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解三角形复习学案

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解三角形复习学案

1 解三角形

一.正弦定理：

1.正弦定理： （其中R是三角形外接圆的半径）

2.变形：①CBAcbasin:sin:sin::

②角化边 CRcBRbARasin2sin2sin2

③边化角 RcCRbBRaA2sin2sin2sin

练习：△ABC中，①BbAacoscos，则△ABC是 三角形。

②BaAbcoscos，则△ABC是 三角形。

3.三角形内角平分线定理：

如图△ABC中，AD是A的角平分线，则DCBDACAB

4.判断三角形解的个数：

△ABC中，已知锐角A，边b，则

①Abasin时，无解；

②Abasin或ba时，有一个解；

③baAbsin时，有两个解。

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积

1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21

2. rcbaSABC)(21,其中r是三角形内切圆半径.

注:由面积公式求角时注意解的个数

三.余弦定理

1.余弦定理：2a )cos1(2)(2Abccb

2b )cos1(2)(2Bacca

2c )cos1(2)(2Cabba

注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： Acos

Bcos

Ccos

注意整体代入，练习：Bacbcacos222 。

3.三角形中线：

△ABC中， D是BC的中点，则222221BCACABAD

4.三角形的形状

①若222cba时,角C是 角

②若222cba时,角C是 角

③若222cba时,角C是 角 A

C D B

Absin

A b

A

C D B 解三角形复习学案

2 练习:锐角三角形的三边为x,2,1,求x的取值范围; 钝角三角形的三边为x,2,1,求x的取值范围;

5.应用

用余弦定理求角时只有一个解

四.应用题

1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；

③将实际问题转化为数学问题； ④作答

2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

[高频考点]

考点一__利用正、余弦定理解三角形____________

(2014·高考安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

(1)求a的值；

(2)求sinA＋π4的值．

考点二__利用正、余弦定理判定三角形的形状_____

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

考点三__与三角形面积有关的问题______________

(2014·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A＝45，求△ABC的面积． 方位角 北 俯角

仰角 张角 解三角形复习学案

3

1．(2014·高考江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )

A．3 D．33

2．(2015·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于( )

A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶3∶2 D．2∶3∶1

3．(2015·石家庄质检)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，sin A、sin B、sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( )

4．(2013·高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

5．(2015·福建厦门检测)已知△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a＝1，b＝3，A＝30°，则c＝________．

6．(2014·高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________．

7．(2013·高考浙江卷)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且2asin B＝3b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

8．(必修5P118练习(3)改编)在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB＝1，CD＝DA＝2，对角线BD＝7.

(1)求BC；

(2)求四边形ABCD的面积．

9．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC的形状为________．

解三角形复习学案

4 10．(选做题)(必修5P25B组T3改编)是否存在满足以下条件的三角形，

①三边长是三个连续偶数；

②最大角是最小角的2倍．

若存在，求出该三角形的内切圆半径；若不存在，说明理由．

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相似三角形复习学案

相似三角形复习学案

相似三角形复习学案

复习目标：

相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。

1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。

2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。

3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。

一．知识要点：

1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段；

2、比例性质：

（1）基本性质：bcaddcba acbcbba2

（2）合比定理：ddcbbadcba

（3）等比定理：)0.(ndbbandbmcanmdcba

3、相似三角形定义：________________________________．

4、判定方法：______________________________________________________________________

5、相似三角形性质：

（1）对应角相等，对应边成比例；

（2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？）

（3）周长之比等于 ；

（4）面积之比等于 ．

6、相似三角形中的基本图形．

（1）平行型：（A型，X型） （2）交错型：

（3）旋转型： （4）母子三角形：

二、练习：

（一）、自我训练

训练1：判断 ABCDEABCDEABCDABCDEDABCE1．两个等边三角形一定相似。（ ）

2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2。（ ）

3．两个等腰三角形一定相似。（ ）

4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，则这两个三角形不相似。（ ）

解三角形(学案)

解三角形(学案)

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第一章 解三角形（学案）

1.已知△ABC中，30A，105C，8b，则等于（ ）A 4 B 42 C 43 D 45

2. △ABC中，45B，60C，1c，则最短边的边长等于（ ）A36 B 26 C21 D23

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°

4.△ABC中，coscoscosabcABC，则△ABC一定是 （ ）

A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形

5.△ABC中，60B，2bac，则△ABC一定是 （ ）

A 锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D 等边三角形

6.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )

A 有 一个解 B有两个解 C 无解 D不能确定

7. △ABC中，8b，83c，163ABCS，则A等于 （ ）

A o30 B o60 C o30或o150 D o60或o120

8.△ABC中，若60A，3a，则sinsinsinabcABC等于（ ）A 2 B21 C3 D23

9. △ABC中，:1:2AB，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（ ）

A 13 B 12 C 34 D 0

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）

中考复习学案--解直角三角形及其应用

中考复习学案--解直角三角形及其应用

图3解直角三角形及其应用

知识整理

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些边和角求未知的边和角叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型：已知一边，一锐角；已知两边．

3．解直角三角形的公式：

（1）三边关系：a2+b2=c2，

（2）角关系：∠A+∠B=_____，

（3）边角关系：sinA= ，cosA= ，tanA=

sinB= ，osB= tanB=

4．仰角、俯角，视角与 线的夹角（填水平或垂线）

5．方向角：OA：北偏东60°，OB：东南方向，OC：正东方向，OD：西偏南70°．

6．坡度：AB的坡度iAB= ，∠α叫坡角，

坡度是坡角的

（填正弦、正切或余弦）．

例题讲解

例1（07云南）已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长(结果保留根号).

例2如图，自40m高的甲楼楼顶测得乙楼楼顶的仰角为30，楼底的俯角为45，那么乙楼的楼高为 m

cbaACB

ACB例3（07包头）如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A•点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．

（1）试说明B点是否在暗礁区域处．．．；

（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．

例4 （07济南）如图表示一山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB的长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）

（1）求山坡路AB的高度BE．

（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？

（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781）

三角形复习学案

三角形复习学案

三角形复习学案

一、 知识概要

（1）三角形

360.180180)(外角和等于与它不相邻的内角一个外角大于任何一个角的和等于一个外交与它相邻的内邻的两个内角的和一个外角等于与它不相—性质—外角）（对于证明方法的理解—三角形内角和等于—内角与三角形有关的角角平分线中线高线的条件三边关系：构成三角形边与三角形有关的线段

（2）多边形

多边形36018022)3(外角和为）内角和为（条对角线一共nnn

(3)镶嵌：每个拼接点处各角的和为360°.

只用一种图形能够进行镶嵌的是：

正三角形、正方形、正六边形和任意形状的三角形和任意形状的四边形

二、经典例题

例1： 已知a、b、c是三角形的三边长，化简acbacbbac.

例2：等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两部分，求此三角形的腰长.

例3：如图，△ABC中，AB=2cm,BC=4cm, △ABC的高AD与CE的比是多少？

EDCBA例4：点P是△ABC内的任一点，BP交AC于点D，试判断∠BPC与∠A的大小关系. PDCBA

例5：(1)如图1，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相较于点O，试说明

∠BOC=A2190.

（2）如图2，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的外角的角平分线CD相交于点D，试说明∠A=2∠D.

（3）如图3，△ABC中，∠CBD的角平分线BO和∠BCE的角平分线CO相交于点0，试说明∠BOC=A2190.

OCBA EDCBA OEDCBA

图1 图2 图3

例6:如图一个四边形ABCD模板，设计要求AD与BC的夹角应为30°，CD与BA的夹角应为20°.现在已测得∠A=80°，∠B=70°，∠C=90°,请问：这块模板是否合适？并说明理由.