单循环比赛日程安排
一、摘要：
本文在合理假设的基础上由问题的数学实质，建立出问题的模板模型，并根据问题的特殊性将模板分为奇数和偶数两种来研究，运用归纳的方法发现了列出矩阵后的特殊规律，根据这些规律得出一般模型，把模型与矩阵相对应，即得出日程安排的结果，并把模型一般化，使之能广泛应用于日程安排中，给出一个性能指标，用于判断日程安排是否公平、适合
对模型进行了推广。
二、问题重述：
1）七支球队进行单循环比赛，每天一场，每个队伍在两场比赛之间至少间隔一天，
2)若变成八支，九支，如何安排合理。能是两只球队至少
间隔两天吗。
3）推广到N支球队的比赛，如何安排，每支球队两场比赛之间至少间隔多少天。
4）你建议用那些指标衡量比赛日程的优劣，如何使这些指标达到最优。
三、建模假设：
1)每天的同一天进行比赛。
2)符号假设
i j 第i 队与第j 队比赛 [x]第x 场比赛
x(ij)第i 队与第j 队的比赛在第x(ij)场 N 球队的总支数 四、分析与建立模型:
（1） 建模思路：首先用矩阵的方式把每场比赛列出来（顺序列出），从矩阵中的到一定规律，通过专业人士以前得出的日程安排概况，按一定规律建立一个模板，把矩阵与模板相应的值对应，比赛日期=比赛开始日期+x(ij)-1。
首先，建立一个关于
x(ij)矩阵，i 代表行，j 代表列。
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡)77()
76()
75()
74()
73()
72()71()67()66()65()64()63()62()61()57()56()55()54()53()52()51()47()46()45()44()43()42()41()37()36()35()34()33()32()31()27()26()25()24()23()22()21()17()16()15()14()13()12()
11(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
ii 这种情况不存在，ij 与ji 意义相同，为了简便，我们只看对角线上半部分， 既得：
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00
)67(000000)57()56(00000)47()46()45(0000)37()36()35()34(000)27()26()25()24()23(00)17()16()15()14()13()12(0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X
建模求解：根据模板，（当n=7时）
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=0000
00700000012300000161160000
191510200021181495004201713810
X
可得x （ij ）的值 当八支队伍比赛时，n=8 模板变为:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00
0400000001480000001913300000231812700002622
171120002825211610600537242015910
X
（2）建立通用模型
当有n 队参加比赛时，各队每两场比赛之间相隔的场次数为（n-3)/2 如果n 是偶数，设n=2k ，则模板为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----++++-+=00
2420
3410
120
30
20
2220
114121
k k k k k k k k k k K k X
当n 是奇数时，设n=2k+1，则模板为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡++-++++++=00120
140420100302032201242210
k k k k k k k k k k K k X
可以通过计算每个队的每两次比赛的间隔天数的平均值，求各个队间隔天数的平均值的方差，方差越小越好。 如果结果觉得不理想，可通过优化模板实现。
（3）建模检验：得出结果与题目要求相符合，与客观事实相符合。 （4）缺点：模板的建立有一定的主观性，但可通过广泛的征求意
见和查资料弥补。
优点：应用方便，易懂。
五、推广：
1）也可以应用于每支球队(一共n支球队)相邻两场比赛之间至少间隔(n-3)/2场的比赛
2）可以设计不同种类比赛和不同规则安排的比赛的日程安排模板，组成一个库，建立一个应用软件，专门用于进行日程安排的计算。
六、参考文献：数学建模与数学实验。
