2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数 学(理科)
时量：120分钟 满分：150分
得分：______________
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于 A ．3＋4i B ．3－4i
C .35＋45i
D .35－45
i
2．已知P ＝{x|x 2
－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于
A ．(1，4)
B ．[2，4)
C ．(1，2]
D ．(－∞，2]
3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为
A .h ＋k 2
B .nh ＋mk
m ＋n C .
mh ＋nk m ＋n D .h ＋k
m ＋n
4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于 A ．－7 B ．－5 C ．5 D ．7
5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD. 其中正确的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，
则双曲线x2a2－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为
A ．2或
233 B .6或23
3
C ．2或 3
D .3或 6
7．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π
6
个单位后关于y 轴对称，则φ的值是
A ．0
B .π6
C .π3
D .
5π6
8．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为
A ．1－
3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π18
9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为
A .
22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π3
10．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y
－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为
A .
4π5 B .3π4 C ．(6－25)π D .5π4
11．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧ex ，x≤0，x2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a
的取值范围为
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1)
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1；
②若{a n }是等差数列，则{}[)an 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)an 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝1
2
有2 017个根．
A ．②④
B ．③④
C ．①③
D ．①④
选择题答题卡
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)
14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝1
12
×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝
10尺)
15.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x2(1＋x)6展开式中x 2
的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋y 的最大值是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分11分)
如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；
(2)若BD ＝1，cos β＝1
7
，求△ABD 的面积．
