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四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
高等数学知识纲要一、定义1、基本初等函数、初等函数2、极限（数列、函数）理解定义3、无穷小与无穷大4、函数连续与间断（点、区间）5、导数与微分（点、区间）6、原函数与不定积分7、定积分理解定义二、性质1、极限的性质2、收敛函数的性质3、闭区间上连续函数性质4、中值定理5、不定积分与定积分的性质三、关系1、数列（函数）敛散性与有界性之间2、收敛数列及其子数列之间3、函数极限与左右极限4、无穷小与无穷大5、连续与可导、可导与可微6、驻点与极值点、极值之间、极值与最值之间7、连续与可积四、计算（极限、导数、积分）五、应用1.导数的几何意义应用（切线、法线方程）2.导数的应用（单调性、凹凸性、极值、最值）3.定积分的应用极限的运算运算法则（四则、复合、换序）1、 特殊极限1sin lim ,1sin lim ,1sin lim 000===→→→uux x x x u x x 对比0sin lim =∞→x x x e ue x e x uu xx x x =+=+=+∞→→∞→)11(lim ,)1(lim ,)11(lim 10 2、 等价无穷小当0→x 时，kx kx kx kx arctan ,arcsin ,tan ,sin ～kxx cos 1-～22x ,11-+nx ～nx3、 有理函数的极限?)()(lim0=→x Q x P x x当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(lim0x Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去. ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a mm m n n n x 0 lim 00110110 4、导数定义 若)(0x f '存在，则=+-→hh x f x f h )()(lim000)(0x f '-. =--+→hh x f h x f h )()5(lim000)(60x f '5、罗比达法则（00或∞∞型，∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型的未定式）1.0)3562(lim 20142013=-+∞→x x x 2.535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ3. e x x xx x x xx =+=+⋅→→sin sin 101)sin 1(lim )sin 1(lim4. =-+=-→-→xx xx x x111111)11(lim lim 1-e .5.=+-=+++-⋅+∞→-∞→xx x x x x xx x 633361)631(lim )63(lim 3-e .6.2211)1(4lim 145lim 11=⋅--=---→→x x x x x x x 7.21)1cos ()1(cos 2lim )1cos )(1(cos 1cos lim )1(cos 1cos lim 2000-=+-=+--=--→→→x x x x x x x x x x x x x 8.3232lim 2sin 3)1(cos tan lim )1sin 1)(11(tan sin lim 22020320-=⋅⋅-=⋅-=-+-+-→→→xx x x xx x x x x xx x x x216lim 2sin tan sin lim 2)1sin 1(tan sin limsin 1tan 1sin 1lim33020202-==-=-+-=-++-+→→→→x x x x x x x x x x xx x x x x x x x10.81)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222-=--=-→→x x x x x x x ππππ 11.2111lim )1112(lim 2121-=--=---→→x x x x x x 12.1lim )(sin lim )ln(sin lim )ln(sin 0===→→→x x x x xx x xe e x13. ex xe xdt e xdte xx x t x xt x 212sin lim limlim222cos 02cos 121cos 0==--→-→-→⎰⎰导数与微分的运算练习1.已知1sin +=x xey ，求22dxy d . y d dy 2,解：1)cos (sin ++=x e x x dxdy ，122cos 2+=x xe dx y d dx e x x dy x 1)cos (sin ++=，212cos 2dx xe y d x +=2.已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin 求3π=t 时dx dy的值. （参看P112-5.6.7） 解：tt tt t e t e t e t e t x t y dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos )()(+-=+-=''=，所以3π=t 时=dxdy23-. 3.已知0333=-+xy y x ,求dxdy .（参看P111-1）解：0333322=--+dxdy x y dx dy yx ，x y x y dx dy --=224.已知xy e yx 2=+,求dxdy .解： dx dy x y dx dy e yx 22)1(+=++，xxy xyy dx dy --=5.已知5ln 2+=x x y ,求dxdy .解：xx x e x ln =于是有)1(ln )()(ln +='='x x e x x x x x 故)1(ln 2+=x x dxdy x（或先用对数求导法求x x y =的导数） 6.x x y sin = ，求y '.解：等式两端取自然对数得x x y ln sin ln =，等式两端对x 求导，得xx x x y y sin ))(ln (cos +='，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='x x x x x x x x x y y x sin ))(ln (cos sin ))(ln (cos sin 练习：1cos sin +=xx y ，求y '. 7、()()54132+-+=x x x y 求'y解：两端同时取自然对数 得()()()1ln 53ln 42ln 21ln +--++=x x x y两端同时对x 求导 得153421211'+--++=⋅x x x y y故()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=1534221132153422154'x x x x x x x x x y y 8.32)3()2(1-++=x x x y ，求y '.解：等式两端取自然对数得[])3ln(3)2ln(2)1ln(21ln --+-+=x x x y等式两端对x求导，得)332211(21--+-+='x x x y y ，)332211()3()2(12132--+-+-++='x x x x x x y （对数求导法参看P112-4）9. ⎰-=2)(x tdt e x f ，x e dxdudt e du d x f u x u u t 2)(20-=-=⋅='⎰=22xxe -10.⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=xx x x x xdt t dt t dt t dt t dt t x f 011111)(222xx x dt t dt t x f x x +-+='+-'+='⎰⎰1)2(1)1()1()(202（对数求导法参看P243-5）积分的计算练习1.dxx x ⎰-1tan cos12解：dxx x ⎰-1tan cos 12=)1(tan 1tan 1--⎰x d x =C x +-1tan 22.计算不定积分⎰xx dxsin cos .解：==⋅=⎰⎰⎰x xd xxx dx x x dx tan tan sec cos sin sin cos 2C x +tan ln 3.计算不定积分dx x x x⎰+2)ln (ln 1. 解： ==+⎰⎰)ln ()ln (1)ln (ln 122x x d x x dx x x x C xx +-ln 1（凑微分参看P207习题4-2和P253第1题）4.⎰-10dx xe x=⎰--10)(xe xd =[]dx exexx ⎰--+-101=[]e e e e ex 21)11(1110-=+-+-=-+--（分部积分参看P212习题4-3和P254第7题）5.dx xx ⎰--145解：令tdt dx t x t x 2,5,52-=-==-，2,1,3,4===-=t x t x dx xx ⎰--145=38532)5(2)2(5233232232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰⎰t t dt t dt t t t6.dx x 2312)1(-⎰+解：令4,1;0,0,sec ,tan 2π======t x t x tdt dx t xdx x 23102)1(-⎰+=22sin cos )(sec sec )tan 1(4040401223402====+⎰⎰⎰--ππππttdt dt t tdt t （提示：t a x x a t a x x a tan ,;sin ,2222=+=-）7、dx x x x ⎰+--6512解：dx x x x ⎰+--6512=()()⎰⎰+-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=---C x x dx x x dx x x x 3ln 22ln 3221321 （提示：设32)3)(2(1-+-=---x Bx A x x x 通分求出A,B ） 8.⎰⎰+---=---dx x x x dx x x x )1()1(352)1)(1(52622 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----=dx x x x )1(1)1(1)1(1522 C x x x +--+--=)1(5211ln 52 （提示：设)1()1(1)1()1(322++-+-=+--x C x B x A x x x 通分求出A,B,C ） （有理函数积分参看P215例1.2.3）9.计算由x y x y ==、32所围成的图形的面积.（参看P284习题6-2） 解解方程组⎩⎨⎧==xy x y 32可得⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==33y x所求面积为21)3(212=-=⎰-dy y y a 10.求曲线2223336x y +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.解：星形线的参数方程⎩⎨⎧==t a y ta x 33sin cos ， 上半平面图形对应π≤≤t 0，第一象限对应20π≤≤t ，注意上下限对应的t 值 ⎰⎰⎰===2422233sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t at a d t a ydx A a2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰.当a=6时，旋转体体积为272π （参看P285第13题）证明：P74-2.3；P134-6.9.10.11;P153-5。
第六章 定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节 定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念： 一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件： 二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=， 且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所 围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(， 取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积 为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ， 则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成 一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的 圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱， 直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的 立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间， 该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ， 则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交 成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且 垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴 与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=， 于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。
同济六版高等数学上册总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1） y ⎰=xdt t f 0)(，其中)(x f 连续，则，)(x f dxdy= （2）⎰=)()()(x x dt t f y ϕφ，其中)(),(x x φϕ可导，)(t f 连续，则)())(()())((''x x f x x f dxdyφφϕϕ-= 2 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 3 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则（1）若n n x x ≤+1（n 为整数），且m x n ≥，则A n x n =∞→lim 存在（单调递减有下界，极限存在）（2）若n n x x ≥+1，且m x n ≤，则A n x n =∞→lim存在（单调递增有上界，极限存在）2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim3．两个重要公式公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 6．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''L二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nxx x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n x x n n x -→+∞-= !lim 0ex x n →+∞===L ． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。
常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。
（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。
（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。
规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。
若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。
②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。
（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。
b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。
c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。
高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）{}{}{}lim ,()n n n n n n n x a N n N x a a x x a x a x a n εε→∞>−<=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2）（数列极限的唯一性）{}n x 如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）{}{}n n x x 如果数列收敛，那么数列一定有界。
（4）（收敛数列的保号性）n lim ,0(0),0,,0(0).n n n x a a a N n N x x →∞=><>>><如果且或那么存在正整数当时都有或（5）（收敛数列保号性的推论）{}00lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.n x a a 如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）0000(),0,0()(),()lim ()()()x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x Ax x εδδε→><−<−<→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8）（函数极限存在的条件）000()()().f x x x f x f x −+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim ()()().x f x x A X x x X f x f x A A f x x f x A f x Ax εε→∞>−<→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10）（函数极限的唯一性）lim ().x x f x →如果存在，那么这极限唯一（11）（函数极限的局部有界性）0lim (),00,0().x x f x A M x x f x M δδ→=>><−<<如果那么存在常数和使得当时，有（12）（函数极限的局部保号性1）0lim (),0(0)00()0(()0).x x f x A A A x x f x f x δδ→=><><−<><如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13）（函数极限局部的保号性2）000lim ()(0),().2x x f x A A x U x x U x Af x →=≠∈>��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14）（函数极限局部保号性的推论）0()0(()0),lim (),0(0).x x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15）（函数极限与数列极限的关系）{}{}000lim (),(),(),()lim ()lim ().n n x x n n n x x f x x f x x x x n N f x f x f x →+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*）（Heine 归并定理）{}000lim (),()(),lim ().n n n x x n n f x x x x n x x n N f x →+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17）（无穷小的定义）0()()lim ()0,()().x x x f x f x f x x x x →→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18）（无穷小与函数极限的关系）0()()lim ()(),.x x x x x x f x A f x A αα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().f x x x M X x x x X f x M f x x x x δδ∀>∃>∃><−<>>→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）.有限个无穷小的和也是无穷小（22）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25）（函数极限运算法则）[]lim (),lim (),(1)lim ()()lim ()lim ();(2)lim[()()]lim ()lim ();lim ()()(3)0,lim .()lim ()x x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26）（数列极限运算法则）{}{}n .lim ,lim ,1lim();(2)lim ;(3)0(),0,lim.n n n n n n n n n n n n n x y A B x y A B x y A B x Ay n N B y B→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27）[]lim (),,lim ()lim ().x x x f x c cf x c f x →∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28）[]lim (),lim ()lim ().nnx x x f x n N f x f x +→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29）()(),lim (),lim (),.x x x x x a x b a b ϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30）（复合函数的极限运算法则）000000[()]()()[()]lim (),lim (),0,(,),(),lim [()]lim ().x x u u x x u u y f g x u g x y f u f g x x g x u f u A x U x g x u f g x f u A δδ→→→→=====∃>∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31）（数列极限的夹逼准则极限存在准则I ）{}{}{}{}001,,2lim ,lim ,lim .n n n n n n n n n n n n n x y z n N n n y x z y a z a x x a →∞→∞→∞∃∈>≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32）（函数极限的夹逼准则极限存在准则I ’）0()()()()1(,)()()()()(2)lim (),lim ,lim ()lim ().x x x x x x x x x x U x r x M g x f x h x g x A A f x f x A →→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈>≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33）（数列极限存在准则极限存在准则II ）.单调有界数列必有极限（34）（函数极限存在准则极限存在准则II II’’）00000()()().(,,,)f x x f x x f x x x x x x x −−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35）（柯西极限存在准则）{}00,,.n n m x N N N m N n N x x εε+∀>∃∈>>>−<数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36）（两个无穷小之间的比较）0:lim 0,lim ,lim 0,;(4)lim 0,0,.(5)lim 1,x x x k x x c c k k αβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠>=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38）（等价无穷小替换定理）''',',limlim lim .''x x x βββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39）（函数连续性的定义1）[]00000()lim lim ()()0,().x x y f x x y f x x f x y f x x ∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40）（函数连续性的定义2）000()lim ()(),().x x y f x x f x f x f x x →==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ff xg x x f g f g g x gx ±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42）（反函数的连续性）{}1()()(),().x y x y f x I x f y I y y f x x I −====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43）（复合函数的连续性1）[][]00000()()(),().lim (),(),lim ()lim ()().f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u →→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44）（复合函数的连续性2）[][][][]000000000()()(),().(),(),(),(),lim ()lim ()()().f g x x u u y f g x u g x y f u U x D u g x x x g x u y f u u u y f g x x x f g x f u f u f g x →→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.f x a b f a f b a b f ξξ⋅<=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().f x a b f a A f b B C A B a b f C ξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49）（介值定理的推论）.M m 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().f x I x I x I x x f x f x f x I εδδε∀>∃>∀∈∀∈−<−<设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51）（一致连续性定理）()[,],.f x a b 如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()lim lim lim x x x x x y f x x x x x x x yy f x x f x xy f x x y f x x f x f x x f x f yf x x x ∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即0000()(),,().x x x x x x x f x dyy x x dxdf x dx===−′−也可记作或（2）（函数可导的充分必要条件）000000()()()()()().f x x f x f x f x f x f x −+−+′′′′′==函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即（3）（可导与连续的关系）(),.y f x x =如果函数在点处可导则函数在该点必连续（4）（函数的和、差、积、商的求导法则）[]2()(),(1)()()()()(2)[()()]()()()()()()()()()(3)(()0).()()u u x v v x x x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x ==′′′±=±′′′=+′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦如果函数及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点具有导数且（5）（反函数的求导法则）{}11()()0,()11(),,().()y x y x f y I f y y f x dy I x x f y y I f x dx f y dxdy−−′=≠=′⎡⎤==∈==⎣⎦′如果函数在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导且或（6）（复合函数的求导法则）[](),()(),(),()().u g x x y f u u g x y f g x x dy dy dy du f u g x dx dx du dx====′′=⋅=⋅如果在点可导而在点可导则复合函数在点可导且其导数为或（7）（微分的定义）000000(),,()()(),,()(),,.y f x x x x y f x x f x y A x x A x y f x x A x y f x x x dy dy A x ο=+∆∆=+∆−∆=∆+∆∆=∆=∆=∆设函数在某区间内有定义及在这区间内如果增量可表示为其中是不依赖于的常数那么称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分记作即（8）（可微与可导的关系）0000()(),(),(),().f x x f x x f x x dy f x dx dy f x dx ′′==函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导且当在点可微时其微分一定是即函数微分的表达式（9）（函数和、差、积、商的微分法则）()()2()(),(1)(2)(3)(0).u u x v v x x x d u v du dv d uv vdu udv u vdu udvd v v v ==±=±=+−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠如果函数及都在点可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可微且（10）（复合函数的微分法则）[]()()()()(),().x u y f u u g x x f g x dy y dx f u g x dx dy f u du dy y du ==′′′′′====设函数及都在点处可导,则复合函数的微分为也可以写成或第三章微分中值定理与导数的应用（1）（费马引理）0000000()(),,(),()()(()()),()0.f x x U x x x U x f x f x f x f x f x ∀∈′≤≥=设函数在点的某邻域内有定义并在处可导如果对有或那么（2）（罗尔定理）[]()()(),(2),;(3),()().,()()0.f x a b a b f a f b a b a b f ξξξ=′<<=如果函数满足：(1)在闭区间上连续;在开区间上可导在区间端点处的函数值相等即那么在内至少有一点，使得（3）（拉格朗日中值定理）[]()()()(1),;(2),;,(),()()()().f x a b a b a b a b f b f a f b a ξξξ′<<−=−如果函数满足：在闭区间上连续在开区间上可导那么在内至少有一点使等式成立（4）()0,().f x I f x I 如果函数在区间上的导数恒为那么在区间上是一个常数（5）（柯西中值定理）[]()()()()()(1),;(2),;(3),,()0;()()(),,.()()()f x F x a b a b x a b F x f b f a f a b F b F a F ξξξ′∀∈≠′−=′−如果函数及满足：在闭区间上连续在开区间上可导对那么在内至少有一点使等式成立（6）（洛必达法则）000000()()()()()0()()()(1)lim ()0lim ()0,lim ()lim ()lim()0;0(2)(),()(),()0;()(3)lim ,()limx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x f x g x g x f x g x U x x X g x f x g x f →→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→→∞→→∞===∞=∞∞∞′>≠′∞′�且或者且，即极限为未定式或在某去心邻域或时可导且存在或为则0()()()lim .()()x x x x f x g x g x →→∞′=′（7）（泰勒中值定理泰勒公式）()()()()0()20000000(1)10(1)0(),(1),,,()()()()()()()()(),2!!()()()().(1)!,,(),()n n n n n n n n f x x a b n a b f x f x f x f x f x x x x x x x R x n f R x x x a b n x a b f x M R x x x ξξο++++∀∈′′′=+−+−++−+=−<<+∈≤=−⋯如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数则对x 恒有其中称为拉格朗日型余项.如果当时则有.n⎡⎤⎣⎦，称为佩亚诺型余项（8）（麦克劳林公式）()20(0)(0)0,()(0)(0)(),2!!n nn f f x f x f f x x x R x n ′′′==+++++⋯在泰勒公式中，当时称为麦克劳林公式.（9）（函数单调性的判定定理）[]()()[]()[](),,,.(1),()0,(),.(2),()0,(),.y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b =′>=′<=设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少将闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论也同样成立.（10）（曲线凹凸性的定义）1212121212(),,()(),()()();22()()(2),()()().22f x I I x x x x f x f x f f x I x x f x f x f f x I ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠设在区间上连续对上任意两点(1)如果恒有那么称在上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有那么称在上的图形是向上凸的或凸弧（11）（曲线凹凸性的判定定理）[]()()[]()[](),,,,(1),()0,(),;(2),()0,(),f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b ′′>′′<设在上连续在内具有一阶和二阶导数那么若在内则在上的图形是凹的若在内则在上的图形是凸的.（12）（函数极值的定义）000000()(),(),()()(()()),()()f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x <>�设函数在点的某邻域内有定义如果对于去心邻域内的任意一点有或那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.（13）（可导函数取得极值的必要条件）000(),,()0.f x x x f x ′=设函数在处可导且在处取得极值那么（14）（判定极值的第一充分条件）()()()()()()000000000000000(),,.(1),,()0,,,()0,();(2),,()0,,,()0,();(3),,(),().f x x x U x x x x f x x x x f x f x x x x x f x x x x f x f x x x U x f x f x x δδδδδδ′′∈−>∈+<′′∈−<∈+>′∈��设函数在处连续且在的某去心邻域内可导若时而时则在处取得极大值若时而时则在处取得极小值若时的符号保持不变则在处没有极值（15）（判定极值的第二充分条件）0000000()()0,()0,(1)()0,();(2)()0,()f x x f x f x f x f x x f x f x x ′′′=≠′′<′′>设函数在处具有二阶导数且那么当时函数在处取得极大值当时函数在处取得极小值.（16）（区间内单一极值时最值的判定）000000()(,),()(),()();(2)()()().f x x x f x f x f x f x f x f x f x 函数在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点是函数的极值点,那么(1)当是极大值时就是在该区间上的最大值当是极小值时,就是在该区间上的最小值第四章~第六章一元函数积分学（1）（原函数的定义）,()(),,()()()(),()()(()).I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I ′∀∈==如果在区间上可导函数的导函数为即对都有或那么函数就称为或在区间上的原函数（2）（原函数存在定理）(),(),()()..f x I I F x x I F x f x ∀∈′=如果函数在区间上连续那么在区间上存在可导函数使对都有即连续函数一定有原函数（3）（原函数之间的关系）{}()().()()(),()()(),(),().f x I f x F x x f x x F x C C f x F x C C ΦΦ−=+−∞<<+∞如果在区间上有一个原函数,那么就有无限多个原函数假设和均为的原函数则为某个常数且的全体原函数所组成的集合就是函数族（4）（不定积分的定义）,()()(()),().,(),(),.I f x f x f x dx I f x dx f x f x dx x ∫∫在区间上函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间上的不定积分记作其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量（5）（不定积分的性质1）[]()(),()()()().f xg x f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫设函数及的原函数存在则（6）（不定积分的性质2）(),()().f x k kf x dx k f x dx =∫∫设函数的原函数存在为非零常数,则（7）（不定积分的凑微分法第一类换元法）[]()(),(),()()()u x f u u x f x x dx f u du ϕϕϕϕ==⎡⎤′=⎣⎦∫∫设具有原函数可导则有换元公式（8）（不定积分的代入法第二类换元法）[]11()(),()0.[()](),()()(),()().t x x t x f x x f x dx f t t dt x x t ψψψψψψψψψ−−=′′=≠⎡⎤′==⎣⎦∫∫设是单调的、可导的函数并且又设具有原函数则有换元公式其中是的反函数（9）（不定积分的分部积分法）()(),.u u x v v x udv uv vdu ===−∫∫设函数及具有连续导数那么（10）（定积分的定义）[][][][][][]{}[][][]012101121112111(),,,,,,,,,,,max ,,,,,,()0,n n n n i i i n i i i ni i i i i i f x a b a b a x x x x x b a b n x x x x x x x x x x x x x x a b f x x x λξξλξ−−−−−==<<<<<=∆=−=∆∆∆∈∆→∈∑⋯⋯⋯设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为记,令若无论区间怎么分划,在时总存在与选取无关的确定的[][][]01(),(),(),()lim (),(),(),,,,,nbi i ai I f x a b I f x a b f x dx I f x f x f x dx x a b a b λξ→===∆∑∫极限,则称函数在上是可积的,这个极限称为函数在区间上的定积分简称积分记作其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分变量叫做积分下限叫做积分上限叫做积分区间.（11）（函数可积的条件1）[][](),,(),.f x a b f x a b 设在区间上连续则在上可积（12）（函数可积的条件2）[][](),,,(),.f x a b f x a b 设在区间上有界且只有有限个间断点则在上可积（13）（定积分的性质1）[]()()()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx±=±∫∫∫（14）（定积分的性质2）()()()bbaa kf x dx k f x dx k =∫∫是常数（15）（定积分的性质3）,()()()bcbaaca cb f x dx f x dx f x dx<<=+∫∫∫设则（16）（定积分的性质4）[],()1,1.b baaa b f x dx dx b a ≡==−∫∫如果在区间上则（17）（定积分的性质5）[],,()0(()0),()0(()0).b baaa b f x f x f x dx f x dx a b ≥≤≥≤<∫∫如果在区间上或则或 ()（18）（定积分性质5的推论1）[],,()(),()()().b baaa b f x g x f x dx g x dx a b ≤≤<∫∫如果在区间上则 （19）（定积分性质5的推论2）()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<∫∫ ().（20）（定积分的性质6）[](),,()()())baM m f x a b m b a f x dx M b a a b −≤≤−<∫设及分别是函数在区间上的最大值和最小值则(（21）（定积分中值定理积分中值公式）[][](),,,()()().baf x a b a b f x dx f b a ξξ=−∫如果函数在积分区间上连续则在上至少存在一个点,使得成立（22）（积分上限函数的可导性）[][](),,()(),,()()()xaxa f x ab x f t dt a b d x f t dt f x a x b dxΦ=′Φ==≤≤∫∫如果函数在区间上连续则积分上限的函数在上可导并且它的导数 ().（23）[][](),,()()(),.xaf x a b x f t dt f x a b Φ=∫如果函数在区间上连续则函数就是在上的一个原函数（24）（牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式微积分基本公式）()()[,],()()().baF x f x a b f x dx F b F a =−∫如果函数是连续函数在区间上的一个原函数则（25）（定积分的换元法）[][][]()()()(1)(),();(2)(),(,)()()().bay f x x t t x t a b t f x dx f t t dt βαϕαβϕϕαϕβϕαββαϕϕ==≤≤===′=∫∫假设函数在函数的值域上连续(),函数满足条件：在或上具有连续导数，则有（26）[][]0(1)(),,()2().(2)(),,()0.aaaaaf x a a f x dx f x dx f x a a f x dx −−−=−=∫∫∫若在上连续且为偶函数则若在上连续且为奇函数则（27）[]2200()0,1,(1)(sin )(cos );(2)(sin )(sin ).2f x f x dx f x dx xf x dx f x dx πππππ==∫∫∫∫若在上连续则（28）(),,(1)()();(2)()()().a T Taa nTTaf x T f x dx f x dx f x dx n f x dx n N ++==∈∫∫∫∫设是连续的周期函数周期为则（29）（定积分的分部积分法）[][],()(),.bbba aaa b u x v x udv uv vdu =−∫∫设在区间上函数和可导则（30）（无穷限的反常积分的定义）[)[)[)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,(),(),()tat taaat aaf x a t a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f x dx f x →+∞+∞+∞→+∞+∞+∞+∞>+∞=+∞∫∫∫∫∫∫(1)设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则函数在无穷区间上的反常积分没有意义习惯上称为反常积分(](],().(2)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,().(aabtt bbbtt b bdx f x dxf x b t b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞+∞→−∞−∞−∞→−∞−∞−∞−∞<−∞=∫∫∫∫∫∫∫∫发散这时记号不再表示数值设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散()()03)(),,()(),(),(),()()()lim ()lim (),();t tt t f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞−∞+∞−∞+∞+∞−∞−∞→+∞→−∞+∞−∞−∞+∞−∞+∞=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分和都收敛则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作即这时也称反常积分收敛否则就称反常积分().f x dx +∞−∞∫发散（31）（瑕点的定义）()()().f x a a f x 如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点也称为无界间断点（32）（无界函数的反常积分的定义）(](][)(),,(),lim (),(),,(),()lim ().().,().(2)(),,()btt ab b baatt ab baaf x a b a f x t a f x dx f x a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b b f x ++→→>=∫∫∫∫∫∫(1)设函数在上连续点为的瑕点.取如果极限存在则称此极限为函数在上的反常积分仍然记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散设函数在上连续点为的瑕点.取[],lim (),()lim ().().(3)(),(),().()()()()()lim ()l tat bbt baaat bc abbcbtcaacat ct b f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b c a c b c f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −−−→→→<=<<=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫如果极限存在则定义否则,就称反常积分发散设函数在上除点外连续点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义im ().().btt cbaf x dx f x dx +→∫∫否则,就称反常积分发散（33）（无穷限反常积分的审敛法1）[)[)(),,()0.()(),()xaaf x a f x F x f t dt a f x dx +∞+∞≥=+∞∫∫设函数在区间上连续且若函数在上有上界,则反常积分都收敛.（34）（无穷限反常积分的审敛法2比较审敛原理）[)()(),.0()()(),(),()0()()(),(),().aaaaf xg x a f x g x a x g x dxf x dxg x f x a x g x dx f x dx +∞+∞+∞+∞+∞≤≤≤<+∞≤≤≤<+∞∫∫∫∫(1)设函数和在区间上连续如果并且收敛则也收敛;(2)如果并且发散则也发散（35）（无穷限反常积分的审敛法3比较审敛法1）[)(),(0),()0.(1)01,()(),();0,()(),().p a a f x a a f x MM p f x a x f x dx xNN f x a x f x dx x+∞+∞+∞>≥>>≤≤<+∞>≥≤<+∞∫∫设函数在区间上连续且如果存在常数及使得则反常积分收敛(2)如果存在常数使得则反常积分发散（36）（无穷限反常积分的审敛法4极限审敛法1）[)(),,()0.1,lim (),()(2)lim ()0(lim ()),().p a x ax x f x a f x p x f x f x dx xf x d xf x f x dx +∞→+∞+∞→+∞→+∞+∞≥>=>=+∞∫∫设函数在区间上连续且(1)如果存在常数使得存在则反常积分收敛;如果或则反常积分发散（37）（无穷限反常积分的审敛法5）[)(),.(),().().aaaf x a f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞+∞∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分收敛则反常积分也收敛即绝对收敛的反常积分必定收敛（38）（无界函数的反常积分的审敛法1比较审敛法2）(](),,()0().(1)01,()(),();()(2)0()(),().b q a b a f x a b f x x a f x MM q f x a x b f x dx x a NN f x a x b f x dx x a≥=>>≤<≤−>≥<≤−∫∫设函数在区间上连续且，为的瑕点如果存在常数及使得则反常积分收敛如果存在常数，使得则反常积分发散（39）（无界函数的反常积分的审敛法2极限审敛法2）(](),,()0,().(1)01,lim ()()();(2)lim ()()0(lim ()()),().bq a x abax ax af x a b f x x a f x q x a f x f x dx x a f x d x a f x f x dx +++→→→≥=<<−−=>−=+∞∫∫设函数在区间上连续且为的瑕点如果存在常数使得存在,则反常积分收敛如果或则反常积分发散（40）（Γ函数的相关性质）21101220(1):()(0).0.(2)(1)()(0).,(1)!(3)0,().(4)()(1)(01).sin (5)(),,()2x s x s xs u s e x dx s e x dx s s s s s n N n n s s s s s ss e x dx x u s eu ππ+∞+∞−−−−+++∞−−−ΓΓ=>>Γ+=Γ>∈Γ+=→Γ→+∞ΓΓ−=<<Γ==Γ=∫∫∫函数定义 反常积分对任意都收敛递推公式: 当时当时余元公式：在中作代换有2100.11121,()(1).222s u tdu t t s t s e u du t +∞−+∞−++−===Γ>−∫∫再令或即有 （41）.光滑曲线弧是可求长的。
