辽宁省凌源二中2017-2018学年高一英语下学期期中试题

超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效， 在 试 题 卷、 草稿纸上作答 的答题区域内作答 ，
本卷命题范围 ： 必修 ① Ｕ （ 兼顾 Ｕ 。 ３． ｎ ｉ ｔ１ ｎ ｉ ｔ ２ 词汇 ） 第一部分 听力 （ 共两节 ， 满分 ２ ０ 分） 第一节 （ 共 ５ 小题 ； 每小题 １ 分 ， 满分 ５ 分 ） 听下面 ５ 段对话 。 每段对话后有一个小题 ， 从 题 中 所 给 的 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 三个选项中选出最佳选 项， 并标在试卷的相应位置 。 听完每段对话后 ， 你都有 １ ０ 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下 一小题 。 每段对话仅读一遍 。 ？ １． Ｗｈ ｏ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅｗ ｏ ｍ ａ ｎａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｏｔ ｈ ｅｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇｔ Ａ． Ｔ ｈ ｅｍ ａ ｎ ｓｗ ｉ ｆ ｅ ． ？ ２． Ｗｈ ａ ｔｈ ａ ｅ ｎ ｅ ｄｔ ｏＭ ａ ｒ ｐ ｐ ｙ Ａ． Ｓ ｈ ｅ ｌ ｏ ｓ ｔｈ ｅ ｒｍ ｏ ｎ ｅ ． ｙ Ａ． Ɣ１． ４ ０． Ａ． Ｓ ｔ ａ ｏ ｍ ｅ ． ｙｈ Ｂ． Ｔ ｈ ｅｍ ａ ｎ ｓｍ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ． Ｃ． Ｔ ｈ ｅｍ ａ ｎ ｓｄ ａ ｕ ｈ ｔ ｅ ｒ ． ｇ
无效 。 獉獉
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Ｂ． Ｓ ｈ ｅｓ ｔ ｏ ｌ ｅｓ ｏ ｍ ｅｍ ｏ ｎ ｅ ． Ｃ． Ｓ ｈ ｅｍ ｅ ｔ ａｃ ａ ｒ ｅ ｌ ｅ ｓ ｓｄ ｒ ｉ ｖ ｅ ｒ ． ｙ ？ ３． Ｈ ｏ ｗｍ ｕ ｃ ｈｄ ｏ ｅ ｓｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ ｋ ｅ ｔ ｃ ｏ ｓ ｔ Ｂ． Ɣ４． ３ ０． Ｂ． Ｇ ｏｃ ａ ｍ ｉ ｎ ． ｐ ｇ Ｃ． Ɣ５． ０ ０． Ｃ． Ｇ ｏｓ ｗ ｉ ｍｍ ｉ ｎ ． ｇ Ｃ． Ｉ ｎａｒ ｅ ｓ ｔ ａ ｕ ｒ ａ ｎ ｔ ． ？ ４． Ｗｈ ａ ｔｄ ｏ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅｍ ａ ｎａ ｄ ｖ ｉ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅｗ ｏ ｍ ａ ｎｔ ｏｄ ｏｔ ｈ ｉ ｓｗ ｅ ｅ ｋ ｅ ｎ ｄ ？ ５． Ｗｈ ｅ ｒ ｅｄ ｏ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｏ ｓ ｔｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｌ ａ ｋ ｅｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｙｔ Ａ． Ｉ ｎａｓ ｈ ｏ ． Ｂ． Ｉ ｎａｈ ｏ ｔ ｅ ｌ ． ｐ 第二节 （ 共１ 每小题 １ 分 ， 满分 １ ５ 小题 ； ５ 分）

2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2a n的方差为（）A． B．σ2C．2σ2D．4σ22．如图所示的程序框图中的错误是（）A．i没有赋值B．循环结构有错C．s的计算不对D．判断条件不成立3．已知点A（1，1），B（5，3），向量绕点A逆时针旋转到的位置，则点C的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（1，﹣5）C．（﹣4，2）D．（2，﹣4）4．函数y=log sin（2x+）的单调减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）5．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是（）A． B． C． D．6．如图所示，沿田字型路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求经过点C的概率（）A．B．C．D．7．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．8．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（）A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.69．已知sinx+siny=，则u=sinx+cos2x的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣（f（x）≠0），且在区间上单调递增．已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα），f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．12．已知向量，，，满足||=||=•=2，（﹣）•（（﹣2）=0，则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是______．14．的值为______．15．在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=______．16．已知（1+sint）（1+cost）=，则+的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）m为何值时，与垂直？（2）m为何值时，与平行？18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴的一个交点为（﹣，0），与此交点距离最短的最高点坐标是（，1）．（1）求函数f（x）的表达式．（2）求方程f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．20．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（，），求的值；（2）求|BC|2的取值范围．21．欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？22．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且与之间满足关系：|k+|=|﹣k |，其中k＞0．（1）用k表示•．（2）求•的最小值，并求此时与夹角θ的大小．2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2a n的方差为（）A． B．σ2C．2σ2D．4σ2【考点】极差、方差与标准差．【分析】本题是根据一组数据的方差，求和它有关的另一组数据的方差，可以先写出数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2的表示式，然后再写出数据中每一个数据都乘以2以后的表示式，得到结果．【解答】解：∵σ2=，∴=4•=4σ2．故选D2．如图所示的程序框图中的错误是（）A．i没有赋值B．循环结构有错C．s的计算不对D．判断条件不成立【考点】程序框图．【分析】程序中变量的使用前需要先给变量赋值，如果在给变量赋值前使用变量，则导致错误，观察程序框图，i在使用前没有被赋值．【解答】解：程序中变量的使用前需要先给变量赋值，如果在给变量赋值前使用变量，则导致错误．故程序框图中，在判断框前应该给i赋值．故选：A．3．已知点A（1，1），B（5，3），向量绕点A逆时针旋转到的位置，则点C的坐标为（）A ．（﹣1，5）B ．（1，﹣5）C ．（﹣4，2）D ．（2，﹣4） 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】设C （x ，y ），则=（4，2），=（x ﹣1，y ﹣1），可得=0，||=||，联立解得即可得出．【解答】解：设C （x ，y ），则=（4，2），=（x ﹣1，y ﹣1），∴=0，||=||，化为：4（x ﹣1）+2（y ﹣1）=0， =，联立解得：x=﹣1，y=5．∴C （﹣1，5）． 故选：A ．4．函数y=log sin （2x +）的单调减区间为（ ）A ．（k ∈Z ）B ．（k ∈Z ）C ．（k ∈Z ） D ．（k ∈Z ）【考点】复合三角函数的单调性．【分析】观察可知函数是由，t=sin （2x +）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin （2x +）增区间中的大于部分即可．【解答】解：令：，t=sin （2x +）∴2k π＜2x +≤2k π+k π＜x ≤k π+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（k ∈Z ）故选B5．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的三位正整数N 共有900个，其中，使对数log 2N 是一个正整数的三位正整数N 有3个，由此求得对数log 2N 是一个正整数的概率． 【解答】解：所有的三位正整数N 共有900个，其中，使对数log2N是一个正整数的三位正整数N有27=128、28=256、29=512，共3个，故对数log2N是一个正整数的概率是=，故选：C．6．如图所示，沿田字型路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求经过点C的概率（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意利用列举法求出从A到N的不同走法的种数和其中经过点C的种数，由此能求出经过点C的概率．【解答】解：由题意从A到N的不同走法有：A﹣D﹣S﹣J﹣N，A﹣B﹣F﹣M﹣N，A﹣D﹣C﹣J﹣N，A﹣D﹣C﹣M﹣N，A﹣B﹣C﹣J﹣N，A﹣B﹣C﹣M﹣N，共6种，其中经过点C的有：A﹣D﹣C﹣J﹣N，A﹣D﹣C﹣M﹣N，A﹣B﹣C﹣J﹣N，A﹣B﹣C﹣M﹣N，共4种，∴经过点C的概率p=．故选：B．7．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．8．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（）A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.6【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P（C），求出P（B），P（C），相加即可．【解答】解：设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P （C），∴P（A）+P（B）=0.4，P（A）+P（C）=0.9，∴P（C）=1﹣P（A）﹣P（B）=0.6，P（B）=1﹣P（A）﹣P（C）=0.1，∴P（B）+P（C）=0.7，故选：B．9．已知sinx+siny=，则u=sinx+cos2x的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【考点】三角函数的最值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式变形表示出siny，根据正弦函数的值域确定出sinx的范围，原式利用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数的性质求出最小值即可．【解答】解：∵sinx+siny=，∴siny=﹣sinx∈[﹣1，1]，∴sinx∈[﹣，1]，则u=sinx+1﹣sin2x=﹣（sinx﹣）2+，结合二次函数的性质可知：当x=﹣时，函数值取得最小值且为﹣，故选：A．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣（f（x）≠0），且在区间上单调递增．已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα），f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数f（x）是周期为2的周期函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣得f（x+2）=﹣==f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，∵在区间上单调递增，∴在区间（﹣1，0）上单调递增，∵f（x）是偶函数，∴在区间（0，1）上单调递减，在锐角三角形中，π﹣α﹣β＜，∴，即＞0，∴，cosα＜cos（﹣β）=sinβ，则f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．12．已知向量，，，满足||=||=•=2，（﹣）•（（﹣2）=0，则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的夹角为60°，结合||=||=2设出向量的坐标，同时设出的坐标，代入（﹣）•（（﹣2）=0求得的终点的轨迹，然后由|﹣|的几何意义结合点到直线的距离得答案．【解答】解：由||=||=•=2，得cos＜＞=，∴与的夹角为60°，不妨设，则，再设，由（﹣）•（﹣2）=0，得，整理得：．∴（x，y）在以（）为圆心，以为半径的圆上，而|﹣|表示的是点（x，y）到点（1，）的距离d．∴d min==．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角．【解答】解：设两向量的夹角为θ有实根即∵∴∴故答案为：14．的值为1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简表达式，求解即可．【解答】解：===1．故答案为：1．15．在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由BMC三点共线，知=x+（1﹣x）=x+（1﹣x）；由AMD三点共线，知=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），所以x=，y=，所以=．【解答】解：∵BMC三点共线，∴=x+（1﹣x）=x+（1﹣x），∵AMD三点共线，∴=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），即=y，且1﹣x=，所以x=，y=，所以=．故答案为：．16．已知（1+sint）（1+cost）=，则+的值为﹣﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】令x=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，求得x的值，再根据+==，求得结果．【解答】解：∵（1+sint）（1+cost）=1+（sint+cost）+sint=，令x=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，则x2=1+2sintcost，∴1+x+=，求得x=，则+====﹣﹣，故答案为：﹣﹣．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）m为何值时，与垂直？（2）m为何值时，与平行？【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积为0，求出m的值；（2）根据平面向量的共线定理，即可得出m的值．【解答】解：（1）∵||=3，||=2，与的夹角为60°，∴•=（3+5）•（m﹣3）=3m+（5m﹣9）•﹣15=3m×32+（5m﹣9）×3×2×cos60°﹣15×22=42m﹣87，令42m﹣87=0，解得m=，∴当m=时，与垂直；（2）设=λ，令m﹣3=λ（3+5），∴m﹣3=3λ+5λ，令，解得m=，∴当m=﹣时，与平行．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴的一个交点为（﹣，0），与此交点距离最短的最高点坐标是（，1）．（1）求函数f（x）的表达式．（2）求方程f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用余弦函数的图象的对称性，求得f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．【解答】解：（1）依题意A=1，=+，∴ω=2．又∵f（﹣）=0，∴sin（﹣+φ）=0，结合﹣＜φ＜，∴φ=，函数f（x）=sin（2x+）．（2）∵函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期是π，∴函数f（x）=sin（2x+）在[0，2π]内恰有2个周期，∴f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内4个实根，可设为x1，x2，x3，x4，（x1＜x2＜x3＜x4）根据=，=2，求得=，=，∴在[0，2π]内的所有实数根之和2×=2×=．（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．20．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（，），求的值；（2）求|BC|2的取值范围．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+），sin（α+）），且C（1，0），|BC|2 =2﹣2cos（α+）．再根据α∈（，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|2的取值范围．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（，），∴tanα=，∴===．（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），∵△AOB为正三角形，∴B点的坐标为（cos（α+），sin（α+）），且C（1，0），∴|BC|2=[cos（α+）﹣1]2+sin2（α+）=2﹣2cos（α+）．而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（，），∴α+∈（，），∴cos（α+）∈（﹣，0）．∴|BC|2的取值范围是（2，2+）．21．欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0°＜α＜90°），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【解答】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=，故CD=﹣hcotα．设y=AD+DC+BC，则y=﹣hcotα+=+（0°＜α＜90°），由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率，由于α∈（0°，90°），点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低．22．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且与之间满足关系：|k+|=|﹣k |，其中k＞0．（1）用k表示•．（2）求•的最小值，并求此时与夹角θ的大小．【考点】平面向量的综合题．【分析】（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），可得||=||=1，结合|k+|=|﹣k|，利用平方法，可得k22+2+2k•=3（2﹣2k•+k22），整理后可用k表示•．（2）由（1）中函数的解析式，利用基本不等式，可分析出•的最小值，代入向量夹角公式，可得此时与夹角θ的大小．【解答】解：∵|k+|=|﹣k|两边平方，得：|k+|2=3|﹣k|2∴k22+2+2k•=3（2﹣2k•+k22）即•=．∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴2=1，2=1，∴•=．…（2）∵k＞0，∴（k﹣1）2≥0，从而k2+1≥2k，即≥≥，∴•的最小值为，此时cosθ==，∴θ=60°，即与夹角为60°．…2018年9月28日。

辽宁省开原高中2017-2018学年高二下学期期中考试试题（英语）（时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共115分）第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What day is it today?A. It's Tuesday.B. It's Wednesday.C. It's Thursday.2. What did the woman ask Tom to do?A. Type the papers.B. Write the papers.C. Check the papers.3. Where does this conversation probably take place?A. At a wedding party.B. At a birthday party.C. At a get-together.4. What is the man doing probably?A. Mending the computer.B. Finding some information.C. Waiting for the woman.5. What's the relationship between the speakers?A. Father and daughter.B. Teacher and student.C. Manager and worker.第二节（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白，每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A．1 B．C．D．42．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A．B．C．D．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0 D．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=06．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣27．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A．B．C．D．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B． 4 C． 6 D．810．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1个B．2个C．3个D．0个12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A．1 B．C．4 D． 2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．18．（12分）（2010秋•淄博校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．19．（12分）（2010•台州一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．20．（12分）（2015春•沈阳校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．21．（12分）（2011•银川校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量=（1，n），=（﹣1，n），垂直于，则||=（）A．1 B．C．D．4考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量垂直的坐标表示，列出方程，求出向量，再求||的值．解答：解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n），且⊥，∴1×（﹣1）+n2=0，解得n=±1；∴=（1，±1）∴||==．故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量垂直的坐标表示，是基础题目．2．已知cos（θ+）=，θ∈（0，），则cosθ=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由同角三角函数的基本关系可得sin（θ+），而cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos （θ+）+sin（θ+），代入计算可得．解答：解：∵cos（θ+）=，θ∈（0，），∴sin（θ+）==，∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）+sin（θ+）=+=，故选：B．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．3．设圆C：x2+y2=4，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣，﹣1）∪（1，）D．（﹣，）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案．解答：解：由圆C的方程：x2+y2=4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1直线l的一般方程为：x﹣y+b=0∴d=＜1解得﹣＜b＜故选D点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，其中分析出圆心O到直线l：y=x+b的距离d小于1是解解答的关键．4．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0 D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．5．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A 满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．6．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．解答：解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．点评：此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．7．设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项．解答：解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，进入下一步运算．由此列出如下表格因此，最后输出的s=1+++=故选：C点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．9．函数+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B． 4 C． 6 D．8考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．专题：综合题．分析：构造函数，确定函数图象关于直线x=1对称，利用﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个，即可得到函数的所有零点之和．解答：解：构造函数∵﹣2≤x≤4时，函数图象都关于直线x=1对称∴函数图象关于直线x=1对称∵﹣2≤x≤4时，函数图象的交点共有6个∴函数的所有零点之和等于3×2=6故选C．点评：本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．10．设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）考点：对数函数图象与性质的综合应用；指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x ﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2．然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得．解得A点坐标为（﹣1，﹣1）根据中点坐标公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0），故选B．点评：此题是一道综合题，考查学生灵活运用指数函数、对数函数的图象与性质，要求学生掌握反函数的性质，会利用二次函数的图象与性质解决实际问题，属于中档题．11．给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1个B．2个C．3个D．0个考点：的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象的对称变换，分析函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系，可判断①；根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则，可判断②；分析两个函数的定义域和对应关系是否一致，可判断③；根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判断④解答：解：①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为：f（x）=sin2（2π﹣x）cos（2π﹣x）=sin（4π﹣2x）cos（2π﹣x）=﹣sin2xcosx，x=π不是函数f（x）=sin2xcosx的图象的对称轴，故①错误；②函数y=3•2x+1=的图象可以由函数y=2x的图象向左平移log23个单位，再向上平移1个单位得到，故②正确；③函数y=ln=ln=ln=ln=lntan，但函数y=ln的定义域与函数y=lntan的定义域不同，故两个函数不是同一函数，故③错误；④在△ABC中，若==，则，则，则tanA=3tanB且tanA=2tanC，则tanA：tanB：tanC=6：3：2，故④错误．故正确的的个数是1个，故选：A点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．12．C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足||=||=4，|﹣|=2，=，=λ，=+m（+），m＞0，则λ=（）A．1 B．C．4 D． 2考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据向量的正交分解，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，得到四边形ADIE为菱形，由菱形的性质及根据角平分线定理即可求出．解答：解：∵=，∴PC平分∠APB，将沿和方向分解，设得到两个向量为和，设为m倍的方向上的单位向量，为m倍的方向上的单位向量，∵单位向量的模长为1，∴||=||=m，∴四边形ADIE为菱形，∴AI平分∠PAC，∵|﹣|=||=2，||=||=4，=λ，∴根据角平分线定理，得λ===4，故选：C．点评：本题考查了向量的正交分解，以及有关四边形和角平分线的性质，属于中档题二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．解答：解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣点评：本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．14．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（cm）．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥；结合图中数据即可求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为矩形，高为=的直四棱锥；且底面矩形的长为4，宽为2，所以，该四棱锥的体积为V=×4×2×=．故答案为：．点评：本题考查了利用三视图求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．15．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为P ＞Q．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数线；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：作差由和差化积公式可得P﹣Q=2cos（sin﹣cos），由锐角三角形角的范围可判每个式子的正负，由此可得结论．解答：解：由题意可得P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sin cos﹣2cos cos=2cos（sin﹣cos）∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=π﹣C＞，∴＞，∴sin＞cos，由A和B为锐角可得﹣＜＜，∴cos＞0，∴P﹣Q＞0，即P＞Q，故答案为：P＞Q．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及和差化积公式及三角函数的值域，属中档题．16．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函数g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4028．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：本题可先研究函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=﹣2014，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2014，∴f（x）+f（﹣x）=﹣4028．记h（x）=f（x）+2014x2013+2014，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+2014（﹣x）2013+2014]+f（x）+2014x2013+2014=f（x）+f（﹣x）+2014x2013﹣2014x2013+4028=f（x）+f（﹣x）+4028=0，∴y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A．∴﹣A≤f（x）+2014x2013+2014≤A，∴﹣A﹣2014≤f（x）+2014x2013≤A﹣2014，∵g（x）=f（x）+2014x2013，∴∴﹣A﹣2014≤g（x）≤A﹣2014，∵函数g（x）有最大值M和最小值m，∴M=A﹣2014，m=﹣A﹣2014，∴M+m=A﹣2014+（﹣A﹣2014）=﹣4028．故答案为：﹣4028．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，本题难度适中，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2﹣bc=a2和=+，求∠A和tanB的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知条件b2+c2﹣bc=a2代入化简后，根据特殊角的三角函数值及cosA大于0即可得到∠A；利用三角形的内角和定理和∠A表示出∠C与∠B的关系，然后根据正弦定理得到与相等，把∠C与∠B的关系代入到中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后得到一个关于cotB的方程，求出方程的解即可得到cotB的值，根据同角三角函数的关系即可得到tanB的值．解答：解：由b2+c2﹣bc=a2，根据余弦定理得cosA===＞0，则∠A=60°；因此，在△ABC中，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=120°﹣∠B．由已知条件，应用正弦定理+=====cotB+，解得cotB=2，从而tanB=．所以∠A=60°，tanB=．点评：此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值，灵活运用三角形的内角和定理、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．18．（12分）（2010秋•淄博校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，试判断△ABC的形状．考点：三角形的形状判断；向量的模；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）由得整理可得cosA=结合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a结合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，从而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状解答：解：（1）由得即1+1+2（cos cos+sin sin）=3，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵||+||=||，∴b+c=a，由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，∴sinB+sin（﹣B）=×，即sinB+cosB=，∴sin（B+）=．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴B+=或，故B=或．当B=时，C=；当B=时，C=．故△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．19．（12分）（2010•台州一模）已知向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），函数f（x）=m（•+sin2x），（m为正实数）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移个单位得到y=g（x）的图象，试探讨：当x⊆[0，π]时，函数y=g（x）与y=1的图象的交点个数．考点：平面向量的综合题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：（1）向量=（sin（x+），sinx），=（cosx，﹣sinx），代入f（x）=m（•+sin2x），利用二倍角公式两角和的正弦函数化简为一个角的一个三角函数的形式，求出它的周期，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间即可．（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，从而可求g（x）的解析式，利用函数g（x）的最值结合图象即可得出答案．解答：解：（1）==…（2分）由m＞0知，函数f（x）的最小正周期T=π．（4分）又，（k∈Z）解得，（k∈Z）..（5分）所以函数的递减区间是：，（k∈Z）（6分）（2）横坐标扩大到原来的两倍，得，向右平移个单位，得，所以：g（x）=2msinx．…（7分）由0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m …（8分）所以当0＜m＜时，y=g（x）与y=1无交点当m=时，y=g（x）与y=1有唯一公共点当m＞时，y=g（x）与y=1有两个公共点…（12分）点评：本题是基础题，考查向量的数量积，三角函数的周期以及单调增区间的求法，三角函数的图象的平移，是常考题型．20．（12分）（2015春•沈阳校级期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明PD⊥BC．BC⊥CD．推出BC⊥平面PCD．然后证明PC⊥BC．（2）说明GC是三棱锥G﹣DEC的高．求出S△EDC．然后通过V C﹣DEG=V G﹣DEC，求解几何体的体积．（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．利用直线与平面平行的判定定理证明．通过△OCG≌△OAM，求解所求AM的长．解答：解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．∴V C﹣DEG=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12点评：本题考查直线与平面平行，几何体的体积的求法，距离公式的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．21．（12分）（2011•银川校级模拟）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．解答：解：（1）直线PQ的方程为y﹣3=×（x+1）即直线PQ的方程为x+y﹣2=0，C在PQ的中垂线y﹣=1×（x﹣）即y=x﹣1上，设C（n，n﹣1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n﹣4）2，由题意，有r2=（2）2+|n|2，∴n2+12=2n2﹣6n+17，∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=13．（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=，∵∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m2+m﹣12=0，∴m=3或﹣4（均满足△＞0），∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0．点评：本题考查直线与圆的综合问题，考查直线方程的求解方法和圆方程的求解方法，注意待定系数法的运用，考查学生对直线与圆相交弦长有关问题的处理方法，考查设而不求思想的运用，考查方程思想和转化与化归的思想．22．（12分）（2014•沈北新区校级一模）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．考点：指数函数综合题；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题意，由f（﹣x）=﹣f（x），即可求得k的值；（Ⅱ）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣2，即可求得m的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k ﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）=0，（k﹣2）（a x+a﹣x）=0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k=2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）=﹣2，﹣3m+2=﹣2，解得m=（舍去）．当m≥时，则h（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。