液体沸点与海拔高度关系式的推导
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液体沸点与海拔高度的关系式的推导
【引理】大气压强P与海拔高度h之间的关系为
其中P
0是标准大气压,M是空气的平均相对分子质量,g是重力加速度,R是气体常数,T是大气
的平均温度。
证:取底面积为S的竖直空气柱进行研究,如图。
考虑空气柱中高度为h,厚度为dh的一层空气。
由理想气体状态方程PV = nRT可得,这层空气的空气
分子数
n(h) = P(h)V
RT-
=P(h)S
RT-dh
这层空气的重力
G(h) = Mg·n(h)
=MgS·P(h)
RT-dh
所以,在这层空气之上的大气层的总重
G = ∫
h+∞
G(h) dh=∫
h+∞
MgS·P(h)
RT-dh
这层空气所受到的上层大气的压力,等于上层大气的重力:
S·P(h) = G
S·P(h) =∫
h+∞
MgS·P(h)
RT-dh
等号两端对h求导得
SdP
dh-= -MgS·P(h)
RT-
约去S并分离变量:
P(h)-dP
Mg
RT--dh=
积分:
ln(CP) = -Mgh
RT-
P = 1
C-exp(Mgh
RT--)
由于当h = 0时的大气压强为一个标准大气压,所以P(0) = P
。
0
C = 易得
P
0-1
exp(Mgh
RT--)
P
0P(h) = 所以大气压强与海拔高度的关系为
exp(Mgh
RT--)
P
0P(h) =
引理证毕
下面推导液体沸点与海拔高度的关系式
根据Clausius-Clapeyron方程式,液体的饱和蒸汽压与温度T之间的关系为
ln
P`P
- = △
vapH
mθ
-
R()
T`-1
T-1
-
其中△
vapH
mθ
是液体的摩尔蒸发潜热。
若令T`等于液体在一个标准大气压P
下的沸点 T ,则有θ
0
ln
PP
- = △
vapH
mθ
-
R()
T-1
T-1
-
θ
0
P = P
0exp[]△
vapH
mθ
-
R()
T-1
T-1
-
θ
当液体的饱和蒸汽压等于海拔h处的大气压时,液体就会沸腾。由引理,海拔h处的大气压为
exp(Mgh
RT--)
P
0P = ......
①
......
②
由①、②液体沸腾的条件为
exp(Mgh
RT--) =
P
0P
0exp[]△
vapH
mθ
-
R()
T-1
T-1
-
θ
经整理得
T(h) =
T-1
θ+Mgh
T-
△
vapH
mθ-10
上式将大气平均温度加上了下标0,以便与液体沸点T加以区分。
③即为液体沸点与海拔高度的关系。
【引申】将③式等号两边对h求导得
dT
dh- - T
-△
vapH
mθ
Tθ
Mg
T
-△
vapH
mθ
Tθ
Mg + h- =
()200
0
一般说来,
T
0与
Tθ为同一数量级,△
vapH
mθ
为104
数量级,mg为10-1
数量级。因此,......
③T
-△
vapH
mθ
Tθ
Mg0为105
此时 dT
dh-
近似为常数,液体沸点T与海拔高度h之间近似满足线性关系
T≈
Tθ-
T-
△
vapH
mθTθ
Mg
02
h
对于水来说,T≈373.15 - 3.3×10-3
h
。
即当海拔不太高(和100千米相比)时,海拔每增加300米,水的沸点下降1K。
下表为准确公式③给出的一些液体的沸点预测值。
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
---
-----
-
-
-
液体
沸点
℃海拔
m
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
-
-9000
10000水
乙醇四氯化碳丙酮乙酸乙酯溴
苯乙醚乙酸
100.0
96.7
93.5
87.3
84.2
81.2
78.290.4
75.3
72.5
69.778.5
75.6
72.7
69.9
67.1
64.4
61.7
59.0
56.4
53.9
51.476.8
73.4
70.1
66.9
63.7
60.6
57.5
54.5
51.5
48.6
45.856.2
53.0
49.8
46.7
43.6
40.6
37.7
34.8
32.0
29.2
26.577.1
73.7
70.4
67.1
64.0
60.8
57.8
54.8
51.8
48.9
46.158.8
55.2
51.7
48.3
45.0
41.7
38.5
35.4
32.3
29.3
26.380.1
76.6
73.2
69.8
66.5
63.3
60.1
57.0
54.0
51.0
48.134.5
31.4
28.4
25.4
22.5
19.6
16.8
14.0
11.3
8.7
6.1117.9
114.5
111.1
107.8
104.5
101.3
98.1
95.0
92.0
89.0
86.0数量级,当h不太大时,有T
-△
vapH
mθ
Tθ
Mg0
+ h
≈T
-△
vapH
mθ
Tθ
Mg0
,