因 式 分 解
类型二、公式法
1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：
（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+
2、利用完全平方公式因式分解：()2
222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 2
22)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。 例如：分解因式：
（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x
典型例题：
例1 用平方差公式分解因式：
（1）22)(9y x x -+-； （2）2233
1
n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：
（1）ab b a -5；（2）)()(4
4n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.
例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？
（1）962+-a a ； （2）982
+-x x ； （3）91242--x x ； （4）2
23612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.
例4 把下列各式分解因式：
⑴ 442-+-x x ； ⑵ 2
291
4942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.
例5 分解因式：
⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-
说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.
例6 分解因式：
⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；
⑵ 4224168b b a a +-；
⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .
⑷ 63244914b b a a +-
⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a
说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.
例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值.
说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.
例8 已知2=+b a ，求
222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.
例9 已知1=-y x ，2=xy ，求3
2232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.
例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数. 说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.
例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+3464
23y x y x ，求代数式2249y x -的值。
