-12=0例2．用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）练习：一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或93．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0 C．（x-13）2=89D．（x-13）2=109二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=23x2．求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数（三）公式法一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。