高等数学总复习指导(1)

高等数学1（下）复习题1．求过直线12324x y z+-==和直线外一点()3,2,1A 的平面方程．2．求过点()3,1,2A -且与直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程．3．求直线121:-==zy x l 与平面01:=+--z y x π的夹角．4．求两直线1121:1+==z y x l 与11112:2-+=-=z y x l 的夹角．5．求两平面1:1=+y x π与2:2=+-z y x π的夹角．6.求过直线1x 1y 2z 3L :11---==-且平行于直线2x 2y 1z L :211+-==的平面方程．7.求直线2x 4y z 03x y 2z 90-+=⎧⎨---=⎩在平面4x-y+z=1上的投影直线的的方程．8.求过点(1,2,4)且与直线11232x y z +-==+垂直相交的直线方程．9．求下列函数的定义域：(1)z x y =-； 2(2)ln(21)z y x =-+；22(3)arccosz u x y=+．10．()sin ,z f x y x =，求,x xx z z ．11．设(),z z x y =由方程232zy xz -=所确定，求,z zx y∂∂∂∂，dz ．12．设(),z z x y =由方程2223x y z xyz ++=所确定，23u xy z =,求()1,1,1u x∂∂．13．设223z x y =+，3,sin x t y t ==，求dz dt．14．函数(),z f x y =在点()00,x y 处连续是它在该点偏导数存在的（ ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件．16．已知曲空曲线Γ：23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，求曲线在()1,1,1--处的切线及法平面方程．17．求球面22256x y z ++=在()02,4,6M 的切平面及法线方程．18．求函数22u x y =-在()1,1点沿{}4,3α=-方向的方向导数．19．求2222u x y z =++在点()1,1,1P 处沿方向PO 的方向导数，其中O 为坐标原点．20．求数量场()()222,,ln 23u x y z x y z =++的梯度．21．设(),,u u x y z =有一阶连续偏导数，12,P P 为空间两点，则u 沿方向 12PP的方向导数为 ．A 1212PPgradu PP ⋅； B 12gradu PP ⋅ ；C 1212gradu PP gradu PP ⋅⋅ ；D 1212gradu PP gradu PP ⋅．22．求229620z x xy y x y =-++-+的极值．23．设(,,)M x y z 为平面1x y z ++=上的点，且该点到两定点(1,0,1)，(2,0,1)的距离平方之和为最小，求该点的坐标．24．设(,)f x y 为连续函数，交换下列积分的积分次序： （1）()()2111111,,xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰；（2）()()200,,a a aaxxdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰；（3）()2122,xxdx f x y dy --⎰⎰；（4）()2102,yydy f x y dx ⎰⎰；（5）()()dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰+22121121,,．25．求()6Dx y dxdy +⎰⎰，其中:,5,1D y x y x y ===围成区域．26．求()22x y Dedxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,D x y x y a ≥≥+≤．27．设Ω是由22z x y =+及22z x y =+所围．试计算2222x y e I dv x y +Ω=+⎰⎰⎰．28．求Lxds ⎰，L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围区域边界．29．已知曲线积分()()sin L yx x dx x dy x ϕϕ-+⎡⎤⎣⎦⎰与路径无关，其中()x ϕ可导，且()1ϕπ=，求()x ϕ．30．计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是221z x y =--在xoy 面上方的部分曲面的上侧．31．验证()()sin sin cos cos y y x x dx x x y y dy -++++是某函数(),u x y 的全微分，并求出该函数(),u x y ．32．计算积分()()222222Lx xy y dx x xy y dy +-+--⎰，式中L 是从点()0,0O 沿曲线sin y x =到点(),0A π的弧段．33．利用格林公式计算dy y x dx y x L)1()1(22++-⎰，其中L 为正向圆周：422=+y x34．利用格林公式计算dy y e dx y y e x Lx )2cos ()2sin (-+-⎰，其中L 为沿上半圆0,)(222≥=+-y a y a x 、从)0,2(a A 到)0,0(O 的段弧．35．求()22I x y dS ∑=+⎰⎰，其中222:0,01x y z z ∑+-=≤≤．36．计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为)10(22≤≤+=z y x z 之间的下侧．37．利用高斯公式计算3323(sin )()()z y x dydz e y dzdx x z dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑是上半球面224y x z --=的上侧．38．判别下列级数的敛散性：1) 12sin 5n n n π∞=∑； 2) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；3) 11tan2n n n π∞+=∑； 4) 221(!)2n n n∞=∑．39.判别下列级数是否收敛，是否绝对收敛？ 1)1(1)21n n n ∞=-+∑； 2) 1cos32n n n n π∞=∑； 3)∑∞=--113sin 2)1(n n n n π．40．求幂级数()2ln 1nnn n x n∞=-∑的收敛域．当1x =时，是绝对收敛还是条件收敛？41．试求幂函数()12112121n n n n x n ∞+-=--∑的收敛域及和函数．42．设幂级数()01nn n a x ∞=+∑的收敛域为()4,2-，求级数()03nn n na x ∞=-∑的收敛区间．43．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是4，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是 ．44．试将函数411y x =-展开为x 的幂级数．45．函数()1x x e -的Maclaurin 级数中20x 的系数为 ．46．设周期为2π的函数()2200x f x xx ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的Fourier 级数在x π=处收敛于 ．47．()21010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则()f x 以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛于 ，在2x π=收敛于 ．。

本学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题3分，共15分） 二.填空题（每小题3分，共15分） 三.计算题（8小题，共40分） 四.应用题（2小题，共16分） 五.证明题（2小题，共14分）下面分章复习所学知识第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线(),()[()()]y f x y g x f x g x ==≥,()x a x b a b ==<所围图形的面积为[()()].baA f x g x dx =-⎰（2）极坐标情形：由曲线()r r θ=及射线,()θαθβαβ==<所围成的曲边扇形的面积为21().2A r d βαθθ=⎰例 （填空题）由曲线x y 1=及直线0,2,===y x x y 围成的平面图形的面积 .第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式222121212()()()d x x y y z z =-+-+- 2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式 312222222222123123123cos ,cos ,cos a a a a a aa a aa a aαβγ===++++++3.向量的运算设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则112233123123,ijka b a b a b a b a b a aab b b ⋅=++⨯= 两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==4.向量{}123,,a a a a =在非零向量{}123,,b b b b =上的投影 112233222123Pr cos ,b b a b a b a ba b a j a a a b bb b b ++⋅∏==<>==++（二）平面与直线 1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++=（2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-=（3）截距式：1;x y za b c++=（4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z m n p---== （2）一般式：111122220;0A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩（3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x x y y z z x x y y z z ---==--- 3.平面()∏与直线()l 平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C A B C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2)12121212111122220//l l m m n n p p m n pl l m n p ⊥⇔++=⇔==；（3）1111111111111111()()//0m n p l A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=；（4）1()∏与2()∏的夹角： 121212222222111222c o s A A B B C C A B C A BC ϕ++=++⋅++(5)1l 与2l 的夹角： 121212222222111222c o s m m n n p p m n p m np ϕ++=++⋅++（6）1()∏与1l 的夹角：111111222222111111s i n m A n B p C m n p A BC ϕ++=++⋅++4.距离设点0000(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==（1）点到平面的距离公式：000222;Ax By Cz Dd A B C+++=++(2) 点到直线的距离公式：01M M ld l⨯=，其中 {}01101010,,M M x x y y z z =---，{}1,,,l m n p M =是直线上任一点． （三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面园锥面：22z x y =+，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++= （2）柱面圆柱面：222,x y R +=椭圆柱面：22221x y a b+=，抛物柱面：220x py -=，双曲柱面：2222 1.x y a b-=（3）二次曲面球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g +=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）； 单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=>；双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D =+=++为BC 的中点，则BC 上 的中线长AD =10/2例2. 1.两向量a 与b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=.2.向量13(2),(1)a i j b i j k λλλ=-++=-+-平行，则λ= 1 .3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=-的单位向量是 0c ±.解 {}2312,1,1120i j kc a b =⨯=-=--，单位化 {}02222,1,1211,,66621(1)c c c --⎧⎫===⎨⎬⎩⎭++-. 例3.（选择题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（ C ）.53211A x y z ++-=.53211B x y z -++= .53211C xy z -+-=.53211D x y z +++= 例4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（ D ）.A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线；.C 垂直于z 轴的一平面； .D 过z 轴的一平面.例5.（选择题）方程231x y +=在空间表示的图形是（ B ） .A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z 轴的平面； .C 过oz 轴的平面； .D 直线． 例6.（选择题）方程22x y =在空间表示的是（ B ） .A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面； .D 旋转抛物面. 例7. (选择题) 下列平面方程中（ C ）过y 轴：.A 1x y z ++=； .B 0x y z ++=； .C 0x z +=； .D 1.x z +=例8. 曲线 2221z x y z ⎧=+⎨=⎩在XOY 平面上的投影方程为：22210x y z ⎧+=⎨=⎩第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集．例9 (填空题)二元函数ln 1xyz y=+的定义域是0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或 二元函数221ln(1)x y z x y --=--的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为00lim (,)x x y y f x y A →→=例10. 证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==-- 如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则2242224200024lim lim 0()4x x y y xx y x x y x y x x →→→===--+ 因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在00(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断．例11.（选择题）设221xy z x y=--，下面结论正确的是（ D ）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221x y +<内，函数连续.例12． (选择题) 函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）.A 连续； .B 有极限但不连续； .C 极限不存在； .D 无定义.（二）偏导数1.定义与计算偏导数,z zx y∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求z x ∂∂时，把(,)z f x y =中的y固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数z x ∂∂与一点的偏导数000(,)x x x y y z f x y x==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系例13.（填空题）设22(,)f x y x y x y =+-+，则(3,4)x f '=252.高阶偏导数（以二阶为主）：22(,)();xx z z f x y x x x ∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yy z zf x y y y y∂∂∂''==∂∂∂ 2(,)();xy z z f x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂ 2(,)().yx z zf x y y x x y ∂∂∂''==∂∂∂∂（注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的全改变量（全增量）可表为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与00(,)x y 有关， 22()()x y ρ=∆+∆，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作 .z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂ 例14.（选择题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A ）.;dx dy A x y -- .;dx dy B x y+ .;dx dy C z x + ..dx dy D xy xy+ 例15. 函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)处的全微分为： . 例16. 求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解22222,2x y x y zz xe ye x y++∂∂==∂∂ 222222;x y x y d z x e d xy ed y++∴=+ 2222222222(12),4x y x y z z z ex x y e x x y y x++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y +∂=+∂2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系．偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例17.（选择题）二元函数22z x y =+在点(0,0)处（ C ）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例18.（填空题）(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件.例19. 证明题：证明函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点处两个偏导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fxy z l αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂，其中,,αβγ为射线l 与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 例20.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}1,2,1l =的方向导数是 .（四）多元复合函数的导数1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式： z f f u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，zx∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导． （3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dzdt ，称为全导数.d z u d x u d y u d z u d td t x d t y d x t d t t d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个.例21.（选择题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则()()f x y f x yxy∂⋅∂⋅+=∂∂（ C ）..22A x y - .22B x y+.;C x y + ..D x y --例22.22sin()1,yz x e xy =++求 2,.z zx x y∂∂∂∂∂例23.设arctan()z u x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+- 121();1()z zu z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()l n .1()z z u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+- 例24.设二元函数(,)xz xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.x y yy z z z ''''解 设1,2xxy u v y====，则 121;x z y yf f y'=++122;y xz x xf f y '=+- 11122212223222()()yy x x x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例25.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux∂∂解 12x u f yzf '=+； 2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++ （五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则）， 解出所求的偏导数（是,x y 的函数）.2.公式法：x z F z x F '∂=-'∂， .y z F zy F '∂=-'∂ 3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例26.（填空题）由方程2221x xyz z ++=确定(,)z z x y =，则z x ∂=∂124xy z-+. 例27.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解 由隐函数微分法 设 (,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+ 因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=-所以 21x z F z z z x z x F x z z -'∂=-==+'∂+- 221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+-例28. 设(,)z z x y =是由方程2224x x y e z z ++=所确定的隐函数，求.dz例29.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x z x y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则 2c o s (23)x F x y z '=+--,2c o s (23)2y F x y z '=+-⋅-2x F '= 2c o s (23)(3)3z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-, 2233y x z x F F zy F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂ （六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程 (),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点000(,,)x y z 处的切线方程为：000000()()()x x y y z zt t t ϕψω---==''' 法平面方程为： 000()()()()()()0t x x t y y t z zϕψω'''-+-+-= 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设00(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x xy y y y y yzz zA B C xx yy ======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值； （2）20B AC ->，无极值；（3）20B AC -=,不定，另作讨论.例30.（选择题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''==.B 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .D 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例31求函数224(23)z x y =-+的极值.解 804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2-又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyB AC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值.3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题； （2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数； （3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组； （4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值．例32 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为V xy ，故表面积为：2()V V S xy x y=++， 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点33(,)V V ，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点， 答：当盒子的长宽高都是3V ，即正方体时，所用材料最少.例33. 应用题：利用Lagrange 乘子法求椭圆抛物面222z x y =+到平面232x y z +-=的最短距离.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）． 3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则 1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素 d dxdy σ= ①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来 y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出来. 注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=， s i n y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来； ③积分限如下定：（ⅰ）若极点O 在域D 内，则2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例34.（选择题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分112203ydy x y dx -⎰⎰的的积分次序后的结果为（ C ） 11220.3;xA dx x y dy -⎰⎰11220.3;y B dx x y dy -⎰⎰21122.3;x C dx x y dy -⎰⎰ 211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例35.交换积分次序：22121(1)01(,)(,)x x odx f x y dy dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰.例36.(选择题)设域22:1D x y +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dxy dxdy =⎰⎰（ B ）112.;A dx xy dy ⎰⎰ 211200.;x B dx xy dy -⎰⎰2112.;y C dx xy dy -⎰⎰221120..y x D dx xy dy --⎰⎰例37.计算二重积分Ⅰ＝22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1y x y ==及y轴所围的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得Ⅰ＝221220yy y Dx edxdy edy x dx --=⎰⎰⎰⎰＝221113000111()366y t y t t y e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令110112(1).66t t tee dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例38.求二重积分 cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形区域.例39.计算Dydxdy ⎰⎰，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：11x y =+±-，则 {}(,)11,01D x y y x y y =--≤≤≤≤，所以原式＝11110(11)yyydy dx y y y dy --⋅=-+-⎰⎰⎰＝101514y ydy -+⋅-⎰ ＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例40.计算222DR x y d σ--⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域 解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算c o s22222202R DR x y d d R r rdrπθσθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰例41.求二重积分22()xy De dxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()221()(1).224aax yrraDedxdy d erdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例42.应用题：求在XOY 平面上由2y x =与24y x x =-所围成区域的面积.例43.D 是由曲线24()y x y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积.（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数(,)1f x y ≡，计算二重积分即得所谓区域的面积）例44.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影，则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例45.利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥ 解 由于极点在D 的边界上，故原式＝1222ln(1)ln(1)Dr r drd d r r dr πθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰=分部法122100(1)l n (1)2(2l n 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 解 2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=s i n c o s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰例46.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面. 例47.(填空题)设一立体由上半球面224z x y =--及锥面223()z x y =+所围成，则其在XOY 平面上的投影为：21y x y +≤.例48.（选择题）Ⅰ＝22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ）2.;a arA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;a arB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a a C d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 220..a arD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例49（选择题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则222()f x y z dv Ω++=⎰⎰⎰（ A ） 22c o s220.()sin A d d f r r dr ππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22c o s220.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22c o s 200.(2c o s)s i n C d d f r r d rππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22c o s 220.(2c o s )s i n .D d d f r r d r ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰例50. 求曲面22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积体积. 解 在柱坐标系下，将被积函数(,,)1f x y z ≡，则所围立体的体积为：2211.6rr V dv rdrd dz d rdr dz ππθθΩΩ=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求） （一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例) ,()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[]22(,)(),()()(),();Lf x y ds f t t t t dt εαϕψϕψαβ''=+<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰. 5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 应用：,P y Q x =-=，得D 得面积 12A xdy ydx =-⎰.6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立. 例51.（选择题）设AB 为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则si n s i n ABydx xdy +=⎰（ C ）.2;A .1;B - .0;C .1.D例52.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰，其中L 是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解 2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y-+==++ 因为 222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂ 所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有：1,0y d y ==，故 原式＝02222()()11ABx y dx x y dyx dx x y x -++-=++⎰⎰ ＝22222011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例53.计算曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是园的渐开线：(c o s s i n ),02.(s i n c o s )x at t t t y at t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩ 解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+(s i n s i n c o s 0x at t tt a tt'=-++= (cos cos sin )sin y a t t t t at t '=-+= 22ds x y dt atdt ''=+=原式＝2222330(1)()a t atdt a t t dt ππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例54.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分22Lx y ds +=⎰8π例55. 计算 222(sin ).Lx yx dx xy dy -+⎰L 为正向圆周：22 1.x y +=（应用Green 公式化为二重积分计算）第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别 一.级数的概念12121,nn nnn uu u u Su uu∞==++++=+++∑ 若lim n n S S →∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞=二.逆否命题：若lim 0,n n u →∞≠则级数1n n u ∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u∞=∑与1n n u ∞=∑有如下关系：1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑也收敛；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑必定发散.（2）比值判别法23.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散. 2.p 级数11111123pp p pn nn ∞==+++++∑当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项n u 是否趋于零？若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散；若lim 0n n u →=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim n n S →∞是否存在？例56.（选择题）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ D ）收敛1.;n n A u ∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();n n C u c ∞=+∑ 1..n n D c u ∞=⋅∑例57.若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1(100)nn u∞=+∑收敛还是发散？ .例58.判定级数12sin3n nn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 22sin()33n nn n u ππ=≤⋅，而12()3n n π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法 因111112si n3l i m l i m 2si n 3223l i m 1.323n n n n n n n n n n n n nu u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例59判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =1l i m 0l n (1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛.例60（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n n n u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例61证明：若0,lim 0n n n u nu a →∞>=≠，则级数1n n u ∞=∑发散.证明 因为 lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0n u >，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n ∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法2 1()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x 有关），再讨论，求出收敛半径.2. 1l i m n n n aa ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ=3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例62.求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的收敛域. 解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法2，1()lim ()n n nu x u x +→∞=2221221)12(22)12(lim x x n x n n n n n n =-⋅+-+∞→ ⇒ 当2211,2,22x x x <<<时，原级数收敛，收敛半径2R =讨论端点的情况：当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散，故收敛域)2,2(-例63.将函数21()52x f x x x -=-+展为1x -的幂级数.例64.求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）()S x 逐项可导，且10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xnnn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰. 注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同．例65.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数.解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故 44440001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dx x x--'===--⎰⎰⎰ ＝4220011111(1)(1)12121x x dx dx x x x-=-+⋅+⋅-+-⎰⎰ ＝111arctan ln .241xx x x+-+- (11)x -<< 例66. 求幂级数21121n n x n +∞=+∑的收敛区间，并求其和函数.（四）傅立叶级数(不做考试要求)第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程：()()dyf xg y dx=的解法 分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程：()dy yF dx x =的解法： 令 y u x =，则()duxu F u dx+=，分离变量并积分，得通解； 3.一阶线性非齐次方程：()()dyp x y q x dx+=的解法解法-常数变易法通解公式为：()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错．（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程：()()0y p x y q x '''++=的通解：是两个线性无关特解12(),()y x y x 的线性组合，即1122()()y c y x c y x =+；2.非齐次方程：()()()y p x y q x y f x '''++=的通解 非齐通（y ）＝齐通（y ）+非齐特（y *）（三）二阶常系数线性齐次方程：0y py q '''++=通解的特征根解法； 二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法. 例67.（单选题）下列微分方程中，通解为212(cos sin )x y e c x c x =+的方程是（ B ）.450A y y y '''--= .450B y y y '''-+= .250C y y y '''-+= 2.45.x D y y y e '''++=解 B .的特征方程为：2450λλ-+= 4162042222i i λ±-±===±， 2,1αβ== 故通解为： 212(cos sin )x y e c x c x =+.例68.求微分方程0340,,5x x y y y yy ==''''--==-的特解.例69.（填空题）微分方程ln 0xy y y '-=的通解为cx y e =. 这是可分离变量的方程 ln dyx y y dx= 分离变量ln dy dxy y x = 两边积分(l n )ln d y dx y x =⎰⎰得 1l n l n l nl ny x c =+ 111ln ,ln ,.c x cx y c x y c x y e e ±==±== 例70. 求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解。

高等数学II-A 复习题集第一章 函数与极限一 、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。

在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。

0是惟一的作为无穷小的数。

2。

在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。

若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。

研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。

即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。

40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。

高等数学(数一)知识重点及复习计划高等数学（数一）知识重点及复习计划按照同济大学高等数学第六版制定第一章函数与极限章节复习知识点及作业大纲要求1. 1 函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.注：一、集合二、映射 P17-20双曲函数（不用看）习题1－1：4，5，8，9，15，161．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基1. 2 数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 ) 注：用定义证明极限不用看习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明1. 3 函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看习题1－3：1，2，4本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．1. 4 无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系习题1－4：4，6，71. 5 极限的运算法则(6个定理以及一些推论)习题1－5：1，2，3，4,51. 6 重点两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼准则求极限，求递归数列的极限.习题1－6：1，2，48．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值1. 7 重点无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法.习题1－7：1，2，3，41. 8 重点函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

2018考研数学高等数学复习方法和重点考研数学之高等数学复习方法第一、要将数学基础备考进行到底数学150分，基础性的题目占到70%，也就是105分，这分数对于考生来讲是非常重要的，只要大家把基本概念、性质、公式和定理以及基本解题方法掌握了，这部分分数还是比较容易能拿到手的。

但是复习到现在，很多考生已经把基本知识点抛之脑后了，一味地在做题，甚至只是在看题。

但是我们必须清楚，不管做多少题，考场上都不会遇见你做过的题目，我们做题的目的是巩固知识点，检测对知识点的掌握程度、复习的效果，重要的是知识点本身，万变不离其宗，考场上题目无论如何变化都离不了知识点，所以如果你对基础知识还没用掌握，就一定要对照考试大纲对基本概念、基本理论和基本方法准确把握，或者对基础班的讲义进行复习。

因为只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

第二、要处理好全面和重点的关系，不同层次的考生，要求不同考研预报名后，绝大部分学生已经确定好了院校和专业，那么数学这一学科到底要考多少分基本上也是确定的。

如果考生的分数要求比较高，130、140以上，那么在掌握常考的题型和解题方法的基础上，对照考试大纲对考研不常考的内容也要进行复习，比如说差分方程，只对数三同学做要求，这部分内容虽然已很久没考查，但是这确实是考试大纲上要求的内容，也要复习到。

况且这部分内容只要是花半个小时就可以掌握的，可以与二阶常系数线性微分方程的解法对比记忆。

如果考生的分数要求并不高，只要100-120分就可以的话，还是要对照暑期强化班的讲义重点把常考题型和解题方法掌握好，一些不常考的内容可以适当地放弃，比如说数一的估计的一致性、假设检验。

第三、重视真题，总结题型，熟练掌握常见的解题方法和技巧根据对历年真题的研究，我们发现每年的试卷高等数学内容都有较大的重复率，所以一定要重视对真题的研习，真题至少要做两遍，第一遍按年份做，第二份按章节做。

《高等数学》补考复习资料（一） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级 专业_____ 成绩___ _一．填空题 （共30分） 1．比较大小：dx x ⎰103⎰1xdx 。

2. 比较大小：dx x ⎰-4031π0。

3．由定积分几何意义 有=-⎰-dx x a aa22。

4．⎰-=212sin xtdt dxd 。

5.=+⎰-dx xx x ππ21sin cos 。

6. 设 ()⎩⎨⎧=12x x f x x 11<≥ 则()=⎰dxx f 2。

7. 设 xx sin 是 ()x f 的一个原函数， 则()='⎰dxx f x 。

8. 若⎰=+12)2(dx c x ，则 c= 。

9. 若()24xdt t f x=⎰，则()=⎰dx x fx41 。

10.若310=⎰∞-dx e kx，则=k 。

二．解答题 （共56分） 11．求极限 ()32211lim xdtttxx ⎰--+→。

12．设 ⎰=02sin xtdt y 求 ()1y '。

13. {}dx x x ⎰23,max 。

14．dx ex ⎰--01。

15.dx x⎰27131。

16.dx xx ⎰++311。

17．⎰3ln 0dx xe x。

18．设 ()()dt t t x F x⎰-=02，求()x F 在 []3,1- 上的最大值与最小值。

三．应用题 （8分）19．求由曲线 xe y =，xe y -=及 e y = 所围成图形的面积。

四．证明题 （6分） 20．试证：()()dx x x a dx x a xnmanam⎰⎰-=-00。

《高等数学》补考复习资料（二） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级 专业_____ 成绩___ _一．单项选择题 （共30分） 1.已知⎰+22)1(xt dt ， 则=')1(y （ ） A.21 B. 1 C.2 D.42.下列等式正确的是 （ ） A.()()⎰=bax f dx x f dx d B.()()c x f dxx f dxd +=⎰C.()()x f dx x f dxd xa=⎰D.()()x f dx x f ='⎰3.设函数 ⎰-=xdt t y 0)1(则y 有 （ ） A.极小值21 B. 极小值21-C.极大值21 D. 极大值21-4.='⎰dx xx x)sin (2π（ ）A. xx sin B.c xx +si n C. π2sin -xx D. 2sin π-xx5. 下列积分值为负数的是 （ ） A.⎰20si n πxdx B.⎰-02cos πxdx C. ⎰--233dx x D.dx x ⎰--2326. 下列积分值为0的是 （ ） A.⎰-+11cos 1xxdx B.⎰-22sin ππxdx x C.dx xx⎰--112321 D.⎰--ππdx x )1(37. 若()x f 的一个原函数是 x ln ，则()='⎰dx x f （ ） A. c x +ln B. c x+1 C. c x x x +-ln D. x1-8. 下列广义积分收敛的是（ ） A.⎰+∞1sin xdx B.⎰∞+1xdx C.dx e x⎰∞-0D.dx xx⎰∞++03219．计算dx x x⎰-224时为使被积函数有理化，可设x= ( ) A. 2tant B. t sin 2 C. 2sect D.t10. =-⎰-→3)1(lim2xdtextx ( ) A. 0 B.31 C. 3 D. 31-二．解答题 （共56分） 11．dx x ⎰-50312. ⎰axdx xe213.⎰+11xedx14. 设 ⎰=kxdx 11ln ，求k 值。