2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时训练 第二章 函 数
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第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．(教师用书独具)●教学建议函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．●教学流程复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量⇒新课讲解，给出函数的概念及其表示方法⇒完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解⇒给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】没有依赖关系．不是函数关系．2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，但不是函数关系．3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？【提示】初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？【提示】因变量y随自变量x的变化而变化．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．1.区间：设a，b是两个实数，而且a<b，规定如下表：这里实数a ，b 都叫作相应区间的端点． 2．无穷大的概念及无穷区间：下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (3)商品的销售额与广告费之间的关系； (4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 【思路探究】 两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系h ＝12gt 2，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．(1)下列说法不正确的是()A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数【解析】(1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A、B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n 换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．(2)虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．【答案】(1)C(2)A下列对应关系是否为A到B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x.【思路探究】解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【自主解答】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数；(3)A 中元素负数没有平方根，故在B 中没有对应的元素且x 不一定为整数，故此对应关系不是A 到B 的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A 、B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列说法正确的是( ) A ．f (x )＝1－x ＋x －2是函数B ．A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝±x ，则f 是从集合A 到集合B 的一个函数C ．A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，f ：x →y ＝x 2，则f 是从A 到B 的一个函数D ．y 2＝x 是函数【解析】 对于A ，由于⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0x －2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≥2无解，所以f (x )不是函数．对于B ，对集合A 中的元素4，在B 中有2个元素与之对应，不是函数． 对于D ，当x ＝4时，y ＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．对于C ，A 中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念． 【答案】 C求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2x ＋3；(2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)y ＝1－x 21＋x.【思路探究】 对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．【自主解答】 (1)函数f (x )＝2x ＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.所以函数f (x )＝x －1·4－x ＋2的定义域为{x |1≤x ≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x ≠0，解得x ≠－1. 所以函数y ＝1－x 21＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负； (3)对于y ＝x 0要求x ≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1x －2；(2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x. 【解】 (1)当x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，3x ＋2有意义，∴函数f (x )＝3x ＋2的定义域是[－23，＋∞)．(3)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1}∩{x |x ≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).求定义域时盲目化简函数解析式致误求函数f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．【错解】 f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ＝x ＋1－1－x .要使函数有意义，需满足． 1－x ≥0，即x ≤1.故f (x )的定义域为(－∞，1]．【错因分析】 本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化． 【防范措施】 讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】 要使函数f (x )有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1且x ≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{ y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由函数的定义，M 中任意一个x ，N 中都有唯一y 对应，故(1)(2)(4)正确． 【答案】 C2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3.【解析】 A 、C 、D 的定义域均不同． 【答案】 B3．(2012·四川高考)函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示) 【解析】 由题意，需1－2x >0，解得x <12.故f (x )的定义域为(－∞，12)．【答案】 (－∞，12)4．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4，(1)求函数f (x )的定义域；(用区间表示) (2)求f (－1)，f (12)的值．【解】 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.一、选择题1．已知f (x )＝x －1x ＋1，则f (2)＝( )A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】 f (2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2【解析】 A 中y ＝x －1定义域为R ，而y ＝x 2－1x ＋1定义域为{x |x ≠1}；B 中函数y ＝x 0定义域{x |x ≠0}，而y ＝1定义域为R ；C 中两函数的解析式不同；D 中f (x )与g (x )定义域都为(0，＋∞)，化简后f (x )＝1，g (x )＝1，所以是同一个函数． 【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )图2－2－1【解析】 水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快． 【答案】 B 4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2] D ．[1，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2， 所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 【答案】 A5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R)的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]【解析】 由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1. 【答案】 B 二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． 【解析】 结合区间的定义知， 用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． 【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)． 【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 【解析】 由f (a )＝2，得41－a ＝2，解得a ＝－1.【答案】 －1 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x ，求：(1)函数f (x )的定义域； (2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义， 则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，(1)计算f (a )＋f (1a)的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2，所以f (a )＋f (1a)＝1.(2)法一 因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)21＋(12)2＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝(13)21＋(13)2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝(14)21＋(14)2＝117，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二 由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.(教师用书独具)求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)．【思路探究】 求函数的值域就是求函数值的取值集合．【自主解答】 (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]． (3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1，∴1<1＋1x ＋1<2，∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2)．求函数值域的常用方法1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y ＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．(1)函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6] D ．[－3，＋∞)【解析】 函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．【答案】 C(2)函数y ＝2xx ＋1的值域为________．【解析】 ∵y ＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1，又∵2x ＋1≠0，∴y ≠2.∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ≠2}．【答案】 {y |y ≠2}知识拓展 函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．如求函数y ＝1x 2＋2的值域时，若令u ＝x 2＋2，则y ＝1u (u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0<y ≤12，所以函数y ＝1x 2＋2的值域为(0，12]．(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，因为y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，我们可以令x ＝t (t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如y ＝cx ＋d ax ＋b 的函数，可将其变形为y ＝k ＋hax ＋b的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．例如：求函数y ＝1－x2x ＋5的值域．由于y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12.所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为{y |y ∈R ，且y ≠－12}．2．2 函数的表示法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法．(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法●重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．(教师用书独具)●教学建议教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．●教学流程创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4.【提示】如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？ 【提示】 能．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ∈{1，2，3，4，5}，25＋(x －5)×4.5，x ∈{6，7，8，9，10}. 2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？ 【提示】 不能．在函数的定义域内，如果对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.作出下列函数的图像．(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)．【思路探究】 用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(1) (2) (3)(2)因为0≤x <3，所以这个函数的图像是抛物线y ＝x 2－x 介于0≤x <3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x ＝2时，y ＝1，其图像如图(3)所示．1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y ＝|x 2＋3x －4|的图像．【解】 作出二次函数y ＝x 2＋3x －4的图像如图(1)，将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方即得所求函数图像如图(2)．(1) (2)(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求函数f (x )的解析式．(2)若f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 (1)由于f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f (x )是一次函数，可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，依题意知，f [f (x )]＝4x －1，所以k (kx ＋b )＋b ＝4x －1， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，(k ＋1)b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)法一 (换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二 (配凑法)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1， 所以f (x )＝x 2－1，x ≥1.1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式； (2)根据题设求待定系数．2．已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t ＝g (x )，然后求出f (t )的解析式，最后用x 代替t 即可．(2)配凑法：可通过配凑把f [g (x )]的解析式用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(1)已知f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式为________． (2)已知2f (x )＋f (1x )＝x ，求f (x )．【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，由题意得f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1. (2)∵2f (x )＋f (1x )＝x ，以1x 代替x 得2f (1x )＋f (x )＝1x， 于是可得⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x )＝x ，2f (1x )＋f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －13x ，∴f (x )＝23x －13x.【答案】 (1)f (x )＝3x －1 (2)f (x )＝23x －13x已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．【思路探究】 由f (x )的解析式令x ＝－1求出f (－1)及f (f (－1))的值，进而求出f (f (f (－1)))的值．【自主解答】 x ＝－1<0，∴f (－1)＝0， f (f －1))＝f (0)＝π， f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； 2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．(1)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≥0)，－2x (x <0)，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 (1)f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝139.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1＝10，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)； 当x <0时，f (x )＝－2x ＝10，解得x ＝－5.综上得x ＝－5或3.【答案】(1)(2)－5或3忽略变量的实际意义而致误如图2－2－2所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD 上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】由题意得△CQB∽△BAP，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x ，所以y ＝12x.故所求的函数表达式为y ＝12x，其图像如图所示．【错因分析】 没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．【防范措施】 从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．【正解】 由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x (3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的图像．1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是()汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】 A2．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )等于( ) A ．3 B ．3x C ．3x ＋6 D ．6x ＋3 【解析】 由已知，得f [g (x )]＝6x ＋3 ＝3(2x ＋1)＝3g (x )， 所以f (x )＝3x . 【答案】 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，则f [f (12)]＝________.【解析】 f (12)＝(12)2－1＝－34，故f [f (12)]＝f (－34)＝1－34＝－43.【答案】 －434．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．【解】 (1)列表法：(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}.一、选择题。
