教学设计
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二元一次不等式表示平面区域的教学设计
容县高中 谭斯霞
教学目标：
1． 了解二元一次不等式表示的平面区域。
2． 会画二元一次不等式（组）表示的平面区域。
教学重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域。
教学方法：启发式
教具准备：教学投影仪以及相应课件
教学过程：
一．创设问题情景
1. 集合｛(x, y)︱x-y+1=0｝有何意义？
2. 直线x-y+1=0将平面分成几个区域？
3. 点集｛(x, y)︱x-y+1＞0｝在平面直角坐标系中是什么图形？
教师引导学生首先解决前两个问题，并且利用预先制作好的Flash动画进行演示，用三种不同的颜色分别表示三个不同的区域，以此加深学生对平面区域的理解。紧接着教师发问：点集｛(x, y)︱x-y+1＞0｝在平面直角坐标系中是否是直线x-y+1=0将平面分成几个区域中的一部分？如果是，又是哪一部分？如何判断？这将是我们这一节课要研究的主要问题。由此点出课题﹗
二．尝试问题解决
1． 实验
任选几组数据如（3，2），（2，3），（2，4）„引导学生进行实验。
2． 猜想
根据前面所作实验鼓励学生大胆猜想﹗
对直线x-y+1=0右上方的点(x,y)，x-y+1＞0成立。
对直线x-y+1=0左下方的点(x,y)，x-y+1＜0成立。
3． 证明
教师通过引导学生对不等式与等式的关系的认识类比直线与平面区域的关系，最终找到证明的方法。
教师：x-y+1＞0是不等式而x-y+1=0是等式，我们知道不等式与等式有着密切的关系，通常不等式的边界一定能够保证相应的等式成立。因此我们就要设法将直线右上方（或左下方）的点与直线上的点联系起来。那么怎样联系呢？
（引导学生联想，二元一次不等式中有两个变量，我们平常习惯处理一个变量的问题，因此，能不能在两个区域中找到一个相等的量，使二元一次不等式变成一元一次不等式）
学生各抒己见，教师加以引导，最后找到利用作出平行于x轴的直线找到两个纵坐标相同的点，结合不等式的性质得出结论的证明方法。
证：在直线x-y+1=0上任取一点P(x0, y0) ，过P点作平行于X轴的直线y＝y0 ，在此直线上点P右侧的任意一点(x, y),都有
x＞x0 ,y＝y0
所以
x+y＞x0+ y0
x+y-1＞x0+ y0-1=0
即 x-y+1＞0
由于点P(x0, y0) 是直线x-y+1=0上任意一点，所以对于直线x-y+1=0右上方任意一点(x, y)，x-y+1＞0都成立。
4． 得出结论
（由学生自行总结得出）
一般地，二元一次不等式Ax+By+c＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+c＝0某一侧所有点组成的平面区域。
5． 判断区域的方法
教师提问：虽然我们已经知道二元一次不等式Ax+By+c＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+c＝0某一侧所有点组成的平面区域。但是它到底表示哪一侧，我们怎样来判断呢？（学生讨论，教师加以引导，结合前面的证明过程，利用数形结合的思想来回答这个问题。）
教师进行总结：二元一次不等式表示的平面区域，我们可以用“直线定界，特殊点定域”的方法来确定。（教师解释“直线定界，特殊点定域”的内涵）
三．例题与练习
例1．画出不等式2x+y-6＞0表示的平面区域。
利用“直线定界，特殊点定域”的方法先画出直线2x+y-6=0,然后用特殊点进行判断，在选择特殊点时我们通常选择最简单的（0，0）点进行判断。
（在讲解的过程中同时利用多媒体课件进行演示）
例2．画出不等式组
x-y+5≥0x+y≥0x≤3 {表示的平面区域。
（引导学生进行分析，不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此不等式组表示的平面区域就是各个不等式所表示的平面区域的公共部分）
利用多媒体课件演示，先建立平面直角坐标系，然后分别作出三条直线并且用三种不同的颜色分别表示三个不同的区域，颜色重复了三次的部分再用第四种颜色表示并且用动画手段闪烁，以加深印象。
例3．变式训练
变式1 画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)＜0表示的平面区域。
变式2 由直线x+y+2=0, x+2y+1=0 和2x+y+1=0围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可以表示为＿＿＿＿＿。
变式3 求不等式组x＞0y＞04x+3y＜12 ｛表示的平面区域必得面积及平面区域内的整点坐标。
（通过三个变式训练可以加深学生对二元一次不等式表示的平面区域的理解，并且将本节课与下一节课线性规划中的可行域的问题联系起来，为下一节课的学习做好铺垫）
四．课堂小结
引导学生反思本节课内容并加以总结。
（1）二元一次不等式Ax+By+c＞0在平面直角坐标系中表示什么图形？
（2）怎样画二元一次不等式（组）表示的平面区域？
（3）“直线定界，特殊点定域”的内涵是什么？
五．课外思考 （1）y≥kx+b (k存在) 或y＜kx+b 表示的平面区域与直线y=kx+b的位置关系如何？
（2）第一个问题与系数k,b有关吗？
评析：
二元一次不等式表示的平面区域的教学是线性规划问题的基础，直接影响线性规划问题中可行域的确定。因此本节课起着承前启后的作用。
本节课教学中突出体现了数学中的化归思想，数形结合思想，着力培养学生识图，画图的能力。并且用计算机辅助教学，创设问题情景，演示变化过程，将抽象问题直观的反映出来，加深学生理解，激发学生兴趣，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述几何图形问题。为了提高学生的学习能力，在教学过程中努力创设问题情景，给学生营造主动探索的氛围，使学生积极参与，主动探索，自主发现，不断享受成功体验，激发探索兴趣，满足心理需要。在讲解例题的过程中以变式训练来培养学生的发散思维能力，使学生抓着问题的本质，加深对问题的理解。问题结论及课后小结都由学生自行总结，以此培养学生的反思习惯，反思自己的学习活动，培养学生独立思考，勇于质疑，敢于创新的精神。
