2020高考数学复习 直线的倾斜角与斜率(1课时)

直线的倾斜角与斜率一、课标解读1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历由代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能根据斜率判定两直线平行或垂直。

二、要点点拨1．直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00，因此直线倾斜角α的取值范围为000180α≤<。

注意：（1）清楚定义中的三个条件：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的角。

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴正方向的倾斜程度。

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

2．直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率常用小写字母k 表示，即tan k α=。

注意：（1）当倾斜角是090时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此时直线垂直于x 轴（或平行于y 轴或与y 轴重合）。

（2）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率。

（3）直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。

3．斜率公式经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为2121y y k x x -=-。

注意：（1）斜率公式表明直线相对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便。

（2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是21y y -，分母必须是21x x -；反过来，如果分子是12y y -，分母必须是12x x -。

高一数学复习考点知识讲解课件§1.1直线的斜率与倾斜角考点知识1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．导语我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？一、直线的斜率问题1交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝上升高度水平距离＝DBAD.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？提示坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦．问题2若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，你能用一个量反应直线l 的倾斜程度吗？提示可以用y 2－y 1x 2－x 1的符号及大小反应直线l 的倾斜程度．问题3运用k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)计算直线AB 的斜率时，需要考虑A ，B 的顺序吗？提示k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A ，B 两点的顺序无关． 知识梳理对于直线l 上的任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， (1)如果x 1≠x 2：①由相似三角形的知识可知，y 2－y 1x 2－x 1是一个定值，我们将其称为直线l 的斜率．k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．②直线的斜率也可以看作k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝纵坐标的增量横坐标的增量＝ΔyΔx .(2)如果x 1＝x 2，那么直线l 的斜率不存在． 注意点：直线与x 轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式．例1如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)．(1)试计算直线l 1，l 2，l 3的斜率；(2)若还存点Q 4(a ,3)，试求直线PQ 4的斜率． 解(1)由已知得，直线l 1，l 2，l 3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3.则由斜率公式得k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.(2)当a ＝3时，直线PQ 4与x 轴垂直，此时其斜率不存在．当a ≠3时，其斜率k ＝3－2a －3＝1a －3. 反思感悟(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．(2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l 1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l 2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l 3)，直线与x轴平行或重合．跟踪训练1经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)；(4)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在．(4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝43－a.二、直线的倾斜角知识梳理1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.(3)倾斜角α的范围为[0，π)．2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°.(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°.(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tanθ＝y2－y1x2－x1.例2(1)(多选)下列命题中，正确的是()A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练2已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．解∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°.三、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．知识梳理设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大注意点：正切函数在[0，π)上不单调．例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1，(1)要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)． (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．知识清单：(1)直线斜率的定义和斜率公式．(2)直线的倾斜角及其范围．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于() A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由题意知，tan45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为________．答案92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ·k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1) 答案0°<α≤90°解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是() A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)答案D解析D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在．2．(多选)已知直线斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角可以为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案BC解析由题意得直线的斜率为3或－3，故直线的倾斜角为60°或120°.3．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为()A ．－1B ．1C ．2D.43答案D解析由m －(－2)3－m＝2，得m ＝43. 4．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案C解析∵直线的斜率k ∈(－∞，3]，∴k ≤tan π3，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.5．若A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则实数m 的值为() A ．2B ．－2C.52D ．－12答案C解析因为A (－2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线， 所以k AB ＝k AC ，即3－2－2－3＝3－m －2－12， 所以－15＝3－m －52，解得m ＝52. 6．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是()A ．[0,2]B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 答案A解析如图所示，当直线l 在l 1的位置时，k ＝tan0°＝0；当直线l 在l 2的位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．7．已知点A (1,2)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．答案(3,0)或(0,3)解析由题意知，k P A ＝－1，若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为P (m ,0)(m ≠1)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3，即P (3,0)．若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，即P (0,3)．综上，点P 的坐标为(3,0)或(0,3)．8．若经过点A (1－t ,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是________．答案(－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t<1.9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?(4)直线的倾斜角为45°？(5)直线的倾斜角为锐角？解(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝1 3，即1－mm＋1＝13，解得m＝12.(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即m－1－1－m＝1，解得m＝0.(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即m－1－1－m>0，解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以k OD＝k BC＝tan60°＝ 3.因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以k OB＝k CD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以k OC＝tan30°＝33，k BD＝tan120°＝－ 3.11．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析设A (a ，b )是直线l 上任意一点，则平移后得到点A ′(a －2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA ′＝b ＋2－b a －2－a＝－1. 12．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ 34<k <2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >2或k <34 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k >34D ．{k |k <2} 答案A解析∵k AP ＝3－12－1＝2，k BP ＝－2－1－3－1＝34，如图，∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，2. 13．已知直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析当倾斜角α＝π2时，l 的斜率不存在； 当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2时，l 的斜率k ＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4时，l 的斜率k ＝tan α∈(－∞，－1]． 综上，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．已知O (O 为坐标原点)是等腰直角三角形OAB 的直角顶点，点A 在第一象限，∠AOy ＝15°，则斜边AB 所在直线的斜率为________．答案33或－ 3解析设直线AB 与x 轴的交点为C ，(图略)则∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO ＝180°－∠A －∠AOC ＝180°－45°－75°＝60°.所以k AB ＝tan30°＝33或k AB ＝tan120°＝－ 3.15．已知函数f (x )＝log 3(x ＋2)，若a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为()A.f (c )c <f (b )b <f (a )aB.f (a )a <f (b )b <f (c )cC.f (c )c <f (a )a <f (b )bD.f (a )a <f (c )c <f (b )b答案B解析作出函数f (x )＝log 3(x ＋2)的大致图象，如图所示．由图象可知，y 轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f (a )a <f (b )b <f (c )c .故选B.16．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，求y －1x －2的取值范围． 解y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率．因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32， 又k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

第38讲 直线的倾斜角与斜率 直线的方程1.如果直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度再沿y 轴向上平移1个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是 ( )A .-13B .-3C .13D .3 2.直线l 1的斜率为2,l 1∥l 2,直线l 2过点(-1,1)且与y 轴交于点P ,则P 点坐标为 ( ) A .(3,0) B .(-3,0)C .(0,-3)D .(0,3)3.若直线x a +y b =1经过第一、二、三象限,则 ( )A .a>0,b>0B .a>0,b<0C .a<0,b>0D .a<0,b<04.[2018·宜昌模拟] 直线x cos π6+y sin π6+2=0的倾斜角为( )A .5π6B .2π3C .π3D .π6 5.一条直线过点M (-3,4),并且在两坐标轴上的截距之和为12,则这条直线的方程是 .6.[2018·云南玉溪易门第一中学模拟] 直线x m -y n =1与x n -ym =1在同一坐标系中可能是 ( )图K38-17.[2018·广安模拟] 直线x cos α+y+2=0的倾斜角的范围是( )A.[-π4,π4]B.[0,π4]∪[3π4,π)C.(0,π)D.(0,π4) 8.[2018·温州模拟] 已知点M 是直线l :2x-y-4=0与x 轴的交点,将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°,得到的直线的方程是 ( )A .x+y-3=0B .x-3y-2=0C .3x-y+6=0D .3x+y-6=09.已知直线l 的斜率为16,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l 的方程为( )A .x-6y+6=0B .x-6y-6=0C .x-6y+6=0或x-6y-6=0D .2x-y+4=0或2x+y+4=010.经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,当截距之和最小时,直线的方程为( )A .x+2y-6=0B .2x+y-6=0C .x-2y+7=0D .x-2y-7=011.若3π2<α<2π,则直线x cosα+y sinα=1必不经过 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.若过点P (1-a ,1+a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角,则实数a 的取值范围是 . 13.实数x ,y 满足3x-2y-5=0(1≤x ≤3),则y x 的最大值为 ,最小值为 . 14.已知直线系M :x cos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π),给出下列四个结论:①M 中所有直线均经过一个定点;②存在定点不在M 中的任一条直线上;③对任意整数n (n ≥3),存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上;④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)15.函数f (x )=a sin x-b cos x 图像的一条对称轴为x=π4,则直线l :ax-by+c=0的倾斜角为 ( )A.45°B.60°C.120°D.135°16.已知直线l 过点M (2,1),且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ,B 两点,当|MA|·|MB|取得最小值时,直线l 的方程为 .。