高中数学必修二 第一章立体几何 第1章-1.1.7

图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．

[构建· 体系]
1．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( A．①② C．①③ ) B．②③ D．②④
3 为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为 2 a＝ 3，圆锥的母线即为圆锥的 轴截面正三角形的边，所以母线长为 2.
【答案】 3，2
5． 如图 114 所示为长方体 ABCDA′B′C′D′， E、 F 分别为棱 A′B′、 C′D′上的点，且 B′E＝C′F，当用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后， 各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
[小组合作型]
旋转体的结构特征
下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台； (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (4)圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球． A．0 个 C．2 个 B．1 个 D．3 个
棱锥 SAC 或棱锥 SABCDE
棱台 AC′或棱台 ABCDA′B′C′D′
两个面 互相平行，其余 有 一 个 面 是 多 边 用 一 个 平 行 于 棱 锥 结构 各面都是四边形，并且 形，其余各面是 底面的平面去截棱
特征 每相邻两个四边形的公 有一个公共顶点的 锥，底面与截面之间 共边都互相平行 三角形 的部分
【答案】 (2)(3)(4)
判断棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说 法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 看侧棱 为底面 相交于一点 面 延长后相交于一点 棱台 只有一个面是多边形，此面即 两个互相平行的面，即为底

高 中 数学 必 修 2知识点 第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原那么：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：〔1〕.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；〔2〕.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； 〔3〕.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：〔1〕画轴〔2〕画底面〔3〕画侧棱〔4〕成图1.3 空间几何体的表面积与体积〔一 〕空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π= 〔二〕空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系222r rl S ππ+=2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示 〔1〕平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长〔如图〕〔2〕平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：〔1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

所以 C′O⊥DA. 因为 AB⊥DA 及 AB∩C′O＝O， 所以 DA⊥平面 ABC′，BC′ 平面 ABC′. 所以 DA⊥BC′. 又因为 BC⊥CD， 所以 BC′⊥C′D. 因为 DA∩C′D＝D， 所以 BC′⊥平面 AC′D.
第二十七页，共52页。
(2)如图所示，过 A 作 AE⊥C′D，垂足为 E.
第十七页，共52页。
12．垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂 线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟 练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问 题的关键．
第十二页，共52页。
7．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：a 与 α 内任何直线垂直⇒a⊥α； (2)判定定理 1： lm⊥、mn，αl⊥，nm∩n＝A⇒l⊥α； (3)判定定理 2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； (5)面面垂直的性质；α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l⇒a⊥β.
• (1)请画出该安全标识墩的左视图；
• (2)求该安全标识墩的体积；
• (3)证明：直线BD⊥平面PEG.
• [思路分析] (1)结合几何体的结构及所给的 主视图和俯视图画出左视图；
• (2)解题时先把三视图中的数据还原到几何体 中，然后把几何体的体积转化为正四棱锥和 长方体的体积来求解(qiú jiě)．
第四十页，共52页。
(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD－A1B1D1 的高． 又 AO＝12AC＝1，AA1＝ 2， ∴A1O＝ AA21－OA2＝1. 又 S△ABD＝12× 2× 2＝1， ∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.