全国高中数学联赛模拟试题(五)

TYYGROUP system office room [TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-学生注意：1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷总分值150分.2、用圆珠笔或钢笔作答.3、解题书写不要超过装订线.4、不能使用计算器.一、选择题(此题总分值36分,每题6分)此题共有6个小是题,每题均给出(A) (B) (C) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个(不管是否写在括号内),一律得.分.1、a为给定的实数,那么集合M={x|x「-3又-£+2=0小£1«的子集的个数为(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)不确定2、命题1：长方体中,必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中,必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中,必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个3、在四个函数y=sin x , y=cos Ix I, y= I ctgx I, y=Ig lsinx 中以为周期、在(0, -)上单调递增的偶函数是 2(A) y=sin x (B) y=cos x (C) y= ctgx (D)y=lg sinx4、如果满足NABC=60° , AC=12, BC=k的/ABC恰有一个,那么k的取值范围是(A) k=8V3(B) 0<k^l2 (C) 2 (D) 0<k<12 或k=8%5 .假设(l+x + x?) ’8.的展开式为 a o+ a i x + a 2 x ? + ,,,+ a ：ooo x :o°°, 那么a ° +a 3+a 6+a 9+,・・+a i%s的值为( ).(A) 3双(B) 3湫(C) 3期(D) 320016 .6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻魂与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是( ).(A) 2枝玫瑰价格高(B) 3枝康乃馨价格高(C)价格相同(D)不确定二、填空题(此题总分值54分,每题9分)7.椭圆P =1/ (2- c o s 0 )的短轴长等于.38、右■复数Z], 2?满足Zi =2, z二二3, 3zi-2z二二—-1,那么Z/二二.9、正方体ABCD—ABC.的棱长为1 ,那么直线AC与BD1的距离是O10、不等式_+ 2的解集为__________________________________________log1X 211、函数y = X + J3—3x+2的值域为____________________________________12、在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图〕,要求同一场块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.二、解做题〔此题总分值60分,每题20分〕13、设｛aj为等差数列,｛bj为等比数列,且仇=〃「,b2=a2\3?比〕,又lim〔A +/%+…+2〕=& + 1 ,试求｛aj的首项与公差.14、设曲线a：二+〕,2=1〔0为正常数〕与0.三26+111〕在乂轴上方公有一个公共点a-Po〔1〕求实数m的取值范围〔用a表示〕；〔2〕 0为原点,假设a与x轴的负半轴交于点A,当0<a<1时,试求Z10AP的面积2的最大值〔用a表示〕.15^用电阻值分别为a1、a2>为、a］、a5^ a6> 〔a1>a2>a3>a1>a5>a6〕的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小？证实你的结论.二O O 一年全国高中数学联合竞赛加试试题<10 月 4 日上午 10： 00—12： 00)本试卷共有三大题,全卷总分值150分. 用圆珠笔或钢笔作答.解题书写不要超过装订线. 不能使用计算器. 一、〔此题总分值50分〕 如图：NABC 中,0为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H,直线ED 和AB 交于点M, FD 和 AC 交于点果求证：〔1〕 0BJ_DF, 0C1DE ； 〔2〕 0H±MNo二、〔此题总分值50分〕 设XiN0〔I=l, 2, 3,…,n 〕且+2工 二七勺=1,求的最大值与最小值./=1j/-I三、〔此题总分值50分〕将边长为正整数m, n 的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均 平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.学生注意：1、 2、 3、2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准选择题：CBDDCA1 .a为给定的实数,那么集合乂= { x | x3 x — a +2 = 0, x G R 〕的子集的个数为〔〕.1 . 1 B.2 C. 4 D.不确定讲解：M表示方程x2 — 3x — a2+2=0在实数范围内的解集.由于A=l+4 a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有2?=4个子集,选C.2 .命题L长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.命题2：长方体中,必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中,必存在到各个面距离相等的点.以上三个命题中正确的有〔〕.A.0个B.1个C.2个D.3个讲解：由于长方体的中央到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2 和命题3, 一般的长方体〔除正方体外〕中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,此题只有命题1正确,选B.3 .在四个函数y = sin|x|、y = cos|x|、y=|ctgx|、y = 1 g I s i n x |中,以Ji为周期、在〔0,五/2〕上单调递增的偶函数是〔〕.A. y = s i n | x | B . y = c o s I x IC . y = | c t g x |D . y = 1 g | s i n x |讲解：可考虑用排除法.y= S i n | X |不是周期函数〔可通过作图判断〕,排除A； y = c o s I x |的最小正周期为2冗,且在〔0,冗/2〕上是减函数,排除B； y=1ctgx|在〔0,n/2〕上是减函数,排除C.故应选D.4 .如果满足NABC=60° , AC =12, B C = k的4 A B C恰有一个,那么k的取值范围是〔〕.A. k=8、/JB. OVk W12C. kN12D. 0<kW12 或攵=8 退讲解：这是“三角形的两边及其一边的对角,解三角形〞这类问题的一个逆向问题,由课本结论知,应选结论D.说明：此题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.5 .假设〔1+x + x?〕的展开式为a 0+ a । x + a 2 x 2 +…+ a皿x吗那么a n+a 3+a 6+a 9+…+ a i世的值为〔〕.A. 3项B. 3倨C. 3期D. 32001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.取 3= —〔1/2〕+ 〔需/2〕 i,贝32 + 3+1 = 0.令x =1,得a0+a [+az+a3 +…+a “co；令x = 3 ,得0= a o + a13+ a a 皿5族；令X = 3 2 ,得0= a0+a 1 G> ~ + a 2 0 1 + a 3 ^ +•••+ a zooo^三个式子相加得31000=3 ( a.+ a 3+ a $ +…+ a 的).a 0 + a 3 + a 6 + …+ a 19为=3"9,选 C.6.6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是( ). A. 2枝玫瑰价格高 B. 3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定讲解：这是一个大小比拟问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,那么由题设得,问题转化为在条件①、②的约束下,比拟2x与3y的大小.有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件①、②,令6 x+3 y = a , 4 x+5 y = b ,联立解得*= (5 a —3 b ) / 18, y = (3 b —2 a ) / 9. .*.2 x —3 y =•••= (11 a —12b ) /9. V a >24, b <22, J 11 a _12b >11X24- 12X22 = 0. A2x >3y ,选A.解法2：由不等式①、②及x>0、y>0组成的平面区域如图1中的阴影局部(不含边界).令2 x —3 y =2 c ,那么c表示直线1 ： 2 x —3 y =2 c在x轴上的截距.显然,当1过点(3, 2)时,2 c有最小值为0.故2x—3y>0,即2x>3y, 选A.说明：(1)此题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：函数乂= f ( X ) = a X 2 — C 满足：一4W f (1) < —1, —1W f (2) W5,那么 f (3)应满足(). A. -7W f (3) W26 B. -4W f(3) W15 C. 一l<f (3) W20 D. 一28 / 3W f (3) W35 / 3 (2)如果由条件①、②先分别求出x、y的范围,再由2x — y的范围得结论,容易出错.上面的解法1运用了整体的思想,解法2那么直观可靠,详见文[1] .二.填空题24 Q 30,72, .瓜o ・ -------------------------------------- ——十—i y •—3 13 13 6310. (0,l)U(l,2DU(4, + oo) 11. U,—)U[2, + oc) 12. 732------------------------------------- 2 -------- 7.椭圆P=l/ (2- c o s 0 )的短轴长等于讲解：假设注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法；假设注意到离心率e 和焦参数P (焦点到相应准线的距离)的几何意义,此题也可以直接求短半轴的长.J "(O)="+c=l解法L由zr)=〃-c=l /3 得a =2/3,从而b=正,故2b=2 3 3解法2：由 e = c / a =1 / 2, p = b ? / c = 1 及 b 二=a c ) 得b=@.从而2b=2g. 3 3说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.8 .假设复数z i、z 2 满足I z , | =2, I z 3 | =3, 3 z |—2 z 2= (3/2)— i ,那么z i ・ z 2=.讲解：参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点,而且也不繁.令z 1 =2 ( c o s a + i s i n a ) , z 2 = 3 ( c o s P + i s i n P ),那么由3Z.-2Z2= (3/2) — i 及复数相等的充要条件,得即二式相除,得tg (a+B) /2) =3/2.由万能公式,得s i n ( a + p ) =12/13, cos ( a + P ) =—5/13.故z】・z 2=6 [ c o s ( a + p ) + i s i n ( a + p )]二一(30 / 13) + (72 / 13) i .说明：此题也可以利用复数的几何意义解.9 .正方体ABCD - A|B|C1|的棱长为1,那么直线A|C|与BD1的距离是■讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种根本的解法. 图2为了保证所作出的表示距离的线段与A 和B D|都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD|B「那么八|<21_1_面 B D D , B ,,且B D】u面B D D । B -设A । C । G B】D1=0,在面BDD|B1内作OH±BD.,垂足为H,那么线段OH的长为异面直线A|CI与BD1的距离.在Rt △ BB1D1中,OH等于斜边B Di上高的一半,即0 1-1 =狙/6.10 .不等式I 〔1 / 1.g「2 x 〕+2 I >3 / 2 的解集为.讲解：从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得1 og‘xV — 2,或一2/ 7< 1 o g 1/2 x <0,或 1 o g 山二x >0.从而x >4,或IV x <2:或0V x <1.11 .函数y = x+J/-5 + 2的值域为.讲解：先平方去掉根号.由题设得(y — x ) 2= x 2-3 x +2,那么x = ( y z-2) / (2y -3).由yNx,得yN ( y ~ -2) / (2 y —3).解得lWyV3/2,或yN2.由于Ji-3x + 2能达至|j下界0,所以函数的值域为[1, 3/2〕 U [2, +8〕.说明：〔1〕参考答案在求得l〈y <3/2或yN2后,还用了较长的篇幅进行了一番验证,确无必要. 〔2〕此题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.图312.在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图3〕,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.讲解：为了表达方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.〔1〕假设A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种植后, B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物〔允许重复〕,各有3种方法.此时共有4X3X3X3 = 108种方法.〔2〕假设A、C、E种二种植物,有P.J种种法.当A、C、E种好后,假设A、C种同一种,那么B有3种方法,D、F各有2种方法；假设C、E或E、A种同一种,相同〔只是次序不同〕.此时共有P/X3 〔3X2X2〕 =432种方法.〔3〕假设A、C、E种三种植物,有PJ种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时共有P J X 2 X 2 X 2 = 192种方法.根据加法原理,总共有N =108+432 + 192 = 732种栽种方案.说明：此题是一个环形排列问题.三.解做题13 .设所求公差为M •・•&<包,・・・£>0.由此得/(% +24)2 =(, +.)4 化简得：2a： +4%4+ 〃2 =0解得：d=(-2±y[2)a} (5)分而-2±/<0,故为V02假设d = (-2 - 尬)a],那么q = + 1)-着d = (-2 + 6)(八,那么g = * = (&_ 1)2 (10)分但/而S] +…+ 2)= VI + 1存在,故Q <1,于是夕= ("+1)2不可能.“T田一从而——U__- = >/2+1 = ^=(272-2)(72+1) = 2 1-(V2-I)2所以q =-",〃 = (-2 + VI)9 = 2^2 -2 ................................................................ 20 分14 .解：(1)由? / +) ।消去y 得：x2 +2a2x + 2a2m-a2 =0 ①y2 = 2(x + in)设/(x) = %2 + 2a2x + 2a2m-a2,问题⑴化为方程①在xG ( — a, a)上有唯一解或等根.只需讨论以下三种情况：1 °△ = ()得：m = ———此时为=—4,〞1且仅当一aV —力<a,即OVa2 <1时适合；2°f (a)f (-a)<0,当且仅当一a<勿Va；3°f (— a) = 0 得m= a,此时羽=a—2a~,当且仅当一a<a—2a"<a»即OV a<l 时适合.f (a) =0得- a,此时修=—a—2a, 由于一a—2力V —a,从而卬W —a.综上可知,当OVaVl时,,〃=匚匚1或一aVzz<a：2当a21 时,—a<.m<.a. ........................................................................... 10 分(2)4"产的面积S =2 .「VO<a< —T故一aVmWa 时,OV - - +1 -2〃? <a,2由唯一性得x p =-a~ + ay/a1 + \-2in显然当卬=^时,项取值最小.由于xQ>0,从而为=J1-3■取值最大,此时力=2yla-a2 ,/. S = a\a-a2 .当in =————时,x p=— a 9 y p= J1 - a ° ,此时S = Lay/l-cT .2 2下面比拟“心产与匚不的大小：2令=L.J1 - ,得 4 = L2 3故当0<aW g 时,ayja-a2 < 2.J1-/ ,此时S = ?ajl-a?.3 2 2当■!•<〃<寸,aja-/,此时S“v. (20)3 2 2分15.解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为反:,当斤f=a〞 £=3, 4, 5, 6,尼、足是a、a的任意排列时,尺最小....................................... 5分证实如下：1.设当两个电阻尼、足并联时,所得组件阻值为兄那么!=」-+!.故交R叫R.换二电阻的位置,不改变?值,且当凡或足变小时,咒也减小,因此不妨取泥>足.MC2 -MH2=AC Z~AH Z①'：BEL NA:.NB2-NH Z=AB2-AH Z②'：DA A.BC：.BD Z-CD Z=BA Z-AC2③'：OB \.DF:.BN2-BD Z=ON2-OD Z④*： OCA. DE：.CM Z-CD Z=OM Z-OD2⑤30 分①一②+③+④一⑤,得NH2 -MH Z= ON Z - OM Z MO Z-MH Z=NO2 -NH2・•・ OH A. MN50分另证：以理所在直线为x轴,.为原点建立直角坐标系,设力(0, a), B(b, 0), r(c, 0),那么k,xc=--, k AB=-- c b・•・直线〃'的方程为y = --(x-c),直线座的方程为y = -(x-b) c a,y = —(x-b) 2 7))】由a得£点坐标为以中竺,竺二坐)a , 、(厂+L同理可得尸(S二,丝工) cr +/ +/直线〃的垂直平分线方程为),->,号直线5.的垂直平分线方程为4 = 生V--= —(x-—) )由「2 a 2得次竺£一 +,「)b +c 2 2ax = --------2bc + a 22 ._ 2a _〞_ cm - abc _ ab - ac OB=b+cl——p 2V k OB k DP = -1/• OB IDF同理可证OC,DE.在直线座的方程〕,= £〔?-与中令x=0得4〔0,--〕直线分的方程为〕,=竺二+ be组 1/ / a 2b + b 2c abc-ab 2、 同理可得必I 、？灰―：/+2A-//_ a(b 2 -c 2)(a 2 +bc) “L (c -b)(a 2+hc)(a 2+3bc)•••恩•届=-1,OH A. MN.二 解：先求最小值,由于〔之七〕2+2 Z I24勺之1 = £七21 /=!i=ll ＜Jt ＜〕＜/r V J r=l等号成立当且仅当存在I 使得X=L 内=0, j=in工z3最小值为i. .......................................................................................................J -110分bc + a? be2a 干了 _ a ,+3儿 b + c ab + acllK得,V'(er +2hc-c^abc-ac?) a 2+ 2bc-c 2ab + ac a 2+3bc再求最大值,令工卜=尿〞•••£〃立+2 ①女=1力+>'2 +…+% =为•n .x G G 人 力 y n = a i 设例=Z4=Z ,"%,令, - A 』 Jl-l那么①“：+"； H ........................................................................................ F"； = 1---------------------- 30分令 a n _x = 0,贝lj M = £ VF(4 - a«+1) I= £&「£&k+\ =£&「£>lk-\a k = £〔尿- 4 -1 M A-lI I女」 1由柯西不等式得：一叱?〕3〔9硝,=[之〔JF 一仄彳尸门 "IJt-1 2A +4； +,•, + % _______ 说1 + ("-4尸+・・・+(*7 — ^^二IF -(JF-JT^T )2由于22电力…从而果=4 -q+产2#二货上1士―二1〕之0 ,即心力.[f 〔JF — 灰二T 〕2 广A-1所求最大值为［£(五-灯)2伊50分三.解：记所求最小值为f (卬,n),可义证实f (m, n) =rn+n — (m, n) (*)其中(s, n)表示卬和n 的最大公约数 ...................................10分事实上,不妨没卬N A等号成立中=(4k 八EV[£(vr-vr^r )2r A 」(#=1, 2,…,n)(1)关于卬归纳,可以证实存在一种符合题意的分法,使所得正方形边长之和恰为27?+A—(卬,n)当用卬=1时,命题显然成立.假设当,朋时,结论成立(A21).当勿=4+1时,假设刀=4+1,那么命题显然成立.假设A VA+L从矩形力皿中切去正方形皿(如图),山归纳假设矩形4不〃有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m-n+n- D D. Q(m— n, n) = m— (m, A),于是原矩形四67?有一种分法使得所得正方形边长之和为rH n).............................................................. 20 分n(2)关于勿归纳可以证实(*)成立.11 1 时,由于/2= 1,显然 f (m, n) — m彳卬 4 B+ ??—(加,n)假设当"WA时,对任意IW A W卬有f (卬,n) =rn-\-n— (zn, ri)着卬=A+1,当〃=A+1 时显然 f (m, n) = k~\~ 1 = rn~\~n~ (m, n).当时,,设矩形皿按要求分成了6个正方形,其边长分别为国, 如…,a p不妨&?全力…显然&= A或a t<n.假设2V〃,那么在四与6.之间的与49平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界).于是ai + a：：+…+ a>不小于月5与Q?之和.所以 4 + 生+-・ + 劣力2/27>27?+??—(m, n)假设d二,那么一个边长分别为m—n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为包,…a；,的正方形,由归纳假设备+一・ + 32勿一A+〃一(m—n, n)) =rn— (m, n)从而@1 +全+-・+劣力力+力一(r, n)于是当rn=A+l 时,f (m, n) '^-rn~\-n~ (m, n)再由⑴可知 f (卬,n) =rn+n- {m, ri). .............................. 50分。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案（最新版）-Word文档，下载后可任意编辑和处理-2021年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2021项是A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab 的图形是A B C D答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A．B．C． D．答（）4．若，则的最大值是A．B．C． D．答（）5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是A．B．C． D．答（）6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答（）得分评卷人二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 x 3－2x2－4 x ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1 : PF2＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{x｜x2－4x＋3＜0，x∈R}，B＝{x｜21－x＋a≤0，x2－2(a＋7)＋5≤0，x∈R}，若AB，则实数a的取值范围是___________________．10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则b－d ＝________．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．得分评卷人三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设≤x≤5，证明不等式．14．设A，B，C分别是复数Z0＝ai，Z1＝＋bi，Z2＝1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t （t∈R）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2021年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l ＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n＝q2＋q＋1，t≥，q≥2，q∈N，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）．2021年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

2021年全国高中数学联赛试卷及答案_年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人一．选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每题均给出A.B.C.D四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分;不选.选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分).1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第_项是A．2046 B．2047 C．2048 D．2049 答( )2．设a,b∈R,ab≠0,那么直线a_－y＋b＝0和曲线b_2＋ay2＝ab的图形是ABCD答( )3．过抛物线y2＝8(_＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线,若此直线与抛物线交于A.B两点,弦AB的中垂线与_轴交于P点,则线段PF的长等于A． B．C． D．答( )4．若,则的最大值是A．B．C． D．答( )5.已知_,y都在区间(－2,2)内,且_y＝－1,则函数的最小值是A．B．C．D．答( )6.在四面体ABCD中,设AB＝1,CD＝,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于A． B．C．D．答( )得分评卷人二．填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7．不等式 _ 3－2_2－4 _ ＋3 _lt; 0 的解集是____________________．8．设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1 : PF2＝2 : 1,则三角形PF1F2的面积等于______________．9．已知A＝{_｜_2－4_＋3＜0,_∈R},B＝{_｜21－_＋a≤0,_2－2(a＋7)＋5≤0,_∈R},若AB,则实数a的取值范围是___________________．10．已知a,b,c,d均为正整数,且,若a－c＝9,则b－d＝．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1(i＝1,2,…,n－1,an＝1},Tn 是Mn中元素的个数,Sn是Mn中所有元素的和,则＝_______．得分评卷人三．解答题(本题满分60分,每小题20分)13．设≤_≤5,证明不等式．14．设A,B,C分别是复数Z0＝ai,Z1＝＋bi,Z2＝1＋ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z＝Z0cos4t＋2Z1cos2t sin2t＋Z2sin4t (t∈R)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA＝a. 拆叠纸片,使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合．_年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人一．(本题满分50分)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A,B所作割线交圆于C,D两点,C在P,D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ＝∠PBC．求证:∠DBQ＝∠PAC．得分评卷人二．(本题满分50分)设三角形的三边分别是整数l,m,n,且l＞m＞n,已知,其中{_}＝_－[_],而[_]表示不超过_的最大整数．求这种三角形周长的最小值．得分评卷人三．(本题满分50分)由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形,其中n＝q2＋q＋1,t≥,q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q＋2条连线段,证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形)．_年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明:1．评阅试卷时,请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两;其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分,5分为一个档次.不要再增加其它中间档次．一．选择题:1．注意到452＝_,462＝2116,∴_＝a_—45＝a1981,2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝_,∴a_＝a1981+22＝_＋22＝2048．故选(C)．2．题设方程可变形为y＝a_＋b和,则由观察可知应选(B)．3．易知此抛物线焦点F与坐标原点重合,故直线AB的方程为,因此,A,B两点的横坐标满足方程3_2－8_－16＝0,由此求得AB中点的横坐标,纵坐标,进而求得其中垂线方程为,令y＝0,得P点的横坐标_＝,即PF＝,故选(A)．因为_∈,∴,因此与在上同为增函数,故当时,y取最大值．故选(C)5．由已知得,故,而,故当时有最小值,故选(D)．6．如图,过C作CE∥AB且CE＝AB,以△CDE为底面,BC为侧棱作棱柱ABF—ECD,则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的．而△CDE的面积S＝CE_CD_sin∠ECD,AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD)的高,故,因此,故选(B)．二．填空题:7．由原不等式分解可得( _ －3)(_2＋ _ －1)＜0,由此得所求不等式的解集为．8．设椭圆的长轴.短轴的长及焦矩分别为2a.2b.2c,则由其方程知a＝3,b＝2,c＝,故,PF1＋PF2＝2a＝6,又已知[PF1:PF2＝2:1,故可得PFl＝4,PF2＝2．在△PFlF2中,三边之长分别为2,4,2,而22＋42＝(2)2,可见△PFlF2是直角三角形,且两直角边的长为2和4,故△PFlF2的面积＝4．9．易得:A＝(1,3),设,要使,只需f (_).g (_)在(1,3)上的图象均在_轴下方,其充要条件是f (1)≤0,f (3)≤0,g (1)≤0,g (3)≤0,由此推出－4≤a≤－1．10．由已知可得:,从而,因此a｜b,c｜d．又由于a－c＝9,故,即,故得:,解得．故b－d＝93．11．如图,由已知,上下层四个球的球心A/,B/,C/,D/和A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点,且以它们的外接圆⊙O/和⊙O为上下底面构成圆柱,同时,A/在下底面的射影必是弧AB的中点M．在△A/AB中,A/A＝A/B＝AB＝2．设AB的中点为N,则A/N＝．又OM＝OA＝,ON＝1,∴MN＝A/M＝,故所求原来圆柱的高为．12．∵Mn中小数的小数点后均有n位,而除最后一位上的数字必为1外,其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法,故．又因在这2n－1个数中,小数点后第n位上的数字全是1,而其余各位上数字是0或1,各有一半．故∴．三．解答题:13．解:∵(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)≤4(a2＋b2＋c2＋d2)∴(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号) 5分取,则15分∵不能同时相等∴20分14．解:设z＝_＋yi(_.y∈R),则∴∴y＝(a＋c－2b)_2＋2(b－a)_＋a,0≤_≤1①又∵A.B.C三点不共线,故a＋c－2b≠0,可见所给曲线是抛物线段(如图)5分AB.BC的中点分别是D(),E(),∴直线DE的方程是②10分由①②联立得:15分∵a＋c－2b≠0,∴由于,∴抛物线与△ABC中平行于AC的中位线有且仅有一个公共点,此点的坐标为,对应的复数为20分15．解:如图,以O为原点,OA所在直线为_轴建立直角坐标系,则有A(a,0)．设折叠时,⊙O上点A/()与点A重合,而折痕为直线MN,则 MN为线段AA/的中垂线．设P(_,y)为MN上任一点,则｜PA/｜＝｜PA｜5分∴即 10分∴可得:∴≤1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为≥1,即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分． 20分_年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明:1．评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分．2．如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理.步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要再增加其它中间档次．一．证明:联结AB,在△ADQ与△ABC中,∠ADQ=∠ABC,∠DAQ=∠PBC=∠CAB故△ADQ∽△ABC,而有,即BC·AD＝AB·DQ10分又由切割线关系知△PCA∽△PAD得;同理由△PCB∽△PBD得20分又因PA＝PB,故,得AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ 30分又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知AC·BD＋BC·AD＝A B·CD于是得:AB·CD＝2AB·DQ,故DQ＝CD,即CQ＝DQ40分在△CBQ与△ABD中,,∠BCQ＝∠BAD,于是△CBQ∽△ABD,故∠CBQ＝∠ABD,即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC． 50分二．解:由题设可知于是3l≡3m≡3n(mod 104) _Ucirc; 10分由于(3,2)＝(3,5)＝1,∴由①可知3l－n≡3m－n≡1 (mod 24)．设u是满足3u≡1 (mod 24)的最小正整数,则对任意满足3v≡1 (mod 24)的正整数v,我们有u｜v．事实上若u不整除v,则由带余除法可知,存在非负整数a.b,使得v＝au＋b,其中0＜b≤u－1,从而可推出3b≡3b＋au≡3v≡1 (mod 24),而这显然与u的定义矛盾．注意到3≡3 (mod 24),32≡9 (mod 24),33≡27≡11 (mod 24),34≡1 (mod 24),从而可设m－n＝4k,其中k为正整数20分同理由②可推出3m－n≡1 (mod 25),故34k≡1 (mod 25)现在我们求34k≡1 (mod 25)满足的整数k．∵34＝1＋5_24,∴34k－1＝(1＋5_24)k－1≡0(mod 55)30分或即有k＝5t,并代入该式得t＋5t[3＋(5t－1)_27]≡0(mod 52)即k＝5t＝53s,其中s为整数,故m－n＝500s,s为正整数同理可得l－n＝500r,r为正整数40分由于l＞m＞n,∴r＞s这样三角形的三边为500r＋n.500s＋n和n,由于两边之差小于第三边,故n＞500(r－s),因此当s＝1,r＝2,n＝501时三角形的周长最小,其值为3003．50分三．证:设这n个点的集合V＝{A0,A1,A2,……,An－1}为全集,记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为Bi,Bi中点的个数记为｜Bi｜＝bi,显然且bi≤(n－1) (i＝0,1,2,……,n－1)．若存在bi＝n－1时,只须取,则图中必存在四边形,因此下面只讨论bi＜n－1(i＝0,1,2,……,n－1)的情况． 10分不妨设q＋2≤b0＜n－1用反证法若图中不存在四边形,则当i≠j时,Bi与Bj无公共点对,即｜Bi∩Bj｜≤1(0≤i＜j≤n－1)因此(i＝0,1,2,……,n－1)故中点对的个数＝中点对的个数20分＝(当bi＝1或2时,令＝0)＝30分＝≥＝故(n－1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q＋2－b0)(nq－q－n＋3－b0)q(q＋1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q＋2－b0)(nq－q－n＋3－b0) ①40分但(nq－q－n＋3－b0)－q(n－b0－1)＝(q－1)b0－n＋3≥(q－1)(q＋2)－n ＋3＝0 ②及(nq－q＋2－b0)－(q＋1)(n－b0)＝qb0－q－n＋2≥q(q＋2)－q－n＋2＝1＞0③由②③及(n－b0) (q＋1).(n－b0－1) q皆是正整数,得(nq－q＋2－b0) (nq－q－n＋3－b0)＞q (q＋1) (n－b0) (n－b0－1)这与①式相矛盾,故原命题成立．50分。

全国高中数学联赛预赛试题(模拟)一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27．4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．5、设(212n n a +=，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201k k b ==∑ .12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：11152x y y z z x ++≥+++． 15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，且11nnk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与B A 算是同一个划分）．试确定集{}1,2,,12M =共有多少个“等和划分”．试题解答一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．答案：B ．解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则a b 的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.答：C ． 解：将2axy b-=代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()222212431260a a b b -+-≥，利用221a b +=，化简得22a b ≥，所以1ab≥．即(][),11,a b ∈-∞-+∞．3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则 CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27． 答案：B .解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。