北京科技大学有限元考试试题
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一.是非题(认为该题正确,在括号中打√;该题错误,在括号中打×。)(每小题2分) (1)用加权余量法求解微分方程,其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。()(2)四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。()(3)在三角形单元中,其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。()(4)二维弹性力学问题的有限元法求解,其收敛准则要求试探位移函数C1连续。()(5)有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。()(6)等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。()(7)在位移型有限元中,单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。()(8)四边形单元的Jacobi行列式是常数。()(9)利用高斯点的应力进行应力精度的改善时,可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。()(10)一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。()
二.单项选择题(共20分,每小题2分)
1 在加权余量法中,若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数,这类方法称为
________________。
(A)配点法(B)子域法(C)伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。
(A)不相同,不相同(B)相同,相同(C)相同,不相同(D)不相同,相同
3 有限元位移模式中,广义坐标的个数应与___________相等。
(A)单元结点个数(B)单元结点自由度数(C)场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较,一般___________。
(A)近似解总小于精确解(B)近似解总大于精确解(C)近似解在精确解上下震荡(D)没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶,单元的完备性是指试探函数必须至少
是______完全多项式。
(A)m-1次(B)m次(C)2m-1次
6 与高斯消去法相比,高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式,因此,不用进
行回代计算。
(A)上三角矩阵(B)下三角矩阵(C)对角矩阵
7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。
(A)对称应力(B)反对称应力(C)对称位移(D)反对称位移
8 对分析物体划分好单元后,__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。
(A)单元编号(B)单元组集次序(C)结点编号
9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。
(A)n-1 (B)n(C)2n-1 (D)2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。
(A)对称性(B)稀疏性(C)奇异性
三.简答题(共20分,每题5分)
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
2、简述有限元法中选取单元位移函数(多项式)的一般原则。
3、简述有限单元法的收敛性准则。
4、考虑下列三种改善应力结果的方法(1)总体应力磨平、(2)单元应力磨平和(3)分片应力磨平,请分别将它们按计算精度(高>低)和计算速度(快>慢)进行排序。
四.计算题(共40分,每题20分)
1、如图1所示等腰直角三角形单元,其厚度为t ,弹性模量为E ,泊松比0ν=;单元的边
长及结点编号见图中所示。求
(1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K
2、图2(a )所示为正方形薄板,其板厚度为t ,四边受到均匀荷载的作用,荷载集度为21/N m ,同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E ,泊松比0ν=。试求
(1) 利用对称性,取图(b )所示1/4结构作为研究对象,并将其划分为4个面积大小
相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型(即根据对称性条件,在图(b )中添加适当的约束和荷载,并进行单元编号和结点编号)。 (2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ,为使每个单元刚度矩阵e K 相同,试在
图(b )中正确标出每个单元的合理局部编号;并求单元刚度矩阵e K 。 (3) 计算等效结点荷载。
(4) 应用适当的位移约束之后,给出可供求解的整体平衡方程(不需要求解)。
1
2
3
图1 图2
(a )
(b )
同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A 卷 标准答案
2007—2008学年第 二 学期
一.是非题(认为该题正确,在括号中打√;该题错误,在括号中打×。)(每小题2分)
× √ √ × × √ × × √ √ 二.单项选择题(共20分,每小题2分)
C B B C B C
D C C C 三.简答题(共20分,每小题5分) 1、答:(答对前3个给4分)
(1)对称性;(2)奇异性;(3)主对角元恒正;(4)稀疏性;(5)非零元素带状分布 2、答:
一般原则有
(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等;
(2) 选取多项式时,常数项和坐标的一次项必须完备;
(3) 多项式的选取应由低阶到高阶; (4) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度。
3、答:
完备性要求,协调性要求 (2分) 具体阐述内容
(3分)
4、答:
计算精度 (1)>(3)>(2) 计算速度 (2)>(3)>(1)
四.计算题 1、解:
设图1所示的各点坐标为
点1(a ,0),点2(a ,a ),点3(0,0)
于是,可得单元的面积为 12
A =2
a ,及 (1) 形函数矩阵N 为
(7分)
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+g g ;
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ,220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ,32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ; []12
3=B B B B