12.2平方根和开平方(1)(2)

a a a a a a ⎨ ⎩ 北师大版八年级上册数学第 4 讲《平方根和开平方》知识点梳理【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 平方根的定义如果 x 2 = a ，那么 x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数. 平方与开平方互为逆运算.2. 算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“ ± ”表示，其中 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作 “根号a ”； - 表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.要点诠释：当式子 有意义时， a 一定表示一个非负数，即≥0， a ≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1. 区别：（1）定义不同；（2）结果不同： ± 和2. 联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质⎧a a > 0 =| a |= ⎪0 a = 0 ⎪-a a < 0( a )2 = a (a ≥ 0)要点四、平方根小数点位数移动规律 aa 225 1 (-4)2 0 0 16 被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如： = 250 ， = 25 ， = 2.5 ， = 0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5 是 25 的算术平方根B.l 是 l 的一个平方根C. (-4)2的平方根是－4 D.0 的平方根与算术平方根都是 0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A. 因为 ＝5，所以本说法正确；B. 因为± ＝±1，所以 l 是 l 的一个平方根说法正确；C. 因为± ＝± 16 ＝±4，所以本说法错误；D. 因为± ＝0， ＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1） -9 没有平方根．（ ）（2） = ±4 ．（ ）（3） (- 1 )2 的平方根是± 1 ．（ ）10 （4） - - 2 是 5 104 的算术平方根．（ ） 25【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）2、 填空：= 4 ；（4） 2 是 5 4 的算术平方根． 25（1） -4 是 的负平方根．62500 625 6.25 0.0625 161 81 1 81 x - 3 （3）的算术平方根为 ． （4） 若 = 3 ，则 x = ，若 = 3 ，则 x = ．【思路点拨】（3） 就是 1 的算术平方根＝ 1 ，此题求的是 1 的算术平方根. 81 【答案与解析】(1)16；(2) 1 ; 1 1 9 9 ；±3 16 4 (3) (4) 9 3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式 1】下列说法中正确的有（ ）：①3 是 9 的平方根． ② 9 的平方根是 3．③4 是 8 的正的平方根．④ -8 是 64 的负的平方根．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式 2】（2015•凉山州）的平方根是 ． 【答案】±3.解：因为=9，9 的平方根是±3，所以答案为±3.3、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为 2a+1 和 3a-11，则 a=（ ） A .±1 B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到 a 的值．【答案】C ．【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2． 故选 C.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】代数式 y ＝ 有意义，则 x 的取值范围是 ．（2）1 表示 的算术平方根， 1 = ． 16 16 x x 2144 169 36 【答案】 x ≥ 3 .类型二、利用平方根解方程4、（2015 春•鄂州校级期中）求下列各式中的 x 值，（1）169x 2=144（2）（x ﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1） 移项后，根据平方根定义求解； （2） 移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x 2=144，x 2 = 144 ，169x=± ，x=± 12 . 13 （2）（x ﹣2）2﹣36=0，（x ﹣2）2=36，x ﹣2= ± ，x ﹣2=±6，∴x=8 或 x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数． 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的 3 倍，面积是 1323 平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为 x ，长为 3 x ，由题意得， x ·3 x ＝13233 x 2 ＝1323x = ±21 x ＝－21(舍去)答：长为 63 米，宽为 21 米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。

平方根和开平方(基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数。

平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根)，读作“根号a ”;a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”。

要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同;(2）结果不同:a ±和a2．联系：（1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释:（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=,0.06250.25=。

【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A 。

5是25的算术平方根B 。

l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D 。

0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A 。

12.1 实数的概念1、无理数：无限不循环的小数叫做无理数2、实数：有理数和无理数统称为实数3、实数分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数12.2 平方根和开平方1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根2、求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、正数a的两个平方根可以用“± a ”表示，其中 a 表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；－ a 表示a的负平方根，读作“负根号a”4、零的平方根记作 0 ，0 =012.3 立方根和开立方1、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用 a 表示，读作“三次根号a”，a 中的a叫做被开方数，“3”叫做根指数2、求一个数a的立方根的运算叫做开立方3、任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根4、（ a ）=a， a=a12.4 n次方根1、如果一个人数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根2、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数3、实数a的奇次方根有且只有一个，整数a的偶次方根有两个，他们互为相反数，负数的偶次方根不存在，零的n次方根等于零12.5 用数轴上的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作a2、绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是-a3、在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点的距离AB= a-b12.6 实数的运算1、完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数到达一定接近程度的数叫做近似值（或近似值）2、近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度3、近似数的精确度通常有两种表达方式：（1）精确到哪一位（2）指定保留几个有效数字 [对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末尾数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字]12.7 分数指数幂a =a （a≥0）a =a （a＞0）典型题：。

12.2 平方根和开平方（2）[估算带根号的无理数的大小]第一组12-51、不用计算器，估算下列各数与√7最接近的是（）A、2.5B、2.6C、2.7D、2.82、设√10的整数部分为a，则2(a+4)的值是（）A、8B、12C、14D、223、不小于2√51的最小整数是（）2A、4B、5C、6D、74、一个自然数的算术平方根是n，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（）A、n+1B、n2+1C、√n2+1D、√n+15、利用计算器计算：√35= （保留两位小数）；√22= （精确到0.1）。

36、已知a是√13的整数部分，b是它的小数部分，则a= ，b= 。

7、绝对值小于√18的所有整数为。

8、用计算器比较：5√2，4√3，3√5的大小（用“<”联结），。

9、填空找规律（结果保留四位有效数字）：（1）利用计算器分别求：√0.5= ，√5= ，√50= ，√500= 。

（2）由（1）的结果，总结所得的结果与被开方数间的规律。

（3）运用（2）中的规律直接写出结果：√0.05= ，√5000= 。

10、若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600= 。

11、估算√5−1与0.5哪个大。

212、用计算器计算（精确到0.01）：（1）√3−√5+0.154；（2）3√10−π+2√2。

13、一本书长是宽的1.6倍，面积为274平方厘米，则这本书的宽大约是多少？（结果精确到0.1厘米）14、已知√6=2.449，√60=7.746，√x=244.9，√y=0.7746，求x、y的值。

15、已知√7=2.646，试求√63−√28的值。

16、已知√2.36=1.536，√23.6=4.858。

（1）求√236、√0.00236的值；（2）若√x=0.4858，求x的值；（3）若√a×104=1536，求a的值。

的值。

（保留三个有效数字）17、4−√3的整数部分为a，小数部分为b，求ba18、如果m2−6mn+9n2+√m2−36=0，试求m+n的值。