基本初等函数讲义

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)（I ）复习回顾 引例：填空___=； -_____9=)0a _____(2≥=； （II ）讲授新课22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？分析过程：结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为na x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =结论2：当n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n 次方根有两个且互为相反数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 由所得结果，可有：（板书）②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （Ⅳ）例题讲解 注意：根指数n 为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n 为偶数的运算。

一对一个性化辅导讲义学员姓名学校年级及科目教师课题基本初等函数授课时间教学目标教学内容第一块幂函数【基础知识】1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在________上都有定义；(2)幂函数的图像都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________；(4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较函数 特征 性质y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝12x y ＝x －1定义域 值域 奇偶性 单调性[疑难点]1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．[题型分类解析][题型一] 幂函数的定义及应用例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．[训练1]已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x＋－，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[题型二] 幂函数的图像及性质的简单应用例2 已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． [训练2] 已知幂函数y ＝243m m x －－(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．[题型三] 利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3 比较下列各组数的大小：(1)13(0.95)和13(0.96)； (2)1-3-8和1319⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)0.20.5和0.40.3. [训练3]比较下列各组数的大小： (1)30.830.7； (2)0.2130.233； (3)122 131.8； (4)254.1 2-33.8 35(1.9).[题型四] 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数f (x )＝223m m x －－(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足()31ma -+<3(32)m a -的a 的取值范围． [训练4](1)已知幂函数f (x )＝21()m m x－＋(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．(2)若函数f (x )＝3-24(+42)mx x m ++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围．[课堂总结]1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x 等都不是幂函数．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0，曲线下凸．[课堂检测]（4分钟）1．当α∈11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限． 2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则k ＋α＝________. 3．下列函数是幂函数的序号是________．①y ＝2x ②y ＝2x －1 ③y ＝(x ＋2)2 ④y ＝3x 2 ⑤y ＝1x4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则f (4)的值等于( )A ．16B.116C ．2D.125.（2010安徽）设52535252,52,53⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=c b a ，则,,,c b a 大小关系是_______________.第二块 指数与指数函数【基础知识】 1．根式(1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做__________，其中n ＞1且n ∈N *.式子 na 叫做__________，这里n 叫做__________，a 叫做____________．(2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0)． ③( na )n ＝______.④当n 为奇数时， na n ＝______； 当n 为偶数时，na n ＝|a |＝______________. ⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝n a a a ∙∙∙个(n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝______(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝________(a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：mna＝______(a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑤负分数指数幂：-mna＝__________＝________ (a>0，m、n∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂____________．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝__________(a>0，r、s∈Q)；②(a r)s＝________(a>0，r、s∈Q)；③(ab)r＝__________(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图像与性质y＝a x a>10<a<1图像定义域(1)____值域(2)________性质(3)过定点________(4)当x>0时，______；x<0时，________(5)当x>0时，________；x<0时，_______(6)在(－∞，＋∞)上是______(7)在(－∞，＋∞)上是_____题型一指数式与根式的计算问题例1 已知11223x x-+=则=-+-+--84221xxxx。

一、一次函数 一次函数k ;b 符号图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小二、二次函数1二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠2求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时;宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时;常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点;且横线坐标已知时;选用两根式求()f x 更方便． 3二次函数图象的性质图像定义域 对称轴顶点坐标 值域单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线;对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时;抛物线开口向上;函数在(,]2b a -∞-上递减;在[,)2b a -+∞上递增;当2bx a =-时;2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时;抛物线开口向下;函数在(,]2ba -∞-上递增;在[,)2b a -+∞上递减;当2b x a=-时;2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数 1幂函数的定义一般地;函数y x α=叫做幂函数;其中x 为自变量;α是常数． 2幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义;并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数1根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>;且n N +∈;那么x 叫做a 的n 次方根．2分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m naa a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n a a m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 3运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 4指数函数 函数名称 指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(0,1);即当0x =时;1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =a 变化对图象的影响在第一象限内;a 越大图象越高；在第二象限内;a 越大图象越低．五、对数函数 1对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且;则x 叫做以a 为底N 的对数;记作log ax N =;其中a 叫做底数;N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．2几个重要的对数恒等式log 10a=;log 1aa =;logb aa b =．3常用对数与自然对数 常用对数：lg N ;即10logN ；自然对数：ln N ;即log eN 其中 2.71828e =…．4对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>;那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()n aan M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a bNN b b a=>≠且 5对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0ay x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(1,0);即当1x =时;0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况a 变化对 图象的影响在第一象限内;a 越大图象越靠低；在第四象限内;a 越大图象越靠高．6反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ;值域为C ;从式子()y f x =中解出x ;得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值;通过式子()x y ϕ=;x 在A 中都有唯一确定的值和它对应;那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数;函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数;记作1()x fy -=;习惯上改写成1()y f x -=．7反函数的求法①确定反函数的定义域;即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=;并注明反函数的定义域．xyO(1,0)1x =log ay x=xyO(1,0)1x =log ay x=8反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上;则'(,)P b a 在反函数1()y fx -=的图象上．④一般地;函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是A ．2;0B ．2;-2C ．2;-8D ．-2;-8例2．已知抛物线的顶点为1;2;且通过1;10;则这条抛物线的表达式为A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.抛物线y=的顶点在第三象限;试确定m 的取值范围是A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：1()()11f x f x +=-；2()f x 的最大值为15；3()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式 二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时;求函数223y x x =--的最大值和最小值． 例6．当0x ≥时;求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时;求函数21522y x x =--的最小值其中t 为常数．--222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性;并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．1求函数的定义域、值域； 2判断函数的奇偶性； 3求函数的单调区间． 四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是A 、2B 、12C 、—2D 、—12例12.等于 A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==b a ;则b a 233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|1}x M y y P y y x ====-;则M∩PA.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16a 8a 4a 2a例15.求下列函数的定义域与值域：1442x y -=2||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点A ．0;1B ．1;1C ．2;3D ．2;4例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域;并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+;则N M的值为A 、41B 、4C 、1D 、4或1例20.已知732log [log (log )]0x =;那么12x-等于A 、13B 、123C 、122D 、133例21.2log 13a <;则a 的取值范围是 A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中;在()0,2上为增函数的是 A 、12log (1)y x =+B 、22log1y x =-C 、21log y x=D 、212log (45)y x x =-+例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数()2()lg 1f x x x =+-是奇、偶函数..课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c;如果a>b>c;且a+b+c=0;则它的图象可能是图所示的2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反3. 二次函数y=图像的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示;满足a ＞0;b ＜0的函数y=的图像是5．如果抛物线y=的顶点在x 轴上;那么c 的值为A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是7.在下列图象中;二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=a bx 的图象可能是8．若函数fx ＝a －1x 2＋a 2－1x ＋1是偶函数;则在区间0;＋∞上fx 是A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数;也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间0;m 上有最大值3;最小值2;则m 的取值范围是22(2)x -22(2)x -221x x --+2ax bx +26x x c ++A ．1;＋∞B ．0;2C ．1;2D ．－∞;2 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ;y ＝b x ;y ＝c x ;y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图;则a 、b 、c 、d 的大小关系是 A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在0;+∞上是减函数;则A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上;那么下列结论中不能成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数fx ＝log 12x 2－6x ＋5在a ;＋∞上是减函数;则a 的取值范围是A ．－∞;1B ．3;＋∞C ．－∞;3D ．5;＋∞ 15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈;则S T 是A 、∅B 、TC 、SD 、有限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭;则A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中;实数a 的取值范围是A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于A 、0B 、1C 、2D 、320、已知3log 2a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、231a a --21、已知幂函数fx 过点2;22;则f4的值为 A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x 2－m －1x ＋m －7的顶点在x 轴上;则m ＝________.2.函数23-=x y 的定义域为___________. 3.设()()12m f x m x +=-;如果()f x 是正比例函数;则m=____ ;如果()f x 是反比例函数;则m=______;如果fx 是幂函数;则m=____． 4.若14(1)x --有意义;则x ∈___________．5.当35x y <时;2225309y xy x -+=___________．6.若25525x x y ⋅=;则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a am n a +===.. 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是..9、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=..10.不等式1622<-+x x 的解集是__________________________. 11.不等式282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________. 12.若103,104x y ==;则10x y -=__________________________. 13、已知函数3x log x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点三、简答题1.求下列各式中的x 的值2、已知幂函数fx ＝23221++-p p x p∈Z 在0;＋∞上是增函数;且在其定义域内是偶函数;求p 的值;并写出相应的函数fx 、 3.已知函数222(3)lg 6x f x x -=-;1求()f x 的定义域；2判断()f x 的奇偶性.. 4.设a R ∈;22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+;试确定a 的值;使()f x 为奇函数.. 5. 已知函数x 121f (x)log [()1]2=-;1求fx 的定义域； 2讨论函数fx 的增减性..。

已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)， 例3 • (1)求函数f(x)的单调区间； • (2)求函数f(x)的最大值，并 求取得最大值时的x的值．
•
涉及值域问题关键是画图像，若直接不能画出的换元之后画图。
课堂互动讲练
互动探究
1 在例 3 中若函数 f(x)＝log (2x＋3－x2)，如 4 何回答例 3 的问题？
答案：(－3,2]
例4
当x∈[2,8]时，求函数 x x y log 2 log 2 的最大值和最小值 . 2 4
ymin 1 , ymax 2 4
例5 已知集合A={x|log2(-x)<x+1}, 函数f(x)=ln(2x+1)的定义域为集合B， 求A∩B.
1 [例 6] 求函数 y＝2log x－log x ＋1 (4≤x≤4)的值域． 2 2
2－1) ；
0
(2)已知 10 ＝2,10 ＝3，求
lg 2＋lg3－lg 10 （3）计算 . lg1.8
（4）
( 2a b
2 1 3 2
6a b ) (3a b )
1 1 2 3
1 5 6 6
3 (5)lg ＋lg70－lg3－ lg23－lg9＋1； 7 lg4－lg60 3 － (6)( ) －45×2 11. lg3＋lg5
log10 N lg N
（2）自然对数:
（3 ）
注意：
底数a的取值范围 (a＞0, a≠1) ；
loge N ln N
(e 2.71828)
真数N的取值范围
N>0
4．积、商、幂的对数运算法则P65： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
log a (MN ) log a M log a N (1) M log a log a M log a N (2) N n log a M n log a M (n R) (3)