几何画板中作二次函数图像与性质的步骤

几何画板二次函数案例二次函数在几何画板中的应用非常广泛，下面我将为你提供一个案例，详细解释如何使用二次函数来构建一个几何图形。

案例：构建一个抛物线喷泉喷泉是一种常见的城市景观和装置，它通过一个喷水装置将水以特定的形式喷射出来，形成美丽的水柱。

在这个案例中，我们将使用二次函数来模拟喷泉的形状。

首先，让我们定义一个二次函数来描述喷泉的形状。

假设水柱的高度(h)是和喷射距离(x)相关的，我们可以使用以下二次函数来描述这种关系：h(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是需要确定的常数。

喷泉的形状通常是一个开口朝下的抛物线，所以a的值应该小于0。

接下来，我们将确定a、b和c的值。

为了简化问题，我们假设喷泉的最高高度是10米，并且喷射的最远距离是20米。

我们可以选择两个点来确定这个二次函数的值。

假设我们选择喷泉的两个关键点分别是(0,0)和(20,10)。

将这两个点带入二次函数的方程，我们可以得到以下两个方程：0=a*0^2+b*0+c=>c=010=a*20^2+b*20+0=>400a+20b=10通过解这个方程组，我们可以得到a和b的值。

解方程组可以得到a=-0.0125和b=0.25、所以二次函数的方程为：h(x)=-0.0125x^2+0.25x现在，我们可以使用这个二次函数来绘制喷泉的形状。

通过在几何画板上画出一系列点，然后使用平滑曲线连接这些点，我们可以得到整个喷泉的形状。

首先，我们选择几个x的值，例如x=0,2,4,...,20。

然后，我们使用二次函数计算对应的h(x)的值。

最后，在几何画板上画出这些点，并使用平滑曲线连接它们。

通过加入适当的颜色和细节，我们可以使这个几何图形更加真实和立体感。

我们还可以添加其他元素，如水柱顶部的喷雾效果。

通过调整二次函数的参数，我们可以自由地改变喷泉的形状和高度。

这使得几何画板成为优秀的工具，用于设计和模拟各种喷泉的形状，并选择出最佳的设计。

几何画板在二次函数y=ax2 （ a ≠0）中的应用二次函数y=ax^2 （a ≠0）是高中数学学习中的重要内容，它描述了一条抛物线的图像，具有许多重要的性质和应用。

而近年来，随着科技的发展，几何画板已经成为学习和教学的利器，它不仅可以帮助学生更好地理解和学习二次函数，还可以拓展二次函数的应用，使学习更加生动、深入和有趣。

一、几何画板的基本功能几何画板是一种数字化的绘图工具，它可以在屏幕上实现多种几何图形的绘制、变换和动态展示。

通过几何画板，学生可以绘制出二次函数y=ax^2的图像，观察抛物线的特征和性质，比如顶点坐标、对称轴、开口方向等。

几何画板还可以通过拖拽和调节参数，实现二次函数的变换和变形，如平移、伸缩、翻转等，从而加深学生对函数变化的理解和认识。

二、几何画板在二次函数图像的展示和分析中的应用1. 展示不同参数对图像的影响通过几何画板，学生可以通过调节参数a，观察二次函数图像的变化。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

a的绝对值越大，抛物线越“瘦长”，开口越“尖锐”；a的绝对值越小，抛物线越“扁平”，开口越“圆滑”。

通过这种方式，学生可以直观地感受到参数a对二次函数图像的影响，从而加深对二次函数的认识和理解。

2. 讨论特殊情况下的图像特征几何画板可以帮助学生讨论特殊情况下的图像特征，如a=0时，二次函数的图像将是一条水平直线；a=1时，抛物线与y=x^2的图像完全重合，学生可以通过画板进行观察和比较。

通过这种方式，学生可以更好地理解和掌握二次函数图像的性质和特征。

3. 探讨顶点、对称轴和轴线方程几何画板可以帮助学生观察和分析顶点、对称轴和轴线方程的关系。

通过观察，学生可以发现顶点的横坐标就是对称轴的方程，而对称轴的方程就是抛物线的轴线方程。

这种发现有助于学生对抛物线性质的理解和掌握。

除了上述基本功能和应用外，几何画板还可以在二次函数的应用中有更进一步的拓展。

讲解详细讲解二次函数的像绘制方法和常见的性质解答学生提出的疑问二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和物理等学科中都有广泛的应用。

本文将详细讲解二次函数的像绘制方法和常见的性质，以解答学生提出的疑问。

一、二次函数的像绘制方法要绘制二次函数的像，首先需要确定函数的一般式或标准式。

一般式表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为实数且a ≠ 0；标准式表示为 y = a(x - h)^2 + k，其中 a、h、k 为实数且a ≠ 0。

1. 一般式的像绘制方法根据给定的一般式 y = ax^2 + bx + c，可以通过以下步骤来绘制二次函数的像：（1）求出二次函数的顶点坐标。

二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 求得，其中 f(-b/2a) 表示将 x = -b/2a 代入函数中得到的 y 值。

（2）确定对称轴。

对称轴是通过二次函数的顶点且与 x 轴垂直的直线。

它的方程可以表示为 x = -b/2a。

（3）计算函数值 y。

在对称轴两侧任选几个 x 值，并带入函数中计算对应的 y 值，得到一些点坐标。

通过这些点坐标可以绘制出二次函数的像。

2. 标准式的像绘制方法对于标准式 y = a(x - h)^2 + k，绘制二次函数的像可以采用以下步骤：（1）求出二次函数的顶点坐标。

顶点坐标为 (h, k)。

（2）确定对称轴。

对称轴是通过二次函数的顶点且与 x 轴垂直的直线。

它的方程可以表示为 x = h。

（3）计算函数值 y。

在对称轴两侧任选几个 x 值，并带入函数中计算对应的 y 值，得到一些点坐标。

通过这些点坐标可以绘制出二次函数的像。

二、二次函数的常见性质除了像的绘制方法，我们还需要了解二次函数的常见性质。

以下是几个重要的性质：1. 对称性：二次函数的图像以对称轴为轴对称，即对称轴两侧的像完全相同。

2. 零点：二次函数的零点是函数值为零的 x 坐标。

二次函数图像画法与特性分析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数图像的画法和特性分析。

一、二次函数图像的画法要画出二次函数的图像，首先需要确定函数的顶点和开口方向。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

根据a的正负可以判断二次函数的开口方向，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

确定开口方向后，可以通过计算顶点的坐标来确定图像的位置。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的值。

通过计算可以得到顶点坐标，然后将顶点标记在坐标轴上。

接下来，可以选择一些特殊点来确定图像的形状。

例如，可以选择x=0和x=1两个点来计算函数值，然后将这些点连接起来，就可以得到二次函数的大致形状。

二、二次函数图像的特性分析1. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的方程为x = -b/2a，通过计算可以得到对称轴的位置。

2. 最值点：二次函数的最值点即为顶点，通过计算顶点的坐标可以得到最值点的位置。

当a>0时，最值点为最小值；当a<0时，最值点为最大值。

3. 零点：二次函数的零点即为函数与x轴的交点。

通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以得到零点的位置。

当判别式b^2-4ac>0时，函数有两个不同的零点；当判别式b^2-4ac=0时，函数有一个重根；当判别式b^2-4ac<0时，函数无实数根。

4. 函数的增减性：当a>0时，二次函数是上升的；当a<0时，二次函数是下降的。

通过计算函数的导数可以得到函数的增减性。

5. 函数的凹凸性：当a>0时，二次函数是凹的；当a<0时，二次函数是凸的。

通过计算函数的二阶导数可以得到函数的凹凸性。

通过对二次函数图像的特性进行分析，可以更好地理解函数的性质和变化规律。

如何用几何画板作函数图像本人在教学工作中常用几何画板作函数图像，总结了一些基本方法现成文与广大数学教师共享。

一、坐标法坐标法适用于已知函数解析式求作函数图像的方法。

构造一个坐标满足函数解析式的点，用几何画板的轨迹工具画出图象。

下以二次函数为例。

步骤如下：1、新建一个绘图，选择菜单里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。

2、选择轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。

确保C点处于被选中状态，右击鼠标显示快捷菜单选择“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。

3、选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。

如果用鼠标拖动点C的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。

4、下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。

再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。

经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了。

5、选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击度量值x(确保别的对象不处于选中状态)，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，在出现的“计算器”窗口里，鼠标单击“数值”按钮，选择“2”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“^”号按钮，鼠标单击“2”按钮，鼠标单击“-”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“3”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“1”，最后按下确定按钮，得到一个新的度量值。

二次函数及其作图二次函数是数学中的一种特殊函数类型，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数在数学及实际问题中都有广泛的应用，了解二次函数及其作图方法对于解决相关问题具有重要意义。

一、二次函数的基本形式及性质二次函数的基本形式为f(x) = ax^2 + bx + c，并且图像一定是抛物线。

根据a的正负及大小，可以得出以下性质：1. 当a > 0时，抛物线开口向上，图像在x轴上方有最小值。

2. 当a < 0时，抛物线开口向下，图像在x轴下方有最大值。

3. 当a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

4. 函数的零点即为二次方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求解该方程得到。

二、二次函数的作图方法为了更好地理解和应用二次函数，我们可以通过作图来展示其图像。

1. 确定基准点：找出抛物线的顶点，即最值点，可以通过求对称轴的坐标进行确定。

对称轴的坐标公式为x = -b / (2a)，将这个值代入函数中即可得到顶点的坐标。

2. 确定关键点：找出抛物线与x轴的交点，即零点。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到，求解出的根即为关键点的横坐标，将其代入函数中可以得到纵坐标。

3. 绘制抛物线：连接顶点和关键点，并逐渐绘制出整个抛物线的形状。

4. 补全图像：根据图像的开口方向和函数的定义域，补全抛物线的形状。

三、例题分析与实践例题：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求解以下问题：1. 函数f(x)的最值点坐标和最值；2. 函数f(x)的零点坐标；3. 根据所得信息画出函数f(x)的图像。

答案：1. 首先求解对称轴的坐标。

根据公式x = -b / (2a)，代入a = 2，b = -4，得到对称轴的横坐标为 x = -(-4) / (2*2) = 1。

将x = 1代入函数中，得到最值点P的纵坐标：f(1) = 2 * 1^2 - 4 * 1 + 3 = 1。

几何画板在二次函数y=ax2 （a ≠0）中的应用【摘要】几何画板在二次函数y=ax²中的应用，是一个有趣而实用的工具。

通过几何画板，我们可以直观地展示二次函数的图像绘制过程，以及开口方向的改变和顶点的坐标变化。

几何画板还能帮助我们观察二次函数的对称性和轴对称图形，以及与直线的交点。

通过几何画板的应用，学生可以更深入地理解二次函数的特性，提高学习效率和兴趣。

几何画板为学习二次函数y=ax²提供了直观、可视化的工具，让抽象概念变得具体易懂。

通过这种实际操作，学生能够更好地掌握二次函数的相关知识，从而提升数学学习的效果。

【关键词】几何画板、二次函数、y=ax²、图像绘制、开口方向、顶点、对称性、轴对称图形、交点、学习、可视化、理解、学习效率、兴趣。

1. 引言1.1 介绍几何画板的基本概念几何画板是一种用于绘制几何图形和数学函数图像的工具。

它通常由一个平面表面和一支可移动的笔组成，通过在平面表面上移动笔来绘制各种图形。

几何画板可以帮助学生更直观地理解数学概念，尤其是在几何和代数方面的应用中。

在数学中，二次函数y=ax²是一种常见的函数类型，其中a代表非零常数。

这种函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，其特点在于顶点坐标、轴对称性和与直线的交点等。

通过几何画板，我们可以更清晰地呈现二次函数的各种特性，使学生能够直观地感受到数学概念的含义。

几何画板的基本概念包括平面上的坐标系、直线和曲线的绘制方法，以及如何利用这些基本元素来展示数学函数图像。

通过在几何画板上绘制二次函数y=ax²的图像，学生可以更直观地理解函数的性质，比如开口方向、顶点坐标以及与直线的交点。

几何画板为学习二次函数提供了一个直观、可视化的工具，帮助学生更快速地理解和掌握这一数学概念。

1.2 二次函数y=ax²的定义二次函数y=ax² 是一种形式为y=ax² 的二次多项式函数，其中a 不等于0。

《5.2二次函数的图像和性质》过程师：同学们，前面咱们学习了函数相关知识，并且知道函数是研究两个变量之间关系的数学模型，下面我们就来回顾几个简单的问题。

（1）由一个矩形引出关系式：y=2x师：若y指向周长，则y与x之间又有怎样的函数关系？y=2x+4师：它们之间有何关系（正比例函数是特殊的一次函数）（2）x、y、2的指向再发生变化，从而引出关系式： y=2/x ，y=x2 师：什么样的函数叫二次函数？形如: y=ax2+bx+c（a≠0）师：同学们!之前,我们已经研究了一次函数和反比例函数.知道了学习他们的路径是：定义→图像→性质→应用。

并利用性质解决了一些实际问题。

指出：二次函数研究的路径和方法与它们完全一样。

回头画图，我们知道一次函数图像是一条直线，反比例函数图像是双曲线，那么二次函数的图像是什么形状呢？又有什么特征？这就是今天我们共同探究的内容。

板书课题：5.2二次函数的图像和性质师：同学们，我们在研究一次函数y=kx+b(k≠0)的图像时，首先是以（令）b=0时，从y=kx这种特殊的一次函数入手，那么你们想想，二次函数肯定也将从简单的形式入手。

师：我们将会从研究哪种形式开始？（类比一次函数的学习，你认为研究二次函数的图像从哪种形式入手？）生：y=ax2(a≠0)师：是的，我们从这最特殊、最简单的形式开始。

现在我们选取a=1时来探究。

探究1：根据二次函数的表达式y=x2,你能描述它的图像大致样子吗？又有怎样的特征？生：①过原点②在x轴上③对称④无限延伸师：你能画出y=x2的大致图像吗？（请学生到黑板上画图）它的图像是否是这样子。

这只是想像？如何验证？生；画图大家还能想到画函数图像一般步骤？生：列表，描点，连线师：下面就让我们动手操作画图验证。

学生画图，3分钟后展评作品点评：①列表取值:具有代表性，易于计算，便于描点②连线:平滑曲线（老师要解释为什么要是平滑曲线）（几何画板）③无限延伸探究2.你能想象出y=-x2图像的大致样子吗？生:①简单说②画草图③关于x轴对称（教师简单说理）师：这两个二次函数其实是y=ax2最简单，最特殊情况，我们知道一次函数图像是一条直线，反比例函数图像是双曲线，那么你能为二次函数的图像起个名字吗？生:抛物线师：我们看抛物线具备哪些特征?研究哪些方面？研究属于它的特征：①开口方向②对称性③顶点④增减性⑤最高（低）点。

二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质第1课时教学目标：知识与技能：能熟练地将二次函数一般式化为顶点式，并能求出它的顶点坐标，对称轴. 过程与方法：经历一般式化为顶点式的过程，进一步体会转化的数学思想.情感态度与价值观：在学生探究问题的过程中，发展学生合作意识，培养刻苦钻研的精神. 教学重难点：重点：会熟练求出二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴.难点：会用配方法或公式法将一般式c bx ax y ++=2化成顶点式()k h x a y +-=2教学过程：一、温故知新：填空：回顾()k h x a y +-=2的性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二、探究新知：我们已经知道()k h x a y +-=2的图像和性质，能否利用这些知识来讨论26212+-=x x y 的图像和性质呢？问题1 怎样将26212+-=x x y 化成()k h x a y +-=2的形式？（学生思考回答，教师引导完成配方）.问题2 怎么去画出26212+-=x x y 的函数图象？ 学生思考回答：1.平移及过程，教师演示平移动画（几何画板）；2.直接作图：列表、描点、连线，教师演示画图过程.归纳：1.26212+-=x x y 的图象的性质 开口方向： 对称轴： 定点坐标： 增减性： 图象： 2.二次函数26212+-=x x y 图象的画法：①化：化为顶点式；②定：开口方向、对称轴、顶点坐标；③画：列表、描点、连线. 问题3 你能把c bx ax y ++=2配成()k h x a y +-=2的形式吗？ 学生活动，教师指导，集体订正.结论：c bx ax y ++=2→a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对比顶点式，你能说出c bx ax y ++=2的对称轴、顶点坐标吗？归纳：c bx ax y ++=2的图象和性质观看趣味视频：从一般式到顶点式三、例题解析： 写出抛物线c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标开口方向 对称轴顶点坐标（1）x x y 232+=（2）x x y 22--=+2四、课堂小结：1.同学们，这节课的学习你有哪些收获呢？学生自行归纳总结2.知识框架图五、提升训练：练习册28页例3及变式训练六、教学反思：教学流程设计合理，教学过程学生反馈较好，但是未能及时对部分学困生进行辅导，学生动手操作的时间较少，应对部分环节进行处理，突出学生学习的主体性。

利用几何画板探究二次函数图像性质教学设计【教学设计】探究二次函数图像性质一、教学目标1.知识与能力目标：-掌握二次函数的定义及其一般形式；-了解二次函数的图像特征，包括对称轴、顶点、开口方向等；-能够利用几何画板绘制二次函数图像，并观察其性质。

2.过程与方法目标：-通过实际操作几何画板来观察二次函数的图像性质，培养学生的观察力和动手能力；-培养学生的探究精神，引导学生进行自主学习和探究。

二、教学重点与难点1.教学重点：-二次函数的定义及其一般形式；-二次函数图像的性质。

2.教学难点：-利用几何画板绘制二次函数图像；-观察和总结二次函数图像的性质。

三、教学过程1.导入新课（5分钟）-引入二次函数的概念，提问学生是否了解二次函数，并请举例说明；-提问学生对二次函数图像的性质是否了解，例如对称轴、顶点、开口方向等。

2.概念讲解（10分钟）- 讲解二次函数的定义，即f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0；-引导学生理解二次函数图像的基本形态，即抛物线。

3.观察探究（20分钟）-引导学生打开几何画板软件，并选择绘制函数图像的工具；-让学生自行调整a、b、c的值，并观察图像的变化；-引导学生总结二次函数图像的性质，例如对称轴的位置和方向、顶点的位置、开口方向等。

4.性质总结（10分钟）-引导学生展示他们所绘制的二次函数图像，并请他们总结图像的性质；-让学生在黑板上汇总二次函数图像的性质，并进行讨论和补充。

5.练习与应用（15分钟）-给学生提供一些二次函数的实际问题，并要求他们利用几何画板绘制相应的图像；-让学生在图像上标注对称轴、顶点等信息，并回答与问题相关的问题。

6.归纳总结（10分钟）-引导学生回顾本节课所学的内容，总结二次函数图像的性质，并填写学习笔记；-提问学生有哪些探究二次函数图像性质的方法，鼓励学生提出自己的想法。

7.作业布置（5分钟）-布置相关作业，例如练习题、思考题等，要求学生利用几何画板进一步探究二次函数图像性质；-提醒学生按时提交作业，并预告下节课将进行作业讲评。