《 等差数列》练习题（含答案）
内容概述
许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得这么快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们回顾加强有关等差数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
【复习1】你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？
分析：以下答案仅供参考！
（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：
定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.
譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；
末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变得差，通常用d 来表示；
和 ：一个数列的某些项的和，常用S n 来表示 .
（3） 三个重要的公式：
① 通项公式：末项=首项＋(项数-1)×公差
1(1)n a a n d =+-⨯
回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯
② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1 （其实此公式是由①推导出来的，教师也可以帮助同学推导，可以为以后的解方程做好铺垫）
由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n
a a 若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a 若）.
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！
譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是 3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法.
③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2
1()2n n s a a n =+⨯÷
对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：
（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×50=5050
（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：
即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050
（4）中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .
如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中. 譬如：计算：124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
分析：这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×524.68=2623.4 .
等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重
点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.
【复习2】（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？它的第102项是多少？
（2）已知等差数列2、5、8、11、14 …，问47是其中第几项？
（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.
第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；
（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，
那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第8项，必须知道首项和公差.
第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差= 6 ；
第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；
第8项=首项+7×公差=45 ；
【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：这个剧一共有多少个座位？
分析：首项：70-(25-1)×2=22 ，座位总数：(22+70)×25÷2=1150．
【复习4】小明从1月1日开始写大字。第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?
分析：数列末项为：589×2÷31－4=34，所以公差为(34－4)÷30=1，小明每天比前一天多写1个大字．
例题精讲
【例1】巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996
分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)
=7777770-(9+8+7+6+5+4)
=7777731
【巩固】计算72+793+7994+79995+799996= .
分析:原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)
=888880-(8+7+6+5+4)
=888850
