解析几何最值范围问题专题训练

第十一讲 解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系•建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据 问题的实际情况灵活处理• 一、几何法求最值【例1】 抛物线的顶点 0在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0, - 2)作直线I 与抛物线相交于 A, B 两点，且满足+=(-4,- 12) •(1)求直线I 和抛物线的方程;(2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时，求△ ABP 面积的最大值.［满分解答］(1)根据题意可设直线I 的方程为y= kx-2，抛物线方程为x 2= — 2py(p> 0).y = kx-2, 2由 2得 x + 2pkx — 4p= 0x =- 2py,设点 A(X 1, y”, B(x 2, y 2),贝U X 1 + X 2= — 2pk,力 + y 2= k(x j + X 2) — 4 =- 2pk 2-4.—2pk=- 4,所以匕(-4，-12),所以-2pk 2-4 =- 12,⑵设P(x o , y o )，依题意，知当抛物线过点P 的切线与I 平行时，△ ABP 的面积最大.对 y = — *2求导，得 y'= - x ，所以一X o = 2, 即 卩 x o =- 2, y o =- -x o =- 2, 即 卩 P( — 2,- 2). 此时点p到直线I的距离d=寺7 =聶=呼得 X 2+ 4x — 4 = o ，贝U X 1 + X 2 =— 4, X 1X 2=— 4,|AB|= . 1 + k 2-. X 1 + X 2 2-4X 1X 2= 1 + 22 - - 4 2-4 - - 4 = 4 1o.于是，△ ABP 面积的最大值为4 _1o X 45 5= 8 , 2. 、函数法求最值点Q(o,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程;解得P = 1，k= 2.故直线I 的方程为y = 2x- 2,抛物线方程为x 2=- 2y.由辽2X — 2,x =- 2y,【示例】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2C ：字+器=1(a>b>o)的离心率e= *危，且椭圆C 上的点到⑵在椭圆C 上，是否存在点M(m, n)，使得直线I: mx+ ny= 1与圆O: x 2 + y 2= 1相交于不同的两点A 、B,OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的厶 OAB 的面积；若不存在，请说明理由.2 2C :3?+菇1即 &3y 2=3b 2,⑴由e=a=a= 3b,椭圆设 P(x, y)为 C 上任意一点，贝y |PQ|= x 2 3 + y — 2 2= — 2 y+ 1 2+ 3b 2+ 6, —b w y w b.若 b v 1,则一b>— 1,当 y= — b 时，|PQ|max =寸一2( — b + 1 3b '+ 6 = 3,又 b>0，得 b= 1(舍去),若 b 》1,则—b w — 1,当y=— 1 时，|PQ|max =寸-2(- 1 +1 f + 3b ?+ 6 = 3,得 b= 1.2•••椭圆C 的方程为 令+ y 2= 1.32 2⑵法一 假设存在这样的点 M(m, n)满足题意，则有m3 + n 2= 1，即n 2= 1 —号,—.3w m w 3.由题意可得S 1 1 1△AOB = 2|OA| • |OB|sin Z AOB = ^sin Z AOB w 刁当/AOB= 90。

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考 点 整 合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一 定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27， 直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明 当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6， 所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二 最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7， 由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0， 解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0， 解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1， 此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高 解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析 根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析 因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点， 故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |， 且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交， 所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析 如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ， 所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1， 故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值， 即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小， 也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2， 因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ， 联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ， 又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0， 化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2， 原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。

%________ 11:第九章高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题］第1课时范围、最值问题■题型分类深度剖析T I■师生共研题型一范围问题例1 (2018-浙江)如图，已知点F 是y 轴左侧(不含y 轴)一点 =4% 上存在不冋的两点A /为两足B4 , 的中点均在C上. (1)设人3中点为旳, 证明设P(x 0 , yo) 证明： fl PM 垂直于y轴 5 221”y 2 1丁2/因为B4 , 的中点在抛物线上, 所以力,旳为方程字2二牛£^\ z 丿即J 2 - 2y Q y + 8xo " Jo = 0的两个不同的实根.,抛物线C : /:二1(兀v 0)上的动点,求△B4B 面积的取值范围.力+旳二2为,J1J2 = 8x 0 - yo ,所以IPMI 二 |(y? + yl) - Xo 二 |^o - 3兀0 / lyi -所以△B4B 的面积 S LPAB 二 ^PM\-\y x -加二所以 yo - 4%0= - 4%0 - 4%0 + 4 e [4 , 5], 所以△B4B 面积的取值范围是]6因为并+ &二 1(・ Kx o <O),解由⑴可知 (2)若P 是半椭圆x 2 +辺,15^[°解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域, 从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 （2018•杭州质检）已知椭圆c 设直线I与椭圆C交于A , B两点.⑴若滋1＞筋,求实数£的取值范围;,直线I \ y = kx + m(m=^O) /解联立方程亍 + 丁二1 禾Wy-kx + m ,得(2 + 3A:2)X2+6kmx + 3m2 -6 = 0, 所= (6km)2 - 4(2 + 3k2)(3m2 - 6)>0 ,所以m2<2 + 30 ,又\m\>\j3 ,所以2 + 30>3 ,即坯,解得心彳或k< -、所以实数k的取值范围为OO U+ OO⑵若直线OA , AB , OB的斜率成等比数列（其中O为坐标原点）,求的面积的取值范围.解设4(“ , yj , B(X 2 , 丁2)/设直线OA , OB 的斜率分别为勺,k 2 , 因为直线04 , AB , OB 的斜率成等比数列,7 化简得2 + 3疋二60 ,即疋二亍 因为IABI 二冷］+ 疋&1 - x 2l =—O K则由⑴知小+疋二昇/3m 2- 6也二 2 + 3/所以k x k 2 =严=& , X\X2(kx\ + m)(kx2 +m) 即一 Xi%2|w |3原点o 到直线AB 的距离h - - h +，- 孑向/3 3当且仅当尹2二6 -尹2，即血二时,等号成立. 但此时直线OA 或OB 的斜率不存在,所以等号取不到,所以△OAB 的面积 S ^OAB h -」+(6 - |m多维探究题型二最值问题所以S HOAB W0 ,\命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线护二4兀的焦点F的直线交抛物线于A , B两点,点O是坐标原点,A.2B.A/2D.2边2 2 1 解析设直线AB的倾斜角为0 ,可得IAFI二, \BF\ =1 - cos 0 1 + cos 62 2 4则\AF\-\BF\的最小值是多维探究题型二最值问题例3在平面直角坐标系xOy 中,戶为双曲线・护二1右支上的一个动点•若 点F 到直给・y + 1二0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 ______ . 解析 双曲线宀尸二1的渐近线为兀±y 二o , 直线X - y+l = 0与渐近线X - y 二0平行, 故两平行线间的距离d 二 由点P 到直线％ - y+l= 0的距离大于c 恒成立, 得cW 普,故c 的最大值为¥•命题点2 数形结合利用几何性质求最值几何画板展示命题点3转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值f 1 1) (3例4 (2017•浙江)如图,已知抛物线x2 = y ,点彳.21 4)'(1 3)的点Pg y)| T V X ＜事过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围；1-4-2X解设直线代的斜率为S 、—所以直线AF斜率的取值范围为(-1,1).(2)求\PA\\PQ的最大值.kx - y +尹+ 玄二 0 ,解联立直线AP 与EQ 的方程 9 3x + ky - - 2 = /因为 IE4I = A J1 + % + ㊁二\jl+l^(k + 1) , \PQ\ =寸］+ 卩(XQ - X )=所以LR4I.IF0 二-(k- 1)伙 +I)3 , 令/的二1)(^4-I)3, 因为f 伙)二 -(4「2)伙+1)2,解得点Q 的横坐标是程二 』+仏+3 2 伙?+ 1) 伙-1)伙 + I)2所以朋在区间卜1,2上单调递增,在I 因此当£二*时，LR4ljP0取得最大值話.1 —O / 1上单调递减・处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式）,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018•浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆令+琴二1 (a>b>0),从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点,再经椭圆反射后回到起点•光线经过的路径为正三角形,且该三角形的周长为12.(1)求椭圆的方程；解不妨设光线从焦点件（-C , 0）出发到达椭圆上的点M ,反射后经过另一个焦点尸2（c , 0）到达椭圆上的点N.由于光线经过的路径为正三角形"MN ,则IF]MI二1尸凶, 所以MN丄厲佗/件尸2为厶中线.由椭圆的定义得4。

解析几何中的最值和求范围问题解析几何中的最值和求范围问题，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查学生的分析、比较、转化、归纳等综合能力，因而是高考的热点和重点。

充分利用曲线的性质，运用数形结合，注重问题的转化是研究解析几何中最值和求范围问题特有的方法。

一：结合定义利用图形中几何量求解；例1：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值是 。

例2：P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9例3：已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 。

二：利用不等式（组）求解例4：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。

例5：方程14922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦半径c 的取值范围是（ ） （A ）()+∞,5 （B ）{}13 （C ）()13,5 （D ）{}5三：利用二次函数求解例6：已知P 点在圆x 2+(y-2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。

例7：若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为 。

例8：对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］（D ）（0，2）四：利用基本不等式求解。

例9：若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22例10：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞五：构造二次方程，利用判别式∆≥0求解。

高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题第1课时 范围、最值问题题型一 范围问题例1 (2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0). 所以△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0). 因为x 2＋y 204＝1(－1≤x 0＜0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]， 所以△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 (2018·杭州质检)已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围. 解 (1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0， 所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0， 所以m 2<2＋3k 2，又|m |>3，所以2＋3k 2>3， 即k 2>13，解得k >33或k <－33.所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)知x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2， 因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列， 所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2， 化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝53⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2， 原点O 到直线AB 的距离h ＝|m |1＋k2＝35·|m |， 所以△OAB 的面积S △OAB ＝12|AB |·h ＝66×32m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2≤66×32m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 22＝62， 当且仅当32m 2＝6－32m 2，即m ＝±2时，等号成立.但此时直线OA 或OB 的斜率不存在，所以等号取不到， 所以S △OAB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62.题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值例4 (2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值.解 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32.所以直线AP 斜率的取值范围为(－1，1). (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减. 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018·浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为12. (1)求椭圆的方程；(2)过A (0，b )且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点B ，C ，记它们的横坐标分别为x B ，x C ，求x B x C 的最小值以及x B x C 最小时△ABC 的面积.解 (1)不妨设光线从焦点F 1(－c ，0)出发到达椭圆上的点M ，反射后经过另一个焦点F 2(c ，0)到达椭圆上的点N .由于光线经过的路径为正三角形F 1MN ， 则|F 1M |＝|F 1N |，所以MN ⊥F 1F 2，F 1F 2为△F 1MN 的中线. 由椭圆的定义得4a ＝12，a ＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝32×4＝23， 所以c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝6， 所以椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.(2)由(1)得A (0，6).显然直线AB ，AC 的斜率均存在且不为0. 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋6(k ≠0)， 代入x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋66kx ＝0，所以x B ＝－66k 2＋3k 2，同理求得x C ＝66k2k 2＋3， 所以x B x C ＝－66k 2＋3k 2×66k 2k 2＋3＝－216k 2(2＋3k 2)(2k 2＋3)＝－216k 26k 4＋13k 2＋6＝－2166k 2＋13＋6k2＝－2166⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋13≥－21625，当且仅当k 2＝1时等号成立.所以当k 2＝1时，x B x C 取得最小值－21625.当k 2＝1时，|AB |＝66|k |1＋k 22＋3k 2，|AC |＝66|k | 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 22k 2＋3， S △ABC ＝12×|AB |×|AC |＝108|k |(1＋k 2)(2＋3k 2)(2k 2＋3)＝21625.1.已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 答案 A解析 由题意可知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0， 点P 在椭圆上，则y 20＝1－x 204，故x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.2.定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为( )A.1B.74C.2D.5答案 B解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，抛物线的准线为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋142－14＝|MF |＋|NF |2－14，所以|MF |＋|NF |2－14≥|MN |2－14＝74(两边之和大于第三边且M ，N ，F 三点共线时取等号). 3.过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1＋22答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋|AF |cos θ＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝12(1－cos θ).由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1＋22.4.(2018·绍兴质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点.若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43B.34C.53D.45 答案 A解析 如图(1)，由已知条件得△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a ，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a ＋a ＝8，可整理为(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝b a ＋1，则k 表示为(a ，b )与(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易知k max ＝43.故选A.5.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.23C.33D.1 答案 A解析 由题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0>0)， 则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，可得k ＝y 03y 206p ＋p 3＝1y 02p ＋p y 0≤12y 02p ·p y 0＝22. 当且仅当y 02p ＝py 0时取得等号，故选A.6.(2018·浙江省杭州市七校联考)已知M ，N 为双曲线x 24－y 2＝1上关于坐标原点O 对称的两点，P 为双曲线上异于M ，N 的点，若直线PM 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则直线PN 的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12答案 C解析 设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (m ，n )(m ≠±x 0)，则k PM ＝n －y 0m －x 0，k PN ＝n ＋y 0m ＋x 0.因为点P ，M ，N 均在双曲线x 24－y 2＝1上，所以m 24－n 2＝1，x 204－y 20＝1，两式相减得(m －x 0)(m ＋x 0)4－(n －y 0)(n ＋y 0)＝0，化简得n －y 0m －x 0·n ＋y 0m ＋x 0＝14，即k PM ·k PN ＝14，又12≤k PM ≤2， 即12≤14k PN ≤2，解得18≤k PN ≤12，故选C. 7.椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最大值为________.答案 7解析 因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2－1a ＝32，解得a ＝2，由椭圆定义得|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 即|AF 2|＋|BF 2|＝8－|AB |，而由焦点弦性质，知当AB ⊥x 轴时，|AB |取得最小值2×b 2a＝1，因此|AF 2|＋|BF 2|的最大值为8－1＝7.8.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________. 答案 (0，3]解析 由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2at －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2at －1≥2c ， 整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2. 又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba≤ 3.∴双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3].9.椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________. 答案9π16解析 令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，由题意得，Δ>0，可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.可知＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2， 又m 2＋1(3m 2＋4)2＝19(m 2＋1)＋1m 2＋1＋6≤116，当且仅当m ＝0时取等号， 故≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l ＝4a ＝8，则内切圆半径r ＝≤34(当m ＝0时，取等号)，其面积最大值为9π16.10.已知斜率为k 的直线与椭圆x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点P (x 0，0)，则x 0的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析 设直线的方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，化简得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)>0， 所以4k 2－m 2＋3>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2，所以y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m －8k 2m 3＋4k 2＝6m3＋4k2，所以x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 1＋y 22＝3m3＋4k2， 所以线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，当k ＝0时，弦AB 的中垂线为y 轴，此时x 0＝0， 当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4km 3＋4k 2， 把点P (x 0，0)代入上面的方程得x 0(3＋4k 2)＝－km .所以m ＝－x 0(3＋4k 2)k，代入4k 2－m 2＋3>0.整理得x 20<4k 4＋3k 216k 4＋24k 2＋9，令k 2＝t (t >0)， x 2<4t 2＋3t 16t 2＋24t ＋9＝116t 2＋24t ＋94t 2＋3t ＝14＋3t<14， 综上，－12<x 0<12.11.(2018·浙江省温州高考适应性测试)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，D (x 0，y 0)为线段AB 的中点，且|AF |＋|BF |＝1＋2x 0.(1)求抛物线C 的方程； (2)若x 1x 2＋y 1y 2＝－1，求x 0|AB |的最小值. 解 (1)由题意知|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ， ∵x 1＋x 2＝2x 0，且|AF |＋|BF |＝1＋2x 0， ∴p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋b ， 代入抛物线方程，得y 2－2my －2b ＝0， Δ＝4m 2＋8b >0，∴y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b . ∵x 1x 2＋y 1y 2＝－1，即y 21y 224＋y 1y 2＝－1，∴y 1y 2＝－2，即b ＝1，则m 取任意实数时，Δ>0恒成立. ∴|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝21＋m 2·m 2＋2，x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 224＝14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝m 2＋1， ∴x 0|AB |＝m 2＋12m 2＋1·m 2＋2， 令t ＝m 2＋1，t ∈[1，＋∞)，则 x 0|AB |＝t 2t ·t ＋1＝121＋1t ≥24， ∴x 0|AB |的最小值为24. 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.解 (1)由题意，得a －c ＝33b ，则(a －c )2＝13b 2， 结合b 2＝a 2－c 2，得(a －c )2＝13(a 2－c 2)， 即2c 2－3ac ＋a 2＝0，亦即2e 2－3e ＋1＝0，结合0<e <1，解得e ＝12. 所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)得a ＝2c ，则b 2＝3c 2. 将M ⎝⎛⎭⎪⎫3，32代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，解得c ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 易得直线OM 的方程为y ＝12x . 当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2， 所以线段AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km3＋4k 2，3m3＋4k 2， 因为点N 在直线y ＝12x 上， 所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2， 解得k ＝－32. 所以Δ＝48(12－m 2)>0，解得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322|x 2－x 1| ＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝132·m 2－4m 2－123＝39612－m 2. 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13＝36(12－m 2)m 2≤36·12－m 2＋m 22＝ 3. 当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立，符合－23<m <23，且m ≠0.所以△OAB 面积的最大值为 3.13.已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A.θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B.θ＝π2C.θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π D.θ＝3π4 答案 B 解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a ，0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故选B. 14.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为__________.答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点， 设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，由题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤254， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12， 即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.15.如图，由抛物线y 2＝12x 与圆E ：(x －3)2＋y 2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P (3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( )A.[4，5]B.[7，8]C.[6，7]D.[5，6]答案 B解析 由题意可知抛物线y 2＝12x 的焦点为F (3，0)，圆(x －3)2＋y 2＝16的圆心为E (3，0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|PA |＝4，设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝12x ，(x －3)2＋y 2＝16得(x －3)2＋12x ＝16，整理得x 2＋6x －7＝0，解得x 1＝1，x 2＝－7(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝4＋x 0＋3＝x 0＋7，所以|AB |＝x 0＋7∈[7，8]，故选B.16.(2018·嘉兴测试)已知F 1，F 2为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝45°，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.解 不妨设|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，其中a 1，a 2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，由余弦定理得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2(c 为半焦距)，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则2－2e 21＋2＋2e 22＝4. 又4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥2(2－2)(2＋2)e 21·e 22＝22e 1·e 2， 即e 1·e 2≥22， 当e 1＝2－22，e 2＝2＋22时，等号成立， 所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为22.。

题型六几何最值（专题训练）1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是( )【答案】B【详解】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB=90°，∵tanA=BE AE=2，设AE=a ，BE=2a ，则有：100=a 2+4a 2，∴a 2=20，∴，∴，∵AB=AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE ，∠BHD=∠BEA ，∴sin DH AE DBH BD AB Ð===，∴BD ，∴BD=CD+DH ，∴CD+DH ≥CM ，∴BD ≥∴BD 的最小值为故选B ．2.如图，在Rt ABC D 中，90°Ð=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ^垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB °Ð=，∴OP ACP ∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =´=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ^，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =，∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．3.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF V 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF V ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3C 1-D 1-【答案】D【详解】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A'在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：1A'E AE AB 12===．在Rt BCE V 中，1BE AB 12==，BC 3=，B 90Ð=o ，CE \==，A'C \的最小值CE A'E 1=-=．故选D ．4.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，∴BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ，∴△BFG 是等边三角形．∴BF=BG=FG ，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∴当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，，在Rt △EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∴．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG ，∴EF=13故选：D ．5.如图，Rt ABC △中，AB BC ^，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA °Ð+Ð=，则线段CP 长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P 在以AB 为直径的弧上（P 在△ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交☉O 于点P ，此时的PC 最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC ===∴PC=5-3=26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF=1G E =1，CF=1322CE =，所以CH=52，因此CG 的最小值为52．GA B CDE F27.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S \点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为：8.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是2______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：549.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【答案】2【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，再求得//AN CN BM CM =＝31，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM ＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN ＝PN'，∴PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC ＝2AB ＝28，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝24，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON'＝CN'＝22，∴AN'＝26，∵BM ＝6，∴CM ＝AB ﹣BM ＝8﹣6＝2，∴//AN CN BM CM =＝31∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM ＝45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM ＝MN'＝2，即PM ﹣PN 的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10.如图，ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN ，即可求出答案．【解析】解：连接CN ，与AD 交于点M ，连接BM ．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 是BC 边上的中线即C 和B 关于AD 对称，则BM+MN=CN ，则CN 就是BM+MN 的最小值．∵ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，∴AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB ^,∴CN ====即BM+MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD æö+ç÷èø，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．ABC D A BCD问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．12.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．求出OM ，OF 即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝，GF，OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13.如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE ，∵BM=BN ，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE ∴AM+MB+CM=AM+MN+NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH ⊥AE ，AH=EH ，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，BH=AE=2AH=故答案为14.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把PBE △沿PE 折叠，得到PBE △，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE ＝EF ＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．-【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP ，∵PA=PA ，∴△BAP ≌△CAP （SAS ），∴PC=PB ，∵MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∴△GAP 是等边三角形，∴PA=PG ，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∴当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP+BP+CP 的最小值为，∴，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN ⊥AC 于N ．则BN=12AB=1，，，∴16.如图所示，30AOB Ð=o ，点P 为AOB Ð内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN D 周长的最小值_____．【答案】PMN D 周长的最小值为8【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN D 周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP \D =++=，且1A O P A O P Ð=Ð，2BO P BO P Ð=Ð，12260POP AOB Ð=Ð=°，128O P O P O P ===，12PPO D 为等边三角形，1218PP OP ==即PMN D 周长的最小值为8.17.在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ；①把图形补充完整（无需写画法）； ②求2EF 的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ££；（2）2+【详解】（1）①如图△DCF 即为所求；②∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴AC AB ＝4，∵△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ，∴∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，∴y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）．即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∴x ＝2时，y 有最小值，最小值为8，当x ＝4时，y 最大值＝16，∴8≤EF 2≤16．（2）如图中，将△ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到△AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，∴AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝=AF ，∴FH ＝12AF ，AH ，在Rt △DFH 中，DF =＝2+，∴BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．。

专题突破——09最值问题与范围问题题型一距离类问题1．设动直线x m =与函数3()f x x =，()g x lnx =的图象分别交于点M 、N ，则||MN 的最小值为()A ．1(13)3ln +B ．133ln C ．1(13)3ln -D ．31ln -【解答】解：画图可以看到||MN 就是两条曲线间的垂直距离．设3()()()F x f x g x x lnx =-=-，求导得：21()3F x x x'=-．令()0F x '>得x >；令()0F x '<得0x <<，所以当x =时，()F x 有最小值为11133)333F ln ln =+=+，故选：A ．2．已知实数a ，b ，c ，d 满足221a a e c b d --==，其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为()A ．4B ．8C ．12D ．18【解答】解：实数a ，b ，c ，d 满足221a a e cb d--==，2a b a e ∴=-，2d c =-，∴点(,)a b 在曲线2x y x e =-上，点(,)c d 在曲线2y x =-上，22()()a c b d -+-的几何意义就是曲线2x y x e =-到曲线2y x =-上点的距离最小值的平方．考查曲线2x y x e =-上和直线2y x =-平行的切线，12x y e '=-，求出2x y x e =-上和直线2y x =-平行的切线方程，∴令121x y e '=-=-，解得0x =，∴切点为(0,2)-，该切点到直线2y x =-的距离d ==就是所要求的两曲线间的最小距离，故22()()a c b d -+-的最小值为28d =．故选：B ．3．设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则||PQ 的最小值为()A ．122ln -B．(12)2ln -C ．122ln +D．2)2ln +【解答】解：函数12x y e =与函数(2)y ln x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12x y e =上点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为1|||2x e x d -=设1()(0)2x g x e x x =->则1()12x g x e '=-由()0g x ' 可得2x ln ，由()0g x '<可得02x ln <<∴函数()g x 在(0,2)ln 单调递减，在[2ln ，)+∞单调递增∴当2x ln =时，函数()12min g x ln =-(12)2d ln =-故选：B ．4．已知直线y a =分别与函数2x y e +=和y =交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是()A ．722ln -B ．522ln -C ．722ln +D ．522ln +【解答】解：依题意，设1(A x ，)a ，2(B x ，)a ，则12x e a a +==，即2122,1x lna x a =-=+，由指数函数及根式函数的图象及性质可知，12x x <，22212|||||21||3|3AB x x lna a lna a a lna ∴=-=---=--=+-，设f （a ）23a lna =+-，则2121()2a f a a a a-'=-=，易知函数f （a）在2单调递减，在(,)2+∞单调递增，∴172())32222min ln f a f ln +==+-=，即A ，B 之间的最短距离是722ln +．故选：C ．5．已知函数()sin f x x x =-，12,0(),0x x x g x e x -+⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则12x x +的最大值是()A ．0B ．2C ．12ln +D ．422ln +【解答】解：由于()1cos 0f x x '=- ，故函数()f x 单调递增，则原问题等价于函数()g x t =有两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <，求12x x +的最大值．绘制函数()g x 的图象如图所示，观察可得1(,2]t e∈，不妨设21112(2)x x e t t e-+==< ，则12(2)(1)1x x t lnt lnt t +=-++=+-，关于t 的函数1y lnt t =+-单调递增，故12x x +的最大值为22112ln ln +-=+．故选：C ．6．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则||PQ 的最小值为()A ．1ln -2Bln -2)C ．1ln +2D ln +2)【解答】解：12x y e =，该函数的定义域为R ，值域为(0,)+∞，2x ln y =，∴函数12x y e =与(2)y ln x =互为反函数，其图象关于直线y x =对称，两曲线上点之间的最小距离就是y x =与12x y e =上点的最小距离的2倍．设12x y e =上点0(x ，0)y 处的切线与直线y x =平行，则_0112x e =，02x ln ∴=，01y =，∴点0(x ，0)y 到y x =2)ln =-，则||PQ 的最小值为(12)22)2ln ln -⨯=-．故选：B ．7．设动直线x m =与函数()x f x e =，()g x lnx =的图象分别交于点M ，N ，则||MN 最小值的区间为()A ．1(,1)2B ．(1,2)C ．5(2,)2D ．5(,3)2【解答】解：画图可以看到||MN 就是两条曲线间的垂直距离．设()()()x F x f x g x e lnx =-=-，求导得：1()x F x e x '=-．F '（1）10e =->，1()202F '=<，所以存在01(2x ∈，1)，使得0()0F x =，0(0,)x x ∈，()0F x '<，函数是减函数，0(x x ∈，)()0F x '+∞>，函数是增函数，所以函数的最小值在1()2F 与F （1）之间．11(222F ln ln =-=，F （1）e =，故选：C ．8．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +++=，且(0,1)a ∈，则22()()a c b d +的最小值为()A ．1eB ．2eC ．3eD ．4e【解答】解：实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +++=，230b a lna ∴+=，20cd +=．23b a lna ∴=-，2d c=-．422222236()()(*)a ln aa cb d ac c∴+=+，(0,1)a ∈，23(*)12||a a lna f ∴= （a ），当且仅当26c alna =-时取等号．当(0,1)a ∈时，f （a ）312a lna =-，f '（a ）222361212(31)a lna a a lna =--=-+，令f '（a ）0=，13a e -=．当130a e -<<时，f '（a ）0>，函数f （a ）单调递增；当131e a -<<时，f '（a ）0<，函数f （a ）单调递减．∴函数f （a ）最大值，134()f e e-=．22()()a c b d ∴+的最小值为4e．故选：D ．9．已知函数3()sin f x x x =+，11,0()2(1),0x x g x ln x x ⎧+<⎪=⎨⎪+⎩ ，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则21x x -的最小值是()A ．2B ．32ln -C ．422ln -D ．322ln -【解答】解：3()sin f x x x =+的定义域为R ，且33()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，可得()f x 为奇函数，2()3cos f x x x '=+，()6sin f x x x ''=-，()6cos f x x '''=+，当0x >时，6cos 0x +>，()f x ''递增，可得6sin 0x x ->，()f x '递增，可得23cos 10x x +>>，即()f x 在0x >递增，进而()f x 在R 上递增，作出()y f x =的图象；作出11,0()2(1),0x x g x ln x x ⎧+<⎪=⎨⎪+⎩ 的图象．设()t g x =，由(())0f g x m +=，可得()m f t -=，即有01t < ，且1211(1)2x ln x +=+，可得122((1)1)x ln x =+-，则212222(1)x x x ln x -=+-+，210e x -> ，由()22(1)h x x ln x =+-+的导数为21()111x h x x x-'=-=++，当1x >时，()h x 递增，11x -<<时，()h x 递减，可得1x =处()h x 取得极小值，且为最小值，则21x x -的最小值是322ln -．故选：D ．10．已知点M 在曲线23y lnx x =-上，点N 在直线20x y -+=上，则||MN 的最小值为【解答】解：当点M 是曲线的切线中与直线2y x =+平行的直线的切点时，||MN 取得最小．故令321y x x'=-+=解得，1x =，故点M 的坐标为(1,1)-，故点M 到直线2y x =+=故答案为：题型二分离参数法11．已知函数()af x lnx x=-，若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为()A ．[1，)+∞B ．(1,)+∞C ．(1,)-+∞D ．[1-，)+∞【解答】解：函数()a f x lnx x=-，且2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，∴函数2()af x lnx x x=-<，3a xlnx x ∴>-，令3()h x xlnx x =-，只要求得()h x 的最大值即可，2()13h x lnx x '=+-，216()x h x x-''=，1x >，2160x ∴-<，()0h x ∴''<，()h x ∴'在(1,)+∞上为减函数，()max h x h ∴'='（1）20=-<，()h x ∴'在(1,)+∞小于0，()h x ∴在(1,)+∞上为减函数，()max h x h ∴=（1）10=-<，1a ∴>-又1x ≠，a ∴可以等于1-，1a ∴- ．故选：D ．12．已知函数()sin x f x e x ax =-在(,0)π-上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]e π--．【解答】解：由题意：()(sin cos )0x f x e x x a '=+- 在(,0)π-上恒成立，即(sin cos )x a e x x + 在(,0)π-上恒成立，令()(sin cos )x g x e x x =+，(,0)x π∈-，则()2cos x g x e x '=⋅，易知(,)2x ππ∈--时，()0g x '<；(,0)2x π∈-时，()0g x '>，故()g x 在(,2ππ--上单调递减，在(,0)2π-上单调递增，故2()()2ming x g e ππ-=-=-，故2a e π-- 即为所求．故答案为：2(,]e π--∞-．13．已知函数()x x f x e ae -=-，若()f x ' 恒成立，则实数a 的取值范围是[3，)+∞．．【解答】解：函数的导数()x x f x e ae -'=+，所以由()f x ' 得，x x e ae -+ ，即2()x x x xe a e e--=- 成立．设x t e =，则0t >，则函数22(3y t t =-=--+，因为0t >，所以当t =y 有最大值3，所以3a ．即实数a 的取值范围是[3，)+∞．故答案为：[3，)+∞．14．已知函数12()x f x e xlnx x ax -=+--满足()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是(-∞，0]．【解答】解：由()0f x ，得12x ax exlnx x -+- ，得1x e a lnx x x-+- 恒成立，设1()x e g x lnx x x-=+-，则1()x lnx g x e lnx x --=+-，对于()1x h x e x =--，()1x h x e '=-，则当0x >时，()0h x '>，当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h = ，即1x e x + ，所以111x lnx e x lnx ----+ ，所以1()(11)0x lnx g x e lnx x x lnx lnx x --=+---++-= ，当且仅当10x lnx --=，即1x lnx =+，1x =时，取“=”号，故0a ，a 的取值范围是(-∞，0]，故答案为：(-∞，0]．题型三参数的范围问题15．已知函数()f x xlnx =，2()2g x x ax =-+-（Ⅰ）求函数()f x 在[t ，2](0)t t +>上的最小值；（Ⅱ）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1x ，212()x x x <且212x x ln ->，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由()10f x lnx '=+=，可得1x e=，∴①10t e <<，时，函数()f x 在1(,t e 上单调递减，在1(e，2)t +上单调递增，∴函数()f x 在[t ，2](0)t t +>上的最小值为11()f e e =-，②当1t e 时，()f x 在[t ，2]t +上单调递增，()()min f x f t tlnt ∴==，11,0()1,mint e ef x tlnt t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩；（Ⅱ）2()()2y f x g x xlnx x ax =+=-+-，则21y lnx x a '=-++题意即为210y lnx x a '=-++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <，即21a lnx x =-+-有两个不同的实根1x ，212()x x x <，等价于直线y a =与函数()21G x lnx x =-+-的图象有两个不同的交点1()2G x x '=-+，()G x ∴在1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当1()())22min a G x G ln >==时，1x ，2x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大而当212x x ln -=时，由题意1122210210lnx x a lnx x a -++=⎧⎨-++=⎩，两式相减可得11222()22x lnx x ln x =-=-214x x ∴=代入上述方程可得214423x x ln ==，此时222(133ln a ln ln =--，所以，实数a 的取值范围为222()133ln a ln ln >--；16．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点；（2）若[0x ∈，]π时，()f x ax ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x ∴'=-+-=+-，令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当(0,2x π∈时，cos 0x x >，当(,)2x ππ∈时，cos 0x x <，∴当2x π=时，极大值为()1022g ππ=->，又(0)0g =，()2g π=-，()g x ∴在(0,)π上有唯一零点，即()f x '在(0,)π上有唯一零点；（2）由题设知()f a ππ ，()0f π=，可得0a ．由（1）知，()f x '在(0,)π上有唯一零点0x ，使得0()0f x '=，且()f x '在0(0,)x 为正，在0(x ，)π为负，()f x ∴在[0，0]x 递增，在0[x ，]π递减，结合(0)0f =，()0f π=，可知()f x 在[0，]π上非负，∴当[0x ∈，]π时，()0f x ，又当0a ，[0x ∈，]π时，0ax ，()f x ax ∴ ，a ∴的取值范围是(-∞，0]．17．已知函数2()(1)(1)(2)f x x a lnx x a =-+-+<．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()10f x a ++=在(0，2]上有且只有一个实根，求a 的取值范围．【解答】解：（1）函数()f x 得定义域为(0,)+∞，1(1)(2)()2(1)(1)x x a f x x a x x--'=-+-=因为2a <，所以12a<．①若02a，则0a ．当(0,1)x ∈时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．②若02a>，则02a <<．当(,1)2a x ∈时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；当(0,)2a x ∈和(1,)+∞，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增．综上，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 单调递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，()f x 单调递减区间为(,1)2a ，()f x 的单调递增区间为(0,)2a 和(1,)+∞．（2）令2()()1(1)(1)1g x f x a x a lnx x a =++=-+-+++，显然有()g x 的单调性与()f x 保持一致．由（1）可知：①当0a 时，()g x 在(0,1)单调递减，在(1，2]单调递增，此时222211()(1)10a g e e e =--+>，为使()g x 在(0，2]上有且只有一个零点，根据零点的存在性定理，则需满足g （1）0=或g （2）0<，解得：1a =-或22a ln <-，②当02a <<时，()f x 在(0,)2a 单调递增，在(,1)2a 单调递减，在(1，2]单调递增．因为g （1）10a =+>，所以当(,2]2a x ∈时，总有()0g x >，因为2212a a e a +-<<+，所以22222222()[(2)](22)0a a a a a a a a g e e e a alne a ++++----=-++++<，所以()g x 在(0,2a 上必有零点．因为()g x 在(0,2a 上单调递增，所以当02a <<，()g x 在(0，2]上有且只有一个零点．综上，当02a <<或1a =-或22a ln <-时，方程()10f x a ++=在((0，2]上有且只有一个实根．18．已知函数2()x f x e ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x 时，31()12f x x + ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20x g x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增，因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞；（2）当0x 时，31()12f x x + 恒成立，①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x ++- 恒成立，设32112()xx x e h x x ++-=，则33223311(2)(2)(2)()(2)22()x x x e x x x e x x x x h x x x -+---+-+--'==223311(2)(2)(2)(1)(2)(1)22x x x e x x x x x e x x x x -+-+-+----==，可设21()12x m x e x x =---，可得()1xm x e x '=--，设()1x k x e x =--，()1x k x e '=-，由0x >，可得()0k x '>恒成立，可得()k x 在(0,)+∞递增，()m x '在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m '>'=，即()0m x '>恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m >=，再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()max h x h =（2）274e -=，所以274e a - ，综上可得a 的取值范围是27[4e -，)+∞．19．已知函数2()x x f x e e ax -=+-，其中a R ∈．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()2cos f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，2()x x f x e e x -=+-，()2x x f x e e x -'=--，令()()g x f x ='，则()220x x g x e e -'=+-= ，当且仅当0x =时取等号，因此，()g x 是增函数，即()f x '是增函数．又因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<，所以()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(,0)-∞．（2）由（1）可知，22x x e e x -+- ，令()()2cos F x f x x =-，则()22sin x x F x e e ax x -'=--+，令()()h x F x ='，则()22cos x x h x e e a x -'=+-+，①当2a 时，2()22cos 2cos 2x x h x e e a x x x -'=+-++- ，令2()2cos ?2x x x φ=+，则()2?2sin x x x φ'=，令()()p x x φ='，则()2?2cos 0p x x '= ，因此()p x 是增函数，即()x φ'是增函数．又因为(0)0φ'=，所以当0x >时，()0x φ'>；当0x <时，()0x φ'<，则()x φ在(?,0)∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．于是，()(0)0x φφ= ，进而有()0h x ' ，()h x 是增函数，即()F x '是增函数，又因为(0)0F '=，所以当0x >时，()0F x '>；当0x <时，()0F x '<，则()F x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．于是，()(0)0F x F = ，符合题意；②当2a >时，()22cos 22x x x x h x e e a x e e a --'=+-++-+ ，因为当0(?1x ln a <<+时，220x x e e a -+-+<，所以()h x 即()F x '在(0，(1ln a -+上是减函数，则当0(?1x ln a <<+时，()(0)0F x F '<'=，进而()F x 在(0，(1ln a -+上是减函数，于是，当0(?1x ln a <<+时，()(0)0F x F <=，不合题意．综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]．20．已知函数2()(24)4f x ax a x lnx =-++，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）已知11()(31)2g x a x lnx =-++，若函数()y f x =与()y g x =图像有两个交点，求a 的取值范围．【解答】解：（1）定义域为：(0,)+∞，242(24)42(1)(2)()2(24)ax a x x ax f x ax a x x x-++--'=-++==，①若0a 时，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 递增；(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 递减，②若02a <<时，则21a>，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 递增；当2(1,)x a∈，()0f x '<，()f x 递减；当2(,)x a∈+∞，()0f x '>，()f x 递增．③若2a =时，则21a=，(0,)x ∈+∞时()0f x ' ，()f x 递增．④若2a >时，201a <<，当2(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 递增；当2(,1)x a∈，()0f x '<，()f x 递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增，综上所述：若0a 时，(0,1)为递增区间，(1,)+∞为递减区间，若02a <<时，(0,1)，2(,)a +∞为递增区间，2(1,a为递减区间，若2a =时，(0,)+∞为递增区间，无递减区间，若2a >时，2(0,)a ，(1,)+∞为递增区间，2(,1)a为递减区间．（2）由()()f x g x =得211(24)4(31)2ax a x lnx a x lnx -++=-++，即23(3)02ax a x lnx +--=，即23()32a x x x lnx +=+，所以2332x lnx a x x+=+，令2332()x lnx h x x x+=+，问题等价为直线y a =与函数()f x 的图像有两个交点2213()(1)2.()()x lnx x h x x x -++-'=+，令()1m x lnx x =+-，显然()m x 在(0,)+∞递增，m （1）0=，即(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，故()h x 极大3(1)2h ==，当1x >时，223332()0x lnx x h x x x x x+=>>++，当01x <<时，取1x e =，22131333122()01111()ln e e e h e e e e e⋅+-==<++，故符合题意的必要条件是：302a <<，又当302a <<，由51a >，而2253553593359222()5555510()(1ln a a a a h a a a a a a a a⋅+⋅+⋅=<=<<+++，这说明，在两个交点的横坐标位于区间1(,1)3和5(1,)a内，所以302a <<是充分的，故符合题意的必要条件是：3|02a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．21．已知函数2()()x x f x e e a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）222()()x x x x f x e e a a x e e a a x =--=--，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a ∴'=--=+-，①当0a =时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，②当0a >时，20x e a +>，令()0f x '=，解得x lna =，当x lna <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x lna >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，③当0a <时，0x e a ->，令()0f x '=，解得()2a x ln =-，当(2a x ln <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(2a x ln >-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(-∞，(2a ln -上单调递减，在(()2a ln -，)+∞上单调递增，（2）①当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，②当0a >时，由（1）可得2()()0min f x f lna a lna ==- ，0lna ∴ ，01a ∴< ，③当0a <时，由（1）可得：223()((()0242min a a a f x f ln a ln =-=-- ，3(24a ln ∴- ，3420e a ∴-< ，综上所述a 的取值范围为34[2e -，1]．22．已知常数0a >，函数2()(1)2x f x ln ax x =+-+．（Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）2()(1)2x f x ln ax x =+-+．22244(1)()1(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x --∴'=-=++++，2(1)(2)0ax x ++>，∴当10a - 时，即1a 时，()0f x ' 恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞单调递增，当01a <<时，由()0f x '=得x =，则函数()f x 在(0单调递减，在)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a 时，()0f x ' ，此时()f x 不存在极值点．因此要使()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则必有01a <<，又()f x的极值点值可能是1x =2x =且由()f x 的定义域可知1x a >-且2x ≠-，1a -且2-，解得12a ≠，则1x ，2x 分别为函数()f x 的极小值点和极大值点，2121212121212121212122244()()()[1](1)[1()]222()4x x x x x x f x f x ln ax ln ax ln a x x a x x x x x x x x ++∴+=+-++-=+++-+++++224(1)2(21)(21)22121a ln a ln a a a -=--=-+---．令21a x -=，由01a <<且12a ≠得，当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．令22()2g x lnx x=+-．()i 当10x -<<时，2()2()2g x ln x x =-+-，222222()0x g x x x x -∴'=-=<，故()g x 在(1,0)-上单调递减，()(1)40g x g <-=-<，∴当102a <<时，12()()0f x f x +<；()ii 当01x <<．2()22g x lnx x =+-，222222()0x g x x x x -'=-=<，故()g x 在(0,1)上单调递减，()g x g >（1）0=，∴当112a <<时，12()()0f x f x +>；综上所述，a 的取值范围是1(2，1)．。

一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设椭圆的左焦点为则故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2所以的最小值等于，的最小值为，故选D.【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，，则的最大值为（）A．B．2 C．D．4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.2.点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】设圆是圆关于直线对称的圆，可得,圆的方程为，可得当点位于线段上时，线段的长就是圆与圆上两个动点之间的距离最小值，此时的最小值为，,圆的半径为,圆的半径为，∴，因此的最小值为，所以A 选项是正确的.类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A.类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D 【解析】 圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D 项. 【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.【举一反三】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．类型四 利用基本不等式求范围【例4】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-． 由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+． 同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-， 由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴551344222A D AB CD x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ． 【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件． 【举一反三】【1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C 的渐近线方程为．点P 在双曲线C 的右支上，，分别为双曲线C 的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，双曲线C 的渐近线方程为，可得，且，解得，，设，可得，，当且仅当时取等号，可得．故选：B ．2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．【答案】8【解析】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到由抛物线的弦长公式得到代入两根之和得到，已知，故答案为：8.类型五构建目标函数，确定函数值范围或最值【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．【答案】【解析】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案为：【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【答案】【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，设，，即有，且，，，，由，可得，则，可得，即有，则，即有．故答案为：．类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．【答案】【解析】 根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点．设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为， 所以；即的取值范围是；故答案为：．【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有： （1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；【举一反三】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（ 可得∠B 1PA 等于向量2B A 与21F B 的夹角，∵A（a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0） ∴2B A =（a ，﹣b ），21F B =（﹣c ，﹣b ）， ∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A 与21F B 的夹角大于2π，由此可得2B A •21F B ＜0，即﹣ac+b 2＜0， 将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e ＜12-或e ＞12-，结合椭圆的离心率e∈（0，1）＜e ＜1，1）．故答案为（12-+，1）．三．强化训练 一、选择题1．【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设F'为双曲线的右焦点，连接AF'，BF'，,∴四边形AFBF'为矩形，且AB=2c，∴在中，，（1），（2）（1）（2）两式相加故选：B2．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】联立得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．x1+x2＝，x1x2＝．∵OP⊥OQ，∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，∴2×﹣+1＝0．化为a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，，化为5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：A．3．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出抛物线，如图所示.由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.4．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B项.5．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】化简得，所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，所以只需，解之可得.故选D6．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的中点为，连接、，则在中，，，∴.∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则,..设点的坐标为，则.故选：B8．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A．B．[,]C．D．）【答案】D【解析】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.二、填空题9．【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由抛物线焦半径公式得，，所以由，得，因此，，，所以的最大值为.所以填．10．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．【答案】8【解析】由题意可得，，，，，，为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．11．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．【答案】3【解析】解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．所以AF的斜率为，方程为，代入抛物线方程可得，所以可得，因为：，所以，设直线AB的方程为，代入到，可得，，由，可得，，，，，，，，解得故答案为：3，．13.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，线段2PF与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________【解析】 连接1,PF OQ ， 由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =， 圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-， 又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b a b c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-，化为23a b =，即23b a =，3c a ==，即有3c e a ==，则2225151932292a a ea ba a ++⎛⎫==+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a=时，即3a =时等号成立，所以223a e b +的最小值为3．14．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．【答案】 【解析】 由抛物线可知，其焦点坐标为，准线， 设点P 到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的则点P到y轴的距离为，且则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最小值为2.15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．【答案】32【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，，，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为17．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．【答案】4【解析】由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y1y2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，∵y1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.18．【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．【答案】或【解析】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或19．【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___. 【答案】6【解析】设直线l的方程为：y＝kx+1，A（），B（．联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，可得：＝4k，＝﹣4，|AB|＝＝k（）+4＝4k2+4．对x2＝4y两边求导可得：y′，可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣）切线PB的方程为：y﹣（x﹣），联立解得：x（）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．∴|PF|．∴|PF|，令t≥2．则|PF|t f（t），f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k时取等号．故答案为：6．20．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.【答案】【解析】圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，，则时,取得最大值.故答案为：．。

专题06 立体几何中动点及最值范围问题题型一、角度、长度最值范围问题（多选）1、设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D B λ=当APC ∠为钝角时，则实数可能的取值是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】AB【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC ⋅<，再解不等式即可得到答案．【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1D A =-，()10,1,1D C =-，()11,1,1D B =-，所以()11,,D P D B λλλλ==-． 又因为()()()11,,1,0,11,,1PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，()()()11,,0,1,1,1,1PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 因为APC ∠为钝角，所以0PA PC ⋅<，即()()()()()()()2111=1310λλλλλλλ--+--+---<，解得113λ<<．故选AB【名师点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题．2、如图，正方体1111ABCD A B C D -，点P 在1AB 上运动（不含端点），点E 是AC 上一点（不含端点），设EP 与平面1ACD 所成角为θ，则cosθ的最小值为（ ）A ．13B ．33C ．53D ．63答案： A 解析：由已知求出AC 的中点1E 与1B 的连线与平面1ACD 所成角的余弦值，在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=，结合选项即可得答案．详解：解：如图，由正方体的性质，可得1B D ⊥平面1AD C ，且1B 在平面1AD C 上的射影O 为△1AD C 的外心．设正方体的棱长为1，则△1AD C 的边长为2， 当1E 为AC 的中点时，11162326OE =-=， 1116122B E =+=，此时11616cos 362OE B ==． 在1AB 上（不含端点）任取一点P ，在平面1AB E 内过P 作11//PE B E ，则EP 与平面1ACD 所成角11OE B θ=∠，可得1cos 3θ=．结合选项可知，cos θ的最小值为13．故选：A ．3、三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．255【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【解析】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(,P λ0，1)，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，平面ABC 的一个法向量为(0,n =0，1)设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，21sin 15()24PN nPN nθλ⋅∴==⋅-+， ∴当12λ=时，25(sin )5max θ=，此时角θ最大．故选A ． 【名师点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．4、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C ．105D ．1116【答案】C【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与EF 的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则1(0,0,0),(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ，1(2,0,2)B C =--，设(),0,0F m ()02m ≤≤，(2,1,0)EF m =--，设异面直线1B C 与EF 的夹角为θ，则1212|||2(2)|cos ||||122(2)1211(2)EF B C m EF B C m m θ⋅-⨯-===⋅⋅-+⋅+-， 异面直线1B C 与EF 所成角最小时，则cos θ最大，即0m =时，210cos 51102141θ===⋅+．故选C ．【名师点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题．5、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的中点．若点P 为侧面正方形11ADD A 内（含边）动点，且存在,x y R ∈使1B P xBE yBF =+成立，则点P 的轨迹长度为A ．12B ．1C 5D ．2π 【答案】C【分析】根据向量共面判断出1//B P 平面BEF ，由面面平行得到P 点的轨迹，在直角三角形中求出边长即可．【解析】因为1B P xBE yBF =+成立，所以1B P BE BF 、、共面，即1//B P 平面BEF ， 如图，取11A D 中点Q ，连接1B Q 、1B A 、AQ ， 根据正方体的性质得，1//B Q BE ，1//B A FE ， 且111=B QB A B ，=FEBE E ，所以平面1//B AQ 平面BEF ，所以点P 在AQ 上运动，点P 的轨迹为线段AQ ，因为11A A =，112AQ =， 由勾股定理得151+=42QA =，故选C ．题型二、动点问题（多选）1、如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．//BC 平面11AD PC ．三棱锥1D CDP -的体积为定值 D ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π【答案】AC【解析】对于A 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得1111,A D AA A D AB ⊥⊥，又由1AA AB A =，所以11A D ⊥平面1A AP ，因为11A D ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确； 对于B 中，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BC A D ， 所以11,,,B C A D 四点共面，所以B 不正确； 对于C 中，因为1111122CDD S=⨯⨯=，点P 到平面1CDD 的距离为1BC =， 所以三棱锥1D CDP -的体积为定值，所以C 正确；对于D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得1(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)D A C ，设(1,,)(01,01)P a b a b <<<<， 则1(1,,1),(1,1,0)D P a b AC =-=-， 则11221cos ,01(1)2D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<⋅++-⋅，当1a =时，1,2D P AC π=；当0,1a b ==时，13,4D P AC π=， 所以直线1D P 与AC 所成的角的范围是(,)42ππ，所以D 不正确．故选AC【名师点睛】此类问题解答中熟记正方体的几何结构特征，熟练应用转化顶点，利用等体积法求解三棱锥的体积，以及合理利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成的角是解答的关键．（多选）2、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ︒∠=，11AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11A C 的延长线的交点．若点Q 在直线1B P 上，则下列结论错误的是（ ）．A ．当Q 为线段1B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD B ．当Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BDC ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A BD D ．不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直 【答案】ABC【分析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求得平面1A BD 的一个法向量(,,)n x y z =，假设DQ ⊥平面1A BD ，且11B Q B P λ=，得到11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，则(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，研究1112122124λλ---+===-是否有解即可． 【解析】以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，10,1,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2,0)P ，所以1(1,0,1)A B =，110,1,2A D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(1,2,0)B P =-，111,1,2DB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11012n A B x z n A D y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 取2z =-，则2x =，1y =，所以平面1A BD 的一个法向量为(2,1,2)n =-．假设DQ ⊥平面1A BD ，且11(1,2,0)(,2,0)BQ B P λλλλ==-=-， 则11DQ DB BQ =+=11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭． 因为DQ 也是平面1A BD 的法向量，所以(2,1,2)n =-与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭共线，所以1112122124λλ---+===-成立，但此方程关于λ无解． 因此不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直，故选ABC ．（多选）3、在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是 A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力. 题型三、确定点的位置1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为3的正方形，1CC BC ⊥，1BC =，2AB =．（1）证明：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上是否存在点M ，使得1CM BC ⊥，若存在，求1BMBA 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）14． 【解析】（1）在ABC 中，3AC =1BC =，2AB =，满足222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又1CC BC ⊥，1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，又1AC ⊂面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，又四边形11AAC C 是边长为3的正方形，所以11AC AC ⊥，又1BCAC C =，所以1AC ⊥面1A CB ，又1AC ⊂平面1ABC ，所以平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）在线段1A B 上存在点M ，使得1CM BC ⊥，且114BM BA =， 理由如下：由（1）得，以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()3,0,0A，()0,0,0C ，()0,1,0B ，13,0,3A ，(13C ，设(),,M x y z ，1BM BA λ=，所以(),1,3,3x y z λ-=-，解得3x λ=，1y λ=-，3z λ=，所以()3,13CM λλλ=-，(10,1,3C B =-，要使1CM BC ⊥，则需10CM BC ⋅=，即130λλ--=，解得14λ=，故114BM BA =．2、如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点． 【分析】（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置． 【解析】（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的等边三角形， 所以((2222222216BD CD BC +=+==，所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒．又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC ． 因为42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==，所以PAB △与PAC 都是直角三角形，故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥． 因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE 平面PAC ．（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,23,0A ，()2,0,0B -，()2,0,0C ，()0,0,2D ，设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =，则由()2,0,2BD =，()0,23,2AD =-，得1111030x z y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-，133y =，故131,,13n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =，则由(),0,2DT λ=-，(),23,0AT λ=-，得222220,230x z x y λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，233y =，故223,,13n λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 由122233133cos ,074433n n λλ-+⨯+==⨯+，得12103λ-+=，故32λ=． 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．3、如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（225（3）存在，13CM CA =或523CM CA =．【解析】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，所以13BC又所以22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥．又因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以直线1C B ⊥平面ABC ． （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()13,2A -，设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =，()13,2AB =--，13,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭因为100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以11111132013202x z x y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令13y =，则11x =，所以()1,3,1n =设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20332022z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，令3y =，则1x =，所以()1,3,0m =，2m =，5n =，4m n ⋅=，所以425cos ,525m n m n m n⋅===．设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,5m n α==． 所以设二面角11A EB A --的余弦值为255． （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，因为CM CA λ=，[]0,1λ∈，所以()()1,,1,0,2x y z λ-=-，所以()1,0,2M λλ-所以13,,222EM λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11A B E 的一个法向量为()1,3,0m =，所以22132112211132424λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即()()312350λλ--=，所以13λ=或523λ=，所以13CM CA =或523CM CA =．【名师点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解． 强化训练（多选）1、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误.【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=， 设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确. 故选BD .【点睛】本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.2、如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（ ）A ．45B ．2C ．2D ．3【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值．【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤， ()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3．故选D ．3、在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2QC QP =．则线段BQ 的长度的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，()1,0,3P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由2QC QP =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果．【解析】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，13AA =(0,2,0)C ，(1,3P ，(2,2,0)B ，因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，设(,,0)Q x y ， 因为2QC QP =，所以()2222(2)213+-=⋅-++x y x y ，整理得：22(2)(2)4-++=x y ，即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点， 又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离， 因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径．）故选C ． 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型．4、如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为8，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝2，在侧面BCC 1B 1内作边长为2的正方形EFGC 1，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且点P 到平面CDD 1C 1距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面BCC 1B 1运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，得出222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小，利用空间直角坐标系求2HP 的最小值．【解析】如图，建立空间直角坐标系，过点H 作1HM BB ⊥，垂足为M ，连接MP ，则HM PM ⊥，所以222HP HM MP =+，当MP 最小时，2HP 最小， 过P 作1PN CC ⊥，垂足为N ，设(,8,)P x z ，则(2,8,6),(8,8,6),(0,8,)F M N z ，且08,08x z ≤≤≤≤，因为PN PF =，所以22(2)(6)x z x -+-=，化简得244(6)x z -=-，所以222222(8)(6)(8)441260(6)2424MP x z x x x x x =-+-=-+-=-+=-+≥， 当6x =时，2MP 取得最小值24，此时222282488HP HM MP =+=+=， 所以2HP 的最小值为88，故选B ．5、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上（包括边界．．．．）移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为A ．55B ．25C ．2D ．3【答案】D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1B P 的长度的最大值．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则1D （0，0，2），E （1，2，0），1B （2，2，2），1B P ＝（a −2，b −2，−2），1D E ＝（1，2，−2）， 因为1B P ⊥1D E ，()1122240B P D E a b ∴⋅=-+-+=， 所以a ＋2b −2＝0，01b ≤≤，所以点P 的轨迹是一条线段，()()()()2222221224224548a b b B P b b b -+-+==+-+=-+， 由二次函数的性质可得当1b =时，2548b b -+可取到最大值9， 所以线段1B P 的长度的最大值为3．故选D ．6、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】连接111,,AB AD B D ，则点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点建立坐标系，利用向量方法可求出范围． 【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+ 221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．7、如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是A ．33 B ．23C 5D 6【答案】D【分析】连接BE ，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC 的一个法向量m ，平面VEF 的一个法向量n ，利用cos m n m nθ⋅=即可求解.【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====，由E 为线段AC 的中点，则2VE BV ==， 由222VE BE VB +=，所以VE EB ⊥，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：则()2,0C ，)2,0,0B，(2V ，设(),2,0F x x -，(0,2,2VC =-，(2,0,2VB =-，(2EV =，(,2,2VF x x =，设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111220220z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =，则11y =，11z =，所以()1,1,1m =. 设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =，则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即(222220220z x x x y z ⎧=⎪⋅+-⋅+=⎪⎩，解得20z =，令21y =，则221x x =-， 所以21,1,0n x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则22cos 22232m n x m n x xθ⋅==-+，将分子、分母同除以1x，可得=令()2266632f x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭，当2x =时，()min 3f x =，则cos θ3=. 故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.8、已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为 A ．[]0,4 B ．[]0,2C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →最大，最大值为；当P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选B .【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.7、在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=【答案】C【分析】设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设正四面体D ABC -的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【解析】如下图所示，设正四面体D ABC -的底面中心为点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OB 、OD 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系， 设正四面体D ABC -的棱长为2，则31,0A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、23B ⎫⎪⎪⎝⎭、3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、26D ⎛ ⎝⎭、31,03E ⎫-⎪⎪⎝⎭，设,03F λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，其中11λ-≤≤， 对于A 选项，若存在某个位置使得DE BF ⊥，31,333DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0BF λ=-，1103DE BF λ∴⋅=--=，解得3λ=-，不合乎题意，A 选项错误；对于B 选项，若存在某个位置使得4FDB π∠=，,33DF λ⎛=-- ⎝⎭，23DB ⎛=⎝⎭，cos ,DF DB DF DB DF DBλ⋅<>====⋅B选项错误；对于C 选项，设平面DAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，1,DA ⎛=-- ⎝⎭，DC ⎛=-⎝⎭，由1111113033303m DA x y z m DC x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取11z =-，得()22,0,1m =-，设平面DEF 的一个法向量为()222,,n x y z =，31,3DE ⎛=- ⎝⎭，,DF λ⎛=- ⎝⎭， 由22222231033333n DE x y z n DF x y z λ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取y =，则()221n λ=+-，若存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC ，则2190m n λ⋅=+=，解得[]31,17λ=-∈-，合乎题意，C 选项正确；对于D 选项，设平面DBF 的一个法向量为()333,,u x y z =，2326,0,33DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，326,,33DF λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由333332326033326033u DB x z u DF x y z λ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，令z λ=，则()2,6,u λλ=，若存在某个位置，使得6πα=，即()()22612131sin cos ,6227272363u DE u DE u DEλλπλλ++⋅==<>===⋅⨯++⨯，整理得254120λλ-+=，162400∆=-<，该方程无解，D 选项错误. 故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.10、如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E 是棱BC 上的动点，F 是棱11B C 上靠近1C 点的三分点，M 是棱1CC 上的动点，则二面角A FM E --的正切值不可能．．．是A ．3155B ．2155C ．6D ．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角A FM E --的余弦值，进而求得二面角A FM E --的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O ，连接OA ，根据等边三角形的性质可知OA BC ⊥，根据直三棱柱的性质，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则()()0,33,0,1,0,2A F ，设()()3,0,02M t t ≤≤. 则()()1,33,2,2,0,2AF FM t =-=-. 设平面AMF 的一个法向量为(),,m x y z =，则()3320220m AF x z m FM x t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，得633363,1,66t m t t ⎛= --⎝⎭. 平面FME 的一个法向量是()0,1,0n =，所以222cos ,28120252633363166m n m n m nt t t t t ⋅===⋅-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以2sin ,1cos ,m n m n =-222710821628120252t t t t -+=-+所以二面角A FM E--的正切值为()sin ,27 cos,m nf tm n===因为02t≤≤，所以111466t-≤≤--，216125405-=-⨯结合二次函数的性质可知当1165t=--时，()f t5=；当1166t=--时，()f t=，所以()f t∈⎣，所以二面角A FM E--.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.11、直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且∠ABC ＝120°，点E在边BC上，且满足BE＝3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为_____；当MC与平面ABCD所成角最大时，异面直线MC1与AC所成角的余弦值为_____．【答案】，17【分析】由题意可知M的轨迹为过E且与直线1BD垂直的平面与直四棱柱的截面的边界，根据直棱柱的结构特征和底面棱形的性质，由线面垂直的定义可得截面与下底面的截线是与AC平行的，进而确定截面与与AB的交点F，建立空间直角坐标系，利用坐标方法求得截面与1BB的交点G，进而得到所求面积，根据线面角的定义可得M与G重合时MC与平面ABCD所成角最大，利用空间向量可求异面直线所成角的余弦值.【解析】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()1,33,0E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,33,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹． 由题意得22213FG BF BG =+=33836344EF AC ==⨯= 动点M 的轨迹围成的图形的面积为()()22163213331532⨯-=显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M ，()10,43,6C ，所以()14,43,2MC =-． 因为AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以1251cos ,17MC n =即异面直线1MC 与AC 251． 【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间动点的轨迹，涉及线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，线面角，利用空间直角坐标系和空间向量确定点的位置和求异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．属中档题，难度较大.12、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-，所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以222cos QP QB y QP QBx y zα⋅==⋅++，又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，222sin QP CP z QPx y zβ⋅==++，所以22222cos x y x y zβ+=++，所以cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 13、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=， 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．14、如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED⎧⊥⎨⊥⎩，即302(1)0s t k t x k ⎧-++=⎪⎨+-=⎪⎩，令3k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE 的一个法向量(1,33,23)m x x =+-， 底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大．故选D ．【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题．15、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈，()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2222AP λλ=-+，设1A P 与BD 所成角为θ，则()22221211cos 2121DB APDB AP λλθλλλλ⋅--===-+⋅-+221313442121324λλλ=-=--+⎛⎫-+⎪⎝⎭12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ．16、如图，矩形ABCD 中，222AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．1024- B ．66C ．514-D ．55【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-， 记直线1A C与平面ABCD 所成角为θ，则211|sin 1cos sin 4cos 64cos 6||CA nCA n αθαα⋅-===++⋅，设3153535102cos ,,sin 222416444t t t αθ-⎡⎤⎛⎫=+∈=-+≤-=⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 所以直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为1024-，故选A ． （多选）17、在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点,E F 分别为线段11B D 、1BC 上的动点，则下列结论正确结论的是（ ）A ．1DB ⊥面1ACD B ．面11//AC B 面1ACDC ．点F 到面1ACD 的距离为定值33D ．直线AE 与面11BB D D 所成角的正弦值为定值13【答案】ABC【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用共线向量可表示出动点,E F 的坐标，利用空间向量判断线面垂直、面面平行、求解点到面的距离和直线与平面所成角的方法依次验证各个选项即可得到结果．【解析】以A 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：由题意知：()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，设(),,1E x y ，111B E B D λ→→=，即()()1,,0,,0x y λλ-=-，()1,,1E λλ∴-， 设()1,,F y z ''，1BF BC μ→→=，即()()0,,0,,y z μμ''=，()1,,F μμ∴． 对于A ，()11,1,1DB →=-，()1,1,0AC →=，()10,1,1AD →=，11100DB AC DB AD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，1DB AC ∴⊥，11DB AD ⊥， 又1,AC AD ⊂平面1ACD ，1AC AD A =，1DB ∴⊥平面1ACD ，A 正确；对于B ，1DB ⊥平面1ACD ，()11,1,1DB →∴=-为平面1ACD 的一个法向量，()111,1,0A C →=，()11,0,1A B →=-，111110DB A C DB A B ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，111DB AC ∴⊥，11DB A B ⊥， 又111,A C A B ⊂平面11A C B ，1111AC A B A =，1DB ∴⊥平面11A C B ，∴平面11//AC B平面1ACD ，B 正确；对于C ，()1,,AF μμ→=，∴点F 到面1ACD 的距离111333AF DB d DB →→→⋅===，为定值，C 正确；对于D ，几何体为正方体，AC ∴⊥平面11BB D D ，()1,1,0AC →∴=是平面11BB D D 的一个法向量，又()1,,1AE λλ→=-，设直线AE 与平面11BB D D 所成角为θ，则21sin 2222AC AEAC AEθλλ→→→→⋅==⋅-+⋅，不是定值，D 错误．故选ABC ．（多选）18、如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD【分析】根据三棱锥体积公式求得116P AA D V -=，知A 错误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到1CP x B C →→=-，11AP BC →→⋅=，AP →垂直于平面11AC D 的法向量n →，由此可确定,,B C D 的正误．【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确； 对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． （多选）19、如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）。

第5讲 立体几何中的范围与最值问题一、单选题1．（2021·浙江衢州市·高二期末）如图，在三棱锥D ABC -中，,1,1AD BC BC AD ⊥==．且2AB BD AC CD +=+=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．14B C ．6D 【答案】B 【分析】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，B 与C 都是在以A 、D 为焦点的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值，根据AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，又BC 是定值,只需EF 最大即可. 【详解】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，如图，因为,AD BC ⊥,BE BC 再平面BEC 内相交，所以AD ⊥平面BEC ， 因为CE ⊂平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 因为2AB BD AC CD +=+=，所以B 与C 都是在以A 、D 为焦点的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB ＋BD = AC +CD =2，显然ABD ACD ≅，所以BE =CE . 取BC 中点F ，,,BC E AD E F F ⊥∴⊥要求四面体ABCD 的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大， 因为BC 是定值,所以只需EF 最大即可，当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大， 因为AB ＋BD = AC +CD =2，1AB ∴=，EB EF ∴====所以几何体的体积为111132⨯⨯⨯=故选：B 【点睛】方法点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.2．（2021·山东高三专题练习）如图所示，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，PA AB ⊥，4PA AB ==，且E 为PB 的中点，AF PC ⊥于F ，当AC 变化时，则三棱锥P AEF -体积的最大值是（ ）A ．3B C ．3D ．3【答案】C 【分析】由题意知P AEF E PAF V V --=且216||||316||E PAF AC BC V AC -⋅=⋅+，令||AC a =，结合换元法、二次函数最值求P AEF -体积的最大值即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，4PA AB ==知：222||||||16AC BC AB +==，而1||||2||2PACSAC PA AC =⋅⋅=， 而P AEF E PAF V V --=且1||32E PAFPAFBC V S -=⋅⋅，又222||||||PAFPACPA SS PA AC =⋅+∵E 为PB 的中点，知：21||16||||32316||E PAF PAFBC AC BC V S AC -⋅=⋅⋅=⋅+∴设||AC a =，则||BC =216316E PAFV a-=⋅+令21616m a =+≥，有161633E PAF V -==令11(0,]16x m =∈，163E PAF V -=2()512481f x x x =-+-的性质知：364x =时有最大值为18，∴E PAF V -最大值为1633=， 故选：C 【点睛】本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定义域的等价变化.3．（2021·合肥市第六中学高二期末（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1； ③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16； ④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式，计算可得所求最大值，可判断①；由四边形EGFH 为菱形，计算面积，分析GH 的最小值，可判断②；由棱锥的等体积法，计算可判断③；由等体积法和函数的性质可判断④. 【详解】对于①，四边形EGFH 为平行四边形，又直角梯形CBGF 和直角梯形ABGE 全等，得EG FG =，所以四边形EGFH 为菱形，且GH EF ⊥，平面EGFH 在底面上的射影为四边形ABCD ，设平面EGFH 与平面ABCD 所成角为θ，则1cos 12ABCD EGFH S S GH GH θ===，GH ≤≤cos 1θ≤≤，可得所成角的最大值不为45°，故①错误；对于②GH ≤EGFH 的面积的最小值为112=，故②正确；对于③，四棱锥1C EGFH -的体积为1111112223226C EGF E GFC V V V --===⨯⨯⨯=，故③正确；对于④，设BG x =，[]0,1x ∈，()111111132B EFG E B FG V V x --==⨯⨯⨯-⨯(01x ≤≤)，设1B 到平面EGFH 的距离为d，可得11132B EFGV d -=⨯所以d ===(其中1t x =-)，当0x =即1t =时，d④正确. 故选：D. 【点睛】一般关于体积计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高求解；关于空间几何体中一些边长或者距离的最值计算一般转化为函数问题，可以通过二次函数、反比例函数的性质求解最值，或者有时可以利用基本不等式，较难的问题则需要通过导数判断单调性从而求出最值.4．（2021·安徽黄山市·高二期末（理））长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该正方体侧面11CC D D内（含边界）的动点，且满足tan tan PAD PBC ∠+∠=则四棱锥P ABCD -体积的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B．233⎤⎥⎣⎦C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D．433⎤⎥⎣⎦【答案】B 【分析】首先根据tan tan PAD PBC ∠+∠=2PD PC CD +=>=，所以P 的轨迹是以,C D 为焦点2a =的椭圆，再根据椭圆的几何性质可得到四棱锥P ABCD -的高的最值，即可得到体积的范围.【详解】 如图所示：在RT PAD 中，tan PDPAD PD AD ∠==， 在RT PBC 中，tan PCPBC PC BC∠==，因为tan tan PAD PBC ∠+∠=所以PD PC +=因为2PD PC CD +=>=所以点P 的轨迹是以,C D 为焦点 2a =的椭圆. 如下图所示：a =1c =，1b ==.椭圆的标准方程为：2212x y +=.1(0,1)P联立22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：y =所以2(1,2P -，3(1,2P . 当点P 运动到1P 位置时，此时四棱锥P ABCD -的高最长， 所以max 1112()21333P ABCD ABCD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯=. 当点P 运动到2P 或3P 位置时，此时四棱锥P ABCD -的高最短，所以min 211()23323P ABCD ABCD V S P D -=⨯⨯=⨯⨯=.综上所述：233P ABCD V -≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查计算四棱锥的体积，同时考查了椭圆的几何性质，将立体思想转化为椭圆思想是解题的关键，属于难题.5．（2021·江西南昌市·南昌十中高二期末（文））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是线段AB 、1BD 上的动点，若//EF 平面11ADD A ，则三棱锥1A EFB -的最大体积为（ ）AB ．112C ．124D ．18【答案】C 【分析】在平面1BDD 内过F 作FG DB ⊥于G ，证明EG ⊥平面1AEB ，得F 到平面1AEB 的距离等于G 到平面1AEB 的距离，设()01BE x x =<<，则F 到平面1AEB 的距离等于G 到平面1AEB 的距离为x ，利用等体积法写出三棱锥1A EFB -的体积，再由二次函数求最值. 【详解】 如图，由1DD ⊥底面ABCD ，可得平面1BDD ⊥底面ABCD ， 在平面1BDD 内过F 作FG DB ⊥于G ， 则FG ⊥底面ABCD ，可得1//FG DD ，//FG ∴平面11ADD A ，又//EF 平面11ADD A ，且1FG DD F ⋂=，∴平面//EFG 平面11ADD A ，可得//EG AD ，则EG ⊥平面1AEB ， 又11////FG DD AA ，且FG ⊄平面1AEB ， 可得//FG 平面1AEB ，则F 到平面1AEB 的距离等于G 到平面1AEB 的距离，设()01BE x x =<<，则F 到平面1AEB 的距离等于G 到平面1AEB 的距离为x ，则()()11111122AEB Sx x =-⨯=-， ()()1121111326A EFB F AEB V V x x x x --∴==⋅-⋅=-+，当()10,12x =∈时，()1124A EFB V -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行，线面垂直，三棱锥体积最大值的求法，考查了转化与化归的思想方法，利用二次函数求最值，属于难题.6．（2021·浙江高三月考）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（ ）A B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】设A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，则最小值为直线EB '与AC 之间的距离，利用等积法可求此最小距离. 【详解】解：A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '，记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M T NT M N d ''+=+≥≥， 由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离， 因为111111333D ACE ACEV S '-=⨯⨯==⨯⨯=，而213D ACE E ACD V V d ''--==⨯=，故d =， 故选：B.【点睛】方法点睛：空间中动线段的距离和的最值问题，可以类比平面中的距离和的最值处理利用对称性来处理于转化，另外异面直线间的公垂线段的长度可利用点到平面的距离来处理.7．（2021·浙江丽水市·高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A ．6B ．122C ．2D ．2【答案】A 【分析】连接1BC ,得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.【详解】图1连接1BC ,则11BC B C E =，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,BC C D C D BC ⊥==1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系， 如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ， 1BD的方程为1x =，①'EE k ∴==∴直线'EE的方程为22y x =+，② 由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线'EE 与1BD的交点1,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴对称点2'3E ⎛ ⎝⎭， 'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.8．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是（ ）．A ．72B ．C D【答案】C 【分析】作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为P 到直线11A D 的距离，从而可得PM PQ =，即点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】如图所示，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，则PQ ⊥面11ADD A 过点Q 作11QR A D ⊥，则11A D ⊥面PQR 所以PR 即为P 到直线11A D 的距离因为22216PR PQ RQ -==，2216PR PM -= 所以PM PQ =所以点P 的轨迹是以AD 为准线，点M 为焦点的抛物线如图建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程是(220y x y =≤≤点7,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,设2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以PB ==所以当25y =，PB故选：C 【点睛】本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题.9．（2021·四川资阳市·高二期末（文））如图，棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体表面BCC 1B 1上的一个动点，E ，F 分别为BD 1的三等分点，则||||PE PF +的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1+ D【答案】D 【分析】过F 作F 关于平面11BCC B 的对称点'F ，连接'EF 交平面11BCC B 于点0P ，证明此时的0P 使得||||PE PF +最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，||||PE PF +的最小值为'EF . 【详解】过F 作F 关于平面11BCC B 的对称点'F ，连接'EF 交平面11BCC B 于点0P .可以证明此时的0P 使得||||PE PF +最小：任取1P (不含0P )，此时1111''PE PF PE PF EF +=+>. 在点D 处建立如图所示空间直角坐标系，则()()10,0,3,3,3,0D B ，因为E ，F 分别为BD 1的三等分点，所以()()1,1,2,2,2,1E F , 又点F 距平面11BCC B 的距离为1，所以()'2,4,1F ,||||PE PF +的最小值为2'1EF ==故选：D10．（2021·全国高三专题练习（理））已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC ，分别交于三点,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）A ．B ．3C ．D ．4【答案】C 【分析】设N 在B 处，AM h =，CQ m =，分别表示出,,MQ BQ MB ，由勾股定理可构造方程，根据方程有解可得0∆≥，求得2h 的范围，进而得到MB 所处的范围. 【详解】如图，不妨设N 在B 处，AM h =，CQ m =则224MB h =+，224BQ m =+，()224MQ h m =-+由222MB BQ MQ =+得：220m hm -+=，则280h ∆=-≥，即28h ≥∴该直角三角形斜边MB =≥=故选：C 【点睛】本题考查立体几何中最值问题的求解，关键是能够通过特殊位置构造出关于变量的方程，通过方程有解确定所求变量所处的范围；考查了由特殊到一般的基本思想，对于学生的推理能力有一定要求，属于较难题. 11．（2021·台州市书生中学高二开学考试）等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（ ）A ．四面体E BCD -的体积有最大值和最小值；B ．存在某个位置，使得AE BD ⊥；C ．设二面角D ABE --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；D ．AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 【答案】C 【分析】通过旋转判定E 的位置可知A 的正误，通过证明E ﹣ABD 为正三棱锥可知B 的正误，根据,12DAE ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，可知C 的正误，利用1P BCPB d -<结合椭圆定义可知D 的正误【详解】对A ，当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的右上方时，E 到平面BCD 的距离最大， 当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的左下方时，E 到平面BCD 的距离最小， ∴四面体E ﹣BCD 的体积有最大值和最小值，故A 正确；对B ，连接DE ，若存在某个位置，使得AE ⊥BD ，又AE ⊥BE ，则AE ⊥平面BDE ，可得AE ⊥DE ，进一步可得AE ＝DE ，此时E ﹣ABD 为正三棱锥，故B 正确； 对C ，取AB 中点O ，连接DO ，EO ，则∠DOE 为二面角D ﹣AB ﹣E 的平面角为θ，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），,12DAE ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，所以θ≥∠DAE 不成立．C 不正确；对于D,AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，P 到BC 的距离为：P BC d -，因为1P BCPB d -<，所以点P 的轨迹为椭圆．D 正确． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于旋转过程能借用图形形象直观，同时掌握椭圆的定义，可以更快的解决问题. 12．（2021·浙江高一期末）三棱锥P ﹣ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1，设M 是底面△ABC 内一点，定义f （M ）＝（m ，n ，p ），其中m ，n ，p 分别是三棱锥M ﹣PAB ，三棱锥M ﹣PBC ，三棱锥M ﹣PCA 的体积.若f （M ）＝（12，x ，y ），且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．13﹣C ．9﹣D ．2【答案】A 【分析】由题意可得12P ABC V x y -=++三棱锥，即()21x y +=.利用基本不等式求1a x y +的最小值，建立关于a 的不等式，即可解得. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.由题意可得1113211322P ABC V x y -=⨯⨯⨯⨯==++三棱锥， ()1,212x y x y ∴+=∴+=. 所以()1122222a a y ax x y a x y x y x y⎛⎫+=+⨯+=+++ ⎪⎝⎭2222a a ≥++=++当且仅当22y ax x y=，即=y 时，等号成立.由228a ++≥恒成立，解得1a ≥， ∴正实数a 的最小值为1. 故选：A . 【点睛】本题考查棱锥的体积和基本不等式，属于中档题.二、多选题13．（2021·山东高三专题练习）已知边长为2的等边ABC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=（()0,1λ∈），将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--等于60°时，2A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】CD 【分析】假设结论成立，推出矛盾结论判断A ，B ，利用勾股定理计算||A B '判断C ，求出()f λ解析式，利用导数求出最大值判断D ． 【详解】解：对于A ，连接AA '，A B '，A C '，显然平面A BE '⋂平面ACDAA '='， 若A E '上存在点F 使得//BF ACD '，则//BF AA '，显然BF 与AA '为相交直线，矛盾，故A 错误； 对于B ，设BC 中点M ，DE 中点O ，由等边三角形性质可知DE AO ⊥，DE AO ⊥'， 若平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在底面BCDE 上的射影为M ，于是AOOM '>， 12λ∴>，与1(0,)2λ∈矛盾，故B 错误；对于C ，若12λ=，二面角A DE B '--等于60︒，则12OA OM AM '===，设A '在底面BCDE 上的射影为N ，则3sin 604A N OA '='︒=，cos60ON OA ='︒=，MN ∴=BN =，||AB ∴'=，故C 正确；对于D ，AO AD DEAM AC BCλ===，2DE λ∴=，OA OA '==， )21122122BCDE S λλ∴=⨯⨯=-梯形，显然在翻折过程中，当平面A DE '⊥平面BCDE 时，四棱锥的体积最大，故231())3f λλλλ=-=-，2()13f λλ'=-，令()0f λ'=可得λ=0λ<<时，()0f λ'>1λ<<时，()0f λ'<，∴当3λ=时，()f λ取得最大值f ，故D 正确．故选：CD ．【点睛】本题考查了线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．14．（2021·江苏南通市·高三期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A ．三棱锥1P A BD -的体积为定值13B ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A BCD -C ．直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为⎣⎦D ．当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球的体积为2【答案】BCD 【分析】由11P A BD A PBD V V --=，可判定A 不正确；根据正方体的结构，得出截面为正11B D C ∆，可判定B 正确；由正方体的结构特征和性质，以及线面角的定义与求法，可判定C 正确；设1B D 的中点为O ，得到11OA OB OD OB === 得出三棱锥1P A BD -的外接球的的半径，结合体积公式，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由1111113226P A BD A PBD V V --==⨯⨯=，所以A 不正确； 对于B 中，过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体截得的多边形平面11B D C ，此时三角形11B D C 的等边三角形，其面积为242⨯=，所以B 正确；对于C 中，由正方体的结构特征和性质，可得点P 到平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，1max 1PA =（P 为端点时），mi 1nPA =，设直线1PA 与平面1A BD 所成角为θ，则sin 33θ∈⎣⎦，所以C 正确； 对于D 中，当点P 与1B 重合时，此时三棱锥为11B A BD -，设1B D 的中点为O ，因为11190B BD B A D ∠=∠=︒，可得11OA OB OD OB ===所以三棱锥1P A BD -的外接球的球心为1B D 的中点，其半径为2，所以三棱锥1P A BD -的外接球的体积为343π⨯=，所以D 正确. 故选BCD. 【点睛】1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；15．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 的最小值为5B ．DPC ．1AP PC +D ．1AP PC +【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可. 【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知11A B A D BD ==，所以1A B 边上的高为h =连接111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知1112,10AA AC AAC ''==∠=-，所以5AC '==. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．16．（2021·山东济南市·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||AE =AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 1D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为15【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证.选项A ：由||AE ==1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆的一部分；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:||AE ===1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，应为圆的一部分；故A 错误；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误； 对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||1EF =；故C 正确；对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：2||||cos sin |cos ,|||||n AE n AEn AE πθα⎛⎫++ ⎪====⨯当且仅当4πθ=时，sin α15=， 故D正确 故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．17．（2021·全国高三其他模拟）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 分别是棱AB ，11A B 的中点，点P 在四边形ABCD 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 是线段BC 的中点，则平面1AB P ⊥平面DEFB ．若P 在线段AC 上，则1D P 与11A C 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若1//PD 平面11ACE ，则点PD ．若//PF 平面11B CD ，则线段PF 【答案】AC 【分析】证明AP ⊥平面DEF ，得面面垂直，判断A ；由1D AC 为正三角形，得1D P 与11A C 所成角的取值范围，判断B ；分别取AD ，DC 的中点M ，N ，证明平面1//D MN 平面11AC E ，判断C ；取1BB 的中点R ，BC 的中点G ，DC 的中点N ，连接FN ，平面//FNGR 平面1B CD （先证明四点,,,F N G R 共面），确定FG 是最小值，然后计算FG 后，判断D ． 【详解】 对于A ，如下图，P ，E 分别是线段BC ，AB 的中点，故ABP DAE △△≌，则PAB ADE ∠=∠，2PAB DEA ADE DEA π∠+∠=∠+∠=，所以AP DE ⊥，易知EF ⊥平面ABCD ，所以EF AP ⊥， 所以AP ⊥平面DEF ，从而平面1AB P ⊥平面DEF ， 故A 正确.对于B ，正方体1111 ABCD A B C D -中，11//AC AC ， 所以1D P 与11A C 所成的角为1D P 与AC 所成的角， 连接1D A ，1D C ， 则1D AC 为正三角形，所以1D P 与11A C 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故B 错误.对于C ，如下图，设平面11AC E 与直线BC 交于点G ， 连接1C G ，EG ，则G 为BC 的中点， 分别取AD ，DC 的中点M ，N ， 连接1D M ，MN ，1D N ，易知11//D M C G ， 所以1//D M 平面11AC E .同理可得1//D N 平面11AC E ，所以平面1//D MN 平面11AC E ， 由此结合1//PD 平面11AC E ，可得直线1PD ⊂平面1D MN ，所以点P 的轨迹是线段MN ，易得MN =故C 正确. 对于D ，如下图，取1BB 的中点R ，BC 的中点G ，DC 的中点N ，连接FN ， 因为1//FB NC ，1FB NC =， 所以四边形1FB CN 为平行四边形， 所以1//FN B C ，所以//FN 平面11B CD ， 连接BD ，NG ，则//NG BD ，又1//BD B D ， 所以11//NG B D ，所以//NG 平面11B CD ， 连接FR ，GR ，易知1//GR B C ，又1//B C FN ， 所以//RG FN ，故F ，N ，G ，R 四点共面， 所以平面//FNGR 平面1B CD .因为//PF 平面11B CD ，所以PF ⊂平面FNGR ， 所以点P 的轨迹为线段NG .由2AB =知，FN =NG =，连接FB ，FG ，在Rt FBG △中， 222216FG FB BG =+=+=，所以FG =所以222FN NG FG =+，得FGN ∠为直角，故线段FP ， 故D 错误. 故选：AC ． 【点睛】关键点点睛：本题考查面面垂直，面面平行的证明，考查异面直线所成的角，考查立体几何中点的轨迹．解题关键是动点轨迹的确定，题中是通过平行平面得出动点轨迹．解题技巧是利用中点的特征得出构造图形，证明结论．三、双空题18．（2021·全国高三其他模拟）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，13AA =，点M ，N 分别在棱AB 和1BB 上，且1D M MN ⊥，则线段BN 的长度的最大值为___________，此时，三棱锥1M ACD -的体积为___________.【答案】343 【分析】设BN t =()03t ≤≤，BM x =()03x ≤≤，则3AM x =-，13NB t =-，根据22211D M MN D N +=列方程可得2133324t x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当32x =时，t 取得最大值34，根据1M ACD V -=1D ACM V -以及棱锥的体积公式可得结果. 【详解】设BN t =()03t ≤≤，BM x =()03x ≤≤，则3AM x =-，13NB t =-，在正方体中，因为13AA =，所以111AD B D ==，所以(()22213D M x =+-，(()22213D N t =+-，222MN x t =+，因为1D M MN ⊥，所以22211D M MN D N +=，即()()2222183183x x t t +-++=+-，化简得233t x x -=-23924x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以2133324t x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当32x =时，t 取得最大值34，所以线段BN 的长度的最大值为34， 此时1M ACD V -=1D ACM V -=11323332⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：34；3 【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.19．（2021·江苏常州市·高三期末）矩形ABCD 中，1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的体积为__________；设二面角D AC B --的平面角为θ，当θ在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，BD 的范围为__________.【答案】43π； ⎣⎦.【分析】根据题意，由矩形ABCD 可求出112OA OB OC OD AC =====，从而确定点O 是四面体D ABC -外接球的球心，得出外接球的半径1r =，由球的体积公式343V r π=即可求出该四面体外接球的体积；利用几何法作BE AC ⊥、DF AC ⊥且EG AC ⊥，确定二面角D AC B --的平面角为BEG ∠，则BEG θ∠=，根据空间向量的线性运算和向量的数量积公式，得出BD BE EF FD →→→→=++=，结合,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求出BD 的范围. 【详解】解：已知矩形ABCD 中，1AB BC ==，在矩形ABCD 中，连接AC 和BD 交于点O ，2AC BD ∴====，112OA OB OC OD AC ∴=====， 可知点O 是四面体D ABC -外接球的球心，则外接球的半径1r =， 所以该四面体外接球的体积34433V r ππ==； 在四面体D ABC -中，作BE AC ⊥交AC 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ， 再作EG AC ⊥交CD 于点G ，则//EG DF ，所以二面角D AC B --的平面角为BEG ∠，则BEG θ∠=，在矩形ABCD 中，可知1AB BC ==，1OC OB ==，所以BOC 是等边三角形，3cos302BE DF BC ∴==⋅=2sin301EF AC CE AC BC =-=-⋅=，由四面体D ABC -可知，BE EF ⊥，DFEF ，则0BE EF →→⋅=，0DF EF →→⋅=，而BD BE EF FD →→→→=++======即BD =所以当θ在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，10cos 2θ≤≤BD ≤≤即BD 的范围为⎣⎦.故答案为：43π；,22⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查四面体外接球的体积和空间二面角的求法，利用空间向量的线性运算求出BD BE EF FD →→→→=++是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力.20．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是正方形1111D C B A 和正方形11ADD A 的中心，P 为线段EF 上的点（P 异于E ，F ），则EF 和BC 所成的角的大小是_______，三棱锥1P AB C -的体积为_________.【答案】2π16【分析】将异面直线平移到同一个平面内即可求出EF 和BC 所成的角，利用线面平行得到三棱锥1P AB C -的高，再利用椎体的体积公式即可求得. 【详解】解：如图所示：连接11D B ，1AB ，又E ，F 分别为11D B ，1AD 的中点，1//EF AB ∴，又11//BC B C ，11AB C ∴∠就是EF 和BC 所成的角，又11B C ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ， 111B C AB ∴⊥，即 112AB C π∠=，EF ∴和BC 所成的角的大小是2π； 如图：连接1B C ，AC ，1//EF AB ，EF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，//EF ∴平面1AB C ，P ∴到平面1AB C 的距离就等于E 到平面1AB C 的距离，又正方体的棱长为1，E 到平面1AB C 的距离为113BD =，， 1ACB 为等边三角形，11sin 23ACB Sπ==1113236P AB C V -∴=⨯⨯=.故答案为：2π；16. 【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．21．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知正四面体A BCD -的棱长为3，平面BCD 内一动点P 满足AP =则||BP 的最小值是___________；直线AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）本题可求出点P 的轨迹，根据轨迹为圆确定||BP 的最小值（2）建立空间直角坐标系，表示出向量,AP BC ，求出夹角的余弦值，根据余弦值的范围求出AP 与直线BC 所成角的范围. 【详解】设A 在面BCD 的内的投影为E ，故E 为三角形BCD 的中心，故2332BE =⨯⨯=AE ==AP =PE ==P 的轨迹为平面BCD 内以E 为半径的圆.BE =,,B P E三点共线时，且P 在BE 之间时，||BP .以E 为圆心，BE 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系(A ，)B，3,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,02D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭设),0Pθθ，[)0,2θπ∈故(2,AP θθ=3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设直线AP 与直线BC 所成角为α，3111cos sin ,2322AP BC BC APθθπαθ-+⎛⎫⎡⎤===-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⋅⎦11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了立体几何中的两条直线所成角的问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解.四、填空题22．（2020·浙江高二期末）在矩形ABCD 中，=1AD ，点E 为线段CD 中点，如图3所示，将AED ∆沿着AE 翻折至AED ∆'（点D 不在平面ABCD 内），记线段CD '中点为F，若三棱锥F AED -'体积的最大值为15，则线段AB 长度的最大值为___.【答案】4 【分析】取AB 得中点G,连接CG,易得CG AE ∥,CG AED '面,得点C 到平面AED '的距离即为直线CG 到平面AED '的距离,可求出直线CG 到面AED '的最大值, ,设AB x =,可得F 点到平面AED '的距离为d =,代入三棱锥体积的计算公式可得答案.【详解】解:由题意得:设F 点到平面AED '的距离为d,由线段CD '中点为F ,可得点C 到平面AED '的距离为2d,如图取AB 得中点G,连接CG,易得CG AE ∥,CG AED '面,得点C 到平面AED '的距离即为直线CG 到平面AED '的距离,易得直线CG 到平面AED '的距离小于等于直线CG 到直线AE 的距离, 再ABCD 中,设AB x =,直线CG 到直线AE 的距离为h ,可得AE =可得AE h AG AD ⨯=⨯,1x h ⨯==, 由三棱锥F AED -'体积的最大值为15,可得2d h =,d =,可得111322F AED xV -'=⨯⨯=⨯可得4x =,故答案为:4. 【点睛】本题主要考查三棱锥体积的求法,综合性大,属于难题.。