概述
组合数学在生活中处处可见。计算单循环、双循环赛制下比赛的场数、构造幻方、一笔画、计算扑克牌游戏中满堂红牌的手数，概率等。
扎根于数学游戏和娱乐中，计算机技术的发展促进了其发展。
解决两类问题：
排列的存在性问题（这是根本性问题。排列集合中的某些元素使其满足某些条件，其排列的存在性并非总是显而易见的，若不存在，那么什么条件下会存在）；
排列的计数和分类问题。（若存在，则会有多种方法实现，需要计数，并将其分类）。
一、棋盘的完美覆盖问题
二、切割立方体
三、幻方：
3阶幻方（15） 4阶幻方（34）
8 1 6 16 3 2 13
3 5 7 5 10 11 8
4 9 2 9 6 7 12
4 15 14 1
四、四色问题
五、36军官问题
来自6个军团的6个军衔的军官，排成方阵，要求每行每列都有各种军衔的军官1名，并且每行每列的军官都是来自不同的军团。
六、最短路径问题
组合优化的问题。（路由选择）
七、Nim取子游戏
鸽笼原理（抽屉原则）
一、简单形式
：把n+1个物体放入n个盒子中，有一个盒子中至少有2个物体。
证明方法：反证法。
鸽笼原理与反证法的关系，类似于不完全归纳法与数学归纳法的关系。
例1 13个人中至少有两个人的生日在同一个月。
例2 有n对夫妇，至少选择多少个人，才能保证至少有一对夫妇被选出？
变化形式：
把n个物体放入n个盒子中，每一个盒子中至少有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
把n个物体放入n个盒子中，每一个盒子中至多有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
例3 整数列a1，a2，〃〃〃〃〃〃，am中，一定有若干个连续的数的和能被m整除。
构造ijjiab1，构造所有被m除所得余数的鸽笼，共有m个
若两个bi被m除的余数相同，则其差能被m整除，现在笼子多一个，不用考虑余数为0的情况（此时已经满足要求）
例4 大师11周训练，每天至少下一盘，每周不超过12盘，证明：有连续的若干天，刚好下了21盘棋。
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2019年上海高考数学·第一轮复习
（第26讲 排列组合）
[基础篇]
一、知识梳理
1、乘法原理与排列
乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第一步有1m种不同的方法，第二步有2m种不同的方法，……，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有123nNmmmm种不同的方法。
乘法原理的核心：分步
在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。
排列的概念：从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
【说明】
如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。
排列数：从n个不同元素中取出m()mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示。
排列数公式：!(1)(2)(1)()!mnnPnnnnmnm；规定：0!1
2、加法原理与组合
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法。
【说明】计数原理乘法原理（分步）且加法原理（分类）或
组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用Cmn表示.
组合数公式Cmn=!)!(!mmnn. 组合数的两个性质：（1）Cmn=Cmnn； （2）Cmn1=Cmn+C1mn.
排列与组合的区别与联系：都是从n个不同元素中取出m个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。
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解题技巧：
（1）对附有限制条件的排列组合，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置。
组合数学知识点归纳总结
一、集合和排列
集合和排列是组合数学中最基本的概念。集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合
组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：
(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n
其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =
n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论
图论是研究图和网络结构的数学理论。在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。 2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。这个问题与组合数学有着密切的联系，有一些著名的着色定理，如四色定理、五色定理等。
高中数学排列组合知识点总结
排列组合是高中数学中的一个重要概念，涉及到数学中的选择、排列和组合等问题。在解决实际问题中，排列组合常常能够提供有效的理论框架和计算方法。本文将对高中数学中的排列组合知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、基本概念
在开始讨论排列组合知识点之前，先来明确一些基本概念。
1.排列（Permutation）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
2.组合（Combination）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
二、排列计算
1.排列定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列。记作A(n,m)或P(n,m)。
2.排列计算公式：
A(n,m) = n! / (n-m)!
其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数相乘。
三、组合计算 1.组合定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合。记作C(n,m)。
2.组合计算公式：
C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)
四、问题求解
1.排列问题求解步骤：
a.明确问题的条件和要求；
b.根据问题的条件和要求确定排列的范围和规模；
c.根据排列计算公式进行计算；
d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
2.组合问题求解步骤：
a.明确问题的条件和要求；
b.根据问题的条件和要求确定组合的范围和规模；
c.根据组合计算公式进行计算；
d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
五、常见问题类型
1.选择问题：从给定的选项中选择若干个进行排列或组合。
2.分组问题：将一组元素进行分组排列或组合。 3.座位问题：将若干个人或物品按不同的排列规则安排座位。
4.商业问题：涉及到商品的排列和组合。
