集合与简易逻辑复习与小结
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集合与简易逻辑复习与小结
一、基础知识总结
基础知识框图表解
二、重点知识归纳、总结
1、集合部分
解决集合问题时，首先要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素组成，需要对集合的文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化．其次，由于集合知识概念多、符号多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符号的表示的特殊性．三是注意知识间的内在联系，注意集合思想与函数思想的联系，集合与不等式、解析几何、三角函数等知识的联系．
（1）集合中元素的三大特征
（2）集合的分类 （3）集合的三种表示方法
（4）集合的运算
①n元集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集；
②A∩B={x|x∈A且x∈B}
③A∪B={x|x∈A或x∈B}
④A={x|x∈S且xA}，其中AS.
2、不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式的解法
①|x| |x|>a(a>0) x>a，或x<－a. ②|f(x)| |f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<－g(x). ③|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]<0. ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：|x＋3|－|2x－1|<3x＋2. （2）一元二次不等式的解法 任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2＋bx＋c>0（a>0），或ax2＋bx＋c＜0（a>0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式△≤0，则利用配方法求解较方便）． 详细解集见下表： 判别式 △=b2－4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c y=ax2＋bx＋c （a>0）的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 （a>0）的根 有两相异实根 x1,x2(x1 没有实根 ax2＋bx＋c>0 （a>0）的解集 {x|x 或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 （a>0）的解集 {x|x1 （3）分式不等式的解法 ①分类讨论去分母法： ②转整式不等式法： 运用时，必须使不等式一边为0，转化为≤0形式，则： （4）高次不等式的解法 3、简易逻辑知识 逻辑联结词 “或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据；真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤． （1）命题 ①简单命题：不含逻辑联结词的命题 ②复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题 （2）复合命题的真值表 非p形式复合命题的真假可以用下表表示. p 非p 真 假 假 真 p且q形式复合命题的真假可以用下表表示. p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p或q形式复合命题的真假可以用下表表示. p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （3）四种命题及其相互之间的关系 一个命题与它的逆否命题是等价的． （4）充分、必要条件的判定 ①若pq且qp，则p是q的充分不必要条件； ②若pq且qp，则p是q的必要不充分条件； ③若pq且qp，则p是q的充要条件； ④若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件. 三、学法指导 （一）要注意理解、正确运用集合概念 例1、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道 例2、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．PQ （二）要充分注意集合元素的互异性 例3、若A={2，4,a3－2a2－a＋7},B={1,a＋1,a2－2a＋2,－(a2－3a－8),a3＋a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，试求实数a的值． 例4、已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为________． （三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视． 反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去． 例5、设集合A={a|a=n2＋1,n∈N*}，集合B={b|b=k2－4k＋5,k∈N*}，试证：AB． （四）要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误． 例6、已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________． 例7、已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p 的取值范围． （五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性 例8、已知集合有唯一元素，用列举法表示a的值构成的集合A． （六）要注意数形结合解集合问题 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解． 例9、设A={x|－2 例10、若关于x的不等式|x＋2|－|1－x| （七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用 对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用． 有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理． 例11、已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围． 例12、命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．
