高等数学函数连续性教学ppt

一般地：
x ≠ 0
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
定义1.3. 1 设函数y=f (x)在点x0的某邻域 内有定义，如果当自变量x在x0处的增量x趋于 零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也趋 于零，即
lim
x0
y
lim
x0
f
( x0
x)
f
( x0 )
0
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数 y=f(x)的连续点．
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例4
讨论函数
f (x)
1 cos x, sin x,
x x
2, 2
在 x = /2 处的连续性．
解 f (x) 在x = /2 及其近旁有定义且 f (/2) =1.
lim f (x) lim (1 cos x) 1 f ( ),
x
lim
xb
f (x)
f (b) ,
那么称函数y=f (x)在闭区间[a, b]上连续,或者说
y=f (x)是闭区间[a, b]上连续函数.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
若函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连 续,则称 y = f (x) 为连续函数.
连续函数的图象是一条连续不间断的曲线．
函数值不存在，极限存在；
它们的关系有
函数值,极限值都存在,但不相等；
函数值等于极限值.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
一、 函数的连续性
（一）函数y=f (x) 在点 x0 处的连续性
1.增量
增量：u u2 u1
终值与初值的差
自变量在x0处的增量：x x x0
函数y在点x0处相应的增量：y f ( x0 x) f ( x0 )
定义1.3. 3 设函数y=f (x)在(x0-, x0] 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且 lim x x0
f (x)
f ( x0 ) ,
称y = f (x) 在x0处右连续.
例如，u 1 在(, 0) (0, ) 内连续 ,
x
y sin u 在(, ) 内连续 ,
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续 .
x
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
点 u0 处连续，则有:
lim
lim f ( x) lim ( x 1) 0
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
x0
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第一章 函数的极限与连续
说明：
第三节 函数的连续性
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函 数图形在x0不断开.
y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2. 函数在一点连续实质就是:当自变量变化不 大时, 函数值变化也不大.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
定义1.3.2 设函数y=f (x)在点x0的某邻
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
由于
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
得:
定理1.3. 1 函数 y f ( x) 在点 x0 处连 续的充要条件是函数 y f ( x) 在点 x0 处既 左连续又右连续.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
3. 函数y=f (x)在点x0连续必须同时满足以下 三个条件：
(1) 函数 y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义，
即 y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
函数在一点的的连续性同极限一样，都是函 数的局部性质。
f
( x) lim uu0
f (u)=f (u0 )
f [lim( x)].
这表明: 复合函数 y f ( x) 满足推论条件时:
(1) 可作变量代换 u=(x) 求复合函数的极限, 即
令u=(x)
lim f [( x)]
lim f (u)
x x0
uu0
(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
说 明：
所谓可去间断点是指：可以通过改变或补
充 f(x0) 的定义使得
f
( x0
)
lim
x x0
f ( x),
从而使函
数 f (x) 在 x0 处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f
(x)
x
1
,
2,
x 1, x 1,
定义1.3. 4 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每
一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续. 如果y=f (x) 满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;
(2)在开区间(a, b)内连续;
(3)在左端点a处右连续,即 lim f ( x) f (a) ; xa
(4)在右端点b处左连续,即
例7
函数
f
(
x)
x 1 ,
1
, x1, x 1,
考察x=1处.
函数在x=1处是否有定义？ 有定义，且 f(1) = -1 .
lim f ( x) 是否存在？
x1
存在，且 lim f ( x) 2 x1
lim f x f 1 是否成立？
x1
显然 lim f ( x) f (1) x1
所以x =1是f (x)的第一类间断点,且是可去间断点．
lim f ( x) limsin 1 不存在,
x0
x0
x
因此函数 f (x) 在 x = 0 处不连续.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例3
讨论函数
f
(
x)
x x
1, 1,
x 1, x1
在 x = 1 处的连续性．
解 f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1)=0,
lim f ( x) lim( x 1) 0,
可去间断点： f ( x0 ) f ( x0 ); 跳跃间断点： f ( x0 ) f ( x0 ).
第二类间断点：函数f (x)在间断点x0处的左、右 极限至少有一个不存在.
无穷间断点：在第二类间断点中，左、右极限
至少有一个为无穷大的点.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
x2 1
arcsin1 .
2
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第一章 函数的极限与连续
1 x 1
例6
计算 lim x0
x
第三节 函数的连续性
解 lim 1 x 1 lim
x
x0
x
x0 x 1 x x
1
1
lim
.
x0 1 x x 2
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
三、函数的间断点
（一）间断点的概念
x
2
2
2
因此函数f(x)在x= /2处左连续.
因此函数f (x)
lim f ( x) lim sin x 1 f ( ),
x
x
2
2
2
因此函数f(x)在x= /2处右连续.
在x = /2处连 续.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
（二）函数y=f (x) 在区间[a, b]上的连续性
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第一章 函数的极限与连续
y
y f (x)
y 0
x
0 x0 x0 x x
第三节 函数的连续性
y
y f (x)
y 0
x
0 x0 x0 x x
x虽然称为增量，但是其值可正可负.
例如，当 x < x0 时， x = x - x0 < 0,
当 x > x0 时， x = x - x0 > 0,
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第二节 极限
第三节 函数的连续性
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .
(1) 在x0处没有定义；
(2) 虽在x0有定义，但
lim f x
x x0
不存在;
(3)
虽在x0处有定义，且
lim
x x0
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f
x
存在，但
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) ,
这样的点 x0称为函数f(x)的间断点.
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第一章 函数的极限与连续
（二）间断点的分类
第三节 函数的连续性
第一类间断点： 函数f(x)在间断点x0处的 左、右极限都存在.
注: 定义区间是指包含在定义域内的区间!
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例5 计算 lim arcsin(ln x)
x e
解 因为arcsin(lnx) 是初等函数，且x=e是它
的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有:
lim arcsin(ln x) arcsin(ln e)
xe
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
解 ff((xx))在在xx==2及x0及其其近近旁旁有点定是义否且有f(2定)=义3;？ 若有定义， f(x0)=？
lim f (lxim) fli(mx)(x ? 1) 3;
x2 x x0 x2
基本初等函数在其定义域内都连续．
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第一章 函数的极限与连续
二、 初等函数的连续性
第三节 函数的连续性
定理1.3. 2 （连续函数的四则运算） 若函数 f (x), g (x) 在点x0处连续，则函数
f (x)±g(x) , f (x)·g(x) , f (x)/g(x) g( x0 ) 0,
则 f (x)在x=1处就连续了.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例7
函数
x1,
f
(
x)
x
1
,
x0, x0.
考察x = 0处.
函数在x =0 处是否有定义？ 有定义，且 f(0)=1 .
lim f ( x) 是否存在？
x0
所以x = 0 是 f (x) 的 第一类间断点, 且是
跳跃间断点．
x 1
x 1
lim f ( x) lim( x 1) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim f ( x),lim f ( x)不存在.
x 1
x 1
x 1
因此函数 f (x) 在 x = 1 处不连续.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
2. 函数 y = f (x) 在x0处的左、右连续
域内有定义，如果x→x0时，相应的函数值
f(x)→f(x0) ，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数
y=f (x)的连续点．
例如： lim x x0
x
x0
(x0 0),
lim( x2 1) 2
x1
故 x 在x0 连续，x2 1 在点1处连续.
在点 x0 处也连续．
注意：和、差、积的情况可以推广到 有限多个函数的情形．
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
定理1.3. 3 （复合函数的连续性）
设有复合函数y=f [ (x)] ，若 (x)在点x0连 续，且 (x0)=u0而函数f (u)在 u=u0连续，则复 合函数 y = f [ (x)]在 x = x0也连续．
lim f ( x) f (2) 3.
x2
lim
x x0
f ( x) ？ f ( x0 )
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例2 讨论函数
f
(
x)
sin
1 x
,
x 0,
在x = 0处的连续性． 0 , x 0
解 f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;
定义1.3.5 如果函数y=f(x)在点x0的某 去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称 y=f (x)在点x0处间断, 并称点x0为函数 y=f (x) 的不连续点或间断点．
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，
则下列情形之一函数f(x)在点x0不连续.
原式 lim ln(1 x) x lim ln u ln e 1.
x 0
u e
1
1
或: 原式 lim[ln(1 x) x ] ln[lim(1 x) x ] ln e 1.
x 0
x 0
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
定理1.3. 4 初等函数在其定义区间内是连续的．
lim f ( x) f [lim( x)].
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第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例如，求 lim ln(1 x) .
x0
x
解
由于
ln(1
x)
ln(1
1
x)x
x
1
设 y ln u, u (1 x) x , x 0 时,
u e, 且 y ln u 在 u e 处连续.
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