高中数学三角形面积解题技巧

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目（附答案）三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .题型一：三角形面积的计算1.(2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．2.△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 题型二：与三角形有关的综合问题（一）：与三角形面积有关的综合问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . （二）：三角形中的最值问题4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．巩固练习：1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C.3D ．232．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.873．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．49．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .11.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．参考答案：1.[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2.解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.3.解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.4.解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 巩固练习：1.解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3.解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4.解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.5.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.6.解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.7.解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.8.解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.9.解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.10.解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.11.解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.。

海伦公式求三角形面积推导面向小学生的文章《神奇的海伦公式，轻松求三角形面积》小朋友们，今天我们来一起探索一个超有趣的数学知识——海伦公式，它能帮我们轻松算出三角形的面积哟！比如说，有一个三角形，它的三条边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米。

我们可以用海伦公式来算算它的面积。

那什么是海伦公式呢？其实很简单啦，就是先算出半周长，也就是三条边相加再除以 2。

这个三角形的半周长就是（3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 厘米。

然后呢，用这个半周长去乘以半周长分别减去三条边的差，再开平方，就是三角形的面积啦。

是不是很神奇？大家快来试试吧！《小朋友也能懂的海伦公式推导》小朋友们，咱们一起来玩个数学游戏！今天要讲的是海伦公式，它能让我们知道三角形的面积有多大。

比如说，有一个三角形，就像我们的三角板那样。

它的三条边长度都不一样。

那怎么知道它的面积呢？这时候海伦公式就来帮忙啦！我们先把三条边的长度加起来，然后除以 2，这就得到了一个很重要的数。

接着，我们用这个数去做一些有趣的计算，就能算出三角形的面积啦！就像我们做拼图游戏一样，一步一步来，就能拼出漂亮的图案，也就是算出三角形的面积。

大家加油，看看谁能最先学会用海伦公式！《轻松学会海伦公式，计算三角形面积》小朋友们，你们知道吗？有一种神奇的公式可以算出三角形的面积，它叫海伦公式。

假设我们有一个三角形，它的三条边就像三根小木棒，长度分别是 2 厘米、3 厘米和 4 厘米。

我们先用 2 + 3 + 4 = 9 厘米，然后除以 2 得到 4.5 厘米。

这4.5 厘米可重要啦！是不是很像变魔术？大家快来试试，用这个魔法公式算出更多三角形的面积吧！《探索海伦公式，算出三角形面积的秘密》小朋友们，今天咱们要一起去探索一个数学的小秘密，那就是海伦公式怎么算出三角形的面积。

想象一下，我们有一个三角形的花园，三条边的长度不太一样。

我们想要知道这个花园有多大，这时候海伦公式就派上用场啦！先把三条边的长度加起来除以 2，得到一个数。

高中数学公式整理：三角形面积公式由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。

三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

面积公式：(1)S=ah/2(2).已知三角形三边a,b,c，则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)](3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2 高中数学* absinC(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为rS=(a+b+c)r/2(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为RS=abc/4R(6).根据三角函数求面积：S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R为外切圆半径。

高中数学公式整理：圆柱体积公式长方形的周长=(长+宽)×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b) S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2=mh圆r-半径d-直径C=πd=2πrS=πr2=πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360)S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r-底半径h-高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=πr2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=πr2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).。

6.解三角形的实际应用举例教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握利用正、余弦定理及其推论，掌握方位角，三角形面积计算等问题.2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.3.体会数学的实用性.教学过程一、航海问题.1.方位角的识别：（1）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.（2）方向角：从指定方向到目标方向线所成的角.例1：分别用方位角和方向角表示右图中A 、B 的方向.A 点：________________________________________B 点：________________________________________例2：甲船在A 点发现乙船在北偏东60的B 处，乙船以每小时10海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时310海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？练2：某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角 45，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以310海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.二、三角形的面积公式： 1.高底⨯⨯=21S ；（已知底和高）. 2.B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===；(已知两边及夹角) 例3：已知的面积为，且，则A=_________.练3：在ABC ∆中，已知23=a ，31cos =C ，34=∆ABC S ，求边b 的长.作业 1.一艘海轮从A 处出发，以40海里/小时的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向为南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向为北偏东 65，那么B 、C 之间的距离为多少？。

1高中数学-必修二6.3解三角形-知识点1、正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 是三角形的外接圆半径）。

常见变形：① sinA ：sinB ：sinC= a ：b ：c ；② a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；③sinA=R 2a ，sinB=R 2b ，sinC=R 2c。

★在满足等号两边（或是分子与分母）齐次的情况下，可将正弦值和边相互切换。

比如：若b=a cosC ，则可快速切换为sinB = sinA cosC 。

2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 +2bc cosA ；b 2 = a 2 + c 2 +2ac cosB ；c 2 = a 2 + b 2 +2ab cosC ；cosA =bc 2a c b 222-+，cosB =ac 2b c a 222-+，cosC =b a 2c b a 222-+。

3、三角形面积公式：S=21absinC = 21bcsinA = 21acsinB .4、解斜三角形时，如果已知条件是 SAS ， ASA ， AAS ， SSS ，则有 唯一 解；如果已知条件是 SSA ，则可能 一 解，也可能 两 解，要根据题目条件去判断。

5、在三角形中，大边对大角，小边对小角，等边对等角。

也就是说，非最长边所对的角，一定是锐角，而最长边所对的角，可能是锐角，可能是直角，可能是钝角。

6、在求角时，我们尽量用cos 而不用sin ，因为cos 在锐角和钝角的情况下，值是不一样的，这样就简化了计算，避免了讨论。

7、在三角形角的计算中，要熟练运用sinA = sin （B+C ），cosA = -cos （B+C ），tanA = -tan （B+C ）。

8、题型：三角形形状的判断。

主要看是否是等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。

9、反正弦：arcsinx(x ∈[-1 ,1 ])表示一个在[-π/2，π/2]范围中且正弦值为x 的角。

面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设A ABC,恥,c分别为角A,B,C的对边，％为。

的高,R、r分别为△ ABC外接圆、内切圆的半径，p = ^(a + b + c).则△ABC的面2积有如下公式：(1)S SABC = g 叽；(2)sin A(3)S Mli c =jp(p-a)(p-b)5-c)(4)S AABC=^f'(a + b + C)= P r(5)_ abc AOC 4R(6)S RBC =2R\ sin Asin BsinC(7)c a2 sin BsinC 2sin(B + C)(8)S MBC=£乙(方+ c_d)(9)1 7S RBC =—斤(sin2A + sin2B + sin2C)2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和；(2)两个全等形的面积相等；(3)等底等髙的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等；(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比；(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；(6)共边比例定理：若和△"3的公共边所在直线与直线PQ交于M,则S阳：S^B =PM:QM;(7 )共角比例定理：在△ ABC和△ A'B'C中，若ZA = Z/V或ZA + ZA f = \8(r,贝I」也!=.八〃竺.S M*A® •AC3.张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA、PB、PC,设ZCPB=J3 , ZAPB=a + p<\^ ,则A,3,C三点共线的充要条件是：sin a sin p sin(a + 0)---- 1 ---- = ---------- •PB PA PC例题分析例1・梯形ABCD的对角线AC.BD相交于0 ,且S M = m , S”。

面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式：（1）； （2） （3） （4）（5） （6） （7）（8） （9） ABC c b a ,,C B A ,,a h a R r ABC )(21c b a p ++=ABC a ABC ah S 21=∆A bc S ABC sin 21=∆))()((c p b p a p p S ABC ---=∆pr c b a r S ABC =++=∆)(21Rabc S ABC 4=∆C B A R S ABCsin sin sin 22=∆)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆)(21a c b r S a ABC -+=∆)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；（7）共角比例定理：在△和△中，若或，则． 3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是： ． 例题分析例1．梯形的对角线相交于，且，，求例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积．例3．是△内一点，连结并延长与分别PAB QAB AB PQ M QM PM S S QAB PAB ::=∆∆ABC C B A '''A A '∠=∠︒='∠+∠180A A C A B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆P PC PB PA ,,α=∠APC β=∠CPB ︒<+=∠180βαAPB C B A ,,PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+ABCD BD AC ,O m S AOB =∆n S COD =∆ABCD S ABCDE 1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABCS S S S S G ABC CG BG AG ,,AB CA BC ,,交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积．例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值．例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示的面积．求证：． 例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：．例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证：（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；（2）三角形的面积至少是三角形的四倍． 例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：． 例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等．F E D ,,AGF BGF BGD ABC R Q P ,,ABC BC AB ,CA 1====RC QR PQ BP ABC ABC DE BC FG CA HI AB IH G F E D ,,,,,ABC 1S DGHEFI 2S ABC 2132S S ≥ABC AD BC ABD ACD AB AC K L ABC AKL S T T S 2≥ABC A 1A 1B 1C 1AA B C 0A 0B 0C 000C B A 111CB BA AC 000C B A ABC ABC R Q P ,,Q P ,AB 92>∆∆ABC PQRS S ABC BC E F CAF BAE ∠=∠AB FM ⊥AC FM ⊥N M ,AE ABC D AMDN ABC三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积． 例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：． 例12．在内，且∽，求征：例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积．例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分．例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：． 例16．正△正△，，，，， ，．求证：．例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点．例18．已知是正六边形的两条对角线，点分ABCDEF O 13+===DC BC AB 1===FA EF DE ABC ∆c b a >>AC AB B A ='BA BC C B ='CB CA A C ='C B A ABC S S '''∆∆>C B A '''∆ABC ∆ABC ∆C B A '''∆ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ABC ∆AB CA BC ,,F E D ,,EA CE DC BD 3,3==FB AF 3=CF BE AD ,,PQR ABC PQR E ABCD AB AD EF ⊥F BC EH ⊥H CD EG ⊥G EF FH ,,,c b a ABC ∆I AC AB ,N M ,bc a IN MI +≤PQR ≅R Q P '''1a AB =1b BC =2a CD =2b DE =3a EF =3b FA =232221232221b b b a a a ++=++ABC ∆O O AB CA BC ,,C B A ''',,C C B B A A ''',,P CE AC ,ABCDEF N M ,别内分，且使，如果三点共线，试求的值．例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切．训练题1．设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积．2．过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积．3．在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的． 4．锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积．5．在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：．6．三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长． ACCE k CE CN AC AM==N M B ,,k ABCD CD AB BC AD AB CD ABC ∆2cm F E D ,,CA BC AB ,,,3,2cm DB cm AD ==DBEF ABE S S =∆ABE ∆ABC ∆ABC ∆321,,S S S ABC ∆ABC ∆CA BC AB ,,L K M ,,AML ∆CLK BKM ∆∆,ABC ∆41ABC ∆A BC L N L AB AC LK LM M K ,AKNM ABC ∆ABC BC D BC DC 31=AD BE ⊥AC E EC AE =n m l ,,n l ,m m l ,2n m ,ABC ∆n m l ,,ABC ∆7．已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：． 9．已知P 是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值．10．过点P 作四条射线与直线分别交于和，求证：． 11．四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：． 12．为的重心，过作直线交于，求证：．321P P P ∆P P P i iQ 3,2,1=i 332211,,PQ P P PQ P P PQ P P D E ABC ∆AB BC K M DE BK BM AC T P AC TP 31≤ABC ∆CP BP AP ,,C B A ''',,x AP =w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,3,23==++w z y x xyz l l ',D C B A ,,,D C B A '''',,,CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅ABCD L K ,L K ,BD AC ,F G ,KGLG KF LF=G ABC ∆G AC AB ,F E ,GF EG 2≤。

大一轮复习 解三角形☆☆☆考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理asin A＝b sin B ＝csin C＝2R ,其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

变式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

在变形中，注意三角形中其他条件的应用：余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量；②已知三边求角如何判断三角形的形状：判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。

例如当a 2＋b 2<c 2时判断三角形的形状，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，得∠C 为钝角，则三角形为钝角三角形。

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3．解三角形：在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。

第二课时三角形中的几何计算预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？[新知初探]三角形的面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[点睛]三角形的面积公式S＝12ab sin C与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√(2)×(3)√2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝()A.32 B.332C. 3 D．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．等腰△ABC 中，顶角A ＝30°，腰长AB ＝1，则底边BC ＝________. 解析：易知∠B ＝∠C ＝75°， 由正弦定理知：BC sin 30°＝1sin 75°， ∴BC ＝6－22. 答案：6－22[典例] (2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用]△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.三角恒等式证明问题 [典例] 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：[法一 化角为边]左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2bb 2－c 2＋a2 ＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A ＝右边，其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[法二 化边为角]左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos Bsin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.1．三角恒等式证明的三个基本原则： (1)统一边角关系． (2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本方法(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[活学活用]在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边，所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . 解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，B ＝3A ，求ba 的取值范围．解：由正弦定理，得 b a ＝sin B sin A ＝sin 3A sin A ＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝π，B ＝3A ，∴A ＋B ＝4A <π， ∴0<A <π4，∴22<cos A <1，∴1<4cos 2A －1<3，∴ba ∈(1,3)．故ba 的取值范围为(1,3)． 题点三：三角形中的最值问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值． 解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sinC .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.(1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获解．(2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．(3)解三角形时，角的取值范围至关重要．角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3D ．2 3解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2解析：选A 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.答案：5628．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2A ＝223， ∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.答案：9289．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922. 层级二 应试能力达标1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15C ．2 D ．3解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4， ∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 解析：选D∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403. 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________.解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4，于是AB ·AC ＝|AB |·|AC |·cos A ＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan C tan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2， 又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin C (sin B cos A ＋cos B sin A )sin A sin B cos C＝sin C sin (B ＋A )sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2aba 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：47．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.8.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值． 解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin 2π3＝DC sin ⎝⎛⎭⎫π3－C， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选B ∵sin A ＝sin C 且A ，C 是三角形内角， ∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形．3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53B.23C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋22D ．2 3解析：选B ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154 B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时解析：选B 在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．12.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.3636解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C. ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 314．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的值为________． 解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.答案：1315．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：15210416．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin Csin A＝5. 18.(12分)如图，观测站C 在目标A 的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C 处观测到与C 相距31 km 的B 处有一人正沿此公路向A 处行走，走20 km 到达D 处，此时测得C ，D 相距21 km ，求D ，A 之间的距离．解：由已知，得CD ＝21 km ，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ， 在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD ·BD ＝－17.设∠ADC ＝α，则cos α＝17，sin α＝437，在△ACD 中，由正弦定理得，AD sin ∠ACD ＝CD sin ∠CAD，得AD sin (60°＋α)＝21sin 60°，所以AD ＝423sin(60°＋α)＝423⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝15(km)，即所求D ，A 之间的距离为15 km.19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝2π3，sin A ＝45，b ＝2 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积S .解：(1)∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝2π3，sin A ＝45，∴C ＝π3－A ，cos A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝32cos A －12sin A ＝33－410. (2)由(1)知sin C ＝33－410，又∵B ＝2π3，b ＝23， ∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝165，∴S ＝12ab sin C ＝12×165×23×33－410＝72－32325.20．(12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．解：由题意知AB ＝40，∠A ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120° ＝402＋402－2×40×40×⎝⎛⎭⎫－12＝402×3， 所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝60×43＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200， 所以PC ＝407海里．22．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cosA ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， ∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6. (2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。