线段或角的计数问题整合提升密码

专训一：线段或角的计数问题名师点金： 1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏．2．解决计数类问题时有时要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第1题)如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为左端点的线段有2条，以A2为左端点的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有_____________________________________________________________________ ___条，以A3为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)；(2)在一条直线上取五个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________条，以A3为左端点的线段有________条，以A4为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______(条)；(3)在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________条线段．(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级这6个班的辩论赛共要进行多少场？(5)乘火车从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．(第2题)列表如下：直线条数最多交点个数平面最多分成部分数1 0 22 1 43 3 7………(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为________；(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n(n≥2)时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？关于角的个数的计数问题3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，已知∠BAC，如果过角的顶点A：(1)如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)专训二：分类思想在线段和角的计算中的应用名师点金：解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．)分类思想在线段的计算中的应用1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝12AC，DN＝14DB，求线段MN的长．2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上(不与A，B重合)，且PA＋PB＝6，求点P对应的数；(2)若点M在数轴上(不与A，B重合)，且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O 的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？(第2题)分类思想在角的计算中的应用3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB内部，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB外部，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)(第4题)专训三：几种常见的热门考点名师点金：本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步知识，第二部分是平面图形的认识，这些都是几何学习的基础．本章主要考查立体图形的识别，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图是中考中常见考点，通常以选择，填空形式呈现．立体图形的识别1．在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体(指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形)的是()A．①②③④⑤B．②和③C．④D．④和⑤2．如图所示的立体图形中，是柱体的是________．(填序号)(第2题)图形的展开与折叠3．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是()(第3题)4．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体(第4题)的容积是(包装材料厚度不计)()A．40×40×70B．70×70×80C．80×80×80D．40×70×80直线、射线、线段5．下列关于作图的语句中正确的是()A．画直线AB＝10厘米B．画射线OB＝10厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交6．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为()(第6题)A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶27．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为________________________．8．乘火车从A站出发，沿途经过4个车站方可到达B站，那么需要安排________种不同的车票．9．如图，已知AB和CD的公共部分BD＝13AB＝14CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求AB，CD的长．(第9题)角及角的有关计算10．有下列说法：(1)两条射线所组成的图形叫做角；(2)一条射线旋转而成的图形叫做角；(3)两边成一条直线的角是平角；(4)平角是一条直线．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．411．4点10分，时针与分针的夹角为()A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对12．如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．(第12题)13．若一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角的度数为________．14．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE 平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．(第14题)数学思想方法的应用a．数形结合思想15．往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．(1)共有多少种不同的票价(任何两站票价均不相同)?(2)要准备多少种车票？b．方程思想16．互为补角的两个角的度数之比是5∶4，这两个角的度数分别是多少．17．如图，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．(第17题)c．分类讨论思想18．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能画4条，则这四个点的位置关系是()A．任意三点不在同一条直线上B．四点在同一条直线上C．最多三点在同一条直线上D．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外19．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，若OD平分∠AOC，则∠BOD等于________．d．转化思想20．如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置．(第20题)答案专训一1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6 (2)4；3；2；1；4；3；2；1；10(3)n （n －1）2(4)七年级进行辨论赛的有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级这6个班的辩论赛共要进行6×（6－1）2＝15(场)． (5)从A 站出发，中间经过5个车站后方可到达B 站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段7×（7－1）2＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56(3)当直线条数为n(n ≥2)时，最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2(个)交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2＋1部分． 3．解：(1)显然这条射线会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)再在图①的角的内部增加一条射线，即为图②，显然这条射线会和图①中的三条射线再组成三个角，所以图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)在角的内部作三条射线，即在图②中再增加一条射线，同样这条射线会和图②中的四条射线再组成四个角，所以图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)综上可知，如果在一个角的内部作n 条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝（n ＋1）（n ＋2）2(个)角． 专训二1．解：因为AB ＝12，AC ∶CD ∶DB ＝1∶2∶3，所以AC ＝16AB ＝12×16＝2，CD ＝13AB ＝12×13＝4，DB ＝12AB ＝12×12＝6.因为AM ＝12AC ，DN ＝14DB ，所以MC ＝12AC ＝2×12＝1，DN ＝14DB ＝6×14＝32.①当点N 在点D 右侧时，如图①，MN ＝MC ＋CD ＋DN ＝1＋4＋32＝132；(第1题)②当点N 在点D 左侧时，如图②，MN ＝MC ＋CD －DN ＝1＋4－32＝72.综上所述，线段MN 的长为132或72.点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点N 的位置不确定，故要考虑分类讨论．2．解：(1)①当点P 在A ，B 之间时，不合题意，舍去；②当点P 在A 点右边时，点P 对应的数为2；③当点P 在B 点左边时，点P 对应的数为－4.(2)①当点M 在线段AB 上时，点M 对应的数为0；②当点M 在线段BA 的延长线上时，点M 对应的数为3；③当点M 在线段AB 的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x 秒时，点B 运动到点B′，点A 运动到点A′，点O 运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x ，OO′＝x ，AA′＝5x ，所以点B′对应的数为2x －3，点O′对应的数为x ，点A′对应的数为5x ＋1， 所以O′A′＝5x ＋1－x ＝4x ＋1，O ′B′＝x －(2x －3)＝3－x ，所以 4x ＋1＝3－x ，解得x ＝0.4.即0.4秒后，点O 恰为线段AB 的中点．3．解：(1)设∠BOC ＝x ，则∠AOC ＝2x ，由题意得90°－2x ＋30°＝x ，解得x ＝40°.所以∠BOC ＝40°.因为∠AOC ＝2∠BOC ，所以∠AOB ＝∠BOC ＝40°.(2)情况一：当OD 在∠AOC 内部时，如图①，由(1)易得∠AOC ＝80°.因为∠AOC ＝4∠AOD ，所以∠AOD ＝20°，所以∠COD ＝∠AOC －∠AOD ＝80°－20°＝60°. (第3题)情况二：当OD 在∠AOC 外部时，如图②，由(1)易得∠AOC ＝80°.因为∠AOC ＝4∠AOD ，所以∠AOD ＝20°，所以∠COD ＝∠AOD ＋∠AOC ＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD 的度数为60°或100°.4．解：(1)因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC.所以∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12∠AOB.(2)情况一：如图①，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)，∠NOB ＝12∠BOC.所以∠MON ＝∠MOB ＋∠NOB ＝∠MOC －∠BOC ＋12∠BOC ＝∠MOC －12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)－12∠BOC ＝12∠AOB.(第4题)情况二：如图②，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠AOC)＝12∠AOB ＋12∠AOC.所以∠MON ＝∠AOM ＋∠AON ＝12∠AOC ＋(∠NOC －∠AOC)＝∠NOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＋12∠AOC －12∠AOC ＝12∠AOB.情况三：如图③，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC. 所以∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12(360°－∠AOB)＝180°－12∠AOB.综上所述，∠MON 与∠AOB 的数量关系是∠MON ＝12∠AOB 或∠MON ＝180°－12∠AOB.专训三1．D 2.②③ 3.C 4.D 5.D 6.A7．两点确定一条直线 8.309．解：因为BD ＝13AB ＝14CD ，所以CD ＝43AB.因为F 是CD 的中点，所以DF ＝12CD ＝12×43AB ＝23AB.因为E 是AB 的中点，所以EB ＝12AB ，所以ED ＝EB －DB ＝12AB －13AB ＝16AB.所以EF ＝ED ＋DF ＝16AB ＋23AB ＝56AB ＝10 cm ，所以AB ＝12 cm ，所以CD ＝43AB ＝16 cm .10．A 11.B 12.135 13.40°14．解：设∠BOC ＝2x°，则∠AOE ＝5x°，∠AOD ＝8x°.因为O 是直线AB 上一点，所以∠AOB ＝180°，所以∠COE ＝(180－7x)°.因为OE 平分∠AOC ，所以∠AOE ＝∠COE ，即5x ＝180－7x ，解得x ＝15，所以∠AOD ＝8×15°＝120°，所以∠BOD ＝180°－∠AOD ＝180°－120°＝60°.15．解：(1)根据题意画出示意图，如图所示，线段有AC ，AD ，AE ，AB ，CD ，CE ，CB ，DE ，DB ，EB ，共有10条，因此有10种不同的票价．(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以要准备20种车票．(第15题)16．解：设这两个角的度数分别为5x°、4x°.由题意得5x ＋4x ＝180，9x ＝ 180，x ＝ 20.5x ＝100，4x ＝80.答：这两个角的度数分别为100°和80°.17．解：设AC ＝2x ，则CD ＝3x ，DE ＝4x ，EB ＝5x ，由M ，N 分别是AC ，EB 的中点，得MC ＝x ，EN ＝2.5x.由题意，得MN ＝MC ＋CD ＋DE ＋EN＝x ＋3x ＋4x ＋2.5x ＝21，即10.5x ＝21，所以x ＝2，则PQ ＝12CD ＋12DE ＝3.5x＝7.点拨：解答此题的关键是设出未知数，利用线段长度的比及中点建立方程，求出未知数的值，进而求解．体现了方程思想在解题中的应用．18．D19.60°或20°20．解：画出四棱柱的侧面展开图，点M，N的位置如图(2)所示，则M，N的位置在四棱柱的位置如图(1)所示．(第20题)。

媛媛妈的奥数课第1讲：怎样数线段和角的个数？
从今天开始，媛媛妈将从浅入深地给同学们分享有趣的奥数知识，让大家不再惧怕数学，让数学学习变得好玩！
今天咱们就从最简单的线段和角开始。

先来认识一下这些最基本的图形：
下面，咱们就来开始学习数数了：
先学习数点和线段：数线段的时候先从一个端点开始，把包含这个端点的线段数完再从下一个端点开始数。

接下来是数角的个数，这次从一条边开始，把包含这条边的角都数完，再从下一条边开始数。

接下来是今天的小练习，同学们都来试试看吧！把你的答案留言发给我！。

线段与角的计算及解题方法求线段长度的几种常用方法：1.利用几何的直观性，搜寻所求量与量的关系例 1.如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，假设CD＝10cm，求AB。

图 1解析：观察图形可知， DC＝AC－ AD，依照的比率关系， AC、AD均可用所求量 AB表示，这样经过分 DC，即可求出 AB。

解：因为点 C分线段 AB为 5： 7，点 D 分线段 AB为 5： 11所以又因为 CD＝10cm，所以 AB＝ 96cm2.利用线段中点性质，进行线段长度变换例 2. 如图 2，线段 AB＝80cm，M为 AB的中点， P 在 MB上， N 为 PB的中点，且 NB＝14cm，求 PA的长。

图 2解析：从图形能够看出，线段 AP等于线段 AM与 MP的和，也等于线段 AB与 PB的差，所以，欲求线段 PA的长，只要能求出线段 AM与 MP的长也许求出线段 PB的长即可。

解：因为 N是 PB的中点， NB＝14所以 PB＝2NB＝2×14＝ 28又因为 AP＝AB－ PB，AB＝80所以 AP＝80－28＝52〔 cm〕说明：在几何计算中，要结合图形中线段和所求线段的地址关系求解，要做到步步有依照。

3.依照图形及条件，利用解方程的方法求解例 3.如图3，一条直线上按次有A、 B、 C、 D四点，且 C为 AD的中点，，求 BC是 AB的多少倍？图 3解析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又 C 为 AD的中点，即，观察图形可知，，可获取 BC、AB、AD又一个方程，从而可用 AD分别表示 AB、BC。

解：因为 C为 AD的中点，所以因为，即又由 <1>、<2>可得：即 BC＝ 3AB例 4. 如图 4，C、D、E 将线段 AB分成 2：3：4：5 四局部， M、P、Q、N 分别是 AC、CD、DE、EB的中点，且 MN＝21，求 PQ的长。

巧数线段、角和三角形
贾玉英
【期刊名称】《数学小灵通：小学1-2年级版》
【年(卷),期】2005(000)001
【摘要】我们经常会遇到求线段的条数、角的个数、三角形的个数等类似的问题，如果你实际数一数就会发现，既繁琐又容易出错。

其实，这类题是有一定规律可循的。

我们可以用标号码的方法来数图形的个数。

比如，要数下图中共有多少条线段，可以先把各部分标上号码。

【总页数】3页(P10-11,13)
【作者】贾玉英
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.构造三角形巧求角度数 [J], 于志洪
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3.等边三角形中证明线段相等巧作辅助线 [J], 安燕霞
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5.巧数线段、角和三角形 [J], 贾玉英;
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