1.6函数模块测试题

苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性（习题+解析）②从f （x ＋T ）＝f （x ）来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如f （2x ＋T ）＝f （2x ）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2)2T f x T f x f x ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦，则2T 是f （x ）的周期。

③对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。

④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。

例如常数函数()(f x C C =为常数），其周期T 是任意实数，没有最小正数。

⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f （x ）的周期，那么kT （k ∈Z ，k ≠0）也一定是函数的周期。

【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若x 是定义域D 内的一个值，则且,(Z k kT x ∈+)0≠k 也一定属于定义域D ，因此周期函数的定义域D 一定是无限集，而且定义域D 一定无上界且无下界。

（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D 内任意一个x ，是否有()()f x f x T =+恒成立。

如果成立，则是周期函数。

否则，不是周期函数。

二、sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的周期一般地，函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝ωπ2。

【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。

（1）定义法；（2）公式法，对y ＝A sin （ωx ＋φ）或y ＝A cos （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），T ＝||2ωπ； （3）图象法。

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。

1.6 三角函数模型简单应用1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41- D ．62．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πD ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=xx x x cos cos 22-+B ．y=xx x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosxD ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)6．在满足xx4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()3s i n 4fx a x b x =++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|， 那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，（1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．1.6 三角函数模型简单应用1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π34 10．,2k k Z πθπ=+∈11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω12．定义域：(kπ-4π,kπ+4π),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4π)上递减13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----=2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2()122a g a a =---3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－ (2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得 13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =13(1)3f -= ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=33 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=．又由图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。

习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取。

专题1.6三角函数模型的简单应用重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数模型的建立程序】收集数据画散点图选择函数模型检验求函数模型用函数模型解决实际问题【知识点2 解答三角函数应用题的一般步骤】解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．（1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．（4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【考点1 三角函数模型在航海中的应用】【例1】（2019秋•潮阳区期末）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t03691215182124y10139.97101310.1710经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝A sinωt+b（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y＝f（t）的解析式；（2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．【答案】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴＝10，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k＝0时，1≤t≤5；当k＝1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．【点睛】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．【变式1-1】（2019•怀化二模）受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐．在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作：y＝f（t），下表是该港口在某季每天水深的数据：t（h）03691215182124y（m）10.013.19.97.010.113.010.07.010.0经过长期观察y＝f（x）的曲线可以近似地看做函数y＝A sinωt+k的图象．（Ⅰ）根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？【分析】（Ⅰ）函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k ＝10，从而可得函数解析式；（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，由此可得结论．【答案】解：（Ⅰ）∵函数y＝f（t）可以近似地看做y＝A sinωt+k，∴由数据知它的周期T＝12，振幅A＝3，k＝10…（3分）∵，∴．故…（6分）（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于6.5+5＝11.5m，而在港口内，永远是安全的，由得…（9分）∴，∴12k+1≤t≤12k+5（k∈N），在同一天内，取k＝0.1，则1≤t≤5或13≤t≤17…（11分）故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时．…（12分）【点睛】本题考查三角函数模型的建立，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【变式1-2】（2019秋•涵江区校级月考）某港口的水深y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下表是该港口某一天从0：00时至24：00时记录的时间t与水深y的关系：t（h）0：003：006：009：0012：0015：00y（m）9.912.910.07.110.013.0（Ⅰ）经长时间的观察，水深y与t的关系可以用正弦型函数拟合，求出拟合函数的表达式；（Ⅱ）如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m．那么该船在什么时间段能够进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需时间）；（Ⅲ）若某船吃水深度为8m，安全间隙（船底与海底的距离）为2.5．该船在3：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5m的速度减少，该船在什么时间必须停止卸货，驶向较安全的水域？【分析】（Ⅰ）根据数据，，可得A＝3，h＝10，由T＝15﹣3＝12，可求ω＝将点（3，13）代入可得ϕ＝0，从而可求函数的表达式；（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin t+10≥11.5，从而可求t∈[1，5]或t∈[13，17]；（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y＝10.5﹣0.5（x﹣3）（x≥3），若使船舶安全，则10.5﹣0.5（x﹣3）≥3sin x+10，从而可得3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．【答案】解：（Ⅰ）根据数据，，∴A＝3，h＝10，T＝15﹣3＝12，∴ω＝，∴y＝3sin（x+ϕ）+10将点（3，13）代入可得ϕ＝0∴函数的表达式为y＝3sin t+10（0≤t≤24）（Ⅱ）由题意，水深y≥4.5+7，即3sin t+10≥11.5，∴sin t≥0.5，∴t∈[1，5]或t∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．（Ⅲ）设在时刻x船舶安全水深为y，则y＝10.5﹣0.5（x﹣3）（x≥3），这时水深y＝3sin x+10，若使船舶安全，则10.5﹣0.5（x﹣3）≥3sin x+10，∴3≤x≤7，即该船在7：00必须停止卸货，驶向较安全的水域．【点睛】本题以表格数据为载体，考查三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．【变式1-3】（2019秋•武汉校级期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．Ⅰ）如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？【分析】（1）设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．（2）Ⅰ）据题意列出不等式，利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出t的范围．Ⅱ）设f（t）＝3sin t+10，t∈[2，10]，g（t）＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）对它们进行比较从而得到答案．【答案】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图．根据图象，可考虑用函数y＝A sin（ωt+φ）+h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出A＝3，h＝10，T＝12，φ＝0，由T＝＝12，得ω＝，所以这个港口水深与时间的关系可用y＝3sin t+10近似描述…（4分）（2）Ⅰ）由题意，y≥11.5就可以进出港，令sin t＝，如图，在区间[0，12]内，函数y＝3sin t+10与直线y＝11.5有两个交点，由t＝或，得t A＝1，t B＝5，由周期性得t C＝13，t D＝17，由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时…（8分）Ⅱ）设在时刻t货船航行的安全水深为y，那么y＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）．设f（t）＝3sin t+10，t∈[2，10]，g（t）＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）由f（6）＝10＞g（6）＝9.5且f（7）＝8.5＜g（7）＝9知，为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货…（13分）【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式．【考点2 三角函数模型在日常生活中的应用】【例2】（2019春•武邑县校级期中）一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？【分析】（1）先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω，当t＝0时，h＝0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为3，可得三角函数方程，进而可求点P第一次到达最高点的时间；【答案】解：（1）设水轮上圆心O正右侧的点为A，y轴与水面交点为B，∵OB＝1，OP0＝2，∴∠BOP0＝，故∠AOP0＝，设h＝2sin（ωt﹣）+1，则T＝＝3，∴ω＝，∴h＝2sin（t﹣）+1（t≥0）．（2）令sin（t﹣）＝1可得t﹣＝+2kπ，k∈N，故t＝1+3k，∴当k＝0时，t＝1，故点P第一次到达最高点大约要1秒．【点睛】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得．【变式2-1】（2018秋•常州期末）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩夭轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）＝A sin（ωt+φ）+B，其中A＞0，ω＞0，﹣π≤φ＜π，求f（t）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【分析】（1）由题意求出A、B和φ的值，结合周期求出ω的值，写出函数f（x）的解析式，（2）f（t）＝﹣40cos t+50＞70求出t的取值范围，再由t的区间端点值的差求得一圈中可以得到P 距离地面超过70m．【答案】解：（1）由题意可得A＝40，B＝50，φ＝﹣，∵T＝＝10，∴ω＝，∴f（t）＝40sin（t﹣）+50，即f（t）＝﹣40cos t+50．（2）由f（t）＝﹣40cos t+50＞70，得cos t＜﹣，∴2kπ+＜t＜2kπ+，k∈Z，解得10k+＜t＜10k+，∴（10k+）﹣（10k+）＝，故天轮转动的一圈内，有min点P距离地面超过70m．【点睛】本题考查了y＝A sin（ωx+φ）型函数解析式的求法与三角不等式的解法问题，是综合题．【变式2-2】（2018春•新罗区校级期中）已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24单位：小时）的函数，记作y＝f（t）．如表是某日各时的浪高数据：t（小时）03691215182124y（米） 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5经长期观测，y＝f（t）的曲线可近似地看成是函数y＝A cosωt+b的图象，根据以上数据，求在一日（持续24小时）内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．【分析】求出f（t）的解析式，根据余弦函数的性质求出t的范围．【答案】解：由表格数据可知f（t）的周期为12，即＝12，∴ω＝．∵y＝A cos t+b，可知f（t）的最大值为1.5，最小值为0.5，∴，∴A＝0.5，b＝1，∴f（t）＝0.5cos+1，令f（t）＞1.25可得cos＞0.5，∴﹣+2kπ＜＜+2kπ，解得：﹣2+12k＜t＜2+12k，k∈Z．又0≤t≤24，∴0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24．【点睛】本题考查了余弦函数的性质，属于中档题．【变式2-3】（2018秋•南通期末）图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面高为32m（即OM＝32m）．巨轮半径为30m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM＝2m），巨轮转动一周需15min．某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'．（1）试建立点M'距地面的高度h（m）关于转动时间t（min）的函数关系，并写出定义域；（2）求转动过程中点M'超过地面45m的总时长．【分析】（1）以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，以Ox为始边，按逆时针方向转动至终边OP′，写出点P′的纵坐标，计算M′点距地面的高度；（2）利用点M′超过地面45m时得出不等式，求出时间t的取值范围即可．【答案】解：（1）如图所示，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t（min）转动至终边OP′所形成的角为t﹣，则点P′的纵坐标为30sin（t﹣），所以M′点距地面的高度为h＝30sin（t﹣）+32﹣2＝30（1﹣cos t），t∈[0，45]；（2）当点M′超过地面45m时，h＝30（1﹣cos t）＞45，即cos t＜﹣，所以+2kπ＜t＜+2kπ，k∈Z，即5+15k＜t＜10+15k，k∈Z；因为t∈[0，45]，所以t∈（5，10）∪（20，25）∪（35，40），所以总时长为15分钟，即点M′超过地面45m的总时长为15分钟．【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．【考点3 三角函数模型在气象学中的应用】【例3】（2019•江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与曲线拟合（0≤x＜24，单位为小时，y表示气温，单位为摄氏度，|ϕ|＜π，A＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？【分析】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式，解之即可．【答案】解：（1）b＝（4+12）÷2＝8，A＝12﹣8＝4，，，所以这条曲线的函数表达式为：．（2）令y≥10，则，∴sin（，0≤x＜24．∴，∴，∴9≤x≤17，∴17﹣9＝8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【点睛】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数．【变式3-1】（2019秋•荆门期末）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y＝A sin （ωx+φ）+b的图象.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃．（Ⅰ）请推理荆门地区该时段的温度函数y＝A sin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24））的表达式；（Ⅱ）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？【分析】（I）根据函数最大、最小值的和与差，算出A＝8且b＝6，由函数的周期为24算出ω＝，再根据当x＝2时函数有最小值，算出即可得到所求温度函数的表达式；（II）算出函数当x＝9时的函数值f（9），利用特殊三角函数值算出f（9）＜10，得到此时满足开空调的条件，所以应该开空调．【答案】解：（I）∵最高温度为14℃，最低温度为零下2℃．∴A＝＝8，b＝＝6，∵函数的周期T＝24，∴ω＝＝由，可得（5分）∴函数表达式为（6分）；（II）当x＝9时，（8分）∵，∴，（11分）温度低于10℃，满足开空调的条件，所以应该开空调．（12分）【点睛】本题给出实际应用问题，求函数表达式并确定某个时刻能否开空调．着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数在实际生活中的应用等知识，属于中档题．【变式3-2】（2019秋•宁波期末）2010年的元旦，宁波从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin（ωx+φ）+b（A，ω＞0，|φ|≤π）．从天气台得知：宁波在2010的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．（Ⅰ）求函数y＝A sin（ωx+φ）+b的表达式；（Ⅱ）若元旦当地，M市的气温变化曲线也近似地满足函数y＝A1sin（ω1x+φ1）+b1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比宁波迟了四个小时．（ⅰ）求早上七时，宁波与M市的两地温差；（ⅱ）若同一时刻两地的温差不差过2度，我们称之为温度相近，求2010年元旦当日，宁波与M市温度相近的时长．【分析】（Ⅰ）由已知可得，b＝5，A＝4，T＝24，从而可确定ω，又最低气温只出现在凌晨2时，可求φ，从而可求函数表达式；（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数，从而问题得解．【答案】解：（Ⅰ）由已知可得，b＝5，A＝4，T＝24，∴ω＝，∵最低气温只出现在凌晨2时，∴2ω+φ＝，∵|φ|≤π），∴φ＝，则所求函数为（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数，y﹣y2＝4sin（x﹣π）+5﹣4sin（x﹣π）﹣5＝4sin（x﹣π）（ⅰ）当x＝7，（ⅱ）由，解得2≤x≤6或14≤x≤18，则10年后元旦，宁波与M市温度相近的时长为8小时．【点睛】本题主要考查三角函数模型的运用，关键是挖掘问题的本质，确定三角函数的模型，进而表达出函数模型，解决实际问题【变式3-3】某地一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）＝24﹣8sin（ωt+），t∈[0，24），ω∈（0，），且早上8时的温度为24℃．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，为了节省开支，规定在环境温度超过28℃时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？【分析】（1）根据题意求出ω的值，确定函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质求得出现最高温时t的值；（2）令f（t）＝28，求出t的值即可得出结论．【答案】解：（1）∵f（t）＝24﹣8sin（ωt+），且早上8时的温度为24℃，即f（8）＝24，∴sin（8ω+）＝0，∴8ω+＝kπ，k∈Z，解得ω＝（k﹣）π，k∈Z；又ω∈（0，），∴k＝1时，ω＝；∴函数f（t）＝24﹣8sin（t+），t∈（0，24]；又sin（t+）＝﹣1时，f（t）取得最大值，且t+∈（，]，∴令t+＝，解得t＝14，即这一天在14时（也是下午2时）出现最高温度，最高温度是32℃；（2）依题意：令24﹣8sin（t+）＝28，可得sin（t+）＝﹣，∵（t+）∈（，），∴t+＝或t+＝，解得t＝10或t＝18，即中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭．【点睛】本题考查了三角函数在实际应用中的问题，解题时应建立数学模型，利用三角函数解决实际问题，是基础题目．【考点4 三角函数模型在物理学中的应用】【例4】单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O的位移S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为：S ＝A sin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求：（1）S和t的函数关系式；（2）第2.5秒时单摆的位移．【分析】（1）利用已知条件求出函数的周期，振幅，利用函数的图象上的特殊点求出初相，即可得到S 和t的函数关系式．（2）代入t＝2.5，求出S即可．【答案】解：（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：25s．，解得：ω＝，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A＝6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．说明函数的图象经过（0，3），∴3＝6sin（×0+φ），（0＜φ＜），∴φ＝．S和t的函数关系式：S＝6sin（t+）．（2）第2.5秒时单摆的位移S＝6sin（×2.5+）＝6×＝3．第2.5秒时单摆的位移为：3．【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．【变式4-1】若弹簧挂着的小球做简谐运动，时间t（s）与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度h（cm）之间的函数关系式是h＝2sin（ωt+），t∈[0，+∞），其图象如图所示．（1）求ω（ω＞0）的值；（2）小球开始运动（即t＝0）时的位置在哪里？（3）小球运动的最高点、最低点与平衡位置的距离分别是多少？【分析】（1）根据函数h（t）的图象与性质，求出周期T与ω的值；（2）计算t＝0时h（0）的值即可；（3）求出小球运动到最高点时h1与最低点时h2的值，再计算绝对值即可．【答案】解：（1）根据函数h＝2sin（ωt+），t∈[0，+∞）的图象知，＝π﹣＝π，∴周期T＝2π，∴＝2π，又ω＞0，∴ω＝1；（2）当t＝0时，h（0）＝2sin＝，∴小球开始运动（即t＝0）时，位置在点（0，）处；（3）小球运动的最高点时h1＝2，最低点时h2＝﹣2，∴小区在最高点与最低点处与平衡位置的距离分别是|h1|＝2和|h2|＝2．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．【变式4-2】（2019秋•江宁区校级期末）已知交流电的电流强度I（安培）与时间t（秒）满足函数关系式I＝A sin（ωt+φ），其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π．（1）如右图所示的是一个周期内的函数图象，试写出I＝A sin（ωt+φ）的解析式．（2）如果在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A和最小值﹣A，那么正整数ω的最小值是多少？【分析】（1）结合三角函数的图象求出A，周期，过的平衡点，利用三角函数的周期公式求出ω，将平衡点的坐标代入整体角求出φ．（2）将问题转化为三角函数的周期范围，利用周期公式求出ω的最小值．【答案】解：（1）由图知函数的最大值为300所以A＝300由图知函数的最小正周期为T＝2（）＝，又T＝∴ω＝150π当t＝时，I＝0所以解得所以；（2）据题意知又∴ω≥300πωmin＝943．【点睛】本题考查知三角函数的图象求解析式：其中A由图象的最值点求得；ω由周期确定；φ由特殊点确定．【变式4-3】如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系是s ＝A sin（ωt+φ），0＜φ＜，根据图象，求：（1）函数解析式；（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？（3）单摆来回摆动一次需要多长时间？【分析】（1）求出解析式中的参数，即可求出函数解析式；（2）A＝6，可得单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离；（3）T＝1，可得单摆来回摆动一次需要的时间．【答案】解：（1）由题意，﹣＝T，∴T＝1，∴＝1，∴ω＝2π，∵t＝，s最大，∴2π•+φ＝，∴φ＝，∵t＝0，s＝3，∴A＝6，∴s＝6sin（2πt+）；（2）A＝6，单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6cm；（3）T＝1，单摆来回摆动一次需要1s．【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．。