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课堂教学如何铺设数学思维画卷——《定义法求轨迹》的教学设计与感悟

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案例评析十’?毒乏．?(2009年第3期高中版)17课堂教学如何铺设数学思维“画卷"——《定义法求轨迹》的教学设计与感悟200011上海市大同中学张亚东奥运会开幕式运用具有我国古代传统特色的画卷，贯穿整个演出过程，成功展示了中国五千年的文化历史，更加突出了“同一个世界、同一个梦想”的奥运主题．这让我们联想起数学教学设计，课堂教学同样应该围绕数学思维这根主线，使之贯穿课堂教学的始终，突出教学重点，突破难点．本文就《定义法求轨迹》的教学设计谈谈如何铺设数学思维“画卷”，与大家共享．1情境导入“画卷”展开本节课在学习了圆锥曲线定义及其标准方程的基础上，运用定义法探求动点运动轨迹．目的是利用变式教学的方式，组织学生讨论交流，使之领悟定义法求轨迹的精髓．首先由简单的问题人手，引入定义法，激发学生思维．师：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及其标准方程，请看下面问题：求圆戈2+y2=1上一点P 与点A (3，O )连线中点肼的轨迹及其方程．生l ：设点M (石，，，)，点f 字毪P(Xo,yo)坝精{％+o 解【2一y得1％。

h 一3’代入《+％2：l ，【Y o=2y，厂N似弋NA x／．．／图1化简得(菇一寻)2+广=百1，轨迹是以点|『、r(寻，o)为圆心，丢为半径的圆．师：很好，生。

运用相关点法解决了问题，大家还有不同的想法吗?生：：取oA 的牟点』、r ，I M N I =丁1DP|_÷为定长，所以中点M 的轨迹为以点Ⅳ(吾，o)Y gBI 心，号为半径解设直线z 与曲线Y =戈3切于点(‰，石：)，则即(,,9170一I )2(2戈：+茹：一I )=0，利用盛金公式解得也=3茗吾于是切线z 的方程为：)，一I =3‰2(并一1)，将切点．士一1一(y=五二i 而+y=西了瓦丽l并。

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，‰3)代人得z ：一1=3x ：(X 0—1)，解得‰=1或一÷，，．‘因此，将例题改述为“求曲线Y =并3一÷在点(1，o)故所求切线Z 方程为：“，的切线方程”较妥．Y —I=3(z 一1)或Y 一1。

亍(茗一1)参考文献可见，即使点P 在曲线C 上也不能下结论：点P 就I 严士健、王尚志普通高中课程标准实验教科书数学(选修2一是是切点．从而，新教材上的例题解答有疏漏：事实一1)[M ]北京：北京师范大学出版社，2006年10月第1版1．2王尚志、唐安华．普通高中课程标准实验教科书数学(选修上，曲线Y =x3一’}过点(I ，0)的切线的切点也有两个．2一I )教师教学用书[M ]．北京：北京师范大学出版社，12006年I O 月第1版．设X -切点为(X 0，茗：一妻)，则切线方程为3严士健、王尚志．普通高中课程标准实验教科毫数学(选修l 一1I )[M ]．北京：北京师范大学出版社，2006年10月第1版．y-0。

(3X 20+玄)。

(戈一1)，4严士健、王尚志．普通高中课程标准实验教科书数学(选修2—1．2)[M ]．北京：北京师范大学出版社，2006年10月第1版．将点(‰，戈。

3一上X o)代人得5范盛金．一元三次方程的新求根公式与新判别法[J ]．海南31，，：．1、，，、师范学院学报(自然科学版)第2卷，第2期：1989，12．％一X ．0一【)x 。

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一1)’(收稿日期：20081101)18中‘7擞7(2009年第3期高中版)案例评析的圆，其方程为(茗一÷)2+y2=÷．师：两位想法都很好，生，是先求出动点的方程，再由方程确定轨迹；而生：从几何角度，观察动点运动过程中的几何不变性，利用圆的定义求出动点的轨迹，然后由轨迹得到方程．我们把后一种方法称为定义法．思维火花是在求异思维的过程中迸发出来的．通过两种解法的对比，证明定义法比较简洁，引起学生的兴趣，激活了他们的思维，他们自然会深深地投入，思维“画卷”逐步展开．师：定义法比较简洁明了，那么我们学过的哪些曲线定义可作为定义法求轨迹的依据?请同学们回顾一下．生，：平面上满足J尸F。

I+l鹧I=2a(2a>I，。

E I)动点P的轨迹是椭圆；生。

：平面上满足||PF。

l—1％II=2a(2a<IF。

足J)动点P的轨迹是双曲线；运用定义法求轨迹首先必须准确把握圆锥曲线的定义，这里组织学生讨论、回顾曲线定义，加深对概念的理解和把握，这是成功铺设思维“画卷”的前提．2思维深化翩翩起舞师：求圆戈2+y2=25上一动点P和点A(4，0)连线的垂直平分线与直线P O(0为坐标原点)交点Q的轨迹方程(图2)．生，：连Q A，则I Q O I+I Q A =I Q O I+l Q P l=5>4，所以口点的轨迹是以0、A为焦点的椭圆．其方程为垒景竽+等：1．厂淼≮哇乡一图244本题如果运用相关点法求轨迹方程，运算会相当麻烦，因而学习定义法求轨迹十分必要．P点在圆上运动过程中I Q O I与I∞I之和始终保持不变，而这种不变性具有一定的隐蔽性，要想让学生的思维在精心辅设的“画卷”上翩翩起舞，需要教师运用《几何画板》演示动点运动轨迹，但必须注意的是，多媒体只能用来探究轨迹和验证结论是否正确，切不可代替学生的思维．3发散类比思维碰撞师：如果我们把A点坐标改为(6，0)，点Q的轨迹如何?生。

：I Q A I—I Q O I=l Q PI～I Q O I=5为定值，所以Q点的轨迹是以O,A为焦点的双曲线，方程为垒≠4一告=1(1至13)．4生。

的回答引来一片争论：生，：不一定是双曲线，必须判断定值2口与2c的大小，当2a<2c时动点轨迹才是双曲线，否则不是．生。

：满足I Q P I—l Q O I=2a且2a<2c的点的轨迹只能是双曲线的一支．生。

：当P点运动到图4位置时I∞l—I Q O I=一5，所以I Q A I—l Q O I应该JJn_l：_绝对值，这样才表示整个双曲线(这时《几何画板》起了作用)．-V厂。

漆≮侈’‘y厂×<o／H x／}／—，，图3图4真理不辨不明，充分暴露学生的思维，使其产生思维碰撞，加深其对双曲线定义的理解，是培养其思维深刻性和严密性的大好时机，切不可一带而过，用教师的思维代替学生的思维．4思维拓展高潮迭起运用《几何画板》演示当P点绕圆运动一周时Q点轨迹，把A点从圆内拖到圆外，观察运动过程中，Q点轨迹从椭圆逐步变成双曲线的连续变化过程(由图5变化到图6)．1V(蕊q Q参1x／—，／图5晰芩烂夕＼一图6案例评析中‘7擞．?(2009年第3期．高中版)19在运动变化过程中体会A 点的位置对轨迹形状的影响，感悟椭圆与双曲线的统一性，体验数学的运动、统一、和谐之美．由于上海新教材缺少圆锥曲线的统一定义，因而有必要拓展学生的思维。

停留在图5位置，让学生观察直线m q 与椭圆的位置关系，提出问题：当P 点绕圆运动一周，直线m q 扫过的区域是什么?生，。

：M q 始终与椭圆相切，当P 点绕圆运动一周，直线m q 贴着椭圆滚动一周，扫过的区域是椭圆的外部(图7)．肘Q 扫过的区域实际上是直线上所有点随点P 的运动所成轨迹的集合．通过对运动曲线的观察、想象、猜想、探索，形成积极进取、勇于探索、不断创新的思维品格，促使思维素质的提升，思维“画卷”进一步打开．师：类比双曲线，你们能提出—个与此类似的结论吗?生n ：点A 在圆外时，m q 与双曲线相切，当P 点绕圆运动～周时直线m q 贴着双曲线滚动一周，扫过的区域是双曲线的外部(图8)．。

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图7图8提出问题比解决问题更重要，学生有前面椭圆与双曲线类比的经历，提出问题便水到渠成．教学有法，教无定法，一成不变的课堂教学，无法激起学生的学习情趣，会淡化其学习热情．而超凡脱俗的教学方法是在老师娴熟地掌握一般教学方法的基础上的再创造．5逆向思维增光添色，、22师：点Q 在椭圆塑=竽+告=l 上运动，过右焦点“c ，A 作￡O Q A 的外角平分线的垂线，交直线O q 于P ，求P 点的轨迹方程(图9)．生12：因为I PO I =I 尸p j +l Q o I =I A Q I +l qO I =2n ，所以P 点的轨迹是以点0为圆心半径为2口的圆，程为冀2+y2=4a2．本题实际是原问题的逆向问题，对学生进行逆向思维训练，让学生在逆向思维过程中学会抓住问题的本质，理解定义法求轨迹的精髓．数学课堂的首要任务就是造就学生的创新思维能力，创新思维能力的培养需要有创新冲动，而变换思维角度则是产生冲动的重要手段．6类比发现完美收官师：你们有何新的发现?生。

，：类比双曲线，得到类似的结论：点Q 在双曲线竺!笋一鲁=1上运动，过右焦点A 中乍Z_OqA 的外角平ⅡU分线的垂线，交直线oq 于P ，可求P 点的轨迹方程．数学家波利亚说过，类比是发现的源泉．此时类比已经成为学生的自觉行为．学生通过作图、讨论、探究，发现椭圆换成双曲线之后，曲线定义发生了本质变化，这一结论并不成立．进一步引导学生分析导致类比错误的原因’，很快学生发现只要把外角平分线改为内角平分线就可以了(图10)，这样就使学生在类比发现中得到启迪，思维“画卷”得以充分展开．l V天●，_一肘，芦0E桫i＼／／＼)，。

搿／／＼j／幽9图10本设计由一道常见题出发，引导学生进行类比、联想和逆向思维，为其提供探索的空间和时间，创设活动情境，鼓励学生敢于、善于运用已有方法去思考、发现、交流、感受，让课堂成为展示思维过程的平台，达到“授生以渔”的目的．随着“画卷”的不断展开，学生的思维沿着老师的精心设计拾级而上，仿佛李宁举着火炬，象神话中的夸父般奔跑在“画卷”中，掀起了开幕式的高潮．所以我们的数学课堂教学要从茫茫的题海中解放出来，教师精心设计问题，铺设好思维“画卷”，数学课堂教学必然焕发出勃勃生机，与奥运会开幕式一样令世人瞩目!(注：本课例为上海市黄浦区名师工作室展示课，感谢名师基地顾鸿达老师的指导!)(收稿日期：20090205)。

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湖北省武汉为明学校高中数学人教A版必修五：“定义法

湖北省武汉为明学校高中数学人教A版必修五：“定义法

课题：“定义法”求轨迹方程班级: 姓名: 小组: 评价:【学习目标】通过本课的学习，增强运用圆锥曲线的定义解决问题的意识，综合运用平面几何的知识，进行几何等量关系的转换，理解“定义法”求轨迹方程的意义及解决问题的基本思路。

【重点难点】重点：“定义法”求曲线轨迹方程。

灵活运用题设条件，确定动点所满足的关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。

难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。

（完备性是指符合条件的 点都要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件， 没有“假冒”。

）【导学流程】一、导入 定义是揭示事物本质属性的思想形式，面对一个数学对象，回顾它的定义，常常是解决问题的锐利武器．求动点轨迹方程，若动点运动规律或几何约束等式符合某一圆锥曲线的定义时，可直接确定其标准方程，并得出待定系数之值，从而直接得出结果．二、基础感知 1. 圆锥曲线的定义；2. 在平面内，讨论：（1）已知点()3,2A ，动点P 满足3=PA ，则点P 的轨迹方程是_____________. （2）已知ABC ∆的一边BC 的长为3，周长为8，则顶点A 的轨迹是__________.三、深入学习例1. 一动圆与圆()43:221=++y x O 外切，同时与圆()1003:222=+-y x O 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

变式1：一动圆与圆()43:221=++y x O 外切，同时与圆()93:222=+-y x O 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

变式2：已知圆()42:221=+-y x O ，动圆M 与圆1O 外切，且与y 轴相切，求动点M 的轨迹方程。

例2. 已知椭圆的焦点是P F F ,,21是椭圆上的一个动点，如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线四、小结一般的，用定义法求圆锥曲线轨迹方程有三个步骤：1．分析条件找到动点M 在运动过程中与已知条件之间所保持的不变的特性，从中探求动点M 的轨迹是否符合某种圆锥曲线的定义（同时，根据条件确定圆锥曲线对称中心、焦点、或顶点的位置）——定曲线；2.求出a 、b 、c ，p 或r 的值，从而得出动点M 的轨迹方程——定方程；3．最后要指出动点的运动范围——定范围。

用定义法求轨迹方程 何尧

用定义法求轨迹方程 何尧

用定义法求轨迹方程
——秭归一中高三（12）班 何书横 1、教学目标 ①知识和技能：能综合运用平面几何的知识，进行几何等量关系的转换，增 强用“定义法”求轨迹方程的意识。 ②过程和方法：通过数形结合，转化思想引导学生用运动观点理解曲线，引 导学生主动探求曲线类型，并由基本量写出轨迹方程。 ③情感态度和价值观： 教师通过层层分析，合理的知识解构使学生自然地想 出由定义法求轨迹方程。 2、学情分析：学生刚经过第一轮复习，对圆和圆锥曲线的定义有比较深刻 的认识， 通过对所求轨迹的几何性质合理解构学生不难得出曲线类型，从而求出 曲线方程。 3、教学重点：会根据动点轨迹几何特征用定义法求轨迹方程。 教学难点：分析动点轨迹几何特征，找出变量中不变量。 教学过程： （第二轮复习课） 活动 1：近五年用定义法求轨迹方程高考真题回顾 2014 年福建卷 21，2014 年湖北卷 22 2013 年全国新课标卷 I11，2010 年湖北卷 20 2010 年湖南卷 19 全国卷 2014、2015 年未考用定义法求轨迹方程，今年考查可能性大。 活动 2：储备典型曲线定义，是“定义法”解题的基础。 ①到一个定点距离等于定长的轨迹是圆。 ②到两定点距离之和为定值（比这两定点距离大）点轨迹是椭圆。 ③到两定点距离之差绝对值为定值 （比这两点之间距离小） 点轨迹为双曲线。 ④到定点距离与到定直线的距离相等 （定点不在定直线上） 是轨迹为抛物线。 ⑤到两定点的距离之商为 （ >0 且 ≠1）为定值轨迹是阿波罗尼斯园。 ⑥到两坐标轴距离之积为常数轨迹是两条双曲线（反比例函数） 。 活动 3：分析动点满足几何性质（变量中不变量） ，是“定义法”解题的关键。 （症状： 有些同学求曲线方程总是设点 （x,y） ， 然后试图构造出 x,y 方程 （组） ， 不等式求出，这对求有些圆锥曲线方程是不明智的。 ） 例 1：已知圆 C：x2+y2+6x－91=0 及圆内一点 p(3,0)，求过点 P 且与已知圆 内切的圆的圆心 M 轨迹方程。 分析①两圆内切：外圆半径=内圆半径+连心距 ②动圆从满足等量关系 MC MP 10 PC 变中不变量 ③由曲线定义知识储备得动点从轨迹方程以 P、C 为焦点椭圆 下面教师板书解题过程 解：由题意得 10 MC MP MC MP 10 PC 6
沪教版数学八年级上册19.2《轨迹》教学设计

沪教版数学八年级上册19.2《轨迹》教学设计

沪教版数学八年级上册19.2《轨迹》教学设计一. 教材分析《轨迹》这一节内容是沪教版数学八年级上册19.2章的一部分，主要介绍了轨迹的概念和性质。

通过这一节的内容，学生能够理解轨迹的概念，了解不同类型的轨迹，并能够分析轨迹的性质。

教材中包含了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和概念有一定的了解。

但是，对于轨迹这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和引导来理解和掌握。

此外，学生可能对于一些轨迹的性质和判定方法感到困难，需要通过大量的练习和讲解来巩固。

三. 教学目标通过本节课的学习，学生能够理解轨迹的概念，了解不同类型的轨迹，并能够分析轨迹的性质。

学生能够运用轨迹的知识解决一些实际问题，提高解决问题的能力。

此外，通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和交流能力。

四. 教学重难点教学重点：轨迹的概念和性质，不同类型的轨迹。

教学难点：轨迹的性质和判定方法，轨迹在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导和启发学生思考，激发学生的学习兴趣和动力。

通过实例和动画演示，帮助学生直观地理解轨迹的概念和性质。

采用小组合作和讨论的方式，培养学生的合作意识和交流能力。

同时，通过大量的练习和讲解，巩固学生的知识。

六. 教学准备准备相关的教学材料，包括PPT、动画演示、例题和练习题。

同时，准备黑板和粉笔，用于板书和解释问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入轨迹的概念，例如，一只小鸟从原点出发，飞向正x轴方向，飞行距离逐渐增加，最终停止在x轴上，求小鸟飞行的轨迹。

引导学生思考和讨论，引发学生对轨迹的兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT和动画演示，呈现不同类型的轨迹，如抛物线、双曲线和椭圆等。

同时，解释每种轨迹的定义和特点，引导学生直观地理解轨迹的概念。

3.操练（10分钟）学生独立完成教材中的例题和练习题，教师进行个别指导和讲解。

高一数学利用曲线定义求轨迹

高一数学利用曲线定义求轨迹

开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼中流露出壹丝异色,说道: