初中数学二次函数的图象变换：平移、对称与旋转

初中数学如何通过二次函数的参数确定其对称轴方程在初中数学中，二次函数是一个重要的概念，它可以用来描述很多实际问题，例如抛物线的形状、物体的运动轨迹等。

二次函数的对称轴是其图像的一个重要特征，它是函数图像关于某直线对称的轴线。

下面将详细介绍如何通过二次函数的参数确定其对称轴方程：二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数，且a不等于零。

对称轴方程可以通过以下步骤来确定：1. 确定平移项：平移是指把函数图像沿x轴或y轴方向移动。

平移的方向和距离由二次函数的参数决定。

首先，我们需要确定平移项。

平移项是二次函数中与x相关的项，即bx。

如果函数中没有平移项，即b等于零，那么二次函数的图像将不会发生平移。

2. 确定平移的方向和距离：平移的方向由平移项的符号决定。

如果b大于零，即正平移，图像将向左移动；如果b 小于零，即负平移，图像将向右移动。

平移的距离由平移项的绝对值决定。

具体来说，平移的距离等于平移项的绝对值除以2a的绝对值。

3. 计算对称轴的横坐标：对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两个对称的部分。

对称轴的横坐标可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)。

其中，x表示对称轴的横坐标。

4. 确定对称轴的方程：对称轴的方程可以通过直线的一般方程来表示，即y = k，其中k为对称轴的纵坐标，也就是二次函数在对称轴横坐标位置的函数值。

具体来说，k = f(x) = ax^2 + bx + c。

通过以上步骤，我们可以通过二次函数的参数a、b、c来确定其对称轴的方程。

对称轴是二次函数图像的重要特征，它可以帮助我们分析函数的对称性、解决实际问题以及绘制函数图像。

理解如何通过二次函数的参数确定对称轴方程，可以帮助我们深入理解二次函数的性质和图像特征。

二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学解密二次函数的变化规律二次函数是数学中非常重要的一类函数，它的图像形状是一个抛物线。

在初中数学中，我们通过学习二次函数的变化规律，可以更好地理解和应用这一概念。

本文将通过解密二次函数的变化规律，帮助我们更好地掌握这一知识点。

首先，我们来了解一下二次函数的一般式和顶点式。

二次函数的一般式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0；二次函数的顶点式为：y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k是常数，且a ≠ 0。

通过这两种表示方式，我们可以在具体问题中进行选择，便于计算和分析。

接下来，我们解密二次函数的变化规律。

二次函数在坐标系中的图像是一个抛物线，其变化规律可以描述为：当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。

这是因为a决定了抛物线的开口方向和形状，而顶点则决定了抛物线的最高点或最低点。

其次，我们来研究二次函数的平移。

平移是指将二次函数的图像在坐标系中沿x轴或y轴方向移动。

对于顶点式y = a(x - h)^2 + k，横向平移h个单位可以表示为：y = a(x - (h - t))^2 + k，其中t是平移的单位数；纵向平移k个单位可以表示为：y = a(x - h)^2 + (k - t)，其中t是平移的单位数。

通过平移，我们可以将二次函数的图像在坐标系中灵活地进行调整，便于我们观察和研究其性质。

此外，我们需要了解二次函数的对称性。

二次函数关于其自身的顶点对称。

换句话说，如果顶点坐标为(h, k)，那么(-h, k)也是图像上的一点。

这一性质可以通过二次函数的一般式和顶点式来进行证明。

对于一般式y = ax^2 + bx + c，通过平方完全平方公式可以转化为顶点式y= a(x - h)^2 + k，其中h = -b / (2a)，k = c - b^2 / (4a)。

因此，(-h, k)也是图像上的一点。

初中数学二次函数的图像的平移变换对开口方向有何影响
二次函数的图像的平移变换是指对二次函数的自变量x和因变量y进行变换，使得图像在平面上的位置发生平移。

平移变换对于二次函数图像的开口方向有以下影响：
1. 开口方向不变：平移变换不会改变二次函数图像的开口方向。

开口方向可以是向上开口（凹形）或向下开口（凸形）。

平移变换只会改变图像的位置，而不会改变开口方向。

2. 顶点的位置发生改变：平移变换会改变二次函数图像的顶点的位置。

顶点是二次函数图像的最高点（向下开口）或最低点（向上开口），它的坐标表示为(xv, yv)。

平移变换会使顶点的横坐标和纵坐标发生改变，从而改变图像的位置。

3. 平移方向和距离：平移变换会改变二次函数图像的位置。

平移的方向可以是水平方向或垂直方向，平移的距离可以是正数或负数。

水平方向的平移会使图像沿着横轴左右移动，而垂直方向的平移会使图像沿着纵轴上下移动。

4. 图像的形状和性质不变：平移变换不会改变二次函数图像的形状和性质。

开口方向、顶点的位置、对称轴、最小值或最大值等特征都保持不变。

平移变换只是改变了图像的位置，而不影响图像的形状和性质。

总结起来，平移变换对二次函数图像的开口方向没有影响。

平移变换会改变图像的位置，包括顶点的位置和整个图像沿着横轴或纵轴的移动。

然而，平移变换不会改变图像的形状和性质。

了解这些影响可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像。

二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。

在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。

本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。

一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。

平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。

常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。

1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。

具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。

这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。

2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。

具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。

这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。

二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。

翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。

常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。

1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。

具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。

这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。

2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。

具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。

例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。

这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。

三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。

②顶点式： y = a (x - h )2 + k 或 y = a x +⎪ + ④对称点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)＋b (a ≠0) 其中 x 1，x 2 是两个对称点的横坐标，b 是对称第五讲二次函数解析式及图形变换一、二次函数解析式四种形式：①一般式： y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)；⎛ ⎝b ⎫2 2a ⎭4ac - b 2 (a ≠ 0)； 4a③交点式： y = a (x - x )(x - x ) (a ≠ 0) 其中 x ，x 是方程 ax 2 + b x + c = 0 的两个实根。

1 2 1 2， 点纵坐标。

二、抛物线的平移、对称与旋转①平移：“左加右减，上加下减”。

②对称：关于 x 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 x 轴对称后得到图象的解析式是y = -ax 2 - b x - c 。

关于 y 轴对称： y = ax 2 + b x + c 的图象 y 轴对称后得到图象的解析式是 y = ax 2 - b x + c 。

关于原点对称： y = ax 2 + b x + c 的图象原点对称后得到 图 象 的 解 析 式 是 y = -ax 2 + b x - c 。

1．求二次函数 y = ax 2 + b x + c 与直线 y = kx + m 的交点，联立方程组 ⎨ 求解。

2．求二次函数 y = a x 2+ b x + c 与 y = a x 2+ b x + c 的交点，联立方程组 ⎨ 求解。

⎧⎪ y = a x 2 + b x + c ⎪⎩ y = a x 2 + b x + c ⑶（2007 朝阳二模）已知抛物线 y = ax 2 + b x(a ≠ 0) 的顶点在直线 y = -x - 1 上，当且仅当 ⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于 的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线三、二次函数与一元二次方程⎧ y = ax 2 + bx + c ⎩ y = kx + m1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2板块一 二次函数解析式【例1】 ⑴ 下列说法不正确的是（）A ．抛物线 y = ax 2 + b x - 3 与 y 轴的交点为 (0 ，- 3)B ．抛物线 y = ax 2 - 2ax + a 2 - 1 的对称轴为 x = 1C ．抛物线 y = ax 2 - a (m + 1)x + ma 与 x 轴的交点为 (m ，0)和 (1，0)D ．抛物线 y = a (x + π )2 - x 的顶点坐标为 (-π ，- x )⑵（2009 三帆单元测试）已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-1，0)，且经过直线 y = x - 3 与x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C ，则抛物线的解析式为。

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如y ax 2bx c （a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．a 02.二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．22.1.2 二次函数y ax 2的图象和性质1. 二次函数基本形式：y ax 2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x a0向上0 ，0y轴x0时，y有最小值 0．的增大而减小；x0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x a0向下0 ，0y轴x0时，y有最大值 0．的增大而增大；例 1．若抛物线y=ax2经过 P（ 1，﹣ 2），则它也经过()A ．（ 2，1） B．（﹣ 1， 2） C．（ 1， 2） D．（﹣ 1，﹣ 2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点 P（ 1， -2），∴x=-1 时的函数值也是 -2，即它也经过点（ -1， -2）．故选 D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例 2．若点 (2，-1) 在抛物线y ax2上，那么，当x=2 时， y=_________【答案】 -1【解析】试题分析：先把 (2， -1)直接代入yax2即可得到解析式，再把x=2 代入即可 .由题意得 4a 1 ，a 1，则 y1x 2，44当 x 2 时，y 14 1. 4考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. y ax 2 c 的性质：上加下减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0 时，y随a0向上0 ，c y轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y a0向下0 ，c y 轴x 0 时，y有最大值c．随 x 的增大而增大；例 1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点 P （ l，－ 2），则它也经过（）A．P1（－ 1，－ 2 ） B ．P2（－ l， 2 ）C． P3（ l ， 2）D． P4（ 2， 1）【答案】 A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2 +c 经过点 P （ l ，－ 2），且对称轴是y 轴，所以点 P （ l ，－ 2）的对称点是（－1，－2），所以 P1（－ 1，－ 2）在抛物线上，故选： A.考点：抛物线的性质 .例 2．已知函数 y=ax+b 经过（ 1， 3），（ 0，﹣ 2），则 a﹣ b=（）A．﹣ 1B．﹣ 3C． 3D． 7【答案】 D．【解析】试题分析：∵函数y=ax+b 经过（ 1， 3），（0，﹣ 2），a b 3a5∴，解得b ．b22∴ a﹣ b=5+2=7 ．故选 D．考点： 1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例 3．两条直线 y1＝ ax＋b 与 y2＝ bx＋ a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的()【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b 的值，看看是否矛盾即可．解： A 、由 y1的图象可知， a＜ 0， b＜ 0；由 y2的图象可知， a>0，b<0 ，两结论矛盾，故错误；B、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a＞ 0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误；C、由 y1的图象可知， a>0，b<0；由 y2的图象可知， a＜ 0， b＜ 0，两结论相矛盾，故错误；D、由 y1的图象可知， a＞0， b＞ 0；由 y2的图象可知， a<0， b<0 ，两结论相矛盾，故错误．故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当 k＞ 0， b＞ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当 k＞ 0， b＜ 0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当 k＜ 0， b＞ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当 k＜ 0， b＜ 0 时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22.1.3 二次函数y a x h2k 的图象和性质左加右减 .a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，0x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 0 ．随 x 的增大而减小；a0h，0x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y向下X=hx h 时，y有最大值 0 ．随 x 的增大而增大；2y a x hk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h，k x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，ya0向上X=hx h 时，y有最小值 k ．随 x 的增大而减小；h，k x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，ya0向下X=hx h 时，y有最大值 k ．随 x 的增大而增大；例 1．将二次函数y=x2﹣ 2x﹣ 3化成 y= （ x﹣ h）2+k 形式，则 h+k 结果为（）A．﹣ 5 B．5C． 3D．﹣3【答案】 D．【解析】试题分析： y=x 2-2x-3= （ x2-2x+1 ） -1-3= （ x-1）2-4．则h=1 ，k=-4 ，∴ h+k=-3 ．故选 D．考点 : 二次函数的三种形式．例2．把二次函数 y=x2+6x+4 配方成 y=a（ x-h）2+k 的形式，得 y=___ ，它的顶点坐标是 ___．【答案】（ x+3）2-5，（ -3， -5）【解析】试题分析： y= x2 +6x+4= ( x + 3)2-5 ，则顶点坐标为（－3，－ 5）．考点：二次函数的顶点式．3y 1 x23x4配方成y a x k2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.例．把二次函数2＝（－）【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝ 3【解析】试题分析： y= x2﹣ 3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（ 3，﹣），对称轴方程 x=3 ，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（ 1）平移步骤：方法一：（ 1）将抛物线解析式转化成顶点式2h ，k ；y a x hk ，确定其顶点坐标 （2）保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 ( k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k| 个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k（ 2）平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”．方法二：（ 1） yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax 2 bxc 变成yax 2 bx cm （或 y ax 2 bx c m ）2 y ax2 bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c变成（ ）ya( x m)2b(x m) c （或ya( x m) 2 b( x m) c ）例 1．将二次函数 y ＝ x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A ． y ＝ x 2－ 1B ． y ＝ x 2＋ 1C ． y ＝(x －1) 2D ． y ＝ (x ＋ 1)2【答案】 A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y ＝x 2 的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为： y ＝ x 2－ 1.故选 A.例 2．将二次函数y=x 2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是2B ． y=(x+1) 2+2A ． y=(x – 1)+22D ． y=(x+1) 2–2C ． y=(x – 1)– 2【答案】 A ．【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（ 0，0），向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y= （ x﹣ h）2+k ，代入得 y= （ x﹣ 1）2+2．故选 A．考点：二次函数图象与几何变换．例 3．将二次函数y x2的图象如何平移可得到y x 2 4 x 3 的图象（）A ．向右平移 2 个单位，向上平移一个单位B．向右平移 2 个单位，向下平移一个单位C．向左平移 2 个单位，向下平移一个单位D．向左平移 2 个单位，向上平移一个单位【答案】 C【解析】 y x24x 3 ( x 2) 21，根据二次函数的平移性质得：向左平移 2 个单位，向下平移一个单位.故选C.例 4．已知点 P（﹣ 1，m）在二次函数y=x 2﹣1 的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．【答案】 0， y=x 2﹣ 2x．【解析】∵点 P（﹣ 1， m）在二次函数y=x2﹣1 的图象上，∴（﹣ 1）2﹣ 1=m，解得 m=0，平移方法为向右平移 1 个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣ 1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣1=x 2﹣ 2x，即y=x 2﹣ 2x．故答案为： 0， y=x 2﹣ 2x．2、二次函数y a x2k 与 y ax2bx c 的比较h从解析式上看，y a x h 2ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即k 与 y2b2b，k4ac b2y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a3、二次函数y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.4、二次函数y ax2bx c 的性质b ，4ac 21. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为b．2a2a4a当 x b时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有最小值2a 2 a 2 a4ac b2．4a2b时， y 随x的增2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b．当x2a2a4a2a大而增大；当x b时， y 随x的增大而减小；当xb时， y 有最大值4acb2．2a2a4a例 1．当 a < 0 时，方程 ax2+bx+c=0 无实数根，则二次函数y=ax2 +bx+c 的图像一定在（）A 、 x 轴上方B、 x 轴下方C、 y 轴右侧D、 y 轴左侧【答案】 B【解析】试题分析：∵方程 ax2+bx+c=0 无实数根，∴ b2 +4ac<0，即函数图形与 x 轴没有交点又∵a < 0，∴二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像一定在 x 轴下方故选 B．考点：二次函数的性质例 2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则a、 b、 c 满足（）A、 a＜ 0， b＜ 0，c＞ 0 C、 a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0B、a＜ 0， b＜0， c＜ 0 D 、a＞ 0， b＜0， c＞ 0【答案】 A 【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜ 0，由与 y 轴交于正半轴得到c＞ 0，又由于对称轴x=-b＜0，可以得到b＜2a0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜ 0，∵与 y 轴交于正半轴，∴c＞ 0，又∵对称轴x=-b＜0，2a∴b＜ 0，所以 A 正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例 3．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x= ﹣ 1，给出下列结果：①b2＞ 4ac；② abc＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c＞ 0；⑤ a﹣ b+c＜ 0，则正确的结论是（）A. ①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x 轴有两个交点，可得△=b2﹣ 4ac＞ 0，即b2＞ 4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x= ﹣b＜ 0，与y 轴交于负半轴，因此可知ab＞ 0， c＜ 0， abc＜ 0，故②错误；根据抛物线对称轴为x= ﹣2ab=﹣ 1，∴ 2a﹣b=0 ，故③错误；2a当x=1 时， y＞ 0，即 a+b+c＞ 0，故④正确；当x= ﹣ 1 时，y＜0，即 a﹣ b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选 D．考点：二次函数图象与系数的关系例 4．如果二次函数y＝ ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么（）A． a＜ 0， b＞ 0，c＞ 0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0 C． a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0 D． a＞ 0， b＜ 0，c＜ 0 【答案】 D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞ 0，又对称轴在y 轴右侧，所以b＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y 2a轴的交点在x 轴下方，所以c＜0，所以 a＞ 0， b＜ 0， c＜ 0，故选： D．考点：抛物线的性质．例 5．已知抛物线y=ax2 +bx+c 与 x 轴的公共点是（﹣ 4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．【答案】 x=-1．【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（ 2， 0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1x2求解即可．2试题解析：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（ 2， 0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=考点：抛物线与x 轴的交点．4221，即x=-1．5、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；ax2.顶点式： y a( x2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；h)3.两根式： y a( x x1)( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .6、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c中，a作为二次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x b0 ，概括的说就是“左同右在 y 轴左边则ab 0，在 y 轴的右侧则ab2a异”总结：3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．7、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y2bx c 关于x轴对称后，得到的解析式是y2bx c ；ax axy a x h 2y a x h2 k 关于x轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax2bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；y a x h2y a x h2 k 关于原点对称后，得到的解析式是k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 °）y ax2bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx c b2；2ay a x h 2y a x h2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是k ．5. 关于点m，n 对称y a x 22k hk 关于点m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．22.2 二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函数y ax2bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当b 24ac 0 时，图象与x 轴交于两点1，02，0( x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程A x，B xax 2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1b24ac .a②当0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与 x 轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；ax3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y2c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象ax bx的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2ax bx c(a 0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点例．已知函数 y3x2 6 x k （k 为常数）的图象经过点A（．，y1），B（1．1， y2），10 8C（2，y3），则有（）A ．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2【答案】 C【解析】试题分析：因为函数y3x26x k 的对称轴是 x b6 1 ，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图2a6象的草图，观察图象可得：y3＞y1＞y2，故选：C．考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．例 2．已知二次函数y=x 2＋ 2mx ＋ 2，当 x＞ 2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是.【答案】 m≥-2．【解析】试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 2 列式计算即可得解．试题解析：抛物线的对称轴为直线x=- 2m=-m ，2 1∵当 x＞ 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，∴-m≤2，解得 m≥-2．考点：二次函数的性质．例 3．函数y x2bx c 的图象经过点（1， 2），则 b-c 的值为．【答案】 1【解析】试题分析：把点（1， 2）代入y x2bx c ，得：1 b c 2 ，所以 b c 1 .考点：函数图象上的点.例4．已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1 ．（ 1）求证： 2a+b=0；（ 2）若关于 x 的方程 ax2+bx ﹣ 8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根．【答案】（ 1）见解析；（ 2） x=－ 2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（ 1）中所求，再将 x=4 代入方程求出 a， b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（ 1）证明：∵对称轴是直线x=1= ﹣b，∴ b=－2a∴ 2a+b=0；2a（2）∵ ax2+bx﹣ 8=0 的一个根为 4，∴ 16a+4b﹣ 8=0 ，∵ b= ﹣ 2a，∴ 16a﹣ 8a﹣ 8=0 ，解得： a=1，则 b=﹣ 2，∴ a x2 +bx ﹣ 8=0 为：x2﹣ 2x ﹣ 8=0，则（ x﹣ 4）（ x+2 ） =0，解得：x1 =4，x2 =﹣ 2，故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点例 5．已知函数y x2bx1的图象经过点（3， 2）．（ 1）求这个函数的解析式；（ 2）当x 0时，求使y 2 的x的取值范围．【答案】（ 1）y x22x1；（2）x 3 ．【解析】试题分析：（ 1）把（ 3， 2）代入函数解析式求出 b 的值，即可确定出解析式；（ 2）利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可．试题解析：（ 1）∵函数y x2bx 1的图象经过点（3， 2），∴9 3b1 2 ，解得： b 2 ，则函数解析式为： y x22x1；（ 2）当x 3时，y 2 ，根据二次函数性质当x 3时， y2，则当 x0时，使 y 2的x的取值范围是x 3．考点：待定系数法求二次函数解析式．22.3 实际问题与二次函数例 1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）【答案】 C【解析】试题分析： A 、对于一次函数 a＜ 0，对于二次函数 a＞ 0，则不正确； B 、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确； C、正确； D、对于一次函数 b＜ 0，对于二次函数 b＞ 0，则不正确．考点：函数图象例 2．学生校服原来每套的售价是100 元，后经连续两次降价，现在的售价是81 元，则平均每次降价的百分数是（）A．9%B．8．5%C． 9．5% D ．10%【答案】D．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100 元×（ 1-下降率）2=每套校服现在的售价是81 元”，列出方程100（ 1-x）2 = 81元，解得x 即可，故答案选 D ．考点：一元二次方程的应用．。

中学数学二次函数解题技巧数学二次函数解题技巧，各位同学知道怎么简单的节函数吗?看看下面吧!大家不需要看到函数就怕怕，其实有技巧的哦!初中数学函数解题技巧1、注重类比思想不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法。

初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。

因此阳光学习网刘老师指出，采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。

是一种既经济又实效的教学方法。

2、注重数形结合思想数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。

而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的数形结合。

函数图象就是将变化抽象的函数拍照下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。

3、注重自变量的取值范围自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。

正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。

这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。

4、注重实际应用问题学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。

这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函数与实际的应用。

初中掌握数学解题方法和技巧很重要，在德智教育网一线名师将在线对我们进行一对一辅导数学函数，让同学们能够掌握函数的基本知识点，效地形成类比和数形结合等数学思想，从而形成自己的在数学函数方面的解题方法和技巧。

初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a 0，且a决定函数的开口方向，a 0时，开口方向向上，a 0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y 为x的二次函数。

初中数学二次函数的图像的平移变换如何影响图像的位置
二次函数的图像的平移变换是通过改变二次函数的参数来实现的，其中包括改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变二次函数的平移方向。

以下是对二次函数图像的平移变换如何影响图像位置的详细解释：
1. 改变顶点的横坐标：将二次函数的顶点从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的横坐标实现。

如果我们将顶点的横坐标加上一个正数a，那么图像会向右平移 a 个单位；如果我们将顶点的横坐标减去一个正数a，那么图像会向左平移 a 个单位。

2. 改变顶点的纵坐标：将二次函数的顶点的纵坐标从原点(0, 0) 平移到其他位置，可以通过改变顶点的纵坐标实现。

如果我们将顶点的纵坐标加上一个正数b，那么图像会向上平移b 个单位；如果我们将顶点的纵坐标减去一个正数b，那么图像会向下平移b 个单位。

3. 改变平移方向：除了改变顶点的横坐标和纵坐标，我们还可以通过改变二次函数的平移方向来实现图像的平移变换。

当a 的值为正数时，二次函数图像向右平移；当 a 的值为负数时，二次函数图像向左平移。

同样地，当b 的值为正数时，二次函数图像向上平移；当b 的值为负数时，二次函数图像向下平移。

通过改变顶点的横坐标和纵坐标以及改变平移方向，我们可以实现二次函数图像的平移变换。

这些变换会影响图像的位置，使图像在坐标平面上移动到新的位置。

理解和运用平移变换的概念和方法，有助于我们分析和解释二次函数图像的位置和变化。

需要注意的是，平移变换只会改变二次函数图像的位置，而不会改变图像的形状。

图像的形状由二次函数的系数决定。

平移变换是一种基本的图像变换，也是了解和应用二次函数图像的重要工具之一。

数学篇学思导引平移、轴对称、旋转是图形变换的三种基本形式.二次函数的图象也有这三种变换形式.二次函数的图象经过平移、对称与旋转变换后，图象的位置会发生变化，从而也会引起解析式的变化.那么如何求图象变换后函数的解析式呢？由于函数图象是由点构成的，函数图象位置的变化实质上就是图象上点的位置的变化，而坐标决定点的位置，因此求图象变换后的二次函数的解析式，只要求出变换后的图象的某些点的坐标即可.一、平移变换抛物线的平移实质就是顶点的平移，二次项的系数不会改变，所以解题时先利用配方法将解析式化成顶点式，确定其顶点坐标，然后作出二次函数的图象进行平移，平移的变化规律可以归纳为以下几种：1.上下平移当抛物线y=a(x-b)2+c往下平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c-k；当抛物线y=a(x-b)2+c往上平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c+k.2.左右平移当抛物线y=a(x-b)2+c向右平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b-k)2+c；当抛物线y=a(x-b)2+c向左平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b+k)2+c.例1将抛物线y=-x2向左平移一个单位，接着再将其向上平移3个单位，最终可得到的二次函数解析式为（）.A.y=-(x+1)2+3B.y=-(x-1)2+3C.y=-(x+1)2-3D.y=(x-1)2+3解析：首先将抛物线y=-x2向左平移1个单位得到解析式y=-(x+1)2，然后再将其向上平移3个单位后得到解析式y=-(x+1)2+3，因此本题正确答案为A项.例2当抛物线y=x2+ax+b的函数图象往右平移2个单位，然后再往下平移3个单位，最终得到抛物线的表达式为y=x2-2x-3，那么原本解析式中的a和b的取值分别为（）A.a=2，b=-3B.a=-2，b=-3C.a=2，b=0D.a=-2，b=2解析：通过变形y=x2-2x-3=(x-1)2-4得出顶点坐标是（1，-4），那么可以反推出将y=x2-2x-3的函数图象往上平移3个单位然后再往左平移2个单位，就能够得到所求解析式y=x2+ax+b，因此y=x2+ax+b的顶点坐标是（-1，-1），即函数解析式y=(x+1)2-1=x2+2x，由此可得a=2，b=0，因此本题正确答案为C项.二、对称变换二次函数图象的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、顶点对称、任意点对称五类.对称变换后抛物线的解析式随对称中心的不同而不同，可以用一般式或顶点式表达：1.关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称的函数解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称的函数解析式是y=-a(x-h)2-k；2.关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称的函数解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称的函数解析式是y=a(x+h)2+k；3.关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称的函数解析式是y=-ax2+bx-c；y=a(x-h)2+k关于原点对称的函数解析式是y=-a(x+h)2-k；例谈二次函数图象的三种变换江苏省盐城市鹿鸣路初级中学吴越28数学篇学思导引4.关于顶点对称y =ax 2+bx +c 关于顶点对称的函数解析式是y =ax 2-bx +c -b 22a；y =a (x -h )2+k 关于顶点对称的函数解析式是y =-a (x -h )2+k ；5.关于任意点对称y =a (x -h )2+k 关于任意点（m ,n ）对称的函数解析式是y =-a (x +h -2m )2+2n +k例3在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-4x +5与y 轴相交于点C ，则该抛物线关于点C 对称的抛物线的表达式为（）.A.y =-x 2-4x +5B.y =x 2+4x +5C.y =-x 2+4x -5D.y =-x 2-4x -5解析：先求出C 点坐标，当x =0时，y =5，所以C 点坐标为（0，5），设新抛物线上的点的坐标为(x ,y )，因为原抛物线与新抛物线关于点C 对称，由2×0-x =-x ，2×5-y =10-y ，所以对应的原抛物线上点的坐标是(-x ,10-y )，代入原抛物线解析式可得：10-y =(-x )2-4×(-x )+5，得出y =-x 2-4x +5，故选A 项．例4求抛物线y =-x +2x +3关于原点O 对称的抛物线的解析式.解析：因为点P (1，4)关于原点O 的对称点为P (-1，-4)，而且抛物线y =-x 2+2x +3关于原点O 对称的过程中开口方向由向下变为向上，所以所求抛物线的解析式为y =(x +1)2-4，即y =x 2+2x -3.三、旋转变换二次函数图象的旋转问题由于受限于函数这一前提，故只能将二次函数图象旋转180°.抛物线绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点(-m ,k )关于原点的对称点为(m ,-k )，所以抛物线y =a (x +m )2+k 绕原点旋转180°后所得的抛物线为y =-a (x -m )2-k .图象旋转后形状不变，开口方向和顶点坐标均改变.若抛物线绕顶点旋转180°，则抛物线的形状、顶点坐标不变，只是改变了抛物线的开口方向.故只需将原抛物线的解析式配成顶点式，然后改变“a ”的符号即可.例5当二次函数解析式y =x 2-2x +3绕原点旋转180°，最终所呈现出的函数图象解析式是__________.解析：将抛物线y =x 2-2x +3化简成y =(x -1)2+2，可以得出顶点坐标是（1，2），将此点围绕原点旋转180°之后可以获得新的顶点坐标（-1，-2），因此本题所求的二次函数图象的解析式是y =-(x +1)2-2.例6在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y =x 2+5x +6，则原抛物线的解析式是（）.A.y =-(x -52)2-114B.y =-(x +52)2-114C.y =-(x -52)2-14 D.y =-(x +52)2+114解析：可先求出绕原点旋转180°的抛物线的解析式，再求出向下平移3个单位长度的解析式.因为抛物线的解析式为y =x 2+5x +6，所以绕原点旋转180°变为y =-x 2+5x -6，即y =-(x -52)2+14，然后向下平移3个单位长度的解析式为y =-(x -52)2+14-3=-(x -52)2-114．故选A 项．以二次函数为背景的几何图形的变换问题是近年来各地中考的热点问题.解答此类问题时，要抓住函数图象变换中变与不变的因素，理清点的坐标变化、函数图象变化、函数解析式变化之间的关系，从而找到解题的突破口，提升解答函数问题的能力.29。

初中数学二次函数与图形变换知识点移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。

2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。

3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180&deg;的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。

例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180&deg;，则所得的抛物线的函数解析式为________分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180&deg;后，a值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。

以上内容只是向同学们提供了解决此类问题的一种思考方法和解题思路，同学们不妨试一试。

二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c (a ≠0)的图象与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b =0，则y=ax 2+c ； 若c =0，则y=ax 2+bx ； 若b=c =0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax 2（a ≠0）；②y=ax 2+k （a ≠0）；③y=a(x-h)2（a ≠0）；④y=a(x-h)2+k （a ≠0），其中abh 2-=,a b ac k 442-=；⑤y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；3. 两根式：))((21x x x x a y --=（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.x 240b ac -≥要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。

二次函数的平移、翻折与旋转
陈文倩
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()9
【摘要】二次函数是初中数学中一种重要的代数函数,而二次函数问题在中考中同样也是热点问题.本文主要对二次函数的平移、翻折与旋转问题进行分析.
【总页数】2页(P2-3)
【作者】陈文倩
【作者单位】江苏省扬州市梅岭中学教育集团运河中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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