中考数学复习 第二单元 方程与不等式 滚动小专题(三)方程、不等式的实际应用练习
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滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法1.解方程(组):(1)4x -3=2(x -1);解:去括号,得4x -3=2x -2.移项,得4x -2x =-2+3.合并同类项,得2x =1.系数化为1,得x =12.(2)2x =3x +1;解:方程两边同乘x(x +1),得2(x +1)=3x.去括号,得2x +2=3x. 移项,得2x -3x =-2.合并同类项,得-x =-2.系数化为1,得x =2. 检验,当x =2时,x(x +1)≠0.∴x=2是原分式方程的根.(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,①x -y =-1;②解:①+②,得2x +y +x -y =4-1.解得x =1.把x =1代入①,得2+y =4.解得y =2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.(4)2x 2-4x -1=0;解:x 2-2x -12=0.(x -1)2=32.x =1±62.∴x 1=1+62,x 2=1-62.(5)1x -2+2=1-x 2-x .解:方程两边同乘x -2,得1+2(x -2)=x -1.解得x =2.检验:当x =2时,x -2=0. 所以x =2不是原方程的解.∴原方程无解.类型2 不等式(组)的解法2.解不等式(组):(1)4x +5≤2(x+1);解:去括号,得4x +5≤2x+2.移项、合并同类项,得2x≤-3.解得x≤-32.(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x -1≥x+1,①x +4<4x -2;②解:解不等式①,得x≥1.解不等式②,得x >2.∴不等式组的解集为x >2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x -7<3(x -1),①43x +3≤1-23x.②解:解不等式①,得x >-4. 解不等式②,得x≤-1.∴不等式组的解集是-4<x≤-1.3.解不等式:2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来.解:去分母,得4x -2>3x -1.解得x >1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:4.解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x≥-9-x ,5x -1>3(x +1),并把它的解集在数轴上表示出来.解:解不等式2x≥-9-x ,得x≥-3.解不等式5x -1>3(x +1),得x >2.则不等式组的解集为x >2.将解集表示在数轴上如下:5.x 取哪些整数值时,不等式5x +2>3(x -1)与12x≤2-32x 都成立?解:联立不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x +2>3(x -1),①12x≤2-32x ,②解不等式①,得x>-52.解不等式②,得x≤1.∴-52<x≤1.故满足条件的整数有-2,-1,0,1.类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.已知关于x 的方程x 2+mx +m -2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值;(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解:(1)把x =1代入方程x 2+mx +m -2=0,得1+m +m -2=0.解得m =12.(2)证明:∵Δ=m 2-4(m -2)=(m -2)2+4≥4>0.∴不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.7.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x 1,x 2,当k =1时,求x 21+x 22的值.解:(1)∵x 2+(2k +1)x +k 2=0①有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k +1)2-4k 2>0.∴k>-14.(2)当k =1时,原方程为x 2+3x +1=0.∵x 1,x 2是该方程的两个实数根,∴由根与系数的关系可知x 1+x 2=-3,x 1x 2=1.∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-3)2-2×1=7.8.已知关于x 的方程(x -3)(x -2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1,x 2,且满足x 21+x 22=3x 1x 2,求实数p 的值.解:(1)证明:∵(x-3)(x -2)-p 2=0,∴x 2-5x +6-p 2=0.∴Δ=(-5)2-4×1×(6-p 2)=25-24+4p 2=1+4p 2.∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p 2>0.∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1),得x 1+x 2=5,x 1x 2=6-p 2,中小学教案、试题、试卷精品资料∴(x1+x2)2-2x1x2=3x1x2.∴52=5(6-p2).∴p=±1.9.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=(-6)2-4(m+4)=36-4m-16=-4m+20≥0.∴m≤5.(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=6.①x1x2=m+4.②又3x1=|x2|+2,若x2≥0,则3x1=x2+2.③联立①③解得x1=2,x2=4.∴8=m+4,m=4.若x2<0,则3x1=-x2+2,④联立①④解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去).∴符合条件的m的值为4.。
中考数学不等式(组)、方程(组)实际应用问题强化专题
一、方程、方程组的实际应用:
例题1、
例题1题干图(1)
解答过程:
例题1解答过程图(2)
答:甲种车每辆一次可运土8 立方米,乙种车每辆一次可运土12 立方米.。
二、不等式、不等式组的实际应用:
例题2、
例题2题干图(3)
例题2题干图(4)
解答过程:
例题2解答过程图(5)
例题2解答过程图(6)
总结:建立不等式组从而求出不等式组的整数解来确定方案,是解决方案问题的常用方法。
三、方程(组)与不等式(组)之间综合应用:
例题3、
例题3题干图(7)
例题3题干图(8)
解答过程:
例题3解答过程图(9)
例题3解答过程图(10)
总结:本题考查方程组和一元一次不等式的综合运用。
第(1)问可利用方程组求出每件A 种商品和每件B 种商品的利
润,
第(2 )问中不等关系: 34件商品所得利润不低于 4000 元。
四、拓展提高:
例题5、
例题5题干图(11)
例题5题干图(12)
解答过程:
例题5解答过程图(13)
例题5解答过程图(14)
例题5解答过程图(15)
例题5解答过程图(16)。
滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法1.(2015·广州)解方程:5x =3(x -4).解:去括号,得5x =3x -12.移项,得5x -3x =-12.合并同类项,得2x =-12.系数化为1,得x =-6.2.(2015·中山)解方程:x 2-3x +2=0.解:(x -1)(x -2)=0.∴x 1=1,x 2=2.3.(2015·邵阳)解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,①x -y =-1.②解:①+②,得2x +y +x -y =4-1.解得x =1.把x =1代入①,得2+y =4.解得y =2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.4.(2016·钦州)解方程:3x =5x -2.解:方程两边同乘x(x -2),得3(x -2)=5x.去括号,得3x -6=5x.移项、合并同类项,得2x =-6.系数化为1,得x =-3. 检验:当x =-3时,x(x -2)≠0,∴x =-3是原分式方程的解.5.(2015·黔西南)解方程:2x x -1+11-x =3.解:方程两边同乘(x -1),得2x -1=3(x -1). 去括号、移项、合并同类项,得-x =-2.系数化为1,得x =2.检验:当x =2时,x -1≠0,∴x =2是原分式方程的解.6.(2015·荆州)解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y =-1,①x +3y =7.②解:②×3,得3x +9y =21.③③-①,得11y =22,y =2.把y =2代入②,得x =1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.7.(2016·山西)解方程:2(x -3)2=x 2-9. 解:解法一:原方程可化为2(x -3)2=(x +3)(x -3).2(x -3)2-(x +3)(x -3)=0.(x -3)[2(x -3)-(x +3)]=0.(x -3)(x -9)=0.∴x -3=0或x -9=0.∴x 1=3,x 2=9.解法二:原方程可化为x 2-12x +27=0.这里a =1,b =-12,c =27.∵b 2-4ac =(-12)2-4×1×27=36>0,∴x =12±362×1=12±62.因此原方程的根为x 1=3,x 2=9.类型2 不等式(组)的解法8.(2016·舟山)解不等式:3x >2(x +1)-1.解:去括号,得3x >2x +2-1.移项,得3x -2x >2-1.合并同类项,得x >1.∴不等式的解为x >1.9.(2016·淮安)解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +1<x +5,①4x>3x +2.②解:解不等式①,得x<4.解不等式②,得x>2.∴不等式组的解集为2<x <4.10.(2016·北京)解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +5>3(x -1),①4x >x +72.②解:解不等式①,得x<8.解不等式②,得x>1.∴不等式组的解集为1<x<8.11.(2016·苏州)解不等式2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来.解:去分母,得4x -2>3x -1. 解得x >1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:12.(2016·广州)解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x <5,①3(x +2)≥x+4,②并在数轴上表示解集. 解:解不等式①,得x <52.解不等式②,得x≥-1.解集在数轴上表示为:∴不等式组的解集为-1≤x<52.13.(2016·南京)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x +1≤2(x +1),-x <5x +12,并写出它的整数解.解:解不等式①,得x≤1.解不等式②,得x >-2.所以,不等式组的解集是-2<x≤1.该不等式组的整数解是-1,0,1.类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系14.(2016·白银)已知关于x 的方程x 2+mx +m -2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值;(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解:(1)把x =1代入方程x 2+mx +m -2=0,得1+m +m -2=0. 解得m =12.(2)证明:Δ=m 2-4(m -2)=(m -2)2+4.∵(m -2)2≥0,∴(m -2)2+4>0,即Δ>0.∴不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.15.(2016·北京)关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求m 的取值范围;(2)写出一个满足条件的m 值,并求此时方程的根.解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(2m +1)2-4×1×(m 2-1)=4m +5>0.解得m >-54.(2)答案不唯一,如:m =1,此时原方程为x 2+3x =0,即x(x +3)=0.解得x 1=0,x 2=-3.16.(2016·梅州)关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2+1=0有两个不等实根x 1,x 2.(1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根x 1,x 2满足x 1+x 2=-x 1·x 2,求k 的值.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k +1)2-4(k 2+1)=4k -3>0.解得k >34.(2)由根与系数的关系,得x 1+x 2=-(2k +1),x 1·x 2=k 2+1.∵x 1+x 2=-x 1·x 2,∴-(2k +1)=-(k 2+1).解得k =0或k =2.又∵k>34,∴k =2.17.(2016·十堰)已知关于x 的方程(x -3)(x -2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1,x 2,且满足x 21+x 22=3x 1x 2,求实数p 的值.解:(1)证明:∵(x -3)(x -2)-p 2=0,∴x 2-5x +6-p 2=0.∴Δ=(-5)2-4×1×(6-p 2)=25-24+4p 2=1+4p 2.∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p2>0.∴无论p取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1),得x1+x2=5,x1x2=6-p2,∵x21+x22=3x1x2,∴(x1+x2)2-2x1x2=3x1x2.∴52=5(6-p2).∴p=±1.。
2019-2020年中考数学复习滚动小专题二方程组不等式组的解法试题类型1解方程(组)1.(xx·滨州)解方程:2-2x+13=1+x2.解:去分母,得12-2(2x+1)=3(1+x).去括号,得12-4x-2=3+3x.移项、合并同类项,得-7x=-7.系数化为1,得x=1.2.(xx·安徽)解方程:x2-2x=4.解:两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5.∴x-1=± 5.∴原方程的解是x1=1+5,x2=1- 5.3.(xx·钦州)解方程:3x=5x-2.解:方程两边同乘x(x-2),得3(x-2)=5x.去括号,得3x-6=5x.移项、合并同类项,得2x=-6.系数化为1,得x=-3.检验:当x=-3时,x(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.4.解方程组:⎩⎨⎧5x +10=10y ,①15x =20y +10.②解:由①,得x -2y =-2.由②,得3x -4y =2.①×2-②,得x =6.所以原方程的解为⎩⎨⎧x =6,y =4.5.(xx·山西)解方程:(2x -1)2=x(3x +2)-7.解:原方程可化为x 2-6x +8=0.∴(x -3)2=1.∴x -3=±1.∴x 1=2,x 2=4.类型2 解不等式(组)6.(xx·舟山)解不等式:3x >2(x +1)-1.解:去括号,得3x >2x +2-1.移项,得3x -2x >2-1.合并同类项,得x >1.∴不等式的解为x >1.7.(xx·北京)解不等式组:⎩⎨⎧2x +5>3(x -1),①4x>x +72.② 解:解不等式①,得x<8.解不等式②,得x>1.∴不等式组的解集为1<x<8.8.(xx·苏州)解不等式2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来. 解:去分母,得4x -2>3x -1.解得x >1.∴解集在数轴上表示为:9.(xx·广州)解不等式组:⎩⎨⎧2x<5,①3(x +2)≥x+4,②并在数轴上表示解集. 解:解不等式①,得x<52. 解不等式②,得x≥-1.解集在数轴上表示为:∴不等式组的解集为-1≤x<52.10.(xx·南京)解不等式组:⎩⎨⎧3x +1≤2(x +1),-x <5x +12,并写出它的整数解. 解:解不等式①,得x≤1.解不等式②,得x >-2.∴不等式组的解集是-2<x≤1.该不等式组的整数解是-1,0,1.22208 56C0 囀c@23910 5D66 嵦L19976 4E08 丈"22655 587F 塿32924 809C 肜31947 7CCB 糋21847 5557 啗21400 5398 厘-J40430 9DEE 鷮。
中考数学《方程与不等式》专题训练50题含参考答案一、单选题1.不等式组1036x x -<⎧⎨<⎩的解集是( )A .无解B .1x >C .2x <D .12x <<【答案】D【分析】分别解出两个不等式,取公共解集即可.【详解】解:1036x x -<⎧⎨<⎩①② 解①得:1x > , 解①得:2x < ,故此不等式组的解集为:12x << 故选D.【点睛】此题考查的是解不等式组,掌握解不等式的一般步骤、不等式的基本性质和不等式组公共解集的取法是解决此题的关键.2.如果3m =3n ,那么下列等式不一定成立的是( ) A . m -3=n -3 B .3m +3=3n +2 C .5+m =5+n D .3m -=3n -3.若()()221x ax x +--的展开式中不含x 的一次项,则a 的值为( )A .3-B .2-C .1-D .0【答案】B【分析】先将多项式展开,然后令x 的系数为0,求出a 的值即可.【详解】解:()()221x ax x +--32222x x ax ax x =-+--+()()32122x a x a x =+-+-++,①()()221x ax x +--展开后不含x 的一次项,①20a +=, ①2a =-; 故选:B .【点睛】本题考查了多项式乘多项式,熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键. 4.方程23x +=11x -的解为( ) A .x =3 B .x =4C .x =5D .x =﹣5【答案】C【详解】方程两边同乘(x-1)(x+3),得 x+3-2(x-1)=0, 解得:x=5,检验:当x=5时,(x-1)(x+3)≠0, 所以x=5是原方程的解, 故选C.5.下列方程中,关于x 的一元二次方程的是( ) A .ax 2+bx +c =0 B .(x -1)2=x 2+3x +2 C .x 2=x +1D .2x 2-1x+1=0【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义,逐项分析即可,一元二次方程的定义:含有一个未知数,未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程. 【详解】A. ax 2+bx +c =0(0a ≠),故该选项不正确,不符合题意;6.若2x-1=15与kx-1=15的解相同,则k的值为()A.8B.6C.-2D.2【答案】D【分析】先解2x-1=15求出x的值,再把求得的x的值代入kx-1=15,然后解关于k的方程即可求出k的值.【详解】①2x-1=15,①2x=16,①x=8.把x=8代入kx-1=15得8k-1=15,①k=2.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法,能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解;解一元一次方程的基本步骤为:①去分母;①去括号;①移项;①合并同类项;①未知数的系数化为1.7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为()A.10080807644⨯-=B.2x-+=(100)7644x x【分析】利用平移的方法,平移后的剩余部分仍是矩形,且长与宽均减小x 米,从而由面积可列出方程.【详解】矩形场地上的两条路分别向上和向右平移后如图所示,则平移后剩余部分的长为(100-x )米,宽为(80-x )米,题意得:(100-x )(80-x )=7644 故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,关键是运用平移的思想,问题得以简化并得到解决.8.下列各组数中,是方程x+y=7的解的是( ) A .23x y =-⎧⎨=⎩B .31x y =-⎧⎨=⎩C .43x y =⎧⎨=⎩D .23x y =⎧⎨=⎩【答案】C【分析】将四个答案逐一代入,能使方程成立的即为方程的解. 【详解】解:A 、2317-+=≠,故此选项不符合题意; B 、3127-+=-≠,故此选项不符合题意; C 、437+=,故此选项符合题意; D 、2357+=≠,故此选项不符合题意; 故选C .【点睛】本题考查二元一次方程的解,理解掌握方程的解的定义是解答关键. 9.若表格中每对,的值都是同一个二元一次方程的解,则这个方程为( )A .53+=x yB .5x y +=C .20x y -=D .35x y +=【分析】设方程为y=kx+b ,把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值,即可确定出方程.【详解】解:设方程为y=kx+b ,把(0,5)与(1,2)代入得:52b k b =⎧⎨+=⎩ 解得:53b k =⎧⎨=-⎩,①这个方程为y=-3x+5,即3x+y=5, 故选:D .【点睛】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.10.若0xy ≤x ,y 满足的条件是( ). A .0x ≥,0y ≥ B .0x ≥,0y ≤ C .0x ≤,0y ≥ D .0x ≤,0y ≤【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件得出20x y ≥,结合题意即可得出结果. 【详解】解:根据题意得,20x y ≥, ①20x ≥, ①0y ≥, ①0xy ≤, ①0x ≤, 故选C .【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件及不等式的性质,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.11.若a b <,则下列各式正确的是( ) A .22a b > B .22a b ->-C .34a b -<-D .22a b> 【答案】B【分析】根据不等式的性质,进行计算逐一判断即可解答. 【详解】解:A 、①a <b ,①2a <2b ,故该选项不符合题意; B 、①a <b ,①-2a >-2b ,故该选项符合题意;12.下列说法:①a为任意有理数,a2+1总是正数;①方程x+2=1x是一元一次方程;①若ab>0,a+b<0,则a<0,b<0;①代数式2,,23t a bb+都是整式;①若a2=(﹣2)2,则a=﹣2.其中错误的有()A.4个B.3个C.2个D.1个13.观察下列方程,经分析判断得知有实数根的是()A.33x=-B.22301x+=+C.()32x xx+=+D.221x xx-+=-【答案】C【分析】根据解分式方程的步骤逐一解答即可选出正确选项.去分母化为整式方程,解14.用配方法解一元二次方程x 2+6x ﹣3=0,原方程可变形为( ) A .(x +3)2=9 B .(x +3)2=12 C .(x +3)2=15 D .(x +3)2=39【答案】B【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得. 【详解】解:①x 2+6x =3, ①x 2+6x +9=3+9,即(x +3)2=12, 故选:B .【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,解题需要注意解题步骤的准确应用,选择配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项系数为1,一次项系数是2的倍数15.已知关于x 、y 的二元一次方程()()23230m x m y m -+-+-=,当m 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,这个公共解是( ) A .31x y =⎧⎨=-⎩B .13x y =⎧⎨=-⎩C .13x y =-⎧⎨=⎩D .31x y =-⎧⎨=⎩【答案】D【分析】把原方程整理得:m (x +y +2)-(2x +3y +3)=0,根据“当m 每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解”,可知这个公共解与m 无关,得到关于x 和y 的二元一次方程组,解之即可. 【详解】解:原方程可整理得: m (x +y +2)-(2x +3y +3)=0,根据题意得:202330x y x y ++=⎧⎨++=⎩ 解得31x y =-⎧⎨=⎩.故选D .【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组,正确掌握解二元一次方程组是解题的关键. 16.利用求根公式求21562x x +=的根时,a ,b ,c 的值分别是( ) A .5,12,6 B .5,6,12C .5,﹣6,12D .5,﹣6,﹣1217.如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜:规定:负一场积0分.观察后可知,柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是( )A .18场 B .19场C .20场D .21场【答案】B胜场次数x 场,根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程,解方程即可. 【详解】解:设球队胜一场积m 分,平一场积n 分, 由题意得:2166920767m n m n +=⎧⎨+=⎩, 解得:31m n =⎧⎨=⎩,球队胜一场积3分,平一场积1分,设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x 场,则平(34-x -8)=(26-x )场, 根据题意得:3x +(26-x )=64, 解得:x =19,①柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19, 故选:B .【点睛】考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用,本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系,并与一元一次方程相结合即可解该类题型.总积分等于胜场积分与平场的和.18.同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶600km .它们各自单独行驶并返回的最远距离是300km .现在它们都从A 地出发,行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回A 地,而乙车继续行驶,到B 地后再行驶返回A 地.则B 地最远可距离A 地( ) A .380km B .400kmC .450kmD .500km【答案】B【分析】设甲行驶到C 地时返回,到达A 地燃料用完,乙行驶到B 地再返回 A 地时燃料用完,根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组,求解即可.【详解】解:如图,设行驶途中停下来的地点为C 地,AB xkm =,AC ykm =,根据题意,得226002600x y x y x +=⨯⎧⎨-+=⎩,解得400200x y =⎧⎨=⎩,①AB 的最大长度是400km .【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用,理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键.19.关于x 的方程220ax +=是一元二次方程,则a 满足( ) A .a >0 B .a =1C .a ≥0D .a ≠0【答案】A【详解】根据一元二次方程的定义,得000a a a ≠⎧⇒>⎨≥⎩ .故选A. 20.代数式22244619x xy y x -+++的最小值是( ) A .10 B .9 C .19 D .11【答案】A【分析】把代数式22244619x xy y x -+++根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式,再进行求解即可.【详解】解:2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+ ①22(3)0,(2)0x x y +≥-≥①代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10. 故选:A .【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值,解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式.二、填空题21.含有____________的_________叫方程. 【答案】 未知数; 等式.【分析】方程是指含有未知数的等式.所以方程必须具备两个条件:(1)含有未知数(2)等式.【详解】解:根据方程的定义可知:含有未知数的等式是方程. 故答案为未知数;等式.【点睛】本题主要考查了方程的定义,熟记方程的定义是解题的关键.22.某童装店按每套88元的价格购进1000套童装,应缴纳的税费为销售额的10%,如果要获得不低于20000元的纯利润,则每套童装至少售价_____元.【分析】设每套童装的售价为x 元,根据利润=销售收入﹣税费﹣进货成本结合利润不低于20000元,即可得出关于x 的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论.【详解】解:设每套童装的售价为x 元,依题意,得:1000x ﹣10%×1000x ﹣88×1000≥20000,解得:x ≥120.故答案为:120.【点睛】此题主要考查一元一次不等式的应用,解题的关键是根据题意找到不等关系列式求解.23.如果方程1)k k x -(+3=0是关于x 的一元一次方程,那么k 的值是______. 【答案】-1【分析】根据一元一次方程的定义知|k |=1且未知数是系数k -1≠0,据此可以求得k 的值.【详解】解:①方程(k -1)x |k |+3=0是关于x 的一元一次方程,①|k |=1,且k -1≠0,解得,k =-1;故答案是:-1.【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和绝对值方程.一元一次方程的未知数的指数为1,且未知数的系数不为零.24.我县某一天的最高气温是11①,最低气温是零下4①,则当天我县气温t (①)应满足的不等式是 __________.【答案】﹣4≤t ≤11【分析】根据题意写出不等式即可.【详解】解:因为最低气温是零下4①,所以﹣4≤t ,最高气温是11①,t ≤11,则今天气温t (①)的范围是﹣4≤t ≤11.故答案是:﹣4≤t ≤11.【点睛】本题考查的是不等式的定义,不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式.25.已如m 是方程2350x x --=的一个根,则代数式262m m -的值为______.【答案】10-【分析】方程的根就是方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将m 代入原方程即可求m 2-3m 的值,然后对原式进行变形代入计算.【详解】解:把x=m 代入方程2350x x --=可得:235m m -=①22622(3)2510=m m m m ---=-⨯=-;故答案为:-10.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,解题时应注意把m 2-3m 当成一个整体.利用了整体的思想.26.如果x -2y =1,那么用含x 的代数式表示y ,则y =______.27.对任意四个有理数 a ,b ,c ,d 定义新运算:,a b ad bc c d =-那么当43 77x x=-时,x =________.28.某种药品的说明书上注明:口服,每天30~60mg ,分2~3次服用.这种药品一次服用的剂量范围是_____mg~_____mg.【答案】1030【详解】试题分析:根据等量关系:一次服用剂量=每日用量÷每日服用次数,即可求出服用剂量的最大值和最小值,而一次服用的剂量应介于两者之间,依题意列出不等式组求解即可.解:设这种药品一次服用的剂量为xmg当每日用量30mg,分3次服用时,一次服用的剂量最小;当每日用量60mg,分2次服用时,一次服用的剂量最大;根据依题意列出不等式组,解得所以这种药品一次服用的剂量范围是10mg~30mg.考点:一元一次不等式组的应用点评:解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的不等关系,列出不等式求解.29.若不等式(a﹣3)x>1的解集为13xa<-,则a的取值范围是_____.30.如果不等式组112x mx m-≤⎧⎨+≥⎩无解,则不等式2x+2<mx+m的解集是______.【答案】1x>-【详解】分析:首先根据不等式无解得出m的取值范围,然后根据不等式的解法得出不等式的解.详解:解不等式组可得:121x m x m ≤+⎧⎨≥-⎩,①不等式无解, ①2m -1>m+1,解得:m >2,①2x -mx <m -2, 即(2-m)x <m -2, ①m >2, ①2-m <0, ①x >-1. 点睛:本题主要考查的是解不等式及不等式组的方法,属于中等难度的题型.理解不等式的解法是解题的关键.系数含参时,我们首先要判断系数的正负性,然后进行求解.如果在不等式的两边同时乘以或除以一个负数,则不等符号需要改变. 31.已知关于x 的方程()344a x x a +-=-的解为2x =-,则=a ______.【答案】4【分析】将x=-2代入方程,然后解方程求得a 的值.【详解】解:①()344a x x a +-=-的解为2x =-,①()23424a a -+-=--,解得:4a =故答案为:4.【点睛】本题考查方程的解和解一元一次方程,掌握方程的解的概念及解一元一次方程的步骤,正确计算是解题关键.32.不等式2x-1>5的解集为______.【答案】x>3【详解】考点:解一元一次不等式.分析:先移项,再合并同类项,系数化为1即可.解:移项得,2x>5+1,合并同类项得,2x>6,系数化为1得,x>3.故答案为x>3.点评:本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键. 33.若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1=0有实数根,则a 的最大整数值为_____.【答案】4.【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1=0有实数根,则a ≠0,且①≥0,即①=42﹣4a =16﹣4a ≥0,解不等式得到a 的取值范围,最后确定a 的最大整数值.【详解】解:①关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1=0有实数根,①a ≠0,且①≥0,即①=42﹣4a =16﹣4a ≥0,解得a ≤4,①a 的取值范围为a ≤4且a ≠0,所以a 的最大整数值为4.故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a≠0,a ,b ,c 为常数)根的判别式①=b 2−4ac .当①>0,方程有两个不相等的实数根;当①=0,方程有两个相等的实数根;当①<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解. 34.已知代数式4x -与3(2)x 的值相等,则x 的值为______.【答案】1x =【分析】根据题意列方程,然后进行解答即可得出x 的值.【详解】解:由题意,得4-x=3(2-x)解得x=1故答案为1x =.【点睛】本题考查了解一元一次方程.关键在于根据题意列出方程.35.某水果店销售50千克香蕉,第一天售价为9元/千克,第二天降价为6元/千克,第三天再降为3元/千克.三天全部售完,共计所得300元.若该店第二天销售香蕉t 千克,则第三天销售香蕉____千克.(用含t 的代数式表示.)36.若x 1,x 2是方程x 2+x -1=0的两根,则(x 12+x 1-2)(x 22+x 2-2)的值为_______.【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义得到2111x x +=,2221x x +=,代入计算即可.【详解】解:①x 1,x 2是方程x 2+x -1=0的两根,①21110x x +-=,22210x x +-=,①2111x x +=,2221x x +=,①()()22112222x x x x +-+-=()()1212--=1故答案为:1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立.37.若实数m 、n 满足|m ﹣3|+0,且m 、n 恰好是Rt △ABC 的两条边长,则第三条边长为_______.5##5【分析】先由非负数的性质求出m =3,n =4,由于题中直角三角形的斜边不能确定,38.若方程(a-3)x |a|-1+2x-8=0是关于x 的一元二次方程,则a 的值是_____.【答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a 的值即可.39.一种药品现在售价56.10元,比原来降低了15%,原售价为____元.【答案】66.【详解】试题分析:设这种药品的原售价为x 元,则比原来降低了15%后的售价为(1-15%)x 元,根据题意得(1-15%)x=56.1,解得x=66.故答案为66.考点:列一元一次方程解应用题.40.如果关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根,且常数a 与b 互为负倒数,那么a b +=__________. 【答案】0【分析】根据根的判别式求出0⊿=,得到222a b +=,再根据完全平方公式求出即可.【详解】关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根,()()2224120a b ∴-⨯⨯-+=⊿=,化简得:222a b +=常数a 与b 互为负倒数,即1ab =-()222222(1)0a b a b ab ∴+=++=+⨯-= 0a b ∴+=故答案为0【点睛】本题考查了根的判别式,得到等式222a b +=和1ab =-是解题的关键.三、解答题41.某农场去年种植了10亩地的南瓜,亩产量为2000kg ,根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种南瓜,今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12,设南瓜种植面积的增长率为x . (1)则今年南瓜的种植面积为________亩;今年南瓜亩产量为_______k g (用含x 的代数式表示)(2)今年南瓜的总产量为60000kg,求南瓜亩产量的增长率.42.已知点P(2m﹣4,m+4),解答下列问题:(1)若点P在y轴上,则点P的坐标为______;(2)若点P的纵坐标比横坐标大7,求出点P坐标;(3)若点P在过A(2,3)点且与x轴平行的直线上,则AP的长为多少?【答案】(1)(0,6)(2)P点的坐标为(﹣2,5)(3)AP=8【分析】(1)让横坐标为0求得m的值,代入点P的坐标即可求解;(2)利用纵坐标-横坐标=7得m的值,代入点P的坐标即可求解;(3)利用纵坐标为3求得m的值,代入点P的坐标即可求解.(1)解:令2m-4=0,解得m=2,所以P点的坐标为(0,6),故答案为:(0,6);(2)解:令m+4-(2m-4)=7,解得m=1,所以P点的坐标为(-2,5);(3)解:①点P在过A(2,3)点且与x轴平行的直线上,①m+4=3,解得m=-1.①P点的坐标为(-6,3),①AP=2+6=8.【点睛】本题考查坐标与图形性质,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.43.甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中,每天甲队比乙队多铺设100米钢轨,甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离,若设甲队每天铺设x 米,乙队每天铺设y米.(1)依题意列出二元一次方程组;(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米?【答案】(1)100 56x yx y-=⎧⎨=⎩(2)甲施工队每天各铺设600米,乙施工队每天各铺设500米.【分析】(1)利用每天甲队比乙队多铺设100米钢轨,得x-y=100;利用甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离,得5x=6y,从而可得答案(2)解方程组即可得到答案.(1)解:设甲队每天铺设x米,乙队每天铺设y米,则10056x y x y -=⎧⎨=⎩ (2)10056x y x y -=⎧⎨=⎩解得:600500x y =⎧⎨=⎩答:甲施工队每天各铺设600米,乙施工队每天各铺设500米.44.解不等式:并把不等式的解集在数轴上表示出来:4-()314x +≥()528x ++2 【答案】x ≤0,数轴表示见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得,再在数轴上表示出来即可.【详解】解:去分母,得:32-6(x +1)≥5(x +2)+16,去括号,得:32-6x -6≥5x +10+16,移项,得:-6x -5x ≥10+16-32+6,合并,得:-11x ≥0,系数化为1,得:x ≤0,将不等式的解集表示在数轴上如下:【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力,严格遵循解不等式的基本步骤是关键,尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变. 45.(1)用配方法解方程:21090x x -+=.(2)某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,求平均每次降价的百分率.【答案】(1)121,9x x ==;(2)平均每次降价的百分率为:20%.【详解】试题分析:(1)先配方,再进行开方,化简即可;(2)利用数量关系:商品原来价格×(1﹣每次降价的百分率)2=现在价格,设出未知数,列方程解答即可.试题解析:(1)21090x x -+=210252590x x -+-+=()2516x -=54x -=±121,9x x ==;(2) 设这种商品平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得,125(1﹣x )2=80,解得x 1=0.2=20%,x 2=﹣1.8(不合题意,舍去);故平均每次降价的百分率为:20%.考点:1. 配方法解方程,2. 一元二次方程的应用.46.解下列方程或不等式组:(1)解方程:122134x x -+=- (2)解不等式组()2563212x x x ⎧+≥⎨->+⎩47.在某校园超市中买1支英雄牌钢笔和3本硬皮笔记本需要18元钱;买同样的钢笔2支和笔记本5本需要31元.(1)求每支英雄牌钢笔和每本硬皮笔记本的价格;(2)九年一班准备用班费购买48件上述价格的钢笔和笔记本.作为毕业联欢会的奖品,已知班费不少于200元,求最少可以买多少本笔记本?【答案】(1)每支英雄牌钢笔3元,每本硬皮笔记本5元;(2)至少可以购买28本笔记本【分析】(1)用二元一次方程解决问题的关键是找到两个合适的等量关系.本问中两个等量关系是:1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18,2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31,根据这两个等量关系可以列出方程组;(2)本问可以列一元一次不等式解决.用钢笔数=48-笔记本数代入下列不等式关系:购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200,可以列出一元一次不等式,求解即可.【详解】解:(1)设每支英雄牌钢笔x 元,每本硬皮笔记本y 元由题意得3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩解得35x y =⎧⎨=⎩答:每支英雄牌钢笔3元,每本硬皮笔记本5元(2)设可以购买a 本笔记本由题意得()3485200a a -+≥解得28a ≥答:至少可以购买28本笔记本【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用,解题的关键是找出题中的等量关系或不等关系:1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18,2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31,购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200.48.甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%,乙公司比甲公司人均多捐20元.请你根据上述信息,就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的题,并写出解题过程.【答案】问:甲、乙两公司各有多少名员工?;见解析;甲公司有30名员工,乙公司有25名员工【分析】问:甲、乙两公司各有多少名员工?设乙公司有x 名员工,则甲公司有1.2x 名员工,根据人均捐款钱数=捐款总钱数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元,即可得出关于x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论.【详解】解:问:甲、乙两公司各有多少名员工?设乙公司有x 名员工,则甲公司有1.2x 名员工,49.列方程(组)或不等式(组)解应用题:(1)甲工人接到240个零件的任务,工作1小时后,因要提前完成任务,调来乙和甲合作,合做了5小时完成.已知甲每小时比乙少做4个,那么甲、乙每小时各做多少个?(2)某工厂准备购进A 、B 两种机器共20台用于生产零件,经调查2台A 型机器和1台B 型机器价格为18万元,1台A 型机器和2台B 型机器价格为21万元.①求一台A 型机器和一台B 型机器价格分别是多少万元?①已知1台A 型机器每月可加工零件400个,1台B 型机器每月可加工零件800个,经预算购买两种机器的价格不超过140万元,每月两种机器加工零件总数不低于12400个,那么有哪几种购买方案,哪种方案最省钱?【答案】(1)甲每小时加工个20零件,乙每小时加工24个零件;(2)①A ,B 两种型号机器的单价分别为5万元和8万元;①有三种购买方案:方案一:购买A 型机器7台,B 型机器13台,方案二:购买A 型机器8台,B 型机器12台,方案三:购买A 型机器9台,B 型机器11台,方案三更省钱.【分析】(1)设甲每小时加工x 个零件,乙每小时加工y 个零件,利用乙每小时比甲多做4个,以及利用甲工作了1小时后,调来乙工人与甲合作了5小时完成,240个零件的任务得出等式方程求出即可;(2)①设A ,B 两种型号机器的单价分别为x 万元和y 万元,根据题意得方程组218221x y x y +⎧⎨+⎩==,解答即可; ①设购买A 型机器m 台,则购买B 型机器(20-m )台,根据购买总价和生产数量列出不等式组求解即可.【详解】(1)设甲每小时加工x 个零件,乙每小时加工y 个零件,根据题意得:465240x y x y +⎧⎨+⎩==,50.解方程组:(1)2(1)61x yx y+-=⎧⎨=-⎩(2)3(1)51135x yy x-=+⎧⎪-⎨=+⎪⎩【答案】(1)56 xy=⎧⎨=⎩(2)57x y =⎧⎨=⎩【分析】(1)用代入法求解即可;(2)用加减法求解即可.【详解】(1)解:()2161x y x y ⎧+-=⎨=-⎩①② , 将①代入①得:6y =,把6y =代入①得5x =,①原方程组的解为56x y =⎧⎨=⎩; (2)解:整理得:383520x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②, ①-①,得428y =,解得:7y =,把7y =代入①,得378x -=,解得:5x =,①方程组的解是57x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查解二元一次方程组,熟练掌握用代入法或加减法解二元一次方程组是解题的关键.。
滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法1.解方程(组):(1)4x -3=2(x -1);解:去括号,得4x -3=2x -2.移项,得4x -2x =-2+3.合并同类项,得2x =1.系数化为1,得x =12.(2)2x =3x +1;解:方程两边同乘x(x +1),得2(x +1)=3x.去括号,得2x +2=3x. 移项,得2x -3x =-2.合并同类项,得-x =-2.系数化为1,得x =2. 检验,当x =2时,x(x +1)≠0.∴x=2是原分式方程的根.(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,①x -y =-1;②解:①+②,得2x +y +x -y =4-1.解得x =1.把x =1代入①,得2+y =4.解得y =2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.(4)2x 2-4x -1=0;解:x 2-2x -12=0.(x -1)2=32.x =1±62.∴x 1=1+62,x 2=1-62.(5)1x -2+2=1-x 2-x .解:方程两边同乘x -2,得1+2(x -2)=x -1.解得x =2.检验:当x =2时,x -2=0. 所以x =2不是原方程的解.∴原方程无解.类型2 不等式(组)的解法2.解不等式(组):(1)4x +5≤2(x+1);解:去括号,得4x +5≤2x+2.移项、合并同类项,得2x≤-3.解得x≤-32.(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x -1≥x+1,①x +4<4x -2;②解:解不等式①,得x≥1.解不等式②,得x >2.∴不等式组的解集为x >2.(3)⎩⎪⎨⎪⎧2x -7<3(x -1),①43x +3≤1-23x.②解:解不等式①,得x >-4. 解不等式②,得x≤-1.∴不等式组的解集是-4<x≤-1.3.解不等式:2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来.解:去分母,得4x -2>3x -1.解得x >1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:4.解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x≥-9-x ,5x -1>3(x +1),并把它的解集在数轴上表示出来.解:解不等式2x≥-9-x ,得x≥-3.解不等式5x -1>3(x +1),得x >2.则不等式组的解集为x >2.将解集表示在数轴上如下:5.x 取哪些整数值时,不等式5x +2>3(x -1)与12x≤2-32x 都成立?解:联立不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x +2>3(x -1),①12x≤2-32x ,②解不等式①,得x>-52.解不等式②,得x≤1.∴-52<x≤1.故满足条件的整数有-2,-1,0,1.类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系6.已知关于x 的方程x 2+mx +m -2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值;(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解:(1)把x =1代入方程x 2+mx +m -2=0,得1+m +m -2=0.解得m =12.(2)证明:∵Δ=m 2-4(m -2)=(m -2)2+4≥4>0.∴不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.7.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2=0①有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x 1,x 2,当k =1时,求x 21+x 22的值.解:(1)∵x 2+(2k +1)x +k 2=0①有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k +1)2-4k 2>0.∴k>-14.(2)当k =1时,原方程为x 2+3x +1=0.∵x 1,x 2是该方程的两个实数根,∴由根与系数的关系可知x 1+x 2=-3,x 1x 2=1.∴x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-3)2-2×1=7.8.已知关于x 的方程(x -3)(x -2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1,x 2,且满足x 21+x 22=3x 1x 2,求实数p 的值.解:(1)证明:∵(x-3)(x -2)-p 2=0,∴x 2-5x +6-p 2=0.∴Δ=(-5)2-4×1×(6-p 2)=25-24+4p 2=1+4p 2.∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p 2>0.∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1),得x 1+x 2=5,x 1x 2=6-p 2,∴(x1+x2)2-2x1x2=3x1x2.∴52=5(6-p2).∴p=±1.9.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=(-6)2-4(m+4)=36-4m-16=-4m+20≥0.∴m≤5.(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=6.①x1x2=m+4.②又3x1=|x2|+2,若x2≥0,则3x1=x2+2.③联立①③解得x1=2,x2=4.∴8=m+4,m=4.若x2<0,则3x1=-x2+2,④联立①④解得x1=-2,x2=8(不合题意,舍去).∴符合条件的m的值为4.。
滚动小专题(二) 方程、不等式的解法 类型1 方程(组)的解法1.解方程:5x =3(x -4).解:去括号,得5x =3x -12.移项,得5x -3x =-12.合并同类项,得2x =-12.系数化为1,得x =-6.2.解方程:x 2-3x +2=0.解:(x -1)(x -2)=0.∴x 1=1,x 2=2.3.解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,①x -y =-1.② 解:①+②,得2x +y +x -y =4-1.解得x =1.把x =1代入①,得2+y =4.解得y =2.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.4.解方程:3x =5x -2. 解:方程两边同乘x(x -2),得3(x -2)=5x.去括号,得3x -6=5x.移项、合并同类项,得2x =-6.系数化为1,得x =-3. 检验:当x =-3时,x(x -2)≠0,∴x =-3是原分式方程的解.5.)解方程:2x x -1+11-x=3. 解:方程两边同乘(x -1),得2x -1=3(x -1).去括号、移项、合并同类项,得-x =-2.系数化为1,得x =2.检验:当x =2时,x -1≠0,∴x =2是原分式方程的解.6.解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y =-1,①x +3y =7.② 解:②×3,得3x +9y =21.③③-①,得11y =22,y =2.把y =2代入②,得x =1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2. 7.解方程:2(x -3)2=x 2-9. 解:解法一:原方程可化为2(x -3)2=(x +3)(x -3).2(x -3)2-(x +3)(x -3)=0.(x -3)[2(x -3)-(x +3)]=0.(x -3)(x -9)=0.∴x -3=0或x -9=0.∴x 1=3,x 2=9.解法二:原方程可化为x 2-12x +27=0.这里a =1,b =-12,c =27.∵b 2-4ac =(-12)2-4×1×27=36>0,∴x =12±362×1=12±62. 因此原方程的根为x 1=3,x 2=9.类型2 不等式(组)的解法8.解不等式:3x >2(x +1)-1.解:去括号,得3x >2x +2-1.移项,得3x -2x >2-1.合并同类项,得x >1.∴不等式的解为x >1.9.解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +1<x +5,①4x>3x +2.② 解:解不等式①,得x<4.解不等式②,得x>2.∴不等式组的解集为2<x <4.10.解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +5>3(x -1),①4x >x +72.②解:解不等式①,得x<8.解不等式②,得x>1.∴不等式组的解集为1<x<8.11.解不等式2x -1>3x -12,并把它的解集在数轴上表示出来. 解:去分母,得4x -2>3x -1.解得x >1.这个不等式的解集在数轴上表示如下:12.解不等式组:⎩⎨⎧2x <5,①3(x +2)≥x +4,②并在数轴上表示解集. 解:解不等式①,得x <52. 解不等式②,得x ≥-1.解集在数轴上表示为:∴不等式组的解集为-1≤x <52.13.解不等式组⎩⎨⎧3x +1≤2(x +1),-x <5x +12,并写出它的整数解. 解:解不等式①,得x ≤1.解不等式②,得x >-2.所以,不等式组的解集是-2<x ≤1.该不等式组的整数解是-1,0,1.类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系14.已知关于x 的方程x 2+mx +m -2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值;(2)求证:不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解:(1)把x =1代入方程x 2+mx +m -2=0,得1+m +m -2=0. 解得m =12. (2)证明:Δ=m 2-4(m -2)=(m -2)2+4.∵(m -2)2≥0,∴(m -2)2+4>0,即Δ>0.∴不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.15.关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求m 的取值范围;(2)写出一个满足条件的m 值,并求此时方程的根.解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2-1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(2m +1)2-4×1×(m 2-1)=4m +5>0.解得m >-54. (2)答案不唯一,如:m =1,此时原方程为x 2+3x =0,即x(x +3)=0.解得x 1=0,x 2=-3.16.关于x 的一元二次方程x 2+(2k +1)x +k 2+1=0有两个不等实根x 1,x 2.(1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根x 1,x 2满足x 1+x 2=-x 1·x 2,求k 的值. 解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k +1)2-4(k 2+1)=4k -3>0.解得k >34. (2)由根与系数的关系,得x 1+x 2=-(2k +1),x 1·x 2=k 2+1.∵x 1+x 2=-x 1·x 2,∴-(2k +1)=-(k 2+1).解得k =0或k =2.又∵k >34, ∴k =2.17.已知关于x 的方程(x -3)(x -2)-p 2=0.(1)求证:无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)设方程两实数根分别为x 1,x 2,且满足x 21+x 22=3x 1x 2,求实数p 的值.解:(1)证明:∵(x -3)(x -2)-p 2=0,∴x 2-5x +6-p 2=0.∴Δ=(-5)2-4×1×(6-p 2)=25-24+4p 2=1+4p 2.∵无论p 取何值时,总有4p 2≥0,∴1+4p 2>0.∴无论p 取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由(1),得x 1+x 2=5,x 1x 2=6-p 2, ∵x 21+x 22=3x 1x 2,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=3x 1x 2.∴52=5(6-p 2).∴p =±1.。
备考2021年中考数学二轮复习:方程与不等式_二元一次方程组_二元一次方程组的实际应用-销售问题,综合题专训及答案备考2021中考数学二轮复习:方程与不等式_二元一次方程组_二元一次方程组的实际应用-销售问题,综合题专训1、(2018连云港.中考真卷) 某村在推进美丽乡村活动中,决定建设幸福广场,计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖,经过调查,获取信息如下:购买数量低于5000块购买数量不低于5000块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售如果购买红色地砖4 000块,蓝色地砖6 000块,需付款86 000元;如果购买红色地砖10 000块,蓝色地砖3 500块,需付款99 000元.(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元?(2)经过测算,需要购置地砖12 000块,其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半,并且不超过6 000块,如何购买付款最少?请说明理由.2、(2019建华.中考模拟) 某学校准备购买若干台电脑和打印机,如果购买1台电脑和2台打印机,一共花费5900元;如果购买2台电脑和1台打印机,一共花费8200元;(1)求每台电脑和每台打印机的价格分别是多少元?(2)如果学校购买电脑和打印机的预算费用不超过67000元,并且购买打印机的台数要比购买电脑的台数多1台,那么该学校最多能购买多少台打印机?3、(2019巴彦.中考模拟) 目前节能灯已基本普及,节能还环保,销量非常好,某商场计划购进甲、乙两种型号节能灯共12 00只,这两种节能灯的进价、售价如表所示:进价(元/只)售价(元/只)甲型2530乙型4560(1)商场应如何进货,使进货款恰好为46000元?(2)若商场销售完节能灯后获利不超过进货价的30%,至少购进甲种型号节能灯多少只?4、(2019瑞安.中考模拟) 中秋节期间,大润发超市将购进一批月饼进行销售,已知购进4盒甲品牌月饼和6盒乙品牌月饼需260元,购进5盒甲品牌月饼和4盒乙品牌月饼需220元.甲乙两种品牌月饼以相同的售价销售,甲品牌月饼的销量(盒)与售价(元)之间的关系为;当售价为40元时,乙品牌月饼可销售100盒,售价每提高1元,少销售5盒.(1)求甲乙两种品牌月饼每盒的进价分别为多少元?(2)当乙品牌月饼的售价为多少元时,乙品牌月饼的销售总利润最大?此时甲乙两种品牌月饼的销售总利润为多少?(3)当甲品牌月饼的销售量不低乙品牌月饼的销售量的,若使两种品牌月饼的总利润最高,求此时的定价为多少?5、(2018鹿城.中考模拟) 每年的6月5日为世界环保日,为了提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新设备,现有甲、乙两种型号的设备可供选购,经调查:购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.(1)求甲、乙两种型号设备的价格;(2)该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元,你认为该公司有哪几种购买方案;(3)在(2)的条件下,已知甲型设备的产量为240吨/月,乙型设备的产量为180吨/月,若每月要求总产量不低于20 40吨,为了节约资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.6、(2018霍邱.中考模拟) 春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并求出最大利润.7、(2018高阳.中考模拟) 某校准备组织师生共60人,从甲地乘动车前往乙地参加夏令营活动,动车票价格如表所示:(教师按成人票价购买,学生按学生票价购买).运行区间成人票价(元/张)学生票价(元/张)出发站终点站一等座二等座二等座甲地乙地262216若师生均购买二等座票,则共需1020元.(1)参加活动的教师和学生各有多少人?(2)由于部分教师需提早前往做准备工作,这部分教师均购买一等座票,后续前往的教师和学生均购买二等座票.设提早前往的教师有x人,购买一、二等座票全部费用为y元.①求y关于x的函数关系式;②若购买一、二等座票全部费用不多于1030元,则提早前往的教师最多只能多少人?8、(2019霞山.中考模拟) 某学校为了改善办学条件,计划购置一批电子白板和台式电脑.经招投标,购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元,购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元.(1)求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元?(2)根据该校实际情况,购买电子白板和台式电脑的总台数为24,并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍.问怎样购买最省钱?9、(2019广州.中考模拟) 随着中国传统节日“端午节”的临近,永旺超市决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?10、(2020玉林.中考模拟) 由于雾霾天气持续笼罩我国中东部大部分地区,口罩市场出现热卖,某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩,销售完后共获利2800元,进价和售价如下表:甲种口罩乙种口罩品名价格进价(元/袋)2025售价(元/袋)2635(1)求该网店购进甲、乙两种口罩各多少袋?(2)该网店第二次以原价购进甲、乙、两种口罩,购进乙种口罩袋数不变,而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍.甲种口罩按原售价出售,而乙种口罩让利销售.若两种口罩销售完毕,要使第二次销售活动获利不少于3680元,乙种口罩最低售价为每袋多少元?11、(2019海口.中考模拟) 某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏,这两种台灯的进价、标价如下表所示.类型A型B型价格进价(元/盏)4065标价(元/盏)60100(1)这两种台灯各购进多少盏?(2)在每种台灯销售利润不变的情况下,若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元,问至少需购进B种台灯多少盏?12、(2018遵义.中考模拟) 某地为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制,即每月用水量不超过12吨(含12吨)时,每吨按政府补贴优惠价收费;每月超过12吨,超过部分每吨按市场调节价收费,小黄家1月份用水24吨,交水费42元.2月份用水20吨,交水费32元.(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元;(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,写出y与x之间的函数关系式;(3)小黄家3月份用水26吨,他家应交水费多少元?13、(2018蒙自.中考模拟) 随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?14、(2020江西.中考真卷) 放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元,小贤要买3支笔芯,2本笔记本需花19元,小艺要买7支笔芯,1本笔记本需花费26元.(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格;(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱,他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品,请通过运算说明.15、(2020云南.中考模拟) 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,5个福娃2枚徽章145元,10个福娃3枚徽章280元(5个福娃为1套),则:(1)一套“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?(2)买5套“福娃”玩具和10枚徽章共需要多少元?备考2021中考数学二轮复习:方程与不等式_二元一次方程组_二元一次方程组的实际应用-销售问题,综合题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:。
中考复习第二单元方程与不等式的应用答案: 一选择题1.D2.A3.A [解析]将{x =3,x =−2代入{xx +xx =2,xx +xx =−3,可得{3x -2x =2,3x -2x =−3,两式相加,可得a+b=-1,故选A .4.B [解析]设学校购买A 种品牌的足球x 个,购买B 种品牌的足球y 个, 根据题意得60x+75y=1500,化简得4x+5y=100,因为x ,y 都是正整数,所以x=5,y=16;x=10,y=12;x=15,y=8;x=20,y=4,共四种方案,选择B . 5.B6.D [解析]去分母,得x (x+2)-(x-1)(x+2)=3,所以x=1,此时(x-1)(x+2)=0,所以原方程无解.故选D .7.A8.C9.B 10.A11.D [解析]方程的根的判别式Δ=(-4)2-4m=16-4m ,当Δ<0时,方程无实数根,∴应使16-4m<0,即m>4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有m=5符合条件,故选D .12.A [解析]解x 2-7x+10=0,得x=2或5.已知在等腰三角形中,有两腰相等,且两边之和大于第三边,∴腰长为5,底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.13.A [解析]如图,将两条纵向的道路向左平移,水平方向的道路向下平移,即可得草坪的长为(32-2x ) m,宽为(20-x ) m,所以草坪面积=(32-2x )(20-x )=570.故选A .14.C15.C [解析]设参加酒会的人数为x ,根据题意可得x (x -1)2=55,解得x 1=11,x 2=-10(舍去).故选C . 16.C 17.B18.B [解析]设原计划m 天完成,开工n 天后有人外出,则15am=2160,am=144,15an+12(a+2)(m-n )<2160,化简可得:an+4am+8m-8n<720,将am=144代入得an+8m-8n<144,an+8m-8n<am ,a (n-m )<8(n-m ),其中n-m<0,a>8,至少为9,故选B .19.A [解析]解不等式①,得x>8,由不等式②,知x<4m ,当4m ≤8时,原不等式组无解,∴m ≤2,故选A .20.A [解析]第一部分:解一元一次不等式组{x3-2≤14(x -7),①6x -2x >5(1-x ),②解不等式①,得:x ≤3, 解不等式②,得:x>5+2x 11.因为有且仅有三个整数解, 所以三个整数解分别为:3,2,1. 所以5+2x 11的范围为0≤5+2x 11<1,解得-2.5≤a<3.第二部分:求分式方程1−2xx -1-x1−x =-3的解,得y=2-a , 根据分式方程的解为正数和分式方程的分母不能为零,得{x >0,x ≠1,即{2−x >0,2−x ≠1,解得:a<2且a ≠1.第三部分:根据第一部分a 的范围和第二部分a 的范围,找出a 的公共范围:-2.5≤a<2且a ≠1,所以满足条件的整数a 为-2,-1,0. 它们的和为:-2-1+0=-3.故选A .二填空题1.x>-12.-2 [解析]方法1:把x=1代入得1+b-2=0,解得b=1,所以方程是x 2+x-2=0,解得x 1=1,x 2=-2.方法2:设方程另一个根为x 1,由根与系数的关系知1×x 1=-2.∴x 1=-2. 3.-2017[解析]根据题意,得:a+b=-1,ab=-2019,∴(a-1)(b-1)=ab-(a+b )+1=-2019+1+1=-2017.4.x=-2或5 [解析]∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (4,0)两点,∴y=a (x+3)(x-4)=ax 2-ax-12a.∴b=-a ,c=-12a.∴一元二次方程为a (x-1)2-12a=-a+ax ,整理,得ax 2-3ax-10a=0. ∵a ≠0,∴x 2-3x-10=0,解得x 1=-2,x 2=5.5.2 [解析]因为关于x 的方程x 2-4x+b=0有两个相等的实数根,所以Δ=(-4)2-4b=16-4b=0,得AC=b=4.又因为BC=2,AB=2√3,所以BC 2+AB 2=AC 2,所以三角形ABC 为直角三角形,AC 为斜边,则AC 边上的中线长为斜边的一半,长为2.6.x=32 7.56 [解析]因为a ⊕b=1x -1x ,所以2⊕(2x-1)=12x -1-12,故有12x -1-12=1,所以12x -1=32,解得x=56,经检验,x=56是原方程的根.8.{x =2,x =09.80 [解析]设书包的进价是x 元,列方程为: 115×0.8-x=15%x ,解得x=80. 10.-54 [解析]∵2x+2y=5, ∴2(x+y )=5,∴x+y=52. ∵x 2-y 2=(x+y )(x-y ),∴x 2-y 2=(-12)×52=-54,故答案为-54.11.2,9 [解析]根据外圆两直径上的四个数字之和相等,设外圆周上的数字为x ,内圆周上的数字为y ,依题意得{23+x =16+x ,x +x +14=25,解得{x =2,x =9,故答案为2,9.三计算题1.解:(1)a=2,b=-4,c=-1,Δ=b 2-4ac=16+8=24,∴x=-x ±√x 2x ,∴x 1=1+√62,x 2=1-√62. (2)2x 2-4x=1,x 2-2x=12,x 2-2x+1=12+1,(x-1)2=32,∴x 1=1+√62,x 2=1-√62.2.解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m, 依题意得:3x ·2x ·100+30(3x ·2x-50×40)=642000, 解得x 1=30,x 2=-30(舍去). 所以3x=90,2x=60,答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m . 3.解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x , 根据题意,得:128+128(1+x )+128(1+x )2=608, 解得x 1=0.5,x 2=-3.5(舍去). 答:进馆人次的月平均增长率为50%.(2)第四个月进馆人次为128×(1+0.5)3=432(人次), ∵432<500,∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.4.解:(1)由一元二次方程x 2-3x+k=0有实数根,得b 2-4ac=9-4k ≥0,∴k ≤94. (2)k 可取的最大整数为2,∴方程可化为x 2-3x+2=0,该方程的根为1和2. ∵方程x 2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x 2+x+m-3=0有一个相同的根, ∴当x=1时,方程为(m-1)×12+m-3=0,解得m=32;当x=2时,方程为(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合题意). 故m=32.5.解:{x -x =1①,x +3x =9②,②-①得,4y=8,解得y=2,把y=2代入①得,x-2=1,解得x=3,故原方程组的解为{x =3,x =2.6.解:方法一:{2x -3x =5,①x -2x =x .②①-②得x-y=5-k.∵x>y ,∴5-k>0, ∴k<5.方法二:{2x -3x =5,x -2x =x ,解得{x =−3x +10,x =−2x +5.∵x>y ,∴-3k+10>-2k+5,∴k<5.7.解:设这本名著共有x 页.根据题意,得36+14(x-36)=38x ,解得x=216. 答:这本名著共有216页.8.解:(1)设一只A 型球x 千克,一只B 型球y 千克,由题意得:{x +x =7,3x +x =13,解得{x =3,x =4.答:一只A 型球3千克,一只B 型球4千克. (2)设A 型球a 只,B 型球b 只. 则3a+4b=17,∴a=17−4x 3,∵a ,b 分别是正整数,∴{x =3,x =2.答:A 型球有3只,B 型球有2只.9.解:设乙车的速度为x 千米/时,则甲车的速度为(x+10)千米/时. 根据题意,得:450x +10+12=440x ,解得x=80或x=-110(舍去),∴x=80, 经检验,x=80是原方程的解,且符合题意. 当x=80时,x+10=90.答:甲车的速度为90千米/时,乙车的速度为80千米/时 10.解:(1)-1<x<3[解析]原不等式可化为(x-3)(x+1)<0, 从而可化为①{x -3>0,x +1<0或②{x -3<0,x +1>0,由①得不等式组无解;由②得-1<x<3, ∴原不等式的解集为:-1<x<3. 故答案为:-1<x<3.(2)原不等式可化为①{x +4>0,1−x <0或②{x +4<0,1−x >0,由①得x>1;由②得x<-4, ∴原不等式的解集为x>1或x<-4.11.解:(1)设清理养鱼网箱的人均支出费用为x 元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为y 元,根据题意列方程组,得:{15x +9x =57000,10x +16x =68000,解得{x =2000,x =3000,答:清理养鱼网箱的人均支出费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均支出费用为3000元. (2)设清理养鱼网箱人数为m ,则清理捕鱼网箱人数为(40-m ),根据题意,得: {2000x +3000(40−x )≤102000,x <40-x ,解得18≤m<20,∵m 是整数,∴m=18或19,当m=18时,40-m=22,即清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22; 当m=19时,40-m=21,即清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.因此,有2种分配清理人员的方案,分别为①清理养鱼网箱人数为18,清理捕鱼网箱人数为22;②清理养鱼网箱人数为19,清理捕鱼网箱人数为21.12.解:(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又370−3035=687>8,所以m<35,依题意得,30+8m+12(35-m )=370,解得m=20,故该车间的日废水处理量为20吨. (2)设一天生产废水x 吨.①当0<x ≤20时,依题意得,8x+30≤10x ,解得x ≥15,所以15≤x ≤20. ②当x>20时,依题意得,12(x-20)+20×8+30≤10x , 解得x ≤25.所以20<x ≤25. 综上所述,15≤x ≤25.故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.。
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 (有理数、实数、代数、因式分解、二次根式)一、单选题1.关于x ,y 的方程组24x my x y +=⎧⎨+=⎩的解是1x y =⎧⎨=⎩■,其中y 的值被■盖住了,但不影响求出m 的值,则m 的值是( ) A .12B .12-C .13D .13-2.已知关于x 的方程290x a +-=的解是x =-2,则a 的值是( ) A .5 B .-5C .12D .13【答案】D【分析】把方程的解2x =-代入方程290x a +-=可得到关于a 的方程,解关于a 的方程即可.【详解】解:∵2x =-是方程290x a +-=的解, ∵2(2)90a ⨯-+-=. 解得:13a =. 故选:D .【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用,正确得到新的方程是解题关键. 3.已知关于x 的方程(2x -m )(mx +1)=(3x +1)(mx -1)有一个根是0,则它的另一个根和m 的值分别是( ) A .3和1 B .2和3C .3和4D .4和1【答案】A【分析】先根据方程有一根为0,代入方程求出m 的值,然后把m 的值代入方程解一元二次方程即可.【详解】解:关于x 的方程(2x -m )(mx +1)=(3x +1)(mx -1)有一个根是0, ∵-m =-1, ∵m =1,把m =1代入方程得()()()()211311x x x x -+=+-, 整理得:230x x -=, 因式分解得()30x x -=, 解得x x 1203,,∵另一个为3x =,m =1, 故选A .【点睛】本题考查方程的解,与解一元二次方程,掌握解方程的解概念,与一元二次方程的解法是关键.4.已知关于x 的一元二次方程:220x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ) A .1m > B .1m < C .m>2 D .2m <【答案】B【分析】由方程有两个不相等的实数根,利用根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式,解之即可得出结论.【详解】解:∵方程220x x m -+=有两个不相等的实数根, ∵()2240m ∆=-->, 解得:1m <, 故选:B .【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当方程有两个不相等的实数根时,0∆>”是解题的关键.5.甲乙两工程队共同参与一项筑路工程,规定x 天内完成任务.甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天,乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天,甲、乙两队合作,可比规定时间提前14天完成任务,依题意列方程为( ) A .111104014x x x +=--+B .111104014x x x +=++- C .111104014x x x -=++- D .111104014x x x +=-+-6.若(a ﹣b )•(a ﹣b )3•(a ﹣b )m =(a ﹣b )11,则m 的值为( ) A .4 B .5C .6D .7【答案】D【分析】先根据同底数幂的乘法法则把左侧化简,然后列出关于m 的方程求解即可. 【详解】∵(a ﹣b )•(a ﹣b )3•(a ﹣b )m =(a ﹣b )11, ∵(a ﹣b )m +4=(a ﹣b )11, ∵ m +4=11, 解得:m =7, 故选:D .【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,以及一元一次方程的解法,根据题意列出一元一次方程是解答本题的关键.7.若m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠,则4m n +的值为( ) A .-1 B .1C .-2D .2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义代入即可求解,一元二次方程的解(根)的意义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解.【详解】m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠, ∴2420m mn m ++=,0m ≠,420m n ∴++=,即42m n +=-, 故选C .【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义,将方程的解代入求解是解题的关键. 8.方程3214x y +=在自然数范围内的解共有_____个 A .1 B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据二元一次方程3x+2y=14,可知在自然数范围内的解有哪几组,从而可以解答本题.【详解】解:二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解是:24x y =⎧⎨=⎩,41x y =⎧⎨=⎩,7x y =⎧⎨=⎩, 即二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解的个数是3个. 故选C .【点睛】本题考查二元一次方程的解,解题的关键是明确什么是自然数,可以根据题意找到二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解有哪几组.9.从正方形的铁片上,截去2cm 宽的一个长方形,余下的面积是248cm ,则原来的正方形铁片的面积是( ) A .281cm B .264cmC .254cmD .252cm【答案】B【分析】可设正方形的边长是x cm ,根据余下的面积是248cm ,余下的图形是一个矩形,矩形的长是正方形的边长,宽是x -2,根据矩形的面积公式即可列出方程求解. 【详解】解:设正方形的边长是x cm , 根据题意得()248x x -=, 解得16x =-(舍去),28x =, ∵原正方形铁片的面积是8×8=64cm². 故选B .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键,解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍.10.已知x =3t +1,y =2t -1,用含x 的式子表示y ,其结果是( ) A .13x y -= B .12y x += C .253x y -=D .213x y --=11.方程247236x x ---=-去分母得( ) A .22(24)(7)x x --=-- B .122(24)7x x --=-- C .12(24)(7)x x --=-- D .122(24)(7)x x --=--122247,x x 从而可得答案.122247,x x【点睛】本题考查的是解一元一次方程的步骤,去分母,掌握12.下列方程一定是一元二次方程的是( )A .3x 2+2x﹣1=0B .5x 2﹣6y ﹣3=0C .ax 2﹣x +2=0D .3x 2﹣2x ﹣1=0【答案】D【详解】解:A 、是分式方程,故A 错误; B 、是二元二次方程,故B 错误; C 、a =0时,是一元一次方程,故C 错误; D 、是一元二次方程,故D 正确; 故选:D .【点睛】本题考查一元二次方程的识别,熟知一元二次方程的定义是解题的关键. 13.一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为( ) A .2470x x --= B .2270x x --=C .2470x x -+=D .2270x x -+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可. 【详解】解:∵()371x x x +=-, ∵237x x x +-=, ∵2370x x x ---=, ∵2470x x --=,一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为:2470x x --=,故A 正确. 故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.14.不等式364x x -+≤-的解集在数轴上表示正确的是( ) A . B .C .D .【答案】A【分析】首先移项、合并同类项、未知数系数化1解不等式,再在数轴上表示解集即可.【详解】解:364x x -+≤-346x x -+≤-22-≤-x1x ≥,在数轴上表示为:,故选:A .【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式,关键是掌握解不等式的步骤:∵去分母;∵去括号;∵移项;∵合并同类项;∵化系数为1.15.随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元,现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x ,下面所列方程正确的是( ) A .()2500014050x += B .()2405015000x += C .()2500014050x -= D .()2405015000x -=【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系:2年前的生产成本×(1-下降率)²=现在的生产成本,把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ,根据题意得:()25000-x =40501 故选:C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.16.将二次三项式267x x ++进行配方,正确的结果应为( ) A .2(3)2x ++ B .2(3)2x -+ C .2(3)2x +- D .2(3)2x --【答案】C【分析】x 2+6x+7中x 2+6x+9即是(x+3)2,因而x 2+6x+7=(x+3)2-2 【详解】解:∵x 2+6x+7=x 2+6x+9-9+7, x 2+6x+7=(x+3)2-2. 故选C .【点睛】此题考查了配方法,解题时要注意常数项的确定方法,若二次项系数为1,则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式,若二次项系数不为1,则可提取二次项系数,将其化为1. 17.已知2x =是关于x 的方程()112a x a x +=+的解,则a 的值是( )A.15B.25C.35D.4518.若一元二次方程式241211470x x+-=的两根为a、b,且a b>,则3a b+之值为何?()A.22B.28C.34D.4019.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≠0B.k≥﹣1C.k≥﹣1且k≠0D.k>﹣1且k≠0【答案】C【分析】根据二元一次方程的根的判别式列出不等式进行求解即可.【详解】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根,∵0k 0∆⎧⎨≠⎩,即4400k k +⎧⎨≠⎩,解得:k ≥﹣1且k ≠0. 故答案为C .【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键在于:∵当∵=0时,方程有两个相等的实数根;∵当∵>0时,方程有两个不相等的实数根;∵当∵<0时,方程没有实数根. 20.若关于x 的方程244x ax x =+--有增根,则a 的值为( ) A .-4 B .2 C .0 D .4二、填空题21.不等式﹣3x >6的解是_______. 【答案】x <﹣2【分析】系数化为1并根据不等式的性质:∵不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;∵不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;∵不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,进行解答即可.【详解】解:系数化为1得:x <﹣2, 故答案是:x <﹣2.【点睛】本题主要考查不等式的性质,根据不等式的性质转换不等式的符号是解题的关键.22.方程2150b ax x -+=是关于x 的一元一次方程,则2a b +=____________. 【答案】2【详解】根据一元一次方程的定义可知x 的次数为1, 则ax 2=0且b-1=1,即a=0且b=2, 则2a+b=2×0+2=2. 故答案为2.23.某种商品原价每件40元,经两次降价,现售价每件32.4元,则该种商品平均每次降价的百分率是______. 【答案】10%【分析】设降价百分率为x ,根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元,可列方程求解.【详解】解:设降价百分率为x , 列方程:40(1﹣x )2=32.4.解得x 1=0.1,x 2=1.9(不合题意舍去). 故答案为:10%.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用,找准等量关系,根据题意列出方程是解题的关键.24.某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为2600m 的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35m ,另外三面用69m 长的篱笆围成,其中一边开有一扇1m 宽的门(不包括篱笆).则这个茶园的AB 的长为_________.【答案】20m【分析】设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时,则另一边BC 的长度为691)m (2x +-,根据茶园的面积为2600m ,列出方程并解答即可.【详解】解:设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时,则另一边BC 的长度为691)m (2x +-,根据题意,得:()6912600x x +-=,整理,得:2353000x x -+=,解得115x =,220x =,当15x =时,70240>35x -=,不符合题意舍去;当=20x 时,70230x -=,符合题意,故这个茶园的AB 为20m .故答案为:20m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据数量关系列出方程是解题的关键. 25.甲、乙二人分别从相距20km 的A ,B 两地出发,相向而行.下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形,设甲的速度是x km/h ,乙的速度是y km/h ,根据题意所列的方程组是______,1.5x y +=______.【答案】 ()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩11 【分析】设甲的速度是x km/h ,乙的速度是y km/h ,根据路程=速度×时间结合两次运动的情形,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,两式相加即可得解.【详解】解:设甲的速度是x km/h ,乙的速度是y km/h ,依题意,得:()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩, 两式相加得:1.511x y +=,故答案为:()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩,11. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.26.关于x 的方程(m +5)x 2﹣2mx ﹣4=0是一个一元二次方程,那么m 的取值范围是___. 【答案】m ≠﹣5【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程,其中二次项系数不为0,可得m 的取值范围.【详解】解:因为(m +5)x 2﹣2mx ﹣4=0是关于x 的一元二次方程,所以m +5≠0,解得:m ≠﹣5,故答案为:m ≠﹣5.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx +c =0(a ,b ,c 是常数且a ≠0),特别要注意a ≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.27.对于x ,y 定义一种新运算“* ”,xy ax by =+,其中a ,b 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3515*=,4728*=,则11*的值为______. 【答案】11- 【分析】根据3515*=,4728*=列出二元一次方程组35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②,求得a 、b ,再根据新运算的定义求解即可.【详解】解:根据题中的新定义化简得:35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②, ∵4⨯-∵3⨯得:24b -=-,解得:24b =,把24b =代入∵得:35a =-,则1111a b *=+=-.故答案为:11-.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的求解,理解题意列出二元一次方程组和加减法解二元一次方程组是解决此题的关键.28.若213111x M N x x x -=+-+-则M =_______ ,N =_______ .∵31M N N M +=-⎧⎨-=⎩, 解得:21M N =-⎧⎨=-⎩. 故答案为:-2,-1.【点睛】本题考查分式的混合运算,解二元一次方程组.掌握分式的混合运算法则是解题关键.29.若2m +1 的值同时大于 3m -2和 m+2的值,且m 为整数,则 3m -5 =____. 【答案】1【分析】先根据题意列出不等式组求出m ,再求出代数式的值.【详解】依题意得2132212m m m m +-⎧⎨++⎩>> 解得31m m ⎧⎨⎩<> ∵m 为整数,∵m=2∵3m -5=6-5=1故答案为:1.【点睛】此题主要考查不等式组的应用,解题的关键是根据题意求出m 的值.30.不等式组11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩的解集是______. 【答案】20x -<≤【分析】先分别求出两个不等式的解集,再找出解集的公共部分即可.【详解】解:11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩①② 解不等式∵得,0x ≤,解不等式∵得,2x >-,则原不等式组的解集为:20x -<≤.故答案为:20x -<≤.【点睛】本题考查了解不等式组,要掌握解不等式组的步骤和方法是解题的关键. 31.如图,一块长为m a 宽为m b 的长方形土地的周长为16m ,面积为215m .现将该长方形土地的长、宽都增加2m ,则扩建后的长方形土地的面积是____________.【答案】35m 2【分析】根据题意列出关于a ,b 的方程,用含有a 的式子表示b ,可得关于a 的一元二次方程,求出a ,b 的值,即可得出答案.【详解】根据题意,得2()1615a b ab +=⎧⎨=⎩①②, 由∵得8b a =-∵,将∵代入∵,得(8)15a a -=,即28150a a -+=, 解得5a =或3a =(舍),将5a =代入∵,得3b =.长和宽都增加2m ,得7m ,5m ,所以扩建后的长方形土地的面积是7×5=35(cm 2).故答案为:35 cm 2.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,确定等量关系是解题的关键. 32.熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木,熊二便匀速跑过去阻止,2分钟后熊大以熊二1.2倍速度跑过去,结果它们同时到达,如果设熊二的速度为x 米/分钟,那么可列方程为_________________.【点睛】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.33.已知A ∠是ABC 的一个内角,并且方程24sin 102A x x -+=1,则A ∠=______.【答案】90︒##90度 sin 12A x +=)1sin 102A +=, 34.已知355x y a b +-和7332y x a b -是同类项,则x +y 的值是______. 【详解】-35.已知2x =是不等式ax-3a+2≥0的解,且1x =不是这个不等式的解,那么a 的取值范围是__________.【答案】12a <≤【分析】根据x=2是不等式ax-3a+2≥0的解,且x=1不是这个不等式的解,列出不等式,求出解集,即可解答.【详解】解:∵x=2是不等式ax-3a+2≥0的解,∵2-a≥0,解得:a≤2,∵x=1不是这个不等式的解,∵1-a<0,解得:a>1,∵1<a≤2,故答案为:1≤a≤2.【点睛】本题考查了解一元一次不等式,不等式的解集,解决本题的关键是求不等式的解集.36.规定11a ba b⊕=+,若232(1)(1)1xx xx++⊕-=-,则x的值是_____.37.阅读下面计算113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯的过程,然后填空.解:∵113⨯=12(11-13),135⨯=12(13-15),…,1911⨯=12(19-111),∴113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯=12(11-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(19-111)=12(11-13+13-15+15-17+…+19-111)=12(11-111)=5 11.以上方法为裂项求和法,请参考以上做法完成:(1)124⨯+146⨯=______;(2)当113⨯+135⨯+157⨯+ (x)613时,最后一项x=______.38.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.据调查,某家小型快递公司的分拣工小李和小江,在分拣同一类物件时,小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同,已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣x个物件,则可列方程方程为________.39.已知点C、D是线段AB上两点(不与端点A、B重合),点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数,且总和为29,则线段AB的长度为__________________ .【答案】8或9【分析】根据题意画出图形,可得图中共有线段6条,分别为AC、CD、DB,AD、BC、AB,然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式,继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.【详解】如图,图中共有线段6条,分别为AC、CD、DB,AD、BC、AB,由题意得:AC+CD+DB+AD+BC+AB=29,∵AC+CD+DB=AB,AD=AC+CD,BC=CD+DB,∵3AB+CD=29,又∵所有线段的长度都是正整数,AB>CD ,∵AB=8,CD=5或AB=9,CD=2,即AB的长度为8或9,故答案为:8或9.【点睛】本题考查了线段的和差,二元一次方程的正整数解等知识,正确画出图形,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、解答题40.解不等式组()101432x x ->⎧⎪⎨+<⎪⎩.41.某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台,2020年受疫情影响,年销售量下降为2000台,求销售量的年平均下降率.(结果保留整数)42.解不等式组:102132x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②,并把解集在数轴上表示出来.【答案】21x -<≤,见解析【分析】先分别解两个不等式 ,在数轴上标出解集,然后写出解集即可.【详解】解:解不等式∵得,1x ≤,解不等式∵得,2x >-,在数轴上分别表示这两个不等式的解集如图∵不等式组的解集为:21x -<≤.【点睛】本题考查不等式组的解集,准确掌握解集的求法是解题的关键. 43.已知:23231A x xy y =++-,2B x xy =-.(1)计算:3A B -;(2)若()()25A B A B +-+的值与y 的取值无关,求x 的值.44.x 的一元二次方程()2420x m x m +++=.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)若1x 、2x 是方程的两个实根,且212124x x x x m m ++=-,求m 的值.)证明:(m ∆=+方程总有两个不相等的实数根;)解:根据题意得12x x +=12x x ++(4m ∴-+解得=1m 即m 的值为【点睛】本题考查了根与系数的关系:若45.(1)解方程:11322x x x-+=-- (2)解不等式组:1,2263 2.x x x x ⎧+≥⎪⎨⎪++⎩> 【答案】(1)无解;(2)24x -<【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解;(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.【详解】解:(1)去分母得:13(2)1x x +-=-,解得:2x =,检验:把2x =代入得:20x -=,2x ∴=是增根,分式方程无解;12632x x +>+①2x -,4x <,不等式组的解集为24x <.【点睛】此题考查了解分式方程,以及解一元一次不等式组,解题的关键是熟练掌握各自的解法.46.用配方法解方程:212302x x --= 2210=-【分析】根据配方法解一元二次方程即可47.解方程:35136x x -=-. 48.新冠疫情期间,某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩,若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩,共需要资金840元;若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩,共需要资金1380元.(1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元?(2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售,预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱,请问有几种进货方案?并写出具体的进货方案;(3)若甲型口罩的售价为每箱450元,乙型口罩的售价为每箱420元.为了促销,无论采取哪种进货方案,公司决定每售出一箱乙型口罩,返还顾客现金a 元,而甲型口罩售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,直接写出a 的值. 【答案】(1)甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元,240元(2)有五种进货方案,分别是:方案一:购进甲型口罩8箱,则购进乙型口罩12箱;方案二:购进甲型口罩9箱,则购进乙型口罩11箱;方案三:购进甲型口罩10箱,则购进乙型口罩10箱;方案四:购进甲型口罩11箱,则购进乙型口罩9箱方案五:购进甲型口罩12箱,则购进乙型口罩8箱(3)a =30【分析】(1)设甲型号口罩每箱进价为m 元,乙型号口罩每箱进价为n 元,根据题意建立方程组求解就可以求出答案;(2)设购进甲型口罩x 箱,则购进乙型口罩(20-x )箱,由题意建立不等式组,求出其解就可以得出结论;(3)由题意得出w =(a -30)x + 3600- 20a ,根据“(2)中所有方案获利相同”知w 与a 的取值无关,据此解答可得.(1)设甲、乙型号口罩每箱的进价分别为m 元,n 元,由题意得:2840321380m n m n +=⎧⎨+=⎩解得:300240m n =⎧⎨=⎩ 答:甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元,240元(2)设购进甲型口罩x 箱,则购进乙型口罩(20-x )箱,由题意得:300240(20)5520300240(20)5280x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩解得:812x ≤≤x 非负整数∴x =8或9或10或11或12∵有五种进货方案,分别是:方案一:购进甲型口罩8箱,则购进乙型口罩12箱方案二:购进甲型口罩9箱,则购进乙型口罩11箱方案三:购进甲型口罩10箱,则购进乙型口罩10箱方案四:购进甲型口罩11箱,则购进乙型口罩9箱方案五:购进甲型口罩12箱,则购进乙型口罩8箱(3)设获得的总利润为ww =(450- 300)x +(420-240-a )(20-x )=150x +(180-a )(20-x )= 150x + 20(180-a ) -(180-a )x=(150-180+a )x + 3600-20a=(a -30)x + 3600- 20a要使(2)中所有方案获利相同∵a -30=0即a =30∵当a =30时,(2)中所有方案获利相同即w =3600-20×30=3600-600= 3000(元)【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,整式的加减无关类型,根据题意列出方程组,不等式组,代数式是解题的关键.49.解二元一次方程(1)3728x y x y -=⎧⎨+=⎩; (2)()()3212158y x x y ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩.。
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滚动小专题(三) 方程、不等式的实际应用
1.(2018·广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称
之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),
乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重
量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得(D)
A
.11x=9y(10y+x)-(8x+y)=13
B
.10y+x=8x+y9x+13=11y
C
.9x=11y(8x+y)-(10y+x)=13
D
.9x=11y(10y+x)-(8x+y)=13
2.(2018·白银)《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首
先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,
不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果
每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.
解:设合伙买鸡者有x人,根据题意,得
9x-11=6x+16,解得x=9.
则9x-11=70.
答:合伙买鸡者有9人,鸡的价格为70文钱.
3.(2018·山西)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,
安全性更好.已知“太原南-北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车
多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”
G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G
92次列车从太原南到北京
西需要多长时间.
解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,则“和谐号”列车的行驶时间需要54x
小时,根据题意,得
500x=50054x+40,解得x=5
2
.
经检验,x=52是原分式方程的解.
∴x+16=83.
答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83小时.
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4.(2018·泸州)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元
单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经
费不超过1 060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?
解:(1)设乙图书每本价格为x元,则甲图书每本价格是2.5x元,根据题意,得
800x-800
2.5x
=24,解得x=20.
经检验,得x=20是原方程的根.
则2.5x=50.
答:乙图书每本价格为20元,甲图书每本价格为50元.
(2)设购买甲图书本数为a,则购买乙图书的本数为2a+8,根据题意,得
50a+20(2a+8)≤1 060,解得a≤10.
∴2a+8≤28.
答:该图书馆最多可以购买28本乙图书.
5.(2018·烟台)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”.这
批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值
36 800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,
B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B
型车各多少辆?
解:(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,根据题意,得
x+y=100,400x+320y=36 800,解得
x=60,
y=40.
答:本次试点投放的A型车60辆,B型车40辆.
(2)由(1)知A,B型车辆的数量比为3∶2,
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆,B型车2a辆,根据题意,得
3a×400+2a×320≥1 840 000,解得a≥1 000.
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3 000辆、B型车至少2 000辆.
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3 000×100100 000=3辆、至少享有B型车2 000×100100 000=2
辆.
答:平均每100人至少享有3辆A型车,2辆B型车.
6.(2018·咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决
定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没
人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表
所示.
甲种客车 乙种客车
载客量(人/辆) 30 42
租金(元/辆) 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为8辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.
解:(1)设老师有x名,学生有y名.依题意,列方程组为
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17x=y-12,18x=y+4,解得
x=16,
y=284.
答:老师有16名,学生有284名.
(3)设租用a辆乙种客车,则租用甲种客车(8-a)辆,
∵租车总费用不超过3 100元,
∴400a+300(8-a)≤3 100,解得a≤7.
为使300名师生都有座,
∴42a+30(8-a)≥300,解得a≥5.
∴5≤a≤7(a为整数).
∴共有3种租车方案:
方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为2 900元;
方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3 000元;
方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3 100元;
故最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.
7.(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排
放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数
记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均
值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂
数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)
的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方
案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
解:(1)由题意,得40n=12,解得n=0.3.
(2)由题意可,得40+40(1+m)+40(1+m)2=190,
解得m1=12=50%,m2=-72(舍去).
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m)=40(1+50%)=60(家).
(3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x.
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30.
解法一:(30-a)+2a=39.5,解得a=9.5.
x=20.5.
解法二:x+a=30,x+2a=39.5,解得x=20.5,a=9.5.